《新課標(biāo)下優(yōu)化初中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的研究》之研究報(bào)告

1、優(yōu)化思想方法教學(xué)，提升初中生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)-“新課標(biāo)下優(yōu)化初中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的研究”之研究報(bào)告執(zhí)筆：周利寧課題類別：東莞市普教系統(tǒng)“十二五”教育科研規(guī)劃課題課題立項(xiàng)編號(hào)：MSKT11013課題名稱：新課標(biāo)下優(yōu)化初中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的研究課題承擔(dān)單位：東莞市初中數(shù)學(xué)名師工作室課題主持人：周利寧本課題在本工作室全體成員和入室跟崗學(xué)員的共同努力下，通過一年半的深入學(xué)習(xí)和研究，取得了較好的成果，基本達(dá)到課題組預(yù)期的目標(biāo)，現(xiàn)按結(jié)題規(guī)范將本課題的研究工作報(bào)告如下：1 研究背景全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2001年實(shí)驗(yàn)稿）要求“課程內(nèi)容它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)論，也應(yīng)包括數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過程和數(shù)學(xué)思想方法”，要“使

2、學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，得到必要的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）進(jìn)一步提高了對(duì)“數(shù)學(xué)思想”的教學(xué)要求，具體的體現(xiàn)是：數(shù)學(xué)課程的總目標(biāo)由原來的“三基”變成了“四基”，即數(shù)學(xué)課程要使學(xué)生能“獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基本知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，要能“運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”，要求學(xué)生在“數(shù)學(xué)思考”方面“學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式”。新的課程標(biāo)準(zhǔn)指出“（教師）在教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)活動(dòng)組織中，應(yīng)同時(shí)兼顧這四個(gè)方面的目標(biāo)。這些目標(biāo)

3、的整體實(shí)現(xiàn)，是學(xué)生受到良好數(shù)學(xué)教育的標(biāo)志，它對(duì)學(xué)生的全面、持續(xù)、和諧發(fā)展有著重要的意義”。東莞課改雖已走過了十二個(gè)年頭，但我們?cè)谌薪萄谢顒?dòng)中發(fā)現(xiàn)，課程標(biāo)準(zhǔn)中要求把握數(shù)學(xué)思想方法的呼吁并沒引起足夠的重視。課堂教學(xué)中仍然只注重知識(shí)的傳授和大量的訓(xùn)練，而忽視知識(shí)發(fā)生和發(fā)展過程中數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。以下代表性言論，是我們?cè)诠ぷ魇揖W(wǎng)絡(luò)研討中摘錄下來的：劉××：我們的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該是有思想的數(shù)學(xué)課堂，但平時(shí)我們都沒有好好的去思考每節(jié)課到底用了什么數(shù)學(xué)思想方法，或者我們用了很多數(shù)學(xué)思想方法，但我們并不知道這些具體是什么思想方法。蔡××：以前的教學(xué)中，的確忽視了數(shù)學(xué)思想

4、。雖然進(jìn)行了大量訓(xùn)練，但學(xué)生的思維品質(zhì)和思維能力沒有得到提升，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)和聯(lián)系沒有整體認(rèn)知，解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題時(shí)仍然是一籌莫展。在今后的教學(xué)中，我一定要注重思考如何有效的滲透數(shù)學(xué)思想方法來進(jìn)行教學(xué)，這才是讓學(xué)生一輩子受益的東西。陳××、劉××：對(duì)于“概念教學(xué)中如何使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法”在前幾年的教學(xué)中真的沒去深思過，認(rèn)為概念讓學(xué)生理解一下就行了。在以后的教學(xué)中，我們知道要注重概念教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法了。在上述背景下，激起了我們對(duì)本課題研究的興趣。2 課題界定2.1 思想：是指客觀事物反映在人的意識(shí)之中經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果（如觀念、想

5、法等）2.2 數(shù)學(xué)思想：是指客觀世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識(shí)之中，經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果，是對(duì)數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容及其相互聯(lián)系的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓，是數(shù)學(xué)地觀察事物的態(tài)度或觀念。2.3 方法：一般是指為了獲得某種東西或達(dá)到某種目的而采取的手段、途徑、步驟與行為方式。它在哲學(xué)、科學(xué)及生活中有著不同的解釋。2.4 數(shù)學(xué)方法：是指用數(shù)學(xué)語言表述事物的狀態(tài)、關(guān)系和過程，并加以推導(dǎo)、演算和分析，以形成對(duì)問題的解釋、判斷和預(yù)言的方法。具體地說，數(shù)學(xué)方法是指數(shù)學(xué)本身的論證、運(yùn)算以及應(yīng)用的手段，或者說是解決問題的策略或程序。2.5 數(shù)學(xué)思想方法：嚴(yán)格地說，數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法是有區(qū)別的，前者是數(shù)

6、學(xué)的靈魂，后者是數(shù)學(xué)的行為，但后者又是前者的具體反映，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程就是感性認(rèn)識(shí)不斷積累的過程，當(dāng)這種積累達(dá)到一定量時(shí)就產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍，從而上升為數(shù)學(xué)思想。若把數(shù)學(xué)知識(shí)看作是根據(jù)一幅設(shè)計(jì)藍(lán)圖而建筑起來的一座美麗的大廈，那么數(shù)學(xué)方法就相當(dāng)于建筑施工的技術(shù)和手段，而這張藍(lán)圖就相當(dāng)于數(shù)學(xué)思想了。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，人們一般不將數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法嚴(yán)格區(qū)分開來，籠統(tǒng)地稱為數(shù)學(xué)思想方法。2.6 初中數(shù)學(xué)思想方法：是指數(shù)學(xué)思想方法中最基礎(chǔ)、最核心、應(yīng)用最廣泛的那幾種，如數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸轉(zhuǎn)化、整體思想、方程思想、函數(shù)思想、類比思想、建模思想等等。2.7 優(yōu)化：是指為了更加優(yōu)秀而去其糟粕或

7、放棄其他不太重要的方面。2.8 優(yōu)化教學(xué)：是指為了更好地達(dá)成教學(xué)目標(biāo)而在教學(xué)方法或教學(xué)策略上作出的優(yōu)化選擇3 研究目標(biāo)通過本課題的研究，我們要進(jìn)一步明析初中數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵與外延，探索初中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的優(yōu)化策略，研究如何通過初中數(shù)學(xué)思想方法的優(yōu)化教學(xué)促進(jìn)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的減負(fù)增效。在研究的過程中，產(chǎn)生豐富的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)案例。4 研究內(nèi)容數(shù)學(xué)思想方法的涵義，初中數(shù)學(xué)思想方法有哪些？教學(xué)中如何把握數(shù)學(xué)思想方法？如何優(yōu)化初中數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)以實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效？設(shè)計(jì)并積累豐富的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)案例，為廣大初中數(shù)學(xué)教師提供具有操作性、參考性的教學(xué)范例。研究的重點(diǎn)是“初中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的優(yōu)化策略”研

