信號及其表述

1、11.0 1.0 序（序（IntroductionIntroduction）1.1 1.1 信號的分類（信號的分類（Signal ClassificationSignal Classification）1.2 1.2 信號的描述（信號的描述（Signal DescriptionSignal Description）1.31.3幾種典型信號的頻譜幾種典型信號的頻譜（Several Typical Signals SpectrumSeveral Typical Signals Spectrum）1.4 1.4 隨機信號的描述（隨機信號的描述（ Description of the Descript

2、ion of the Random SignalRandom Signal）信息是事物存在方式和運動狀態(tài)的特征。測試工作是按一定的信息是事物存在方式和運動狀態(tài)的特征。測試工作是按一定的目的和要求，獲取感興趣的、有限的某些特定信息。信號是信目的和要求，獲取感興趣的、有限的某些特定信息。信號是信息的載體。工程測試就是信號的獲取、加工、處理、顯示記錄息的載體。工程測試就是信號的獲取、加工、處理、顯示記錄及分析的過程。本章主要介紹信號及其描述的內(nèi)容。及分析的過程。本章主要介紹信號及其描述的內(nèi)容。第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出1.0 序（Introduction）信號（si

3、gnal）：隨時間或空間變化的物理量。信號是信息的載體，信息是信號的內(nèi)容。依靠信號實現(xiàn)電、光、聲、力、溫度、壓力、流量等的傳輸電信號易于變換、處理和傳輸，非電信號 電信號。信號分析與處理（signal analysis and processing）不考慮信號的具體物理性質(zhì)，將其抽象為變量之間的函數(shù)關系，從數(shù)學上加以分析研究，從中得出具有普遍意義的結論。2第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出信號無處不在通信 古老通信方式：烽火、旗語、信號燈。 近代通信方式：電報、電話、無線通訊。 現(xiàn)代通信方式：計算機網(wǎng)絡通信、視頻電視傳播、衛(wèi)星傳輸、移動通信。序（序（2/62/6）3第

4、1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出0001 1010 0111 1100 0110 01010101 0111 0110 0101 0001 1000摩爾碼摩爾碼4序（序（3/63/6）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出故障診斷故障診斷5序（序（4/64/6）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出心電圖波形心電圖波形醫(yī)學醫(yī)學6序（序（5/65/6）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出生物醫(yī)學信號處理應用舉例生物醫(yī)學信號處理應用舉例濾波以前干擾嚴重濾波以前干擾嚴重濾波以后干擾去除濾波以后干擾去除7序（

5、序（6/66/6）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出1.1 1.1 信號的分類信號的分類（Signal Classification） 根據(jù)信號隨時間的變化規(guī)律分為：確定性信號和非確定性信號8信號信號第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出1 1確定性信號和非確定性信號確定性信號和非確定性信號(1)能用明確的數(shù)學關系式或圖象表達的信號稱為確定性信號。確定性信號分為周期信號和非周期信號。)cos()(0tmkAtxn單自由度的無阻尼質(zhì)量-彈簧振動系統(tǒng)位移信號 9信號的分類（信號的分類（2/132/13）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁

6、目錄返回退出周期信號（1） 特點：信號按一定時間間隔周而復始重復出現(xiàn)。 數(shù)學表達式為： x(t)=x(t+nTo)T0 =2/0=1/f0 ； 0為角頻率, f0為頻率正弦波信號波形 10信號的分類（信號的分類（3/133/13）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出周期信號（2） 諧波信號頻率單一的正、余弦信號 一般周期信號由多個乃至無窮多個頻率成分（頻率不同的諧波分量）疊加所組成，疊加后存在公共周期。 如周期方波、周期三角波等。11)5sin513sin31(sin4)(000tttAtx信號的分類（信號的分類（4/134/13）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回

7、上頁 下頁目錄返回退出正弦信號的特征參數(shù)（1）按諧波成分多少,周期信號分為簡諧周期信號和復雜周期信號。正弦信號的數(shù)學表達式為：12)2sin()sin()(000000tfxtxtx周期信號常用均值、絕對均值、均方值、均方根值、平均功率和相關函數(shù)來表示。其數(shù)學表達式分別為： TxttxT0d)(1TxttxT0d)(1均值絕對均值信號的分類（信號的分類（5/135/13）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出正弦信號的特征參數(shù)（2） 均方值13TxttxT022d)(1 均方根值 平均功率 相關函數(shù)TttxTx02)(1drmsttxTPTxdav022)(1Tttxtx

