線性代數(shù)自考精講PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1解向量的概念解向量的概念設(shè)有齊次線性方程組設(shè)有齊次線性方程組 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa若記若記（1）第1頁/共46頁,aaaaaaaaaAmnmmnn 212222111211 nxxxx21則上述方程組（則上述方程組（1）可寫成向量方程）可寫成向量方程.Ax0 1212111nnx,x,x 若若為方程為方程 的的0 Ax解，則解，則第2頁/共46頁 121111nx 稱為方程組稱為方程組(1) 的的解向量解向量，它也就是向量方程，它也就是向量方程(2)的解的解第3頁/共46頁齊次線性方程組解的性質(zhì)齊次線性方程組解

2、的性質(zhì)（1 1）若）若 為為 的解，則的解，則 21 x,x0 Ax21 x0 Ax也是也是 的解的解. .證明證明 02121 AAA0021 A,A.Axx的解的解也是也是故故021 第4頁/共46頁（2 2）若）若 為為 的解，的解， 為實數(shù)，則為實數(shù)，則 也是也是 的解的解1 x0 Axk1 kx 0 Ax證明證明 .kkAkA0011 由以上兩個性質(zhì)可知，方程組的全體解向量由以上兩個性質(zhì)可知，方程組的全體解向量所組成的集合，對于加法和數(shù)乘運算是封閉的，所組成的集合，對于加法和數(shù)乘運算是封閉的，因此構(gòu)成一個向量空間，稱此向量空間為齊次線因此構(gòu)成一個向量空間，稱此向量空間為齊次線性方程組

3、性方程組 的的解空間解空間0 Ax證畢證畢.第5頁/共46頁如如果果解解系系的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)稱稱為為齊齊次次線線性性方方程程組組,0 , 21 Axt ; 0,)1(21的的解解的的一一組組線線性性無無關(guān)關(guān)是是 Axt .,0)2( 21出出線線性性表表的的任任一一解解都都可可由由tAx 基礎(chǔ)解系的定義基礎(chǔ)解系的定義第6頁/共46頁的的通通解解可可表表示示為為那那么么的的一一組組基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系為為齊齊次次線線性性方方程程組組如如果果0 AxAxt,0,21 ttkkkx 2211.,21是是任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中rnkkk 第7頁/共46頁線性方程組基礎(chǔ)解系的求法線性方程組基礎(chǔ)解系的求法 00

4、001001,1, 111rnrrrnbbbbA設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為 ，并不妨，并不妨設(shè)設(shè) 的前的前 個列向量線性無關(guān)個列向量線性無關(guān)r于是于是 可化為可化為AAA第8頁/共46頁00000100121,1, 111 nrnrrrnxxxbbbb nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx11111110 Ax第9頁/共46頁現(xiàn)對現(xiàn)對 取下列取下列 組數(shù)：組數(shù)：nrx,x1 rn nrrxxx21 nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx1111111分分別別代代入入., 100, 010, 001第10頁/共46頁依次得依次得 rxx1,

5、bbr 0011111 ,0102122 rbb .bbrn,rrn,rn 1001 從而求得原方程組的從而求得原方程組的 個解：個解：rn .bb,rn,rrn, 1,bbr 212,bbr 111,第11頁/共46頁下面證明下面證明 是齊次線性方程組解空是齊次線性方程組解空間的一個基間的一個基rn, 21 100,010,001由于由于 個個 維向量維向量rn rn 線性無關(guān)，線性無關(guān)，所以所以 個個 維向量維向量 亦線性無關(guān)亦線性無關(guān).rn nrn, 21.,)1(21線線性性無無關(guān)關(guān)證證明明n 第12頁/共46頁.,2)( 21線線性性表表示示可可由由證證明明解解空空間間的的任任一一解

6、解都都rn .11方方程程組組的的一一個個解解為為上上述述設(shè)設(shè)Tnrrx ,rn的的線線性性組組合合再再作作 21rnnrr 2211由于由于 是是 的解的解 故故 也是也是 的的解解.rn, 210 Ax 0 Ax,. 下面來證明下面來證明第13頁/共46頁 0011111rrbb 0102122rrbb 1001rn , rrn ,nbb rnnrr 2211 nrrrcc 211,Ax的的解解都都是是方方程程與與由由于于0 又又等等價價于于而而0 Ax第14頁/共46頁 nrnrrrrnrnrxbxbxxbxbx,11,11111,都都是是此此方方程程組組的的解解與與所所以以 nrrrc