8、究的難點(diǎn)是“優(yōu)化初中數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)以實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效”5 理論依據(jù)5.1 元認(rèn)知遷移理論（Metacognitive transport theory）元認(rèn)知（metacognition）是指有關(guān)個(gè)體認(rèn)知過程的知識(shí)，負(fù)責(zé)對(duì)個(gè)體的認(rèn)知過程進(jìn)行監(jiān)控、調(diào)節(jié)和協(xié)調(diào)。認(rèn)知策略的訓(xùn)練要達(dá)到可以在多種情境中遷移的程度，一個(gè)重要的條件是學(xué)習(xí)者有相當(dāng)?shù)脑J(rèn)知水平。如果個(gè)體不具備元認(rèn)知能力，不了解策略的使用范圍，不能對(duì)策略的使用過程進(jìn)行監(jiān)控并在必要時(shí)做出修正，則無法對(duì)已學(xué)過的策略做出恰當(dāng)遷移。個(gè)體在元認(rèn)知上的缺陷，會(huì)導(dǎo)致學(xué)習(xí)和遷移方面出現(xiàn)諸多問題。元認(rèn)知遷移理論主張學(xué)習(xí)者需掌握學(xué)科的一般原理或思想、專門領(lǐng)域的技能

9、、以及更為精細(xì)的信息加工過程和策略，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者應(yīng)是他們所擁有的一般和特殊知識(shí)的管理者。5.2 認(rèn)知結(jié)構(gòu)理論（Cognitive structure theory）學(xué)習(xí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)理論告訴我們,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個(gè)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展變化過程在數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,存在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法、心理狀況三種主要因素,這個(gè)過程是通過同化和順應(yīng)兩種方式實(shí)現(xiàn)的。所謂同化,就是學(xué)生把新的數(shù)學(xué)知識(shí)納入到自身原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去,這種納入不是簡單的 機(jī)械的囫圇吞棗式地?cái)z入,而是把新的數(shù)學(xué)材料進(jìn)行加工改造,使之與原來的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)相適應(yīng)。所謂順應(yīng),是指學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能有效地同化新的學(xué)習(xí)材料時(shí),學(xué)生將調(diào)整或改造原

10、來的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)去適應(yīng)新的學(xué)習(xí)材料。教學(xué)的實(shí)踐和實(shí)驗(yàn)研究表明：采取一定手段有意地控制學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)（如有效地納入數(shù)學(xué)思想方法），提高認(rèn)知結(jié)構(gòu)的可利用性、穩(wěn)定性與清晰性，以及可辨別程度等，對(duì)于有效的學(xué)習(xí)和解決問題是有作用的。5.3 最優(yōu)控制理論（optimal control theory）它是現(xiàn)代控制理論的一個(gè)主要分支，著重于研究使控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化的基本條件和綜合方法。即對(duì)一個(gè)受控的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)或變化過程，從一類允許的控制方案中找出一個(gè)最優(yōu)的控制方案，使系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)變化在由某個(gè)初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到指定的目標(biāo)狀態(tài)的同時(shí)，其性能指標(biāo)值為最優(yōu)。這個(gè)理論主張：要研究整個(gè)系統(tǒng)，利用反饋原理，以最少的消

11、耗，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化的調(diào)控，獲得最佳的效果。按這個(gè)理論分析，在教學(xué)過程中，教師要掌握教和學(xué)的平衡，及時(shí)注意教學(xué)信息的反饋，以便進(jìn)行調(diào)控，實(shí)現(xiàn)教學(xué)過程的最優(yōu)化。6 研究意義6.1 數(shù)學(xué)的思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容之一，學(xué)生只有領(lǐng)會(huì)了數(shù)學(xué)思想方法，才能有效地應(yīng)用知識(shí)，形成能力。優(yōu)化初中數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，將這些蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)概念、公式、法則、公理、定理之中的深層知識(shí)由暗變明，使師生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的朦朧感受轉(zhuǎn)變?yōu)槊魑?、理解和掌握，提升初中生的思維品質(zhì),促使學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力，對(duì)培養(yǎng)和提高學(xué)生素質(zhì)大有益處?，F(xiàn)行的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，比較強(qiáng)調(diào)“多練”，學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)沉重。如果我們能像北京的

12、孫維剛大師那樣，能夠有效地向?qū)W生傳授并讓學(xué)生深該地體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，則可以實(shí)現(xiàn)“減負(fù)增效”的目的。6.2 布魯納說：“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)。所謂基本結(jié)構(gòu)，就是基本的、統(tǒng)一的觀點(diǎn)，或者是一般的、基本的原理。學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的”?！皵?shù)學(xué)思想方法”作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一般原理的重要組成部分，優(yōu)化對(duì)其的教學(xué)，符合布魯納的基本結(jié)構(gòu)學(xué)說。日本著名的數(shù)學(xué)教育家米山國藏說：“我搞了多年的數(shù)學(xué)教育，發(fā)現(xiàn)學(xué)生們?cè)诔踔?、高中接受的?shù)學(xué)知識(shí)因畢業(yè)了進(jìn)入社會(huì)后，幾乎沒有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用這些作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，所以通常是出校門不到一、兩年就很快忘掉了。然而，不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，惟有

13、深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神，數(shù)學(xué)的思維方法，研究方法和著眼點(diǎn)等，都隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終生?！蔽覈臄?shù)學(xué)教育家徐利治教授說：“不懂得數(shù)學(xué)思想方法的教師不是一個(gè)稱職的教師”。6.3 該課題研究的理論價(jià)值:使我們明晰了對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，知道數(shù)學(xué)思想方法有“兩大基石”、“兩大支柱”和“兩大主梁”?！皟纱蠡奔粗浮胺?hào)化與變?cè)硎舅枷搿焙汀凹纤枷搿?；“兩大支柱”即指“?duì)應(yīng)思想”和“公理化與結(jié)構(gòu)思想”；“兩大主梁”即指“系統(tǒng)與統(tǒng)計(jì)思想”和“化歸與辯證思想”；澄清了一些模糊認(rèn)識(shí)。該課題研究的重要階段成果及結(jié)題報(bào)告進(jìn)一步佐證了一些現(xiàn)代教學(xué)理論，豐富和發(fā)展了有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法優(yōu)化教學(xué)的方法體

14、系。6.4 該課題研究的應(yīng)用價(jià)值：課題研究的結(jié)題報(bào)告，特別是課題研究形成的四個(gè)冊(cè)子，即教學(xué)設(shè)計(jì)集、課例分析集、教學(xué)反思集和思想方法論文集對(duì)廣大中小學(xué)數(shù)學(xué)教師在高效課堂、素質(zhì)教育、提高學(xué)生思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面有較好的參考意義。7 研究方法與過程本課題采用的研究方法主要有:文獻(xiàn)研究法；調(diào)查研究法；專題研究法；案例研究法；行動(dòng)研究法；研究的過程可分為以下四個(gè)階段第一階段：調(diào)查和文獻(xiàn)研究階段，這個(gè)階段主要解決了兩個(gè)問題，一是通過文獻(xiàn)研究明析初中數(shù)學(xué)思想方法的概念和意義；二是調(diào)查研究初中生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的了解、掌握和應(yīng)用的情況。這個(gè)階段起于2011年5月，止于2011年7月。通過調(diào)查研究,我們發(fā)現(xiàn):（

15、1）對(duì)于初中階段幾個(gè)常見的數(shù)學(xué)思想方法，如果提供問題情境、解答和供選答案，并且是多項(xiàng)選擇，答對(duì)其中一個(gè)就算正確，學(xué)生回答的通過率還比較高；如果提供問題情境、解答和供選答案，并且是單項(xiàng)選擇，學(xué)生正確回答的通過率就較低；如果只提供問題情境和解答，讓學(xué)生指出解答中用了哪個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生正確回答的通過率就極低；（2）對(duì)于一個(gè)新問題，即使有提示和啟發(fā)，大多數(shù)學(xué)生也不能用指定的數(shù)學(xué)思想方法去解決問題；如果沒有提示和啟發(fā)，幾乎沒有學(xué)生能夠自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法去解決新問題；（3）多數(shù)老師尚未充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想教學(xué)的重要性，不能有計(jì)劃、有目的、有策略的滲透和優(yōu)化數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。第二階段：專題和案例研究階

