大學微積分總復習課件

1、需熟悉的內(nèi)容(特別是三角函數(shù))第一部分初等函數(shù)初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)1. 冪函數(shù)冪函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù) xyoxy2xy xy xy 11)1 , 1(xy1 2. 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayxxey xay xay)1( )1( a)1 , 0(3. 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( xaxyya log4. 三角函數(shù)三角函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin o(注意：注意：x用弧度表示用弧度表示)xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)o正切函數(shù)正切函數(shù)xytan xycot

2、 余切函數(shù)余切函數(shù)正割函數(shù)正割函數(shù)xysec xysec oxycsc 余割函數(shù)余割函數(shù)xycsc o三角函數(shù)常用公式三角函數(shù)常用公式(前前5個必須記下來個必須記下來);cos/1sec;sin/1csc) 1 (xxxx)(cscsec1)(cottan)3(; 1cossin)2(222222xxxxxx; 1cos2sin21sincos2cos)4(2222xxxxx;cossin22sin)5(xxx ;2cos2cos2coscos)7(yxyxyx);sin()sin(2/1cossin)9(yxyxyx);sin()sin(2/1sincos)10(yxyxyx;2cos2si

3、n2sinsin)6(yxyxyx;2sin2sin2coscos)8(yxyxyx);cos()cos(2/1coscos)11(yxyxyx);cos()cos(2/1sinsin)12(yxyxyx5. 反三角函數(shù)反三角函數(shù):xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)oyxxysinarcsin 2,2 y規(guī)規(guī)定定xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函數(shù)數(shù)o, 0 y規(guī)定xyarctan xyarctan 反正切函數(shù)反正切函數(shù)o)2,2( y規(guī)定冪函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)基

4、本初等函數(shù).xycot 反余切函數(shù)反余切函數(shù)arcxycot arco), 0( y規(guī)定第二部分函數(shù)與極限單側(cè)極限單側(cè)極限.)(;)()(lim0000的變化趨勢時的一側(cè)接近從但有時我們只需考慮當為極限均以，以任何方式接近是指無論xfxxxAxfxxAxfxx左極限左極限:);xx()(lim00此時Axfxx右極限右極限: :);xx()(lim00此時Axfxx定理定理 . Axfxx)(lim0Axfxfxxxx )(lim)(lim00極限存在的充要條件是左極限等于右極限極限存在的充要條件是左極限等于右極限.無窮大包括：正無窮大，負無窮大無窮大包括：正無窮大，負無窮大)(lim()(l

5、im)()(00 xfxfxxxxxx或或為無窮小量?；?當，稱的極限為零，即或(當定義：如果函數(shù))(0)(lim)(00 xxxxfxfxxxxf無窮大量與無窮小量的關系.)(10)()(.)(1)()0無窮大量為，則為無窮小量，且反之，如果為無窮小量窮大量，則為無時或(定理：如果當xfxfxfxfxfxxx兩個重要極限兩個重要極限; 1)()(sinlim10 xfxf某過程.)(1 (lim2)(10exfxf某過程則中的無窮小或如為某過程設,)xax()(xf；記作記作高階的無窮小高階的無窮小是比是比，就說，就說如果如果)(,0lim)1( o定義定義: :. 0, 且且窮窮小小是是同

6、同一一過過程程中中的的兩兩個個無無設設;, 0lim)3(是同階的無窮小是同階的無窮小與與就說就說如果如果 C;, 1lim 記作記作是等價的無窮小是等價的無窮小與與則稱則稱如果如果特殊地，特殊地，低階的無窮小低階的無窮小是比是比，就說，就說如果如果 lim)(., 0, 0lim)4(無窮小無窮小階的階的的的是是就說就說如果如果kkCk ，0lim20 xxx，22lim0 xxx;02高高階階的的無無窮窮小小量量是是比比時時，即即當當xxx ).0()( 2 xxox是同階無窮小是同階無窮小與與時，時，當當xxx20例如例如,常用等價無窮小常用等價無窮小: :：以下函數(shù)是等價無窮小時當,0