8、TR02112d)()(1)(信號的分類（信號的分類（6/136/13）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出非周期信號準周期信號非周期信號分為準周期信號和非周期信號。多個頻率成分疊加的信號，但頻率之比不是有理數(shù)，疊加后不存在公共周期。柴油機振動信號柴油機振動信號14信號的分類（信號的分類（7/137/13）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出一般非周期信號（瞬變非周期信號）一般非周期信號特點： 在有限時間段存在，或隨著時間的增加而幅值衰減至零的信號。如；電容放電、試件斷裂、衰減 振蕩信號等。15信號的分類（信號的分類（8/138/13）第1章 信

9、號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出 思思 考？考？某鋼廠減速機上測得的振動信號波形(測點3)如圖所示，其基本波形屬于何種信號？近似的看作為周期信號16信號的分類（信號的分類（9/139/13）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出(2)非確定性信號（隨機信號） 無法用明確的數(shù)學關系式表達 。其幅值、相位變化是不可預知的，所描述的物理現(xiàn)象是一種隨機過程。如分子熱運動，環(huán)境的噪聲等，分為平穩(wěn)隨機信號和非平穩(wěn)隨機信號。加工過程中螺紋車床主軸受環(huán)境影響的振動信號波形 17信號的分類（信號的分類（10/1310/13）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁

10、目錄返回退出2 連續(xù)信號和離散信號 根據(jù)信號的連續(xù)性分為連續(xù)時間信號和離散信號 。若信號的獨立變量取值連續(xù)，則是連續(xù)信號若信號的獨立變量取值離散，則是離散信號18信號的分類（信號的分類（11/1311/13）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出連續(xù)信號和離散信號示意圖19信號的分類（信號的分類（12/1312/13）t0連續(xù)信號連續(xù)信號t0離散信號離散信號第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出3 3 能量信號和功率信號能量信號和功率信號 能量信號：在所分析的區(qū)間（-，），能量有限值的信號，滿足條件： 功率信號： 若x(t)在區(qū)間（-，）的能量無限，

11、但在有限區(qū)間(-T/2,T/2)滿足平均功率有限的條件的信號。如周期信號、常值信號等。2/2/2)(1limTTTttxTd20信號的分類（信號的分類（13/1313/13）ttxTd)(12第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出1.2 1.2 信號的描述信號的描述（Signal Description） 信號的時域表述以時間作為獨立變量，反映信號幅值隨時間變化。 信號的頻域表述揭示信號的頻率結構特征。頻率作為獨立變量，反映信號各頻率成分的幅值和相位特征。 頻域頻譜分析 時域時域圖幅頻譜圖頻譜圖相頻譜圖21第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出1 1

12、 周期信號的描述周期信號的描述 周期信號可以利用展開成不同頻率的諧波信號的線性疊加。三角函數(shù)展開式復指數(shù)展開式22信號的描述（信號的描述（2/532/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出（1） 三角函數(shù)展開式 滿足狄里赫勒條件（區(qū)間分段單調(diào)、有有限個不連續(xù)點、滿足絕對可積）的周期信號可展開成: )sincos()(0010tnbtnaatxnnn)sin()(010nnntnAAtx三角函三角函數(shù)變換數(shù)變換23信號的描述（信號的描述（3/533/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出 ttxTaTTd)(12/2/0000ttntxTa

13、TTndcos)(202/2/000ttntxTbTTndsin)(202/2/000a0，an，bn為傅里葉系數(shù)；T0 為信號的周期，也是信號基波成分的周期；0=2/T0為信號的基頻, n0為n次諧頻；當x(t)為奇、偶函數(shù)時，可利用函數(shù)的正交特性求系數(shù)an，bn的值，可簡化計算。常值分量余弦分量幅值正弦分量幅值)sincos()(0010tnbtnaatxnnn參數(shù)含義如下：24信號的描述（信號的描述（4/534/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出 可將 、 代入：)sin()(010nnntnAAtx00aA 各諧波分量的幅值 22nnnbaA 各諧波分量

14、的初相角 參數(shù)含義如下：)arctan(nnnbannAnanbnnnAasinnnnAbcos由三角函數(shù)知（如圖）：常值分量nanb)sincos()(0010tnbtnaatxnnn25信號的描述（信號的描述（5/535/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出 例 題 例1.1 求方波的，并作出。 0220)(00t/TA/TtAtx1 1 信號表述2 2傅里葉級數(shù)展開5 5幅頻譜圖相頻譜圖3 3 用三角函數(shù)展開方法4 4 求傅里葉系數(shù))5sin513sin31(sin4)(000tttAtx結果26信號的描述（信號的描述（6/536/53）第1章 信號及其描述