16、段，在這個(gè)階段，我們將課題分成四個(gè)小專題，分別解決好（1）概念教學(xué)中如何促使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法？（2）法則、定理、公式的教學(xué)中如何揭示數(shù)學(xué)思想方法？（3）解題教學(xué)中如何應(yīng)用與提煉數(shù)學(xué)思想方法？（4）章節(jié)復(fù)習(xí)中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的優(yōu)化策略；這個(gè)階段起于2011年9月，止于2012年7月。在這個(gè)階段，我們共開展了6節(jié)專題研討課，11節(jié)示范課，24節(jié)匯報(bào)課，主題都是“優(yōu)化初中數(shù)學(xué)思想方法的策略研究”；開設(shè)了4次專家指導(dǎo)講座和2次科研培訓(xùn)，我室承辦的東莞市第四期名師大講堂的主題是“突出思想方法，提高教學(xué)效益”；通過研究，我們積累了教學(xué)設(shè)計(jì)119份，學(xué)案設(shè)計(jì)106份，課件100個(gè)，試卷86份，案例分析3

17、9份，教學(xué)反思169份，研討心得17篇，教學(xué)論文66篇。第三階段：整理研究成果階段，在這個(gè)階段，主要是整理前一階段研究過程中形成和積累下來的教學(xué)設(shè)計(jì)、課例分析、教學(xué)反思、教學(xué)論文和心得，形成優(yōu)化初中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)設(shè)計(jì)集、課例分析集、思想方法論文集和教學(xué)反思集。同時(shí)，還對(duì)課題研究進(jìn)行了查漏補(bǔ)缺。這個(gè)階段起于2012年9月，止于2012年12月。第四階段：準(zhǔn)備結(jié)題階段，在這個(gè)階段，主要是撰寫結(jié)題報(bào)告，這個(gè)階段起于2013年1月，止于2013年2月。8 研究成效8.1 提高了理論認(rèn)識(shí)（1）知道數(shù)學(xué)思想方法有“兩大基石”、“兩大支柱”和“兩大主梁”?！皟纱蠡奔粗浮胺?hào)化與變?cè)硎舅枷搿焙汀凹纤?/p>

18、想”；“兩大支柱”即指“對(duì)應(yīng)思想”和“公理化與結(jié)構(gòu)思想”；“兩大主梁”即指“系統(tǒng)與統(tǒng)計(jì)思想”和“化歸與辯證思想”；通過該課題的研究，提高了課題參與者對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，澄清了一些模糊認(rèn)識(shí)。（2）升華觀點(diǎn)并提高了對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的關(guān)注度。老師們?cè)趥湔n時(shí)，能自覺地對(duì)教材內(nèi)容中的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行挖掘，在教學(xué)設(shè)計(jì)中能充分考慮數(shù)學(xué)思想方法的安排，在課堂教學(xué)時(shí)能自覺地適時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想方法。在教學(xué)研究中，“數(shù)學(xué)思想方法”成為了我們的研究重點(diǎn)和熱點(diǎn)，一年多來，老師們?yōu)榇藢懗隽嗽S多高質(zhì)量的教學(xué)論文，其中有17篇獲獎(jiǎng)或發(fā)表（見附1），這為后來形成初中數(shù)學(xué)思想方法論奠定了較好的基礎(chǔ)。無形之中，老師們的教學(xué)研究水平也

19、得到了大幅提高，在2012年東莞市中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究會(huì)論文評(píng)比中，我工作室36名教師上交論文16篇，就有13名教師的論文獲獎(jiǎng)。8.2 形成了四個(gè)冊(cè)子我們?cè)谘芯窟^程中注重積累和整理，形成了階段性研究成果：教學(xué)設(shè)計(jì)集、課例分析集、初中思想方法論文集和教學(xué)反思集，這四個(gè)冊(cè)子記錄了我們?cè)谡n題研究中的心得、觀點(diǎn)和主張。8.3 提煉了優(yōu)化策略我們根據(jù)以下四種情況，分別提出了針對(duì)性的優(yōu)化數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略，簡介如下：8.3.1 概念教學(xué)中如何促使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法？（1）優(yōu)化策略數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實(shí)世界中空間形式和數(shù)量關(guān)系及其本質(zhì)屬性在人腦中的反映，人們先通過感覺、知覺對(duì)客觀事物形成感性認(rèn)識(shí)，再經(jīng)過分析比較、

20、抽象概括等一系列思維活動(dòng)，抽取事物的本質(zhì)屬性才形成概念。因此，概念教學(xué)不應(yīng)只是簡單的給出定義，而要引導(dǎo)學(xué)生感受及領(lǐng)悟隱含于概念形成之中的數(shù)學(xué)思想。我們的策略是以下的七步教學(xué)法：刺激嘗試矯正定義強(qiáng)化應(yīng)用納入，具體如下：步驟師生活動(dòng)思想方法的滲透或領(lǐng)悟刺激意識(shí)教師提供概念的正例或問題情境，豐富學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)。將數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在刺激材料中，如提供的材料便于數(shù)形結(jié)合、建模等等。嘗試抽象概括教師組織學(xué)生觀察與思考、分析與討論在某種特定的數(shù)學(xué)思想方法背景下組織學(xué)生觀察與思考、分析與討論，有時(shí)還需應(yīng)用特定的思想方法幫助學(xué)生抽象概念。教師矯正教師給反例，引導(dǎo)學(xué)生步步逼近概念的本質(zhì)給出定義教師板書，學(xué)生讀記，圈關(guān)

21、鍵字詞強(qiáng)化概念學(xué)生舉正例或試做概念辨析題應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法將對(duì)象與概念的本質(zhì)作比照應(yīng)用概念應(yīng)用概念解答數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題在循序漸進(jìn)的較長時(shí)期里指導(dǎo)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)思想方法納入認(rèn)知結(jié)構(gòu)學(xué)生自我管理、自主構(gòu)建用數(shù)學(xué)思想貫通知識(shí)之間的聯(lián)系（2）案例與分析 見附28.3.2 法則、公式、定理的教學(xué)中如何揭示數(shù)學(xué)思想方法？（1）優(yōu)化策略數(shù)學(xué)法則、公式、定理等結(jié)論的取得，都是數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用的結(jié)果。要讓學(xué)生親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律探究活動(dòng)中所經(jīng)歷和應(yīng)用到的充滿活力的數(shù)學(xué)思想和方法。我們的策略是以下的五步教學(xué)法：呈現(xiàn)問題情境探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律證明評(píng)價(jià)規(guī)律應(yīng)用推廣規(guī)律小結(jié)與整理，具體如下：步驟師生活動(dòng)思想方法的滲透或領(lǐng)悟呈現(xiàn)問題

