留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 20d)sin,(cos R. sin,cos )sin,(cos 的的有有理理函函數(shù)數(shù)是是其其中中 R思想方法思想方法 :封閉路線的積分（圍道積分法）封閉路線的積分（圍道積分法） .把定積分化為一個(gè)復(fù)變函數(shù)沿某條把定積分化為一個(gè)復(fù)變函數(shù)沿某條兩個(gè)重要工作兩個(gè)重要工作:1) 積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化2) 被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化第1頁(yè)/共30頁(yè) iez 令令 ddiiez ,ddizz )(21sin iieei ,212izz )(21cos iiee ,212zz 當(dāng)當(dāng) 歷經(jīng)歷經(jīng)2,0時(shí)時(shí),1 z繞行一周繞行一周.z 沿正向

2、單位圓周沿正向單位圓周02011ii從而積分化為沿正向單位圓周的積分：從而積分化為沿正向單位圓周的積分：第2頁(yè)/共30頁(yè) d )sin,(cos20 RizzizzzzRzd21,21122 zzfzd)(1 z的有理函數(shù)的有理函數(shù) , 且在且在單位圓周上分母不單位圓周上分母不為零為零 , 滿足留數(shù)定滿足留數(shù)定理的條件理的條件 .包圍在單位圓周包圍在單位圓周內(nèi)的諸孤立奇點(diǎn)內(nèi)的諸孤立奇點(diǎn). .),(Res21 nkkzzfi第3頁(yè)/共30頁(yè)例例1 .)10(dcos21cos2202的值的值計(jì)算計(jì)算 pppI 解解 , 10 p由由于于)cos1(2)1(cos2122 pppp內(nèi)內(nèi)不不為為零零

3、，在在20 故積分有意義故積分有意義.)(212cos22 iiee 由由于于),(2122 zzizzpzzpzzIzd2211221122 第4頁(yè)/共30頁(yè)izzpzzpzzIzd2211221122 zpzpzizzzd)(1(21124 ,1, 0ppz 被積函數(shù)的三個(gè)極點(diǎn)被積函數(shù)的三個(gè)極點(diǎn)內(nèi)內(nèi)，在在圓圓周周1, 0 zpz為一級(jí)極點(diǎn)，為一級(jí)極點(diǎn)，為二級(jí)極點(diǎn)，為二級(jí)極點(diǎn)，且且pzz 0.d )(1zzfz 第5頁(yè)/共30頁(yè)上上被被積積函函數(shù)數(shù)無(wú)無(wú)奇奇點(diǎn)點(diǎn)，所所以以在在圓圓周周1 z )(1(21ddlim0),(Res2420pzpzizzzzzfz222243220)(2)21)(1

4、(4)(limzpppzzippzzzzpppzzz ,2122ipp 第6頁(yè)/共30頁(yè),)1(21224pipp )(1(21)(lim),(Res24pzpzizzpzpzfpz )1(2121222222pippippiI.1222pp 因此因此第7頁(yè)/共30頁(yè)例例2 計(jì)算計(jì)算.sin1d02 xx解解 00222cos11dsin1dxxxx 02cos12d2xx,2tx 令令 20cos3dttizzzzzd2) 1(3112 .16d212 zzzzi第8頁(yè)/共30頁(yè)2231 z極點(diǎn)為極點(diǎn)為 : 02sin1dxx所所以以.2 (在單位圓內(nèi)在單位圓內(nèi))2232 z(在單位圓外在單

5、位圓外)223(),(Res 22 zfii 第9頁(yè)/共30頁(yè) xxRd)(若有理函數(shù)若有理函數(shù) R(x)的分母至少比分子高兩次的分母至少比分子高兩次, 并且并且分母在實(shí)軸上無(wú)孤立奇點(diǎn)分母在實(shí)軸上無(wú)孤立奇點(diǎn).一般設(shè)一般設(shè)2,)()()(1111 nmbzbzazazzRzPzRmmmnnn分析分析可先討論可先討論,d)( RRxxR最后令最后令 R即可即可 .第10頁(yè)/共30頁(yè)2. 積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化:取一條連接區(qū)間兩端的按段光滑曲線取一條連接區(qū)間兩端的按段光滑曲線, 使與區(qū)間使與區(qū)間一起構(gòu)成一條封閉曲線一起構(gòu)成一條封閉曲線, 并使并使R(z)在其內(nèi)部除有在其內(nèi)部除有限孤立奇點(diǎn)外處處

