《機械優(yōu)化設計》復習題答案

1、機 械 優(yōu) 化 設 計 復 習 題 解 答一、填空題1、用最速下降法求f(X)=100(x2- X12) 2+(1- XI)、選擇題的最優(yōu)解時，設X° =-0.5,0.5T,第一步迭 代的搜索方向為代7,-50T。2、機械優(yōu)化設計采用數(shù)學規(guī)劃法，其核心一是 尋找搜索方向，二是計算最優(yōu)步長。3、當優(yōu)化問題是凸規(guī)劃的情況下、任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。4、應用進退法來確定搜索區(qū)間時，最后得到的三點，即為搜索區(qū)間的始點、中間點和終點， 它們的函數(shù)值形成高低高 趨勢。5、包含n個設計變量的優(yōu)化問題，稱為 n 維優(yōu)化問題。16、函數(shù)XTHX +BTX +C的梯度為Bo27、設G為nM對稱正定

2、矩陣，若n維空間中有兩個非零向量d°, d,充分條件是 (正定。10、K-T 條件可以敘述為在極值點處目標函數(shù)的梯度為起作用的各約束函數(shù)梯度的非負線性組合。11、用黃金分割法求一元函數(shù)f (x) =x2 - 10x+36的極小點，初始搜索區(qū)間a,b =-10,10,經第一次區(qū)間消去后得到的新區(qū)間為-2.36 10012、優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型的基本要素有 設計變量、目標函數(shù) 、約束條件。 13、牛頓法的搜索方向d憶一Hkgk ,其計算量工，且要求初始點在極小點 附近位置。14、將函數(shù) f(X)=x i2+X22-xiX2-10xi-4x2+60 表示成；XT HX + BT X +

3、C 的形式To 15、存在矩陣H,向量d1，向量d2,當滿足d1THd且，向量d1和向量d2是關于H共腕。16、采用外點法求解約束優(yōu)化問題時，將約束優(yōu)化問題轉化為外點形式時引入的懲罰因子r數(shù)列，具有單調沸增特點。17、采用數(shù)學規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點時，根據(jù)迭代公式需要進行一維搜索，即求 最優(yōu)步 長。,滿足(d'TGd1"。，則 d°、d1之間存在共腕關系。8、設計變量、 目標函數(shù)、 約束條件是優(yōu)化設計問題數(shù)學模型的基本要素。9、對于無約束二元函數(shù)f (X1,X2),若在x0(X10,X20)點處取得極小值，其必要條件是 1、下面C方法需要求海賽矩陣。A、最速下降法

4、B、共腕梯度法C、牛頓型法D、 DFP法2、對于約束問題根據(jù)目標函數(shù)等值線和約束曲線，判斷xCLi,iT為, x(2)=g，T為。DA.內點；內點B.外點；外點C.內點；外點D.外點；內點3、內點懲罰函數(shù)法可用于求解 B_優(yōu)化問題。A無約束優(yōu)化問題B只含有不等式約束的優(yōu)化問題C只含有等式的優(yōu)化問題D含有不等式和等式約束的優(yōu)化問題4、對于一維搜索，搜索區(qū)間為a, b,中間插入兩個點ai、bi, ai<bi,計算出f(ai)<f(bi), 則縮短后的搜索區(qū)間為DoA ai, biB bi, bC ai, bD a, bi5、D_不是優(yōu)化設計問題數(shù)學模型的基本要素。A設計變量B約束條件C

5、目標函數(shù)D最佳步長6、變尺度法的迭代公式為xk+i=xk- okHkVf(xk),下列不屬于Hk必須滿足的條件的是C。A. Hk之間有簡單的迭代形式B.擬牛頓條件C.與海塞矩陣正交D.對稱正定7、函數(shù)f(X)在某點的梯度方向為函數(shù)在該點的 A。A、最速上升方向B、上升方向C、最速下降方向D、下降方向8、下面四種無約束優(yōu)化方法中， D在構成搜索方向時沒有使用到目標函數(shù)的一階或二階導 數(shù)。A梯度法B牛頓法C變尺度法D坐標輪換法9、設f(X)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導數(shù)的函數(shù)，則f(X)在R上為凸函數(shù)的充分 必要條件是海塞矩陣G(X)在R上處處旦。A 正定B半正定C負定D半負定10、下列關于最