15、上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出例題求解過程0220)(00tTATtAtx27 x(t) 在一個周期內(nèi)可表示為：0, 00naa因x(t)是奇函數(shù)，在對稱區(qū)間積分值為0，所以.6,4,20.5,3, 1)(4)2/cos(141)2/cos()2/cos(12coscos2dsindsin)(2dsin)(200000000002/00002/00002/02/00002/2/0000000nnnATnTnATnTnTnAntnntnTAttnAttnATttntxTbTTTTTTn信號的描述（信號的描述（7/537/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出

16、0 03 30 05 50 07 70 04A/4A/34A/54A/7An nn n0 030 050 07 70 0周期方波的幅頻與相頻特性圖28)5sin513sin31(sin4)(000tttAtx信號的描述（信號的描述（8/538/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出周期方波的時、頻域表述29信號的描述（信號的描述（9/539/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出課堂習題 求題圖1-1周期三角波的頻譜，并作頻譜圖。 202022)(TttTAAtTtTAAtx)(txT2T20 0 t t 30信號的描述（信號的描述（10

17、/5310/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出答案 若取 n次諧波分量的幅值 n次諧波分量的相位 )sin()(010nnntnAatx22224nAbaAnnn2arctannnnbatnnAAtxn0, 3 , 122cos142)(31信號的描述（信號的描述（11/5311/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出利用歐拉公式求傅立葉系數(shù)1tttjsinjcose)ee (21cosjjttt)ee (2jsinjjttt)sincos()(0010tnbtnaatxnnne )j(21e )j(21)(00jj10tnnntnn

18、nnbabaatx得代入得32信號的描述（信號的描述（12/5312/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出00aC )j(21nnnbaCttntxTaTTndcos)(202/2/000偶函數(shù).dcos)(202/2/000anTTnttntxTattntxTbTTnd02/2/0sin)(200奇函數(shù).dsin)(202/2/000bnTTnttntxTb*)(21)j(21nnnnnnCbabaCj令)j(21nnnbaC利用歐拉公式求傅立葉系數(shù)2 33信號的描述（信號的描述（13/5313/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出

19、)e()(0010tnntnnnCCCtxjje則tnnnC0je), 2, 1,0(e)(0nctxtnnnj 如何求？ncdtetxTctnjTTn022)(1利用歐拉公式求傅立葉系數(shù)3 34信號的描述（信號的描述（14/5314/53）)j(21nnnbaC2/2/0000dcos)(2TTnttntxTa0dsin)(22/2/0000TTnttntxTb第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出 Cn與an、bn 、An的關系)j(21nnnbaC一般情況下， 為復數(shù)?？蓪懗桑?21)(Im)(Re2222nnnnnnAbaCCC)arctan(ReImarctan

20、nnnnnabCCnC幅頻譜圖： | cn | 實頻譜圖： Recn 虛頻譜圖： Imcn 相頻譜圖：n 幾個譜圖nnnnnInRncbacccjej2121j35信號的描述（信號的描述（15/5315/53） 第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出三角函數(shù)展開與復指數(shù)展開的比較：q 復指數(shù)函數(shù)形式的頻譜為雙邊譜（從-到 +），三角函數(shù)形式的頻譜為單邊譜（從 0到+）q 兩種頻譜各諧波幅值之間存在如下關系： 00, 2/acAcnnq 雙邊幅值譜為偶函數(shù)，雙邊相位譜為奇函數(shù) nnnncc,q 一般周期函數(shù)的復指數(shù)傅氏展開式的實頻譜 總是偶對稱的，虛頻譜總是奇對稱的。 36

21、信號的描述（信號的描述（16/5316/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出用復指數(shù)展開式求頻譜總結(1), 2, 1,0(e)(0jnctxtnnn復指數(shù)展開式：如何求 ？幅頻譜圖： | cn | 相頻譜圖： n 實頻譜圖： Recn 虛頻譜圖： Imcn nc37信號的描述（信號的描述（17/5317/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出ttntxTaTTndcos)(202/2/000ttntxTbTTndsin)(202/2/0002221nnnbaCRecn=an/2Imcn= -bn/2)arctan(nnnab用復指數(shù)展

22、開式求頻譜總結(2)j(21nnnbaC1、通過三角函數(shù)展開式求得 。nc38信號的描述（信號的描述（18/5318/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出2、直接求得 。)j(21nnnbaC求出后，將其寫成如下形式：nc進而確定：2221nnnbaCRecn=an/2I Imcn= -bn/2)arctan(nnnab用復指數(shù)展開式求頻譜總結(3)ttxTctnTTnde)(10j2239信號的描述（信號的描述（19/5319/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出例：用復指數(shù)展開形式求周期方波頻譜，并作頻譜圖。 0220)(00t/

