留數(shù)在定積分計算中的應用PPT學習教案

1、會計學1留數(shù)在定積分計算中的應用留數(shù)在定積分計算中的應用 20d)sin,(cos R. sin,cos )sin,(cos 的的有有理理函函數(shù)數(shù)是是其其中中 R思想方法思想方法 :封閉路線的積分（圍道積分法）封閉路線的積分（圍道積分法） .把定積分化為一個復變函數(shù)沿某條把定積分化為一個復變函數(shù)沿某條兩個重要工作兩個重要工作:1) 積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化2) 被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化第1頁/共30頁 iez 令令 ddiiez ,ddizz )(21sin iieei ,212izz )(21cos iiee ,212zz 當當 歷經(jīng)歷經(jīng)2,0時時,1 z繞行一周繞行一周.z 沿正向

2、單位圓周沿正向單位圓周02011ii從而積分化為沿正向單位圓周的積分：從而積分化為沿正向單位圓周的積分：第2頁/共30頁 d )sin,(cos20 RizzizzzzRzd21,21122 zzfzd)(1 z的有理函數(shù)的有理函數(shù) , 且在且在單位圓周上分母不單位圓周上分母不為零為零 , 滿足留數(shù)定滿足留數(shù)定理的條件理的條件 .包圍在單位圓周包圍在單位圓周內(nèi)的諸孤立奇點內(nèi)的諸孤立奇點. .),(Res21 nkkzzfi第3頁/共30頁例例1 .)10(dcos21cos2202的值的值計算計算 pppI 解解 , 10 p由由于于)cos1(2)1(cos2122 pppp內(nèi)內(nèi)不不為為零零

3、，在在20 故積分有意義故積分有意義.)(212cos22 iiee 由由于于),(2122 zzizzpzzpzzIzd2211221122 第4頁/共30頁izzpzzpzzIzd2211221122 zpzpzizzzd)(1(21124 ,1, 0ppz 被積函數(shù)的三個極點被積函數(shù)的三個極點內(nèi)內(nèi)，在在圓圓周周1, 0 zpz為一級極點，為一級極點，為二級極點，為二級極點，且且pzz 0.d )(1zzfz 第5頁/共30頁上上被被積積函函數(shù)數(shù)無無奇奇點點，所所以以在在圓圓周周1 z )(1(21ddlim0),(Res2420pzpzizzzzzfz222243220)(2)21)(1

4、(4)(limzpppzzippzzzzpppzzz ,2122ipp 第6頁/共30頁,)1(21224pipp )(1(21)(lim),(Res24pzpzizzpzpzfpz )1(2121222222pippippiI.1222pp 因此因此第7頁/共30頁例例2 計算計算.sin1d02 xx解解 00222cos11dsin1dxxxx 02cos12d2xx,2tx 令令 20cos3dttizzzzzd2) 1(3112 .16d212 zzzzi第8頁/共30頁2231 z極點為極點為 : 02sin1dxx所所以以.2 (在單位圓內(nèi)在單位圓內(nèi))2232 z(在單位圓外在單

5、位圓外)223(),(Res 22 zfii 第9頁/共30頁 xxRd)(若有理函數(shù)若有理函數(shù) R(x)的分母至少比分子高兩次的分母至少比分子高兩次, 并且并且分母在實軸上無孤立奇點分母在實軸上無孤立奇點.一般設一般設2,)()()(1111 nmbzbzazazzRzPzRmmmnnn分析分析可先討論可先討論,d)( RRxxR最后令最后令 R即可即可 .第10頁/共30頁2. 積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化:取一條連接區(qū)間兩端的按段光滑曲線取一條連接區(qū)間兩端的按段光滑曲線, 使與區(qū)間使與區(qū)間一起構(gòu)成一條封閉曲線一起構(gòu)成一條封閉曲線, 并使并使R(z)在其內(nèi)部除有在其內(nèi)部除有限孤立奇點外處處

6、解析限孤立奇點外處處解析. (此法常稱為此法常稱為“圍道積分法圍道積分法”)1. 被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化:(當當z在實軸上的區(qū)間內(nèi)變動時在實軸上的區(qū)間內(nèi)變動時 , R(z)=R(x) RRxxRd)( Czzfd)(可可取取 f(z)=R(z) .第11頁/共30頁O這里可補線這里可補線RC(以原點為中心以原點為中心 , R為半徑為半徑的在上半平面的半圓周的在上半平面的半圓周)RC與與 RR, 一起構(gòu)成封閉曲線一起構(gòu)成封閉曲線C , R(z)在在C及其及其內(nèi)部內(nèi)部(除去有限孤立奇點）處處解析除去有限孤立奇點）處處解析.取取R適當大適當大, 使使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點所有的在上半

7、平面內(nèi)的極點kz都包在這積分路線內(nèi)都包在這積分路線內(nèi).根據(jù)留數(shù)定理得根據(jù)留數(shù)定理得 : RCkRRzzRizzRxxR,),(Res2d)(d)(z1z2z3 RRxznyCR第12頁/共30頁，則，則上，令上，令在在 iReRzC RRCCzzQzPzzRd)()(d)(; ) ( ) (0 deRQeiReRPiii 則則的的次次數(shù)數(shù)至至少少高高兩兩次次的的次次數(shù)數(shù)比比分分子子由由于于分分母母, )()(zPzQ. , 0)()(時時當當 zzQzzP. , 0) ( ) (時時當當 RzeRQeReRPiii 即即. ),(Res2d)( kzzRixxR所以所以;0d)(: RCzzR