22、情境教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，讓學(xué)生產(chǎn)生“憤悱”狀態(tài)將思想方法浸潤在問題情境中探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律操作、分析、猜想、交流、研討、嘗試概括利用“類比”、“特殊與一般”等思想去分析與猜想；利用“符號(hào)化”和“歸納”等思想去概括與抽象；證明評(píng)價(jià)規(guī)律分析、證明、辨析規(guī)律的特點(diǎn)與適用范圍利用“化歸”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”等思想進(jìn)行分析論證的思路定向，然后展開證明。應(yīng)用推廣規(guī)律嘗試應(yīng)用、舉一反三、變式遷移在“變?cè)焙汀昂愕茸儞Q”等思想的指導(dǎo)下應(yīng)用規(guī)律解決問題，通過變式遷移的教學(xué)環(huán)節(jié)讓學(xué)生充分領(lǐng)悟“化歸”等思想方法。小結(jié)與整理納入認(rèn)知結(jié)構(gòu)用數(shù)學(xué)思想貫通知識(shí)之間的聯(lián)系（2）案例與分析 見附38.3.3 解題教學(xué)中如何激活

23、與提煉數(shù)學(xué)思想方法？（1）優(yōu)化策略解題對(duì)鞏固知識(shí)、培養(yǎng)能力和升華思想觀點(diǎn)有著十分重要的作用與意義，所以我們要重視解題教學(xué)的優(yōu)化，提高解題教學(xué)的效益。這其中最為重要的還是方法的總結(jié)與思想的升華，要注重指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題前的思路探究和解后的反思，要善于激活與提煉解題中的數(shù)學(xué)思想方法。對(duì)此，我們的策略是以下四步教學(xué)法：解前思路定向試解與反饋交流與展示解后點(diǎn)評(píng)反思，具體如下：步驟師生活動(dòng)思想方法的滲透與領(lǐng)悟解前思路定向?qū)W生審題，教師視情況決定是否要做關(guān)鍵提示問題的情境與條件刺激學(xué)生的頭腦，引發(fā)聯(lián)想，激活數(shù)學(xué)思想，明確思路與方向。試解與反饋學(xué)生試解，不成功者接受教師的點(diǎn)撥后再解在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，依據(jù)明確

24、的思路與方向解題，這其中還會(huì)不斷地修正與完善。展示與交流教師組織學(xué)生展示解法，交流解題思想與心得在“我怎么想？”、“我怎么解？”和“我有什么心得？”中，教師及時(shí)幫助學(xué)生提煉數(shù)學(xué)思想方法。解后點(diǎn)評(píng)反思教師點(diǎn)評(píng)一般思路、巧解思路、典型錯(cuò)解并與學(xué)生一起反思其中的數(shù)學(xué)思想方法。重點(diǎn)在提煉與整理解法中的數(shù)學(xué)思想，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思想得以升華。（2）案例與分析 見附48.3.4 章節(jié)復(fù)習(xí)中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的優(yōu)化策略？（1）優(yōu)化策略由于教材是采用蘊(yùn)含披露的方式將數(shù)學(xué)思想溶于數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，因此，適時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)思想做出歸納、概括是十分必要的。教師應(yīng)有計(jì)劃、有目的、有意識(shí)、有步驟地引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)思

25、想的提煉概括過程，尤其是在章節(jié)復(fù)習(xí)中要將有統(tǒng)帥性的數(shù)學(xué)思想方法概括出來，用數(shù)學(xué)思想統(tǒng)領(lǐng)全章節(jié)知識(shí)，這樣就可以加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用意識(shí)和能力，也使其對(duì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決問題的具體操作方式有更深刻的了解，有利于活化所學(xué)知識(shí)，有利于優(yōu)化思維品質(zhì)，有利于形成獨(dú)立分析、解決問題的能力。因此，章節(jié)復(fù)習(xí)中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的優(yōu)化策略是：一要揭示共性，二要明確聯(lián)系，具體如下：策略師生活動(dòng)思想方法的滲透與領(lǐng)悟揭示共 性師生共同構(gòu)建章節(jié)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖表，融會(huì)貫通。重點(diǎn)在抽取共性和其中的數(shù)學(xué)思想方法。應(yīng)用“類比”等思想和“聯(lián)想”等方法將數(shù)學(xué)對(duì)象共同屬性或關(guān)系抽取出來。例如，在學(xué)習(xí)完“二次根式的加減”后，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生概

26、括出“二次根式的加減運(yùn)算就是合并同類二次根式，而合并同類二次根式就與合并同類項(xiàng)一樣”。明確聯(lián) 系用數(shù)學(xué)思想統(tǒng)領(lǐng)全章節(jié)知識(shí)的復(fù)習(xí)，根據(jù)要滲透的數(shù)學(xué)思想方法選擇例習(xí)題。用數(shù)學(xué)思想方法將知識(shí)串起來，同時(shí)，還要將抽取出來的性質(zhì)或規(guī)律推廣到同類的全部對(duì)象上去，從而實(shí)現(xiàn)從個(gè)別認(rèn)識(shí)上升為一般認(rèn)識(shí)。例如，通過解方程，發(fā)現(xiàn)可用換元法來求解，由此概括出換元法可以將復(fù)雜方程轉(zhuǎn)化為簡單方程，從而認(rèn)識(shí)到化歸思想是對(duì)換元法的高度概括。（2）案例與分析 見附59研究反思9.1 學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力有無得到有效提升？這是本課題研究不夠深入的方面，沒能對(duì)學(xué)生進(jìn)行效果跟蹤測評(píng)，“前測”不細(xì)化，又無“后測”對(duì)照。這些有待于本工作室的

27、老師在今后的教學(xué)及研究中繼續(xù)深化與完善。9.2 解決問題的一般方法與數(shù)學(xué)思想方法的關(guān)系如何？像歸納法和比較法這樣一些解決問題的一般方法算不算數(shù)學(xué)思想方法？我們覺得任何學(xué)科的研究與學(xué)習(xí)都離不開歸納和比較，因此，它們至少不能算是數(shù)學(xué)學(xué)科特有的思想方法。但在有些專家或書籍那里我們見到有“數(shù)學(xué)的歸納思想”和“數(shù)學(xué)的比較思想”之說，令我們困惑。參考文獻(xiàn)1沈文選, 楊清桃.數(shù)學(xué)思想領(lǐng)悟 M.黑龍江:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社2徐利治. 數(shù)學(xué)方法論選講 M.武漢.華中科技大學(xué)出版社3中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版). M北京.北京師范大學(xué)出版社4中華人民共和國教育部. 全日制義務(wù)教育數(shù)

28、學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿). M北京.北京師范大學(xué)出版社 附1：課題研究階段成果之一：發(fā)表或獲獎(jiǎng)的論文作者論文題目發(fā)表雜志、期數(shù)獲獎(jiǎng)情況周利寧關(guān)于初中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)現(xiàn)狀的調(diào)研報(bào)告2012年市中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論文評(píng)比一等獎(jiǎng)；2013年廣東省中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究會(huì)論文評(píng)比特等獎(jiǎng)周利寧把握核心要點(diǎn)、遵循認(rèn)知規(guī)律、實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)研究2012年第1期蔡映紅淺談比較思想在概念教學(xué)中的作用2012年市中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論文評(píng)比三等獎(jiǎng)李潔文抓住核心思想方法，實(shí)施例題變式教學(xué)東莞教研2012年第3期李潔文應(yīng)用題組訓(xùn)練，備考初中數(shù)學(xué)2012年市中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論文評(píng)比二等獎(jiǎng)曾省實(shí)例舉證“類比思想”在復(fù)習(xí)“分式”中的應(yīng)用中學(xué)數(shù)學(xué)研