23、TA/TtAtx), 2, 1,0()(0jnctxtnnnettxTctnTTnd0j22e)(1幅頻譜圖： |cn| 實頻譜圖： Recn 虛頻譜圖： Imcn 相頻譜圖： n 用復指數(shù)展開式求頻譜例題（1）40信號的描述（信號的描述（20/5320/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出解：ttntntxTttxTcTTtnTTnd)sinj)(cos(1de)(12/2/0000j2/2/00000ttnTAcTTndsin2j2/2/000000c6, 4, 205, 3, 12j-nnnAcn)(為奇函數(shù)tx用復指數(shù)展開式求頻譜例題（2）41信號的描述（

24、信號的描述（21/5321/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出頻譜圖如何畫？tnnnAtx0je12j)( n=1、3,90)02arctan(,|2nAnACnnnACCnn2Im, 0Re用復指數(shù)展開式求頻譜例題（3）42信號的描述（信號的描述（22/5322/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出例：畫出余弦、正弦函數(shù)的實頻及虛頻譜圖。 求正、余弦頻譜（1）參數(shù)參數(shù)001001111/200-1/21/21/2tcostsin0ananb22nnnbaAnnnbaC5 . 0nRCnICnInRnCCC22nRC2/1nIC2/

25、1方方法法一一43信號的描述（信號的描述（23/5323/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出例：畫出余弦、正弦函數(shù)的實頻及虛頻譜圖。 解：)e(21cos000tttjje)(2sin000tttjjeejc-1 = 1/2，c1 = 1/2，cn = 0（n=0, 2, 3, ）c-1 = j/2，c1 = -j /2，cn = 0（n=0, 2, 3, ）求正、余弦頻譜（2）方方法法二二44信號的描述（信號的描述（2424/ /5353）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出1x(t)=cos0t0t1x(t)=sin0tt0cnR00

26、-01/21/2cnR00-000-01/2-1/2cnIcnI00-0|cn|00-01/21/2|cn|00-01/21/2An001An001單邊幅頻譜單邊幅頻譜雙邊幅頻譜雙邊幅頻譜45信號的描述（信號的描述（25/5325/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出1. 周期信號的頻譜是離散譜； 2. 每個譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上； 3. 工程上常見的周期信號，其諧波幅值隨諧波次數(shù)的增高而減小。因此，在頻譜分析中沒有必要取次數(shù)過高的諧波分量。 周期信號頻譜的特點4A 4A 34A 50A()03050幅幅值值譜譜46信號的描述（信號的描述（26/5326/

27、53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出2 2 非周期信號的描述非周期信號的描述47信號的描述（信號的描述（27/5327/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出非周期信號舉例 電容放電時電壓變化；激振力消除后的阻尼自由振動；靜態(tài)拉伸試件突斷時的件中應力等都是瞬變信號。 以下討論的非周期信號就指的是瞬變信號。瞬變信號的譜線不是離散的,在數(shù)學上不用傅里葉級數(shù),而用傅里葉積分 (變換) 來描述。瞬變信號的頻譜是連續(xù)頻譜。48信號的描述（信號的描述（28/5328/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出周期信號的頻譜是

28、離散的,譜線的頻率間隔為 , 當T 時,則譜線間隔 ,周期信號非周期信號。因而周期信號的離散頻譜就變成了非周期信號的連續(xù)頻譜。 傅里葉變換（積分）（1）T/200tnntnTTtnnnttxTCtx00000)e)(1)(2/2/0jjjede 當T 時,譜線間隔 , 離散變量 , 中的求和運算 就變成了積分運算,于是， d0n)(tx49信號的描述（信號的描述（29/5329/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出2d221,20TT傅里葉變換（積分）（2）d)d)(21(e )de )(2d)(jjttttttxttxtxeejj式中，這就是傅里葉積分。上式中括

29、號內(nèi)的積分,由于時間 t 是積分變量,所以積分后僅是 的函數(shù)并記作 ,即)(X50信號的描述（信號的描述（30/5330/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出傅里葉正逆變換式1dtetxXtj)()(deXtxtj)(21)(傅里葉變換傅里葉變換(FT)(FT)傅里葉逆變換傅里葉逆變換 (IFT)(IFT)記為：記為：x(t)X()FTIFT)()()()(1txFXXFtx51信號的描述（信號的描述（31/5331/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出ttxXtde)()(jf 2以代入X X( ( ) )：ttxfXftdje2)