7、c 211 nrrr 211由由.c,crr 11方程組方程組第15頁/共46頁. 故故.rnnrr 2211即即 所以所以 是齊次線性方程組解空間的一個基是齊次線性方程組解空間的一個基.rn, 1說明說明解空間的基不是唯一的解空間的基不是唯一的解空間的基又稱為方程組的解空間的基又稱為方程組的基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系.kkkxrnrn 2211.,21是是任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中rnkkk 第16頁/共46頁定理定理1 1.,)(,0 rnSrARSxAnnmnm 的的維維數(shù)數(shù)為為解解空空間間時時當(dāng)當(dāng)系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣的的秩秩是是一一個個向向量量空空間間構(gòu)構(gòu)成成的的集集合合的的全全體體解解所所元元齊齊次

8、次線線性性方方程程組組);0,(,)( 維向量空間維向量空間為為向量向量此時解空間只含一個零此時解空間只含一個零系系故沒有基礎(chǔ)解故沒有基礎(chǔ)解方程組只有零解方程組只有零解時時當(dāng)當(dāng)nAR .,)(1111221121RkkkkxSkkkkkxrnnrARrnrnrnrnrnrnrn 解空間可表示為解空間可表示為為任意實數(shù)為任意實數(shù)其中其中方程組的解可表示為方程組的解可表示為此時此時基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系個向量的個向量的方程組必有含方程組必有含時時當(dāng)當(dāng)?shù)?7頁/共46頁例例1 1 求齊次線性方程組求齊次線性方程組 0377, 02352, 0432143214321xxxxxxxxxxxx的基礎(chǔ)解系與通解

9、的基礎(chǔ)解系與通解.解解,0000747510737201137723521111 A對系數(shù)矩陣對系數(shù)矩陣 作初等行變換，變?yōu)樾凶詈喚刈鞒醯刃凶儞Q，變?yōu)樾凶詈喚仃?，有陣，有A第18頁/共46頁 .7475,7372432431xxxxxx 便便得得,100143 及及令令xx,7473757221 及及對對應(yīng)應(yīng)有有xx,107473,01757221 即得基礎(chǔ)解系即得基礎(chǔ)解系第19頁/共46頁).,( ,10747301757221214321Rccccxxxx 并由此得到通解并由此得到通解第20頁/共46頁例例2 2 解線性方程組解線性方程組 0765302305532034543215432

10xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解 76513123115531234111A對系數(shù)矩陣施對系數(shù)矩陣施行初等行變換行初等行變換第21頁/共46頁 00000000001311034111 ,rn,n,rAR352 其基礎(chǔ)解系中有三個線性無關(guān)的解向量其基礎(chǔ)解系中有三個線性無關(guān)的解向量. 543254321334xxxxxxxxx代代入入 26220262201311034111 543xxx令令, 010, 001. 100第22頁/共46頁所以原方程組的一個基礎(chǔ)解系為所以原方程組的一個基礎(chǔ)解系為, 001121 故原方程組的通解為故原方程組的通解為.kkkx33

11、2211 .k,k,k為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中321,xx 1221依依次次得得. 12, 31, 010312 . 100123 第23頁/共46頁例例3 3).()(ARAART 證證明明證證.,維維列列向向量量為為矩矩陣陣為為設(shè)設(shè)nxnmA ; 0)(, 0)(, 0 xAAAxAAxxTT即即則則有有滿滿足足若若 . 0, 0)()(, 0)(, 0)( AxAxAxxAAxxAAxTTTT從而推知從而推知即即則則滿足滿足若若 ,0)(0同解同解與與綜上可知方程組綜上可知方程組 xAAAxT).()(ARAART 因因此此第24頁/共46頁.0,1)( 2121的解的解為對應(yīng)的齊次