29、究2011年第7期廖涼月例談垂徑定理中優(yōu)化數(shù)學(xué)思想的教學(xué)2012年市中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論文評(píng)比三等獎(jiǎng)李永義例談初中數(shù)學(xué)思想方法中學(xué)數(shù)學(xué)研究2012年第1期2011年市中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論文評(píng)比二等獎(jiǎng)汪麗麗用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法巧解題廣東教學(xué)第1903期楊東科淺談中考動(dòng)態(tài)幾何問題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法2012年市中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論文評(píng)比二等獎(jiǎng)黃志清核心循環(huán)教學(xué)法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐探索中學(xué)數(shù)學(xué)研究2012年第7期徐明軍初中數(shù)學(xué)思想方法在教材中滲透的探討2011年長安鎮(zhèn)優(yōu)秀論文評(píng)比一等獎(jiǎng)楊秀以范例為載體逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法2011年市中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論文評(píng)比三等獎(jiǎng)鄒瑾淺談分類討論思想在解題中的應(yīng)用中學(xué)數(shù)學(xué)研究201

30、2年第1期2012年市中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論文評(píng)比三等獎(jiǎng)劉翥遠(yuǎn)“庖丁”解“?！?，其“義”自見2012年市中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論文評(píng)比二等獎(jiǎng)劉惠清數(shù)學(xué)思想在初一教學(xué)中的滲透師道*教研2011年第8期陳桂芳數(shù)學(xué)思想方法的提煉和滲透少年智力開發(fā)報(bào)2012年第8期附2:在概念教學(xué)中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法-人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)§29.1投影的案例分析長安實(shí)驗(yàn)中學(xué) 蔡映紅【案例背景】 2011年12月20日上午，周利寧（初中數(shù)學(xué)）名師工作室開展了主題為“優(yōu)化初中數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)”研討活動(dòng)。我以人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)§29.1投影一課的教學(xué)試圖來展示“概念教學(xué)中如何促使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法”。在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中

31、，我主要引領(lǐng)學(xué)生通過觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)、探索，運(yùn)用類比思想層層揭示中心投影和平行投影之本質(zhì)與區(qū)別，既滲透了數(shù)學(xué)思想方法，又培養(yǎng)了學(xué)生的觀察與歸納能力，動(dòng)手操作的習(xí)慣和合作交流意識(shí)，還有運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力?！景咐龑?shí)錄與評(píng)析】環(huán)節(jié)一：老師先利用投影機(jī)光源作手影，再用一些生活中的情景圖片引出投影現(xiàn)象，讓學(xué)生通過類比思想自主獲得“投影”的要素。師：老師作的手影是如何產(chǎn)生的？生：被投影機(jī)照的。師：（PPT演示生活中的投影圖片）這些影子分別是如何產(chǎn)生的?生：圖片一和二是被陽光照射；圖片三和四是被燈光照射的。師：這些現(xiàn)象我們稱為“投影現(xiàn)象”。請(qǐng)大家運(yùn)用類比思想思考：“投影現(xiàn)象”的產(chǎn)生需具備幾個(gè)要素

32、？生：（互相提示與補(bǔ)充）光源、投影物、投影面。在教師引導(dǎo)下，學(xué)生才小結(jié)出投影的要素：光源、投影線、投影物、投影面。師：生活中有哪些投影現(xiàn)象？生活中的影子與剛才我們所說的投影有什么區(qū)別？生1：樹被陽光照射。生2：被路燈照射。生3：湖面。師：湖面只能算是投影面。師：生活中出現(xiàn)的“日食”和“ 月食”現(xiàn)象，也是一種投影現(xiàn)象。生：噢！師：我們走路時(shí)，影子會(huì)不會(huì)只是落在一個(gè)“平平”的面上呢？生：有時(shí)是落在一些凹凸不平的面上。師：我們今天談到的投影中，投影面是一個(gè)平面，而生活中的影子可能不在同一個(gè)平面上。評(píng)析：這個(gè)環(huán)節(jié)又叫“刺激意識(shí)”環(huán)節(jié)。我通過手影創(chuàng)設(shè)了一個(gè)簡單的問題情境，通過生活情境圖片豐富了學(xué)生的感性

33、認(rèn)識(shí)。讓學(xué)生知道投影現(xiàn)象的關(guān)鍵就是“光線”，把握住“光線”，就基本解決了“投影”問題。在我問“老師作的手影是如何產(chǎn)生的？”，學(xué)生回答“被投影機(jī)照的”時(shí)，我若能及時(shí)將學(xué)生的回答進(jìn)一步具體化，設(shè)制問題“是被投影機(jī)照這一光源的什么照射而形成？”，學(xué)生才能更深層次思考出：“是被這一光源的光線照射而形成”，從而對(duì)被“光線”照到或沒照到，有一個(gè)區(qū)別認(rèn)知，也會(huì)大大提高本節(jié)課的學(xué)習(xí)效率。環(huán)節(jié)二：通過分類討論，初步感知中心投影和平行投影區(qū)別。師：如果對(duì)大家所提到的投影現(xiàn)象進(jìn)行分類，你認(rèn)為應(yīng)該分為幾類？說說你是怎么想的？針對(duì)同學(xué)的想法，我們一起用比較思想探討一下，它們有什么不同？請(qǐng)大家分組進(jìn)行討論。生：光源類型、

34、光源方向、光源大小。師：一組陽光線是什么位置關(guān)系？生：平行。師：（老師現(xiàn)場運(yùn)用投影機(jī)這一點(diǎn)光源的光線照射一個(gè)與投影面平行的正方形紙皮）請(qǐng)同學(xué)們觀察正方形與其投影的形狀和大小有什么關(guān)系？生：形狀相同，大小不同，影子變大。師：產(chǎn)生的原因是這組光線是怎樣的？生：這組光線是發(fā)散的，有一個(gè)交點(diǎn)。師：這個(gè)交點(diǎn)在哪里？生：光源。師生一起分類、歸納：由點(diǎn)光源發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影，如燈光照射在物體上形成的投影。由平行光線形成的投影叫做平行投影。如太陽光照射在物體上形成的投影也稱日影。評(píng)析：這一環(huán)節(jié)安排了“嘗試抽象概括”、“矯正”和“定義”，我有意滲透了“分類討論”的思想方法。在這一環(huán)節(jié)中，學(xué)生對(duì)從哪

35、個(gè)角度入手進(jìn)行分類，有點(diǎn)迷糊，把此活動(dòng)問題改為“如果對(duì)大家所提到的投影現(xiàn)象從照射光線的位置關(guān)系的不同之處進(jìn)行分類，你認(rèn)為應(yīng)該分為幾類？”會(huì)更有利于引導(dǎo)學(xué)生把握思考方向。環(huán)節(jié)三：學(xué)以致用（1） 下面左邊兩幅圖分別是兩棵小樹在同一時(shí)刻的影子.請(qǐng)根據(jù)投影，判斷它們分別是什么投影。 投影 投影 投影 投影變式：上面右邊兩幅圖表示兩根標(biāo)桿在同一時(shí)刻的投影.請(qǐng)?jiān)趫D中畫出形成投影的光線.它們是平行投影還是中心投影？說明理由。（2） 同一時(shí)刻，兩根木棒的影子如下左圖，請(qǐng)畫出圖中另一根木棒的影子。（中心投影）變式：上右圖是兩棵小樹在同一時(shí)刻的影子. 請(qǐng)畫出同一時(shí)刻旗桿的影子。（平行投影）評(píng)析：這一環(huán)節(jié)就是“強(qiáng)化