30、()(ffXtxftdej2)()(有有用實、虛頻譜形式和幅、相頻譜形式寫為 )()()(Im)(Re)(ffXfXfXfXjej22)(Im)(Re)(fXfXfX)(Re)(Imanarct)(fXfXf傅里葉正逆變換式 2 252信號的描述（信號的描述（32/5332/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出周期信號的幅值譜與非周期信號的幅值譜的區(qū)別盡管非周期信號的幅頻譜 和周期信號的幅頻譜 很相似，但是兩者量綱不同。 為信號幅值的量綱，而 為信號單位頻寬上的幅值。所以 是頻譜密度函數(shù)。工程測試中為方便，仍稱為頻譜。 )( fXnCnC)( fX)( fX 是離

31、散的， 是連續(xù)的。nC)( fX53信號的描述（信號的描述（33/5333/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出2021)(TtTttw例題：求矩形窗函數(shù)的頻譜 tttwfWftTTftdedejj2222)()(fTfTTeeffTfTjjjsin2122)(sincfTTsinsinc1-T/2T/2tw(t)0定義抽樣信號：)(2 j1sintttjjee解：54信號的描述（信號的描述（34/5334/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出sinc函數(shù)特點：sinc 是偶函數(shù)；sinc 以2為周期并隨的增加作衰減震蕩。 sinc

32、在n（n=1, 2, ）處其值為0。矩形窗函數(shù)W(f)特點：W( f )為抽樣函數(shù)，是連續(xù)的，無限的；隨著頻率增高幅值減小,說明信號能量集中在低頻段；W(f)函數(shù)只有實部，沒有虛部。 W (f ) 中T 稱為窗寬。當T(脈沖持續(xù)時間)變小時,頻譜過零點的頻率提高,即衰減變慢,也就是頻帶加寬。抽樣函數(shù)與矩形窗函數(shù)特點：55信號的描述（信號的描述（35/5335/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出矩形窗函數(shù)譜圖W(f )T01 T1 Tf3 T3 T(f )01 T2 T3 T1 T2 T3 T2 T2 T56信號的描述（信號的描述（36/5336/53）第1章 信

33、號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出q 頻譜連續(xù)，幅值衰減。q|X()|與|cn|量綱不同。|cn|具有與原信號幅 值相同的量綱，|X()|是單位頻寬上的幅值 。q非周期信號頻域描述的基礎是傅氏變換。非周期信號頻譜的特點57信號的描述（信號的描述（37/5337/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出傅里葉變換的主要性質(zhì)表58)(0ffX)( tx )(fX )(*tx)(*fX)(*)(21txtx)()(21fXfX)()(tbytax)()(fbYfaX)()(21txtx)(*)(21fXfX)(tX)(fx )(ktx)(1kfXk)(0tt

34、x性性 質(zhì)質(zhì)時時 域域頻頻 域域性性 質(zhì)質(zhì)時時 域域頻頻 域域函數(shù)的奇函數(shù)的奇偶虛實性偶虛實性實偶函數(shù)實偶函數(shù)實偶函數(shù)實偶函數(shù)頻頻 移移實奇函數(shù)實奇函數(shù)虛奇函數(shù)虛奇函數(shù)翻翻 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)虛偶函數(shù)虛偶函數(shù)虛偶函數(shù)虛偶函數(shù)共共 軛軛虛奇函數(shù)虛奇函數(shù)實奇函數(shù)實奇函數(shù)時域卷積時域卷積線性疊加線性疊加頻域卷積頻域卷積對對 稱稱時域微分時域微分尺度改變尺度改變頻域微分頻域微分時時 移移積積 分分信號的描述（信號的描述（38/5338/53）tftx02je )(nnttxd)(d)(2 jfXfn)(2 jtxtnnnffXd)(dtttxd)(存在ffXfXf)(),(2 j102je )(ftfX第1章 信號

35、及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出1) 線性疊加性59若 )()()()(fbYfaXtbytax則當a，b為常數(shù)時，有：兩函數(shù)線性疊加的傅里葉變換可以寫成兩函數(shù)的傅里葉變兩函數(shù)線性疊加的傅里葉變換可以寫成兩函數(shù)的傅里葉變換的疊加換的疊加。對復雜信號的頻譜分析處理可分解為對一系列簡單信號的對復雜信號的頻譜分析處理可分解為對一系列簡單信號的頻譜分析處理。頻譜分析處理。x tX fy tY f( )( )( )( )信號的描述（信號的描述（39/5339/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出2）對稱性質(zhì)由已知的傅里葉變換對，可求得逆向相應的變換對。由已知