7、 x.21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx xx2111 xnxn111 xx 1)1( 注注1. 上述上述10個等價無窮?。òǚ?、個等價無窮?。òǚ础?、冪、指、三）必須熟練掌握對、冪、指、三）必須熟練掌握都成立都成立換成換成將將0)(. 2 xfx函數(shù)連續(xù)點的等價定義)()(lim)(000 xfxfxxfxx 連連續(xù)續(xù)在在0)()(lim000 xfxfxx0lim0 yx.)()(00處既左連續(xù)又右連續(xù)在函數(shù)處連續(xù)在函數(shù)xxfxxf第一類間斷點第一類間斷點oyx0 x可去型可去型oyx0 x跳躍型跳躍型第二類間斷點

8、第二類間斷點oyx0 x無窮型無窮型oyx振蕩型振蕩型閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理定理1(1(最值和有界性定理最值和有界性定理) ) 在閉區(qū)間上在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值. . 故該函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)一定是有界函數(shù)故該函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)一定是有界函數(shù). .),(0)(內(nèi)至少存在一個實根內(nèi)至少存在一個實根在在即方程即方程baxf 推論：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得推論：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值介于最大值M與最小值與最小值m之間的任何值之間的任何值.三個定理的應用：注注方程方程f(x)=0的根的根函數(shù)函數(shù)f(x)的零點的零點有關閉區(qū)

9、間上連續(xù)函數(shù)命題的有關閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)命題的證明方法證明方法10直接法：先利用最值定理直接法：先利用最值定理, 再利用再利用介值定理介值定理;20間接法（輔助函數(shù)法）：先作輔助間接法（輔助函數(shù)法）：先作輔助函數(shù)函數(shù), 再利用零點定理再利用零點定理.輔助函數(shù)的作法輔助函數(shù)的作法（1 1）將結(jié)論中的）將結(jié)論中的(或或x x0 0或或c c) )改寫成改寫成x x; ;（2 2）移項使右邊為）移項使右邊為0 0，令左邊的式子為，令左邊的式子為F F( (x x), ), 則則F F( (x x) )即為所求即為所求. . 區(qū)間一般在題設中或要證明的結(jié)論區(qū)間一般在題設中或要證明的結(jié)論中已經(jīng)給出，余下只

10、須驗證中已經(jīng)給出，余下只須驗證F F( (x x) )在所討在所討論的區(qū)間上論的區(qū)間上連續(xù)，連續(xù)，再比較一下兩個端點再比較一下兩個端點處的函數(shù)值的符號，或指出要證的值介處的函數(shù)值的符號，或指出要證的值介于于F F( (x x) )在所論閉區(qū)間上的最大值與最小在所論閉區(qū)間上的最大值與最小值之間值之間. .總結(jié)：求極限的方法1. 求連續(xù)函數(shù)的極限：直接代入法;2. 求x趨于點a時分式的極限，先判斷分母的極限：(1)分母極限不為0，直接代入點a得分式極限；(2)分母極限為0, 分子極限不為0, 原極限為無窮大；(3)分子和分母的極限都為0, 采用洛比塔法則求原極限.3. 求兩個根式相減的極限時，先有

11、理化. 有時可轉(zhuǎn)化為兩個重要極限來求.4.若一個函數(shù)在某點的極限為振蕩極限，但該函數(shù)為有界函數(shù)，則該函數(shù)與一個無窮小的乘積是無窮小.第二部分一元函數(shù)微分學xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000其它形式其它形式.)()(lim)(0000hxfhxfxfh .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 一、導數(shù)的定義注意注意: :.)()(. 100 xxxfxf 2. 導函數(shù)導函數(shù)(瞬時變化率瞬時變化率)是函數(shù)平均變是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù)化率的逼近函數(shù).單側(cè)導數(shù)單側(cè)導數(shù)1. 左導數(shù)左導數(shù):;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxf

12、xfxxx 2. 右導數(shù)右導數(shù):;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 例例.0)(處的可導性處的可導性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(點不可導點不可導在在函數(shù)函數(shù) xxfy導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義oxy)(xfy 0 xT )(,tan)(,)(,()()(0000為傾角為傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點在點表示曲線表示曲線 xfxfxMxfyxfM,0