6、常用的一維搜索試探方法 黃金分割法的敘述，錯誤的是 D,假設要求在 區(qū)間a, b插入兩點 a、02,且 g<02。A、其縮短率為0.618B、oi=b-入(b-a)C、ai=a+ 入(b-a)D、在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的是外推法。11、與梯度成銳角的方向為函數(shù)值 A方向，與負梯度成銳角的方向為函數(shù)值 _B方向，與梯度成直角的方向為函數(shù)值C方向。A、上升B、下降C、不變D、為零 12、二維目標函數(shù)的無約束極小點就是 _BA、等值線族的一個共同中心B、梯度為0的點C、全局最優(yōu)解D、海塞矩陣正定的點13、最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+1必為B向量。A相切B 正交C成銳角D共腕14、下

7、列關于內點懲罰函數(shù)法的敘述，錯誤的是AoA可用來求解含不等式約束和等式約束的最優(yōu)化問題。B懲罰因子是不斷遞減的正值C初始點應選擇一個離約束邊界較遠的點。D初始點必須在可行域內三、問答題(看講義)1、試述兩種一維搜索方法的原理，它們之間有何區(qū)別？2、懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題的基本原理是什么？3、試述數(shù)值解法求最佳步長因子的基本思路。4、試述求解無約束優(yōu)化問題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點。5、寫出用數(shù)學規(guī)劃法求解優(yōu)化設計問題的數(shù)值迭代公式，并說明公式中各變量的意義，并 說明迭代公式的意義。6、什么是共腕方向？滿足什么關系？共腕與正交是什么關系？四、解答題1、試用梯度法求目標函數(shù)f(X)=1.

8、5x12+0.5x22-X1X2-2X1的最優(yōu)解，設初始點x(0)=-2, 4T,選 代精度£ =0.02(迭代一步)。解：首先計算目標函數(shù)的梯度函數(shù)，計算當前迭代點的 梯度向量值梯度法的搜索方向為()，因此在迭代點x(0)的搜索方向為12, -6T在此方向上新的迭代點為：把新的迭代點帶入目標函數(shù)，目標函數(shù)將成為一個關于單變量的函數(shù)=,可以求出當前搜索方向上的最優(yōu)步長新的迭代點為()當前梯度向量的長度,因此繼續(xù)進行迭代。第一迭代步完成。2、試用牛頓法求f( X )=(x i-2)2+(xi-2x2)2的最優(yōu)解，設初始點x(0)=2,1T。解1:(注：題目出題不當，初始點已經是最優(yōu)點，

9、解2是修改題目后解法。)牛頓法的搜索方向為，因此首先求出當前迭代點x(0)的梯度向量、海色矩陣及其逆矩陣不用搜索，當前點就是最優(yōu)點。解2:上述解法不是典型的牛頓方法，原因在于題目的初始點選擇不當。以下修改求解題目 的初始點，以體現(xiàn)牛頓方法的典型步驟。以非最優(yōu)點x(0)=1,2T作為初始點，重新采用牛頓法計算牛頓法的搜索方向為，因此首先求出當前迭代點x的梯度向量、以及海色矩陣及其逆矩陣梯度函數(shù)：初始點梯度向量：()海色矩陣：海色矩陣逆矩陣：當前步的搜索方向為：新的迭代點位于當前的搜索方向上 ：()=()()=()()=+ = +把新的迭代點帶入目標函數(shù)，目標函數(shù)將成為一個關于單變量的函數(shù)+ 令