36、的傅里葉變換對，可求得逆向相應的變換對。若x t ( )的傅里葉變換為 ,即：)()(fXtx則 Xtxf()()證明：互換t和f得：故有： X(t)x(-f)60信號的描述（信號的描述（40/5340/53）)(fXffXtxftjde )()(2fefXtxftd)()(2jttXfxftjde )()(2第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出 式 表明傅里葉正變換與逆變換之間存在著對稱關系,即信號的波形與信號頻譜函數(shù)的波形有著互相置換的關系。 利用這個性質(zhì), 可以根據(jù)已知的傅里葉變換得出相應的變換對,免去了煩雜的數(shù)學推導過程。下圖是對稱性應用舉例。對稱性質(zhì)說明對稱性

37、質(zhì)說明x tX f( )( )61信號的描述（信號的描述（41/5341/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出對稱性圖示對稱性圖示62信號的描述（信號的描述（42/5342/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出3 3）奇偶虛實性）奇偶虛實性 （A A） 一般是實變量的復變函數(shù)。利用歐拉公式 63X f ( )22cos(2ftftftjej)()()2sin()()2cos()()()(2fXfXtfttxtfttxttxfXIftjdjddeRj將式ttxfXftdej2)()(寫為：信號的描述（信號的描述（43/5343/53）第

38、1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出3 3）奇偶虛實性）奇偶虛實性 （B B）)( fXI時域時域?qū)嵅繉嵅刻摬刻摬款l域頻域?qū)嵟紝嵟?實偶實偶實奇實奇0虛奇虛奇虛偶虛偶0虛偶虛偶虛奇虛奇0實奇實奇)()()(e)2cos()()(fXfXfXtfttxfXRd)()()()2cos()()(fXfXfXtfttxfXRed)()()(2sin)()(fXfXfXtfttxfXjImdj)()()(m2sin)()(fXfXfXtfttxfXjIdj)( fXR64信號的描述（信號的描述（44/5344/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出4）時

39、間尺度改變性質(zhì)(推導)0()(1)(kkfXkktx在信號x(t) 幅值不變的條件下，若)(1)()(1)()(22kfXkktktxkttxktkfftdedejj即：時域時間變量增大k倍，則頻域的頻率和幅值 均縮小k倍。證明：當信號x(t) 的時間尺度變?yōu)?kt 時，有)()(fXtx65信號的描述（信號的描述（45/5345/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出4）時間尺度改變性質(zhì)00000066信號的描述（信號的描述（46/5346/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出時間尺度改變性質(zhì)應用 時間尺度改變性質(zhì)說明：時域時間變量增

40、大k倍，則頻域的頻率和幅值均縮小k倍 圖(c)表明當時間尺度壓縮(k 1)時,頻譜的頻帶變寬,幅值變低；圖(a)為時間尺度擴展( k 1)時,其頻譜的頻帶變窄,幅值增高。 應用磁帶機作擴展時間軸和壓縮時間軸的譜分析時,此特性很有實用價值。若磁帶慢錄快放,時間尺度壓縮,時域波形變窄,分析結果頻帶加寬,幅值降低,信號處理效率高,頻率分辨率高；若磁帶快錄慢放,則時間尺度擴展,時域波形變寬,結果頻帶變窄,幅值增高,信號處理效率低,頻率分辨率低。67信號的描述（信號的描述（47/5347/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出5）時移性質(zhì) 此性質(zhì)表明，在時域中信號沿時間軸平移

41、一個常值此性質(zhì)表明，在時域中信號沿時間軸平移一個常值t0 0時，頻譜函數(shù)將乘因子時，頻譜函數(shù)將乘因子 ，即只改變相頻譜，即只改變相頻譜，不會改變幅頻譜。不會改變幅頻譜。02jfte把時域信號延時把時域信號延時 t0 0 時，時， 則其頻域相移則其頻域相移02 ftx tX f( )( )若 把時域信號沿時間軸平移一常值 ，則其頻域引起相應的相移 t020ft即 證明： 020)()(ftfXttxje00)0202(2020)()()()(ftftttfftfXttttxttxjjjjedeee68信號的描述（信號的描述（48/5348/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目

42、錄返回退出(c) 時移的時域矩形窗時移的時域矩形窗 (d) 圖圖(c)對應的幅頻和相頻特性曲線對應的幅頻和相頻特性曲線 時移性質(zhì)舉例時移性質(zhì)舉例（a）時域矩形窗）時域矩形窗圖（圖（a）對應的幅頻和相頻特性曲線）對應的幅頻和相頻特性曲線00000069信號的描述（信號的描述（49/5349/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出6）頻移性質(zhì)tftxffX020)()(je0f若 為常數(shù)，則：tftftfffttxfffXfffXffX00022)(202001)()()()(jjjjedeedeF若頻譜沿頻率軸平移一個常值若頻譜沿頻率軸平移一個常值 , , 對應的時域