8、R,d)( zzR RRzzRd)(從而從而.kz其中 為R(z)在上半復平面所有有限遠處的孤立奇點.第13頁/共30頁例例3 計算積分計算積分), 0, 0()()(d022222bababxaxx )()(1)(22222bzazzR 解解 在上半平面有二級極點在上半平面有二級極點,aiz .biz 一級極點一級極點. ),(Res2d)( kzzRixxR. ),(Resd)(21d)(0 kzzRixxRxxR )( 為為偶偶函函數(shù)數(shù)，則則特特別別地地，若若xR第14頁/共30頁bizbizaz )()(1222,)(43222322abiaab ),(Res),(ResaizRbiz

9、Ri .)(4)2(23bababa 222222322)(21)(43abbiabiaabi ),(ResbizR 022222)()(dbxaxx所以所以aizbzaiz )()(1222,)(21222babi ),(ResaizR )()(d2122222bxaxx第15頁/共30頁例例4 計算積分計算積分 dxxxxx91022429102)(242 zzzzzR解解 在上半平面有兩個單極點：在上半平面有兩個單極點：.3 ,ii)9)()(2)(lim),(Res22 zizizzzizizRiz.161i )3)(3)(1(2)3(lim3),(Res223izizzzzizizR

10、iz .4873i dxxxxx91022423),(Res),(Res2izRizRi .125 2222(1)(9)zzzz第16頁/共30頁)0( d)( axexRiax積分存在要求積分存在要求: R(x)是是x的有理函數(shù)而分母的次的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次, 并且并且R(x)在實軸上在實軸上無孤立奇點無孤立奇點.z1z2z3zn RROxyCR同前一類型同前一類型: 補線補線RC與與 RR, 曲線曲線C ,使使R(z)所有的在上半所有的在上半kz都包在這積分路線內(nèi)都包在這積分路線內(nèi) .一起構(gòu)成封閉一起構(gòu)成封閉RC平面內(nèi)的極點平面內(nèi)的極點第17

11、頁/共30頁zezRxexRiazCRRiaxRd)(d)( ,)(Res2kiazzezRi由留數(shù)定理由留數(shù)定理: R令令 ,)(Res2)(limd)(kiazCiazRiaxzezRidzezRxexRR.d)( xexRiax，故只要求出故只要求出 RCiazRdzezR )(lim 就可以求出積分就可以求出積分第18頁/共30頁充分大）充分大）ReRzi,0( :)(RCzg沿沿半半圓圓周周設設函函數(shù)數(shù). 0)(lim zgCRR上有上有上連續(xù)，且在上連續(xù)，且在則則. )0( 0 )(lim RCiazRadzezg約當引理：約當引理：證證 得：得：由由0)(lim zgR時時，有有

12、使使當當00 , , 0RRR . ,)(RCzzg 第19頁/共30頁 RCiazzezgd)(及及由由 ,) ( RieReRgii ideReeRgiiaR eii ) ( 0 sincossin aRiaRaRiaR eeeei 得得 deRzezgaRCiazR 0sind)( deRaR 20sin2由約當不等式（如右圖）由約當不等式（如右圖） oy2 y sin y2 )20( sin2 第20頁/共30頁 deRdeRzezgaRaRCiazR 20220sin22d)()1(aRea .a 從而從而. )0( 0 )(lim RCiazRadzezg ,)(Res2)(lim

13、d)(kiazCiazRiaxzezRidzezRxexRR根據(jù)約當引理根據(jù)約當引理及以上的討論得：及以上的討論得： ,)(Res2d)(kiaziaxzezRixexR第21頁/共30頁axiaxeiaxsincos xaxxRixaxxRdsin)(dcos)( . ,)(Res2 kiazzezRi ,)(Res2d)(kiaziaxzezRixexR將實虛部分開，可得積分將實虛部分開，可得積分.dsin)( dcos)(xaxxRxaxxR 及及.kz其中 為R(z)在上半復平面所有有限遠處的孤立奇點.第22頁/共30頁例例5 計算積分計算積分 .0, 0,d)(sin0222 amx

14、axmxx解解 xaxmxxxaxmxxd)(sin21d)(sin2220222 xeaxximxd)(Im21222在上半平面只有二級極點在上半平面只有二級極點22 2( ),()imzzf zeza,aiz 又又第23頁/共30頁xeaxximxd)(222 則則aizimzeaizzzaizf 2)(dd),(Res,4maeam ),(Res2Im21aizfi .4maeam aieazziimz,)(Res2222xaxmxxd)(sin0222 所所以以注意注意 以上兩型積分中被積函數(shù)中的以上兩型積分中被積函數(shù)中的R(z)在實軸在實軸上無孤立奇點上無孤立奇點.第24頁/共30頁

15、.d Im21dsin 21dsin0 xxexxxxxxix 例例6 計算積分計算積分.dsin0 xxx 解解 所所以以是是偶偶函函數(shù)數(shù) ,sinxx因函數(shù)因函數(shù)zeiz在實軸上有一級極點在實軸上有一級極點, 0 z若被積函數(shù)中的若被積函數(shù)中的R(z)在實軸上有孤立奇點，則在實軸上有孤立奇點，則),(es21),(e2d)(kkxzRRzzRsRixxR .是是實實軸軸上上的的奇奇點點是是上上半半平平面面的的奇奇點點，其其中中kkxz第25頁/共30頁 0 ,Re2102dzesixxeizix 所所以以. lim 0izeziizz .2d Im21dsin0 xxexxxix第26頁/共30頁 本課應用本課應用“圍道積分法圍道積分法”