10、=,可以求出當前搜索方向上的最優(yōu)步長,因此繼續(xù)進行迭代。新的迭代點為當前梯度向量的長度第二迭代步：因此不用繼續(xù)計算，第一步迭代已經到達最優(yōu)點。這正是牛頓法的二次收斂性。對正定二次函數(shù)，牛頓法一步即可求出最優(yōu)點。3、設有函數(shù)f(X)=x 12+2x22-2x1X2-4x1,試利用極值條件求其極值點和極值。解： 首先利用極值必要條件找出可能的極值點：, 是可能的極值點。正定(或負定)確認極值點。再利用充分條件正定 ,是極小點，極值為 f(X )=-84、求目標函數(shù)f( X )=x 12+x1x2+2x22 +4x1+6x2+10 的極值和極值點。解法同上5、試證明函數(shù)f( X )=2x 1 2+5

11、x22 +x32+2x3x2+2x3x1-6x2+3 在點 1 ， 1， -2T 處具有極小值。解： 必要條件：將點 1 ， 1， -2T 帶入上式，可得充分條件=40正定。因此函數(shù)在點1, 1, -2T處具有極小值6、給定約束優(yōu)化問題min f(X)=(x i-3)2+(X2-2)2s.t. g1(X)= - X12-X22+ 5>0g2(X)=-xi-2x2 + 4>0g3(X)= X 1 >0g4(X)=X2> 0驗證在點X =2, 1T Kuhn-Tucker條件成立。解：首先，找出在點X =2, 1起作用約束：g1(X) =0g2(X) =0g3(X) =2g

12、4(X) =1因此起作用約束為g1(X)、g2(X)0然后，計算目標函數(shù)、起作用約束函數(shù)的梯度，檢查目標函數(shù)梯度是否可以表示為起 作用約束函數(shù)梯度的非負線性組合。求解線性組合系數(shù)得到一均大于0因此在點X=2, 1T Kuhn-Tucker條件成立7、設非線性規(guī)劃問題用K-T條件驗證X* = 1,0為其約束最優(yōu)點。解法同上8、已知目標函數(shù)為f(X)= X1+X2,受約束于： 2、八g1(X)=-X1 +X2 >0g2(X)=X 1 冷寫出內點罰函數(shù)。解：內點罰函數(shù)的一般公式為其中：r少2) >r>r(k) >0是一個遞減的正值數(shù)列產= Cr(k-1),0<C<

13、1因此罰函數(shù)為：9、已知目標甲為 f(X)=( xi-1)2+(x2+2)2受約束于：g1(X)=-X 2-X1-1 > 0g2(X)=2-X 1-X2>0g3(X)=X 1 >0g4(X)=X2 >0 試寫出內點罰函數(shù)。解法同上10、如圖，有一塊邊長為6m的正方形鋁板，四角截去相等的邊長為 X的方塊并折轉，造一 個無蓋的箱子，問如何截法(X取何值)才能獲得最大容器的箱子。試寫出這一優(yōu)化問題的 數(shù)學模型以及用MATLAB軟件求解的程序。11、某廠生產一個容積為8000cm3的平底無蓋的圓柱形容器，要求設計此容器消耗原材料最 少，試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學模型以及用MATL

14、AB軟件求解的程序。12、一根長l的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問應以怎樣的比例截斷 鉛絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫出這一優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型以及用 MATLAB軟件求解的程序。13、求表面積為300m2的體積最大的圓柱體體積。試寫出這一優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型以及 用MATLAB軟件求解的程序。14、薄鐵板寬20cm,折成梯形槽，求梯形側邊多長及底角多大，才會使槽的斷面積最大。寫出這一優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型，并用matlab軟件的優(yōu)化工具箱求解(寫出 M文件和求解命令)。15、已知梯形截面管道的參數(shù)是：底邊長度為 c,高度為h,面積A=64516mm2,斜邊與底 邊的夾角為9,見圖1。管道內液體的流速與管道截面的周長 s的倒數(shù)成比例關系（s只包括 底邊和兩側邊，不計頂邊）。試按照使液體流速最大確定該管道的參數(shù)。寫出這一優(yōu)化設計問題的數(shù)學模