13、)(0且有限時若 xf).)(000 xxxfyy 的切線方程為過)f(x,(x00法線方程為法線方程為).()(1000 xxxfyy ,0)(0時當 xf切線方程為切線方程為)(0 xfy 法線方程為法線方程為0 xx ,)(0時當 xf切線方程為切線方程為0 xx 法線方程為法線方程為)(0 xfy 注注1. 鏈式法則鏈式法則“由外向里，由外向里， 逐層求導逐層求導”.2. 注意中間變量注意中間變量.推廣推廣),(),(),(xvvuufy 設設.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的導數(shù)為的導數(shù)為則復合函數(shù)則復合函數(shù) 求導的方法求導的方法二、隱函數(shù)及其導數(shù)0),( yxF隱函數(shù)

14、隱函數(shù)因變量與自變量的對應法則用一個因變量與自變量的對應法則用一個方程表示的函數(shù)方程表示的函數(shù).即即方法：對隱函數(shù)直接求導方法：對隱函數(shù)直接求導. 注意此時注意此時y=y(x),只要方程中某項含有只要方程中某項含有y, 則求導后這一項一定則求導后這一項一定含有含有).( xy先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù), 然后利用隱函然后利用隱函數(shù)的求導方法求出導數(shù)數(shù)的求導方法求出導數(shù). 目的是目的是利用對數(shù)的性質(zhì)簡化求導運算利用對數(shù)的性質(zhì)簡化求導運算.-對數(shù)求導法對數(shù)求導法.)()(的情形函數(shù)開方和冪指多個函數(shù)相乘、乘方、xvxu微分的定義微分的定義 ) )( 0較小較?。▁xyxxfyx 的的微微

15、分分。對對的的微微分分或或稱稱為為在在點點稱稱為為xyxxf0)(. .0dxyxydydyxxxx 即記作)()( 0 xoxxfy 由公式由公式.高高階階的的無無窮窮小小的的差差是是比比與與xdyy 會求會求函數(shù)的微分函數(shù)的微分, 微分與可導的關系，微分與可導的關系，一階微分形式不變性。一階微分形式不變性。.拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理)1()2().()(:bfaf 去去掉掉了了與與羅羅爾爾定定理理相相比比條條件件中中注注意意).()()( fabafbf結(jié)論亦可寫成結(jié)論亦可寫成洛比塔法則 適用范圍：即：函數(shù)之比的極限等于導數(shù)之比的極限即：函數(shù)之比的極限等于導數(shù)之

16、比的極限. .式。這兩種類型的其他未定為型未定式，或者可轉(zhuǎn)化型未定式，00注意：注意：洛必達法則與其它求極限方法洛必達法則與其它求極限方法結(jié)合使用效果更好，比如能化簡先化結(jié)合使用效果更好，比如能化簡先化簡，利用等價無窮小替換等簡，利用等價無窮小替換等. .單調(diào)性的判別法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xfabBA導數(shù)為正，則函數(shù)單調(diào)增；導數(shù)為正，則函數(shù)單調(diào)增；導數(shù)為負，函數(shù)單調(diào)減導數(shù)為負，函數(shù)單調(diào)減. .利用單調(diào)性證明不等式利用單調(diào)性證明不等式將要證的不等式作恒等變形（通常是將要證的不等式作恒等變形（通常是移項移項), 使一端為使一端為0, 另一端即為所作的輔助

17、另一端即為所作的輔助函數(shù)函數(shù)f(x)求求)(xf 驗證驗證f(x)在指定區(qū)間上的單調(diào)性在指定區(qū)間上的單調(diào)性與區(qū)間端點處的函數(shù)值或極限值作與區(qū)間端點處的函數(shù)值或極限值作比較即得證比較即得證.注：有時無法判別注：有時無法判別 的符號，則可先的符號，則可先討論討論 的符號，再轉(zhuǎn)到上述第二步的符號，再轉(zhuǎn)到上述第二步.)( xf)( xf曲線凹凸性的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abABabBA函數(shù)的二階導數(shù)大于函數(shù)的二階導數(shù)大于0,0,曲線為凹函數(shù)；若小于曲線為凹函數(shù)；若小于0, 0, 則為凸函數(shù)則為凸函數(shù). .確定曲線的凹凸區(qū)間和拐點的步驟確定曲線的凹凸區(qū)間和拐點的步驟: :);()1(x