43、函對應的時域函數(shù)將乘因子數(shù)將乘因子tf02je0f即70信號的描述（信號的描述（50/5350/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出7）微分和積分特性 微分性質(zhì) ffXtxftd)()(2jeffXfttxftd)(2d)(d2jej)(2 jd)(dffXttx若)()2()(fXfttxnnnjdd積分性質(zhì) ttttxfFtxFtttxd)(2 j)(d)(ddF)(j21)(fXfttxtdF)()(j21d)(d)(fXfttXttxnntF在振動測試中，如果測得位移、速度或加速在振動測試中，如果測得位移、速度或加速度中任一參數(shù)度中任一參數(shù), ,便可用傅里

44、葉變換的微積分特便可用傅里葉變換的微積分特性求其它參數(shù)的頻譜。性求其它參數(shù)的頻譜。 如何應用？如何應用？71信號的描述（信號的描述（51/5351/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出8）卷積特性 如何應用？如何應用？時移特性時移特性72信號的描述（信號的描述（52/5352/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出例題 已知信號的頻譜為 ，利用傅立葉變換的性質(zhì)求 以下函數(shù)的頻譜： 1） ； 2） ； 3） ； 4） ； 73faAfX2 j)()()(txtx)4( txtftx02j)( e)(0ttx222 j)()()(faAfX

45、txtx解：faAfaAfXtx2 j44/2 j41)4/(41)4()(2 j)()(002j0ffaAffXtxtfe002j2j02 j)()(ftfteftaAfXttxe信號的描述（信號的描述（53/5353/53）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出1.3 幾種典型信號的頻譜 （several typical signals spectrum）1 單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)( (函數(shù)函數(shù)) ) 的頻譜的頻譜（1） 函數(shù)定義)0(0)0()(lim)(0tttt1d)(d)(limd)(lim00tttttt且其面積（強度）： /201/t(t)0t(t)74

46、第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出（2） 函數(shù)的性質(zhì) 1)函數(shù)的采樣性質(zhì) )()0()()(txttx)()()()(000tttxtttx2)篩選性 )0(d)()0(d)()(xttxtttx)(d)()(d)()(0000txttttxttttx篩選結果為x(t)在發(fā)生函數(shù)位置的函數(shù)值(又稱為采樣值) 3)卷積性 )(d)( )()()(txtxttx)(d )( )()()(000ttxttxtttx幾種典型信號的頻譜（幾種典型信號的頻譜（2/172/17）75第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出 函數(shù)與其他函數(shù)的卷積示例函數(shù)與其他函數(shù)

47、的卷積示例 (t)0t1x(t)0tA0tAx(t) (t)(tt0)0tx(t)0t0t(t+t0)(t-t0)x(t) (t t 0)-t0t0-t0t076幾種典型信號的頻譜（幾種典型信號的頻譜（3/173/17）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出（3） 函數(shù)的頻譜 對(t)取傅里葉變換 1ede )( )(02 j2 jfftttfftftde1)(2j函數(shù)具有等強度、無限寬廣的頻譜，這種頻譜常稱為“均勻譜”。 函數(shù)是偶函數(shù)，即 ，則利用對稱、時移、頻移性質(zhì)，還可以得到以下傅里葉變換對 )()()()(fftt、02j0e)(fttt)(e02j0fftf0t

48、(t)10f(f )177幾種典型信號的頻譜（幾種典型信號的頻譜（4/174/17）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出（各頻率成分分別移相（各頻率成分分別移相2 ft0） (t t0) (f) （單位脈沖譜線）（單位脈沖譜線） 1 （幅值為（幅值為1的直流量）的直流量） 1 （均勻頻譜密度函數(shù)）（均勻頻譜密度函數(shù)） (t) （單位瞬時脈沖）（單位瞬時脈沖） 頻頻 域域 時時 域域 02jefttf02je)(0ff 單位脈沖函數(shù)的時、頻域關系78幾種典型信號的頻譜（幾種典型信號的頻譜（5/175/17）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出2 矩

49、形窗函數(shù)和常值函數(shù)的頻譜 （1）矩形窗(rectangle window)函數(shù)的頻譜222j2jede)()(TTftfttttwfWdfTfTTffTfTsinee2 j1jj)(sincfTT79幾種典型信號的頻譜（幾種典型信號的頻譜（6/176/17）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出W(f )T01T1Tf3T3T(f )01T2T3T1T2T3T2T2T1-T/2T/2tw(t)080幾種典型信號的頻譜（幾種典型信號的頻譜（7/177/17）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出（2）常值函數(shù)(又稱直流量) 的頻譜 幅值為1的常值函數(shù)的