36、概念”和“應(yīng)用概念”。在學(xué)習(xí)了中心投影和平行投影后，學(xué)以致用，從練習(xí)及變式中讓學(xué)生體會(huì)如何判斷其是何種投影及如何畫物體的投影，并領(lǐng)悟類比思想，此活動(dòng)開展得較為成功。環(huán)節(jié)四：探究物體與投影面之間的位置關(guān)系對(duì)投影形狀的影響（1）老師演示活動(dòng)：以正方形為素材，用投影機(jī)光源去照射改變正方形紙板的擺放位置（分別是正方形紙板平行于投影面；傾斜于投影面；垂直于投影面），它們的投影發(fā)生了什么變化？由此,你能得到什么結(jié)論?（2）學(xué)生自主探究活動(dòng)：當(dāng)平行光線與投影面垂直時(shí)，改變正方形紙板的擺放位置（分別是正方形紙板平行于投影面；傾斜于投影面；垂直于投影面），它的投影發(fā)生了什么變化？由此,你能得到什么結(jié)論?評(píng)析：這

37、一環(huán)節(jié)依然還是“強(qiáng)化概念”和“應(yīng)用概念”。在此活動(dòng)中，我們不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)投影線與物體的夾角發(fā)生變化時(shí)，投影也隨之變化，當(dāng)投影線垂直于投影面，且平面物體平行于投影面時(shí)，投影與物體全等。先老師演示探究，再讓學(xué)生模仿探究，動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，分組討論，獲得物體與投影面之間的位置關(guān)系對(duì)投影形狀的影響。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其實(shí)質(zhì)：當(dāng)平面物體與投影面平行時(shí)，中心投影的物體與其投影形成位似圖形，平行投影中，當(dāng)投影線與物體投影面垂直時(shí)，物體與投影全等。這個(gè)探究活動(dòng)，給學(xué)生提供極大的思維空間，啟迪學(xué)生創(chuàng)新靈感，有效激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。學(xué)生通過面對(duì)面的合作交流，無拘無束的發(fā)展自己的見解，通過合作、討論、交流、爭辯逐漸完善自己的想法，從

38、而博采眾長，營養(yǎng)智慧。本活動(dòng)既讓學(xué)生感悟?qū)π率挛锏恼J(rèn)識(shí)較常運(yùn)用到類比思想與比較思想，又為后面學(xué)習(xí)垂直投影及三視圖做好鋪墊。環(huán)節(jié)五：讓學(xué)生歸納平行投影與中心投影的異同點(diǎn)。不同之處相同之處光線平面圖形與投影面平行時(shí)，圖形與投影關(guān)系它們都是物體在光線照射下，在某個(gè)平面上的得到的影子平行投影一組平行的投影線全等（當(dāng)光線垂直于投影面時(shí)）中心投影一組相交的投影線，交點(diǎn)為光源平面圖形與其投影是位似圖形評(píng)析：這一環(huán)節(jié)就是幫助學(xué)生將本堂所學(xué)“納入認(rèn)知結(jié)構(gòu)”之中，應(yīng)用比較的方法將前面幾個(gè)環(huán)節(jié)的發(fā)現(xiàn)及體會(huì)作一個(gè)記錄，便于理解與記憶。環(huán)節(jié)六：理論聯(lián)系實(shí)際，挖掘生活中的素材，用本課的投影知識(shí)去解釋。1.小東在一路燈下行

39、走，他的影長怎樣變化？小東在陽光照耀的道路上行走，他的影長怎樣變化？2.有人說，在同一路燈下，如果甲物體比乙物體的影子長，那么就說明甲物體比乙物體高.你認(rèn)為這種說法正確嗎？3與一盞路燈相對(duì),有一玻璃幕墻,幕墻前面的 地面上有一盆花和一棵樹.晚上,幕墻反射路燈燈光形成了那盆花的影子,樹影是路燈燈光形成的。你能確定此時(shí)路燈光源的位置嗎？評(píng)析：這一環(huán)節(jié)的作用就是應(yīng)用與鞏固所學(xué)知識(shí)?！景咐此肌?. “數(shù)學(xué)思想方法”在教學(xué)中，不僅要“運(yùn)用”，還要“說”出來在平時(shí)的生活中，學(xué)生時(shí)常運(yùn)用到數(shù)學(xué)思想方法，但他們往往不清楚“這就是數(shù)學(xué)思想方法”。所以我們數(shù)學(xué)教師在教會(huì)學(xué)生“如何思考”的同時(shí)，要“說”給學(xué)生聽“

40、這是什么數(shù)學(xué)思想方法”。學(xué)生會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)具有如此廣大的用途而大大增強(qiáng)“好感”，無形中提高了學(xué)數(shù)學(xué)的興趣。2. “數(shù)學(xué)思想方法”在教學(xué)中的長期滲透與展示，有利于學(xué)生認(rèn)知能力、開拓能力的發(fā)展本節(jié)課中，學(xué)生主要運(yùn)用類比思想學(xué)習(xí)新知及掌握運(yùn)用：（1）現(xiàn)場手影表演，激發(fā)學(xué)生的參與熱情和學(xué)習(xí)興趣，從而誘發(fā)學(xué)生的好奇心和想象力產(chǎn)生強(qiáng)烈的問題意識(shí)。學(xué)生經(jīng)過觀察現(xiàn)象后，小組間交流不難揭示投影、平行投影、中心投影的實(shí)質(zhì)。學(xué)生在直觀認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上發(fā)展了歸納基本規(guī)律的能力。（2）通過練習(xí)，使學(xué)生把生活中的數(shù)學(xué)問題上升到理論高度，從理論上釋疑；（3）學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，創(chuàng)造出替代隱形的“平行陽光線”顯性替代物，通過實(shí)驗(yàn)對(duì)比，觀察現(xiàn)

41、象從而引發(fā)了思維沖突，得出中心投影與平行投影的特征；發(fā)展了觀察能力、歸納概括能力和開拓創(chuàng)造的能力。（4）通過小組合作討論 ，讓學(xué)生經(jīng)歷“問題情境建立數(shù)學(xué)模型解釋應(yīng)用與拓展”的過程，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光發(fā)現(xiàn)和提出問題，有意識(shí)地用自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決所遇到的問題，提高用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力。附3：多邊形的內(nèi)角和課堂實(shí)錄與點(diǎn)評(píng)長安實(shí)驗(yàn)中學(xué) 周利寧一、課題與版本：人教版七年級(jí)下冊(cè)/多邊形的內(nèi)角和 執(zhí)教老師：黃曉（長安實(shí)驗(yàn)中學(xué)）二、教學(xué)目標(biāo) 【基本知識(shí)】理解并記憶n 邊形的內(nèi)角和公式【基本能力】能解釋或會(huì)驗(yàn)證四邊形內(nèi)角和、 n 邊形的內(nèi)角和，會(huì)應(yīng)用它進(jìn)行簡單的計(jì)算和說理, 增強(qiáng)類比推理和發(fā)散思維能力, 從而