6、解析限孤立奇點(diǎn)外處處解析. (此法常稱為此法常稱為“圍道積分法圍道積分法”)1. 被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化:(當(dāng)當(dāng)z在實(shí)軸上的區(qū)間內(nèi)變動(dòng)時(shí)在實(shí)軸上的區(qū)間內(nèi)變動(dòng)時(shí) , R(z)=R(x) RRxxRd)( Czzfd)(可可取取 f(z)=R(z) .第11頁(yè)/共30頁(yè)O這里可補(bǔ)線這里可補(bǔ)線RC(以原點(diǎn)為中心以原點(diǎn)為中心 , R為半徑為半徑的在上半平面的半圓周的在上半平面的半圓周)RC與與 RR, 一起構(gòu)成封閉曲線一起構(gòu)成封閉曲線C , R(z)在在C及其及其內(nèi)部?jī)?nèi)部(除去有限孤立奇點(diǎn)）處處解析除去有限孤立奇點(diǎn)）處處解析.取取R適當(dāng)大適當(dāng)大, 使使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)所有的在上半

7、平面內(nèi)的極點(diǎn)kz都包在這積分路線內(nèi)都包在這積分路線內(nèi).根據(jù)留數(shù)定理得根據(jù)留數(shù)定理得 : RCkRRzzRizzRxxR,),(Res2d)(d)(z1z2z3 RRxznyCR第12頁(yè)/共30頁(yè)，則，則上，令上，令在在 iReRzC RRCCzzQzPzzRd)()(d)(; ) ( ) (0 deRQeiReRPiii 則則的的次次數(shù)數(shù)至至少少高高兩兩次次的的次次數(shù)數(shù)比比分分子子由由于于分分母母, )()(zPzQ. , 0)()(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) zzQzzP. , 0) ( ) (時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) RzeRQeReRPiii 即即. ),(Res2d)( kzzRixxR所以所以;0d)(: RCzzR

8、R,d)( zzR RRzzRd)(從而從而.kz其中 為R(z)在上半復(fù)平面所有有限遠(yuǎn)處的孤立奇點(diǎn).第13頁(yè)/共30頁(yè)例例3 計(jì)算積分計(jì)算積分), 0, 0()()(d022222bababxaxx )()(1)(22222bzazzR 解解 在上半平面有二級(jí)極點(diǎn)在上半平面有二級(jí)極點(diǎn),aiz .biz 一級(jí)極點(diǎn)一級(jí)極點(diǎn). ),(Res2d)( kzzRixxR. ),(Resd)(21d)(0 kzzRixxRxxR )( 為為偶偶函函數(shù)數(shù)，則則特特別別地地，若若xR第14頁(yè)/共30頁(yè)bizbizaz )()(1222,)(43222322abiaab ),(Res),(ResaizRbiz

9、Ri .)(4)2(23bababa 222222322)(21)(43abbiabiaabi ),(ResbizR 022222)()(dbxaxx所以所以aizbzaiz )()(1222,)(21222babi ),(ResaizR )()(d2122222bxaxx第15頁(yè)/共30頁(yè)例例4 計(jì)算積分計(jì)算積分 dxxxxx91022429102)(242 zzzzzR解解 在上半平面有兩個(gè)單極點(diǎn)：在上半平面有兩個(gè)單極點(diǎn)：.3 ,ii)9)()(2)(lim),(Res22 zizizzzizizRiz.161i )3)(3)(1(2)3(lim3),(Res223izizzzzizizR

10、iz .4873i dxxxxx91022423),(Res),(Res2izRizRi .125 2222(1)(9)zzzz第16頁(yè)/共30頁(yè))0( d)( axexRiax積分存在要求積分存在要求: R(x)是是x的有理函數(shù)而分母的次的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次, 并且并且R(x)在實(shí)軸上在實(shí)軸上無(wú)孤立奇點(diǎn)無(wú)孤立奇點(diǎn).z1z2z3zn RROxyCR同前一類型同前一類型: 補(bǔ)線補(bǔ)線RC與與 RR, 曲線曲線C ,使使R(z)所有的在上半所有的在上半kz都包在這積分路線內(nèi)都包在這積分路線內(nèi) .一起構(gòu)成封閉一起構(gòu)成封閉RC平面內(nèi)的極點(diǎn)平面內(nèi)的極點(diǎn)第17