12、方程為對應(yīng)的齊次方程則則的解的解都是都是及及設(shè)設(shè) AxxbAxxx 證明證明 . 021 bbA . 021 Axx滿滿足足方方程程即即 bAbA 21, 非齊次線性方程組解的性質(zhì)非齊次線性方程組解的性質(zhì)第25頁/共46頁證明證明 AAA ,0bb .的解的解是方程是方程所以所以bAxx 證畢證畢.,0,2)( 的的解解仍仍是是方方程程則則的的解解是是方方程程的的解解是是方方程程設(shè)設(shè)bAxxAxxbAxx 第26頁/共46頁.11 rnrnkkx其中其中 為對應(yīng)齊次線性方程為對應(yīng)齊次線性方程組的通解，組的通解， 為非齊次線性方程組的任意一個特為非齊次線性方程組的任意一個特解解.rnrnkk 1

13、1 非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組非齊次線性方程組Ax=b的通解為的通解為第27頁/共46頁與方程組與方程組 有解等價的命題有解等價的命題bAx ;, 21線線性性表表示示能能由由向向量量組組向向量量nb ;,2121等等價價與與向向量量組組向向量量組組bnn .,2121的的秩秩相相等等與與矩矩陣陣矩矩陣陣bBAnn 線性方程組線性方程組 有解有解bAx 第28頁/共46頁線性方程組的解法線性方程組的解法（1 1）應(yīng)用克萊姆法則）應(yīng)用克萊姆法則（2 2）利用初等變換）利用初等變換特點：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形，特點：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形，計算

14、量大，容易出錯，但有重要的理論價值，可計算量大，容易出錯，但有重要的理論價值，可用來證明很多命題用來證明很多命題特點：適用于方程組有唯一解、無解以及有特點：適用于方程組有唯一解、無解以及有無窮多解的各種情形，全部運算在一個矩陣（數(shù)無窮多解的各種情形，全部運算在一個矩陣（數(shù)表）中進行，計算簡單，易于編程實現(xiàn)，是有效表）中進行，計算簡單，易于編程實現(xiàn)，是有效的計算方法的計算方法第29頁/共46頁例例4 4 求解方程組求解方程組 .2132, 13, 0432143214321xxxxxxxxxxxx解解:施施行行初初等等行行變變換換對對增增廣廣矩矩陣陣B 2132111311101111B,000

15、00212100211011 第30頁/共46頁并并有有故故方方程程組組有有解解可可見見, 2)()( BRAR .212,2143421xxxxx , 042 xx取取,2131 xx則則即得方程組的一個解即得方程組的一個解.021021 取取中中組組在在對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次線線性性方方程程,2,43421 xxxxx 第31頁/共46頁,100142 及及xx,210131 及及則則xx程程組組的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系即即得得對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次線線性性方方,1201,001121 第32頁/共46頁于是所求通解為于是所求通解為).,( ,0210211201001121214321Rcccc

16、xxxx 第33頁/共46頁 .123438,23622, 2323, 75432154325432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解 12134382362120231213711111B例例5 5 求下述方程組的解求下述方程組的解第34頁/共46頁 0000000000002362120711111 .,知知方方程程組組有有解解由由BRAR , 3, 2 rnAR又又所以方程組有無窮多解所以方程組有無窮多解. 且原方程組等價于方程組且原方程組等價于方程組 236227543254321xxxxxxxxx第35頁/共46頁求基礎(chǔ)解系求基礎(chǔ)解系.100,010,001543

17、 xxx 令令依次得依次得.32,10,212121 xx 236227543254321xxxxxxxxx代入代入第36頁/共46頁.10032,01010,0012121321 求特解求特解.223,29, 021543 xxxxx得得令令所以方程組的通解為所以方程組的通解為故得基礎(chǔ)解系故得基礎(chǔ)解系第37頁/共46頁.0002232910032000100012121321 kkkx.,321為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中kkk另一種解法另一種解法 12134382362120231213711111B第38頁/共46頁 0000000000002362120711111 000000000

18、00022331211029202101則原方程組等價于方程組則原方程組等價于方程組第39頁/共46頁 223321292215432531xxxxxxx 5544335432531223322922xxxxxxxxxxxxx所以方程組的通解為所以方程組的通解為第40頁/共46頁.0002232910032010100012121321 kkkx.,321為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中kkk第41頁/共46頁齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法 000010011111rn ,rrrn ,bbbbA（1）對系數(shù)矩陣）對系數(shù)矩陣 進行初等變換，將其化為進行初等變換，將其化為最簡形最簡形A第42頁/共46頁 nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbxAx11111110由于由于令令.,xxxnrr 10001000121（2）得出）得出 ，同時也可知方程組的一，同時也可知方程組的一個基礎(chǔ)解系含有