50、頻譜為 f = 0處的函數(shù)。)(e020fftfj 當矩形窗函數(shù)的窗寬 T 趨于無窮時，矩形窗函數(shù)就成為常值函數(shù)，其對應的頻域為函數(shù)。81幾種典型信號的頻譜（幾種典型信號的頻譜（8/178/17）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出（3）指數(shù)(exponent)函數(shù)的頻譜雙邊指數(shù)衰減函數(shù) 22j2j2j20j202j)2(j4)j2(1)j2(10)j2(ee0)j2(eedeedeede )()(faffafafafattttxfXftatftatftatftatft其傅里葉變換為 )0, 0(e)0, 0(e)(tatatxatat82幾種典型信號的頻譜（幾種典型信

51、號的頻譜（9/179/17）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出單邊指數(shù)衰減函數(shù)及其頻譜 83幾種典型信號的頻譜（幾種典型信號的頻譜（10/1710/17）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出（4） 符號(sign)函數(shù)和單位階躍(unit step)函數(shù)的頻譜符號函數(shù)的頻譜符號函數(shù)可以看作是雙邊指數(shù)衰減函數(shù)當a 0時的極限形式，即：ffafadttefXaaftataftataj)j2(1lim)j2(1limeelimdelim)(00j200j200)0, 0(elim1)0, 0(elim1)(00tatatxataata84幾種典型信號

52、的頻譜（幾種典型信號的頻譜（11/1711/17）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出單位階躍函數(shù)的頻譜單位階躍函數(shù)可以看作是單邊指數(shù)衰減函數(shù)a 0時的極限形式。fefatttxfXtfaaftataft2jj21limdeelimde )()(0)j2(00j20j2)0, 0(elim1)0(0)(0tattxata85幾種典型信號的頻譜（幾種典型信號的頻譜（12/1712/17）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出單位階躍函數(shù)及其頻譜 01tx(t)0X(t)1186幾種典型信號的頻譜（幾種典型信號的頻譜（13/1713/17）第1章 信號

53、及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出（5）正余弦(sine/cosine)函數(shù)的頻譜密度函數(shù) 正余弦函數(shù)不滿足絕對可積條件，不能直接對之進行傅里葉變換。由歐拉公式知：tftftftftftf0000j2j20j2j20ee212cosee2j2sin)()(212cos)()(2j2sin000000fffftffffftfFF87幾種典型信號的頻譜（幾種典型信號的頻譜（14/1714/17）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出1/21/20fReX(f)-f0f01/2-1/20fImX(f)-f0f00tsin2f0t0tcos2f0t88幾種典型信號的

54、頻譜（幾種典型信號的頻譜（15/1715/17）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出（6）梳狀(comb)函數(shù)（等間隔的周期單位脈沖序列）的頻譜 nnTtTt)(),(combssTs為周期；n為整數(shù)。梳狀函數(shù)為周期函數(shù)。表示成傅里葉級數(shù) ktkfkCTtsj2se),(comb22j2ssssde ),(comb1TTtkfktTtTCs（fs = 1 / Ts）因為在（-Ts /2，Ts /2）區(qū)間內(nèi)只有一個函數(shù)(t)，故s22j2s1de )(1ssTttTCTTtkfks89幾種典型信號的頻譜（幾種典型信號的頻譜（16/1716/17）第1章 信號及其描述上頁

55、下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出ktkfsTTtj2sse1),(comb從而 kskffTTtff)(1),(comb),(COMBsssF所以 kTkfT)(1ss即梳狀函數(shù)的頻譜也為梳狀函數(shù)，且其周期為原時域周期的倒數(shù)（1/Ts），脈沖強度為1/Ts。 .comb(t,Ts)10Ts2Ts-Ts-2Ts.COMB(f,fs)1/Ts01Ts2Ts 1 Ts2Ts90幾種典型信號的頻譜（幾種典型信號的頻譜（17/1717/17）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出1 1 隨機過程的概念及分類隨機過程的概念及分類 隨機信號是非確定性信號,其特點為： （1）時間函數(shù)不能用精確的數(shù)學關系式來描述； （2）不能預測它未來任何時刻的準確值； （3）每次觀測結果都不同，但重復試驗可以看到它具有統(tǒng)計規(guī)律性，因而可用概率統(tǒng)計方法來描述和研究。隨機過程的相關概念隨機現(xiàn)象：產(chǎn)生隨機信號的物理現(xiàn)象；911.4 隨機信號的描述（ Description of the Random Signal ）第1章 信號及其描述上頁 下頁目錄返回上頁 下頁目錄返回退出隨機過程的的相關概念（1） 樣本函數(shù)：隨機現(xiàn)象的單個時間歷程，即對隨機信號按時 間歷程所作的各次長時間觀測記錄。記作x