18、f 求二階導數(shù)求二階導數(shù);)( 0)( )2(不不存存在在的的點點和和求求xfxf .)()3(的符號考察在候選點左右兩側(cè)xf 求極值的步驟求極值的步驟: :);()1(xf 求求導導數(shù)數(shù)).(0)()2(極值的候選點的點的點）和導數(shù)不存在求駐點（即 xf.)( 0,)(.)( ) 3(值點或極大則該點為極小或小于大于在，且二階導數(shù)的值如果在該點二階導數(shù)存是否異號考察在候選點左右兩側(cè)xf 求最值的步驟求最值的步驟: :);()1(xf 求求導導數(shù)數(shù);)2(點點求求駐駐點點和和導導數(shù)數(shù)不不存存在在的的（3) 如果已知最值存在，比較在端點、駐點如果已知最值存在，比較在端點、駐點 和導數(shù)不存在的點的

19、函數(shù)值。另外，還可以和導數(shù)不存在的點的函數(shù)值。另外，還可以根據(jù)在根據(jù)在整個定義域整個定義域上函數(shù)的一（二）階導數(shù)上函數(shù)的一（二）階導數(shù)的符號來判斷的符號來判斷.導數(shù)及最值在經(jīng)濟學中的應用 1. 成本函數(shù), 收入函數(shù), 利潤函數(shù) 2. 邊際分析 3. 彈性 4 求最大利潤，最小平均成本等最值問題要求要求: 會求各種函數(shù), 并理解相應的經(jīng)濟意 義；會求經(jīng)濟學中的最值問題。一元函數(shù)積分學第三部分一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念如果在區(qū)間如果在區(qū)間I內(nèi)，內(nèi)，定義：定義：可可導導函函數(shù)數(shù))(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函數(shù)數(shù))

20、(xF就就稱稱為為)(xf導函數(shù)為導函數(shù)為)(xf，任意常數(shù)任意常數(shù)積分號積分號被積函數(shù)被積函數(shù)不定積分的定義：不定積分的定義：在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)，CxFdxxf )()(被積表達式被積表達式積分變量積分變量函函數(shù)數(shù))(xf的的帶帶有有任任意意常數(shù)項的原函數(shù)常數(shù)項的原函數(shù)稱稱為為)(xf在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)的的不定積分不定積分，記為，記為 dxxf)(. . 為求不定積分，只須求出被積函數(shù)的一個為求不定積分，只須求出被積函數(shù)的一個原函數(shù)再加上積分常數(shù)即可原函數(shù)再加上積分常數(shù)即可. .由不定積分的定義，可知由不定積分的定義，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()

21、( CxFdxxF.)()( CxFxdF結(jié)論結(jié)論：微分運算與求不定積分的運算是微分運算與求不定積分的運算是的的.基基本本積積分分表表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 Cxdxx;|ln)3(Cxxdx說明說明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx xdxx

22、tansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax 以上以上1313個公式是求不定積分的基礎，稱個公式是求不定積分的基礎，稱為基本積分表，必須熟練掌握為基本積分表，必須熟練掌握. .一、兩類積分換元法：一、兩類積分換元法： （一）（一）湊微分湊微分（二）（二）三角代換、倒代換、根式代換三角代換、倒代換、根式代換基本積分表基本積分表dxvuuvdxvu 二、分部積分法二、分部積分法: 合理選擇合理選擇 u, v，正確使用，正確使用 分部積分公式分部積分公式求不定積分的方法可導，則可導，則具有原函數(shù)，具有原函數(shù)，設設定理定理)()( :xuuf duuf)(ux )( dxxxf)()( 第一類換元公式第一類換元公式（湊微分法湊微分法）使用此公式的關鍵在于將使用此公式的關鍵在于將說明說明 dxxg)(化為化為.)()( dxxxf例例 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 方法方法1 當被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，拆當被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，拆開奇次項去湊微分開奇次項去湊微分.例例 求求解解.