11、頁(yè)/共30頁(yè)zezRxexRiazCRRiaxRd)(d)( ,)(Res2kiazzezRi由留數(shù)定理由留數(shù)定理: R令令 ,)(Res2)(limd)(kiazCiazRiaxzezRidzezRxexRR.d)( xexRiax，故只要求出故只要求出 RCiazRdzezR )(lim 就可以求出積分就可以求出積分第18頁(yè)/共30頁(yè)充分大）充分大）ReRzi,0( :)(RCzg沿沿半半圓圓周周設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù). 0)(lim zgCRR上有上有上連續(xù)，且在上連續(xù)，且在則則. )0( 0 )(lim RCiazRadzezg約當(dāng)引理：約當(dāng)引理：證證 得：得：由由0)(lim zgR時(shí)時(shí)，有有

12、使使當(dāng)當(dāng)00 , , 0RRR . ,)(RCzzg 第19頁(yè)/共30頁(yè) RCiazzezgd)(及及由由 ,) ( RieReRgii ideReeRgiiaR eii ) ( 0 sincossin aRiaRaRiaR eeeei 得得 deRzezgaRCiazR 0sind)( deRaR 20sin2由約當(dāng)不等式（如右圖）由約當(dāng)不等式（如右圖） oy2 y sin y2 )20( sin2 第20頁(yè)/共30頁(yè) deRdeRzezgaRaRCiazR 20220sin22d)()1(aRea .a 從而從而. )0( 0 )(lim RCiazRadzezg ,)(Res2)(lim

13、d)(kiazCiazRiaxzezRidzezRxexRR根據(jù)約當(dāng)引理根據(jù)約當(dāng)引理及以上的討論得：及以上的討論得： ,)(Res2d)(kiaziaxzezRixexR第21頁(yè)/共30頁(yè)axiaxeiaxsincos xaxxRixaxxRdsin)(dcos)( . ,)(Res2 kiazzezRi ,)(Res2d)(kiaziaxzezRixexR將實(shí)虛部分開(kāi)，可得積分將實(shí)虛部分開(kāi)，可得積分.dsin)( dcos)(xaxxRxaxxR 及及.kz其中 為R(z)在上半復(fù)平面所有有限遠(yuǎn)處的孤立奇點(diǎn).第22頁(yè)/共30頁(yè)例例5 計(jì)算積分計(jì)算積分 .0, 0,d)(sin0222 amx

14、axmxx解解 xaxmxxxaxmxxd)(sin21d)(sin2220222 xeaxximxd)(Im21222在上半平面只有二級(jí)極點(diǎn)在上半平面只有二級(jí)極點(diǎn)22 2( ),()imzzf zeza,aiz 又又第23頁(yè)/共30頁(yè)xeaxximxd)(222 則則aizimzeaizzzaizf 2)(dd),(Res,4maeam ),(Res2Im21aizfi .4maeam aieazziimz,)(Res2222xaxmxxd)(sin0222 所所以以注意注意 以上兩型積分中被積函數(shù)中的以上兩型積分中被積函數(shù)中的R(z)在實(shí)軸在實(shí)軸上無(wú)孤立奇點(diǎn)上無(wú)孤立奇點(diǎn).第24頁(yè)/共30頁(yè)

15、.d Im21dsin 21dsin0 xxexxxxxxix 例例6 計(jì)算積分計(jì)算積分.dsin0 xxx 解解 所所以以是是偶偶函函數(shù)數(shù) ,sinxx因函數(shù)因函數(shù)zeiz在實(shí)軸上有一級(jí)極點(diǎn)在實(shí)軸上有一級(jí)極點(diǎn), 0 z若被積函數(shù)中的若被積函數(shù)中的R(z)在實(shí)軸上有孤立奇點(diǎn)，則在實(shí)軸上有孤立奇點(diǎn)，則),(es21),(e2d)(kkxzRRzzRsRixxR .是是實(shí)實(shí)軸軸上上的的奇奇點(diǎn)點(diǎn)是是上上半半平平面面的的奇奇點(diǎn)點(diǎn)，其其中中kkxz第25頁(yè)/共30頁(yè) 0 ,Re2102dzesixxeizix 所所以以. lim 0izeziizz .2d Im21dsin0 xxexxxix第26頁(yè)/共30頁(yè) 本課應(yīng)用本課應(yīng)用“圍道積分法圍道積分法”