42、提高分析問題和解決問題的能力?！净舅枷搿客ㄟ^本課的學(xué)習(xí)，向?qū)W生滲透特殊到一般、類比、化歸、分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想【基本經(jīng)驗(yàn)】通過分析研究三角形和多邊形之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣。三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： “多邊形”在教材中起著承上啟下的作用，它既是前面所學(xué)的“三角形”知識(shí)的應(yīng)用，也是后面學(xué)習(xí)用正多邊形拼地板、各種特殊四邊形的重要的預(yù)備知識(shí)。因此，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：體會(huì)化歸等思想的應(yīng)用；本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：找到轉(zhuǎn)化的具體方法；突出重點(diǎn)、化解難點(diǎn)的措施是：（ l ）教師制作課件，直觀演示；（ 2 ）隨時(shí)總結(jié)學(xué)習(xí)幾何的一些規(guī)律，在得出結(jié)論前引導(dǎo)分析；（ 3

43、）設(shè)計(jì)有目的、有梯度、循序漸進(jìn)的練習(xí)題組，強(qiáng)化思想方法訓(xùn)練。 四、教學(xué)過程 （一）復(fù)舊引新 （ l ）四邊形的定義正確的是（ ）。 A 、由四條線段首尾順次相接組成的圖形 B 、在平面內(nèi)，由四條線段首尾順次相接組成的圖形 C 、平面內(nèi)，四個(gè)點(diǎn)所確定的圖形 D 、在平面內(nèi)，由不在同一條直線上的四條線段首尾順次相接組成的封閉圖形 （2）從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)處可引 條對(duì)角線，這些對(duì)角線可將這個(gè)n邊形分成 個(gè)三角形；（3）長方形的內(nèi)角和是 度？一般四邊形的內(nèi)角和是 度？你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？【點(diǎn)評(píng)】問題(3)是在“呈現(xiàn)問題情境”，已將“特殊到一般”和“化歸”的思想方法浸潤在其中了。學(xué)生在此已出現(xiàn)“憤悱”狀

44、態(tài)。（二）探究四邊形的內(nèi)角和1 、學(xué)生猜想四邊形內(nèi)角和是 360° 師質(zhì)疑：三角形的內(nèi)角和是 180°，四邊形的內(nèi)角和是多少度？ 生思考 師提示：長方形的每個(gè)內(nèi)角都是多少度？正方形的每個(gè)內(nèi)角呢？師：請(qǐng)同學(xué)們猜想一般四邊形內(nèi)角和的度數(shù)。 生答：四邊形內(nèi)角和是 360° 。（教師板書） 師肯定：同學(xué)們回答的非常好！我們小學(xué)學(xué)過的長方形的內(nèi)角和是 360° ，正方形的內(nèi)角和也是 360° ，由此我們猜測一般四邊形內(nèi)角和也是 360° 。 師指出：這個(gè)結(jié)論是否正確呢？我們要從理論上加以驗(yàn)證。 【點(diǎn)評(píng)】以小學(xué)學(xué)過長方形、正方形的每個(gè)內(nèi)角都是 9

45、0° 為依托，猜想一般四邊形內(nèi)角和的度數(shù)。向?qū)W生滲透“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法。 2 、探究推導(dǎo)的方法并交流。 師質(zhì)疑：怎樣說明四邊形內(nèi)角和是 360° 呢？ 師指出：科學(xué)研究的常用方法，就是將未知轉(zhuǎn)化為已知，用已有知識(shí)研究新問題。所以，研究四邊形的問題可轉(zhuǎn)化為用已學(xué)過的知識(shí)去解決。這里可以用什么知識(shí)來解決問題？生答：三角形。 師：對(duì)！同學(xué)們回答的非常好！把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決。 師追問：轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是什么？生答：作輔助線。 【點(diǎn)評(píng)】將四邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和去解決，向?qū)W生滲透“化歸”的數(shù)學(xué)思想方法。 師：請(qǐng)同學(xué)們考慮說明的方法。 學(xué)生獨(dú)立思考 -

46、生生交流討論（教師個(gè)別輔導(dǎo)） - 學(xué)生再獨(dú)立思考。 師：請(qǐng)同學(xué)們說說各自的思路。 眾生：如圖 2 ，連接 AC 如圖 3 ，在 BC 邊上任取一點(diǎn) P （也可在 AB 或 CD 或 AD 邊上任取一點(diǎn) P ），連接 AP ， DP 如圖 4 ，在四邊形 ABCD 內(nèi)任取一點(diǎn) O ，連接 AO ， BO ， CO ， DO 師：同學(xué)們的思路都非常的好！你想到的是哪一種方法呢？ 生甲：比較而言，應(yīng)該說連接 AC 時(shí)說明的過程最好。 【點(diǎn)評(píng)】四邊形內(nèi)角和這一結(jié)論的解釋說明是本節(jié)課突破難點(diǎn)的一個(gè)關(guān)鍵，關(guān)鍵的關(guān)鍵又在“添加輔助線”。本環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)中，探索了多種的說明方法，活躍了學(xué)生的思維，為后面的進(jìn)一步的

47、探究“n 邊形的內(nèi)角和”作了鋪墊。同時(shí)，這里還運(yùn)用了“分類討論”的思想方法。在教學(xué)過程中，我們就應(yīng)這樣鼓勵(lì)學(xué)生通過獨(dú)立思考，不拘一格，創(chuàng)造性地解決問題，使學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)成為再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的過程。3 、歸納概括所得結(jié)論 師指出：經(jīng)過分析，同學(xué)們猜想得到的結(jié)論“四邊形的內(nèi)角和等于 360° ”是正確的。同學(xué)們要熟記這個(gè)內(nèi)容，并能運(yùn)用它解決有關(guān)的問題。同學(xué)們還要認(rèn)真體會(huì)“轉(zhuǎn)化與化歸”的思想方法，這種解決問題的思想方法在今后的解題中經(jīng)常會(huì)用到。從分析思路看，同學(xué)們得到了多種方法，各種方法都非常好。當(dāng)一個(gè)題目有多種方法時(shí)，特別是幾何問題，通常我們選擇最簡單的方法。 4 、鞏固性應(yīng)用 下面的判斷是否正

48、確？請(qǐng)說明理由！(1) 四邊形的各內(nèi)角可以都是銳角。（ ） 變式 1 ：將“銳角”改為“直角”。 變式 2 ：將“銳角”改為“鈍角”。 生口答：（ l ）錯(cuò)誤。變式 1 正確。變式 2 錯(cuò)誤。 (2) 在一個(gè)四邊形中，如果有兩個(gè)角都是直角，那么其余的兩個(gè)角的關(guān)系一定是互為補(bǔ)角。（） 生口答：正確。 (3) 如圖 5 ，四邊形 ABCD 中， D 的大小不能確定。（ ） 生口答：錯(cuò)誤。 D 的大小能確定。 變式：此題中 D 的大小若能確定，試求 D 的度數(shù)；若不能確定，請(qǐng)說明理由。 生口答： D=360°-A-B-C=360°-75°-60°-90

49、6;=135° 對(duì)于學(xué)生的回答教師及時(shí)給予肯定表揚(yáng)。 【點(diǎn)評(píng)】第（二）環(huán)節(jié)是一個(gè)淺層次的探索與證明，意在為下面的第（三）環(huán)節(jié)作鋪墊（三）探究n邊形的內(nèi)角和師：有了前面的經(jīng)驗(yàn)，你能探求五邊形、六邊形和一般 n 邊形的內(nèi)角和是多少度嗎？請(qǐng)同學(xué)們探究。 多邊形的邊數(shù)3456n多邊形的內(nèi)角和180°360°填空：1從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引 條對(duì)角線，它們將五邊形分為 個(gè)三角形，五邊形的內(nèi)角和等于 ×180°2從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引 條對(duì)角線，它們將六邊形分為 個(gè)三角形，六邊形的內(nèi)角和等于 ×180°同學(xué)們，通過上述過程

50、，你能發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系嗎？3從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引 條對(duì)角線，它們將n邊形分為 個(gè)三角形，n邊形的內(nèi)角和等于 ×180°板書：n 邊形的內(nèi)角和為： (n-2)×180° 師：這就是n 邊形的內(nèi)角和公式，它清楚地表明了多邊形的內(nèi)角和是如何受邊數(shù)的變化影響的。【點(diǎn)評(píng)】這個(gè)環(huán)節(jié)是“探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律”和“證明評(píng)價(jià)規(guī)律”。滲透了“特殊到一般”、“類比”和“化歸”的數(shù)學(xué)思想方法。（四）應(yīng)用與鞏固1看誰回答的最快。 （1）10邊形的內(nèi)角和是 ； 12 邊形的內(nèi)角和是 。 （2） 邊形的內(nèi)角和是 360° ； 邊形的內(nèi)角和是 720°

51、;；（3）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是 1080° ，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是 。 （4）有沒有內(nèi)角和等于1000°的多邊形？答： （5）正六邊形的一個(gè)內(nèi)角是 。 【點(diǎn)評(píng)】一套簡單應(yīng)用題從多角度幫助學(xué)生加深了對(duì)“n 邊形的內(nèi)角和公式”的認(rèn)識(shí)2閱讀課本P82例1師：對(duì)課本的解答，你有什么不明之處？請(qǐng)報(bào)告！師：如果將題目中的“對(duì)角”改為“鄰角”，問題的結(jié)論又會(huì)如何？【點(diǎn)評(píng)】（1）上面的“閱讀”環(huán)節(jié)體現(xiàn)了“能看懂的就讓學(xué)生自己看”的學(xué)生主體教學(xué)思想，同時(shí)又能將問題進(jìn)行變式，拓展了思維訓(xùn)練。（2）第（四）環(huán)節(jié)就是“應(yīng)用與推廣規(guī)律”（五）歸納小結(jié)（教師引導(dǎo)學(xué)生從以下幾個(gè)方面進(jìn)行小結(jié)） 1 、研究

52、和解決問題的一般思維方法有： 觀察、分析、猜想、類比、解釋、說明、應(yīng)用。 2 、n邊形內(nèi)角和公式的得出與證明所用到的數(shù)學(xué)思想方法有：特殊到一般、類比、化歸3 、事物之間是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化、相互制約的，數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐，又反過來作用于實(shí)踐。 【總評(píng)】1優(yōu)點(diǎn)：11 教學(xué)目標(biāo)的確定是恰當(dāng)?shù)?。特別強(qiáng)調(diào)了研究多邊形的問題時(shí)常常通過作輔助線的方法將之轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決，并以此為載體強(qiáng)化數(shù)學(xué)化歸的思想方法，整節(jié)課還滲透了特殊到一般和類比的思想。12 教學(xué)方法與學(xué)法指導(dǎo)方面：（1）結(jié)論的發(fā)現(xiàn)：考慮到學(xué)生已學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)角和定理，而且知道長方形、正方形的每一個(gè)角都是 90° ，所以教師對(duì)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)

53、采取類比猜想的方法。教師直接提出問題：四邊形的內(nèi)角和是多少度？學(xué)生很容易猜想得出 360° 的結(jié)論，這個(gè)問題雖然不難回答，但滲透了“特殊到一般”的思想。 (2) 探究結(jié)論的推導(dǎo)過程：為了幫助學(xué)生迅速找到新舊知識(shí)的結(jié)合點(diǎn)，教師提出問題：科學(xué)研究的常用方法，就是將未知轉(zhuǎn)化為已知，用已有知識(shí)研究新問題。所以，研究四邊形的內(nèi)角和問題可轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的什么知識(shí)去解決？這可引起學(xué)生的聯(lián)想，滲透了“化歸”的思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。接下去教師繼續(xù)提問：“怎樣轉(zhuǎn)化？轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是什么？”教師沒做更多的引導(dǎo)，只是提出問題。這樣，教師不僅為解決問題創(chuàng)造了一個(gè)好的情境，而且指導(dǎo)學(xué)生通過自己的努力按既

54、定方向?qū)⒁延兄R(shí)、經(jīng)驗(yàn)和方法進(jìn)行重組從而解決了問題。從課堂教學(xué)實(shí)際效果看，這個(gè)引導(dǎo)是符合多數(shù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律的，既沒有超越學(xué)生的認(rèn)知能力，又能促進(jìn)學(xué)生積極探索。 在探求結(jié)論的推導(dǎo)過程中，集中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)化歸思想的應(yīng)用。在這里，教師有意識(shí)地做了強(qiáng)化，這可以使學(xué)生更加深刻地體會(huì)到這種思想方法對(duì)解決問題的作用。 （3）結(jié)論的應(yīng)用是通過例題教學(xué)和指導(dǎo)學(xué)生做練習(xí)實(shí)現(xiàn)的。在這個(gè)過程中，教師做了適當(dāng)、及時(shí)、必要的點(diǎn)撥和提示。這樣做應(yīng)該說是符合了“導(dǎo)而弗牽，開而弗達(dá)”的原則的。 2可進(jìn)一步優(yōu)化之處：本節(jié)課其實(shí)還可以滲透“數(shù)形結(jié)合”的思想。我們?cè)诘冢ㄈ┉h(huán)節(jié)類比第（二）環(huán)節(jié)的第2步，根據(jù)點(diǎn)與多邊形的位置關(guān)系，用三種

55、轉(zhuǎn)化辦法都可得出“n 邊形的內(nèi)角和=”。在此，我們可以深入地追問：如何想到這些轉(zhuǎn)化方法的呢？我們可以引導(dǎo)學(xué)生去分析及它的兩個(gè)變式、結(jié)構(gòu)上的特點(diǎn)，學(xué)生就容易明白這三個(gè)式子分別對(duì)應(yīng)前述三個(gè)轉(zhuǎn)化方法了。這里就要揭示“數(shù)形結(jié)合”的思想，即：由“式的特征”聯(lián)想到“形的表現(xiàn)”。 附4：解題教學(xué)的案例與分析例：已知a、b、c均為非零實(shí)數(shù)，且 ，求證：【解前思路定向】注意到已知式左邊的結(jié)構(gòu)與方程根的判別式相類似，不妨構(gòu)造一個(gè)以已知式左邊為判別式的一元二次方程，運(yùn)用一元二次方程的知識(shí)來解決（直觀感知，展開聯(lián)想，化歸思想自然流露！找到了解題的方向）【試解與反饋】有部分學(xué)生作不出方程或作出對(duì)解決問題毫無幫助的方程，如；也有部分學(xué)生雖然作出了方程，但心中默認(rèn)了cabc0，缺乏對(duì)cabc0的討論；還有部分學(xué)生構(gòu)造出關(guān)于x的一元二次方程后看不出“1是方程的一個(gè)根”以及“方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1x21”；當(dāng)然，也有學(xué)生在教師的指導(dǎo)下順利完成了解答。【交流與展示】證明：若cabc0，則有abc，結(jié)論顯然成立若cabc0，構(gòu)造關(guān)于x的一元二次方程方程的系數(shù)和為0，1是方程的一個(gè)根由 知0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1x21由根與系數(shù)的關(guān)系，得ab+bc2ca，【解后點(diǎn)評(píng)反思】（1）構(gòu)造關(guān)于x的一元二