雙曲線解答題練習含答案

1、雙曲線解答題練習1. 如圖，在以點 O為圓心， |AB| 4為直徑的半圓 ADB 中，OD AB ， P是半圓弧上一點， POB 30 ，曲線 C是滿足| MA | |MB |為定值的動點 M 的軌跡，且曲線C 過點 P . （）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求曲線 C 的方程； （）設(shè)過點 D的直線 l與曲線 C相交于不同的兩點 E、F . 若 OEF 的面積不小于 2 2 ，求直線 l 斜率的取值范圍 .2. 雙曲線的中心為原點 O，焦點在 x軸上，兩條漸近線分別為 l1， l 2 ，經(jīng)過右焦點 F 垂直于l1的直線分別交 l1，l2于 A，B兩點已知uuuruuuruuurOA、AB、OBu

2、uur uuur成等差數(shù)列， 且 BF 與 FA同向）求雙曲線的離心率；）設(shè) AB 被雙曲線所截得的線段的長為 4，求雙曲線的方程3.已知雙曲線 x2 y22 的左、右焦點分別為 F1， F2 ，過點 F2 的動直線與雙曲線相交于 A，B 兩點uuuurI）若動點 M 滿足 F1Muuur uuur uuurF1A F1B F1O （其中 O為坐標原點） ，求點 M 的軌跡方程；II）在 x 軸上是否存在定點uuur uuurC，使 CA· CB為常數(shù)？若存在，求出點C 的坐標；若不存在，請說明理由4.已知雙曲線 C 的方程為2a2b21(a0,b0） ，離心率 e頂點到漸近線的距離

3、為 2 5 。51）求雙曲線 C 的方程； （2）如圖， P是雙曲線 C上一點， A，B 兩點在雙曲線 C的兩 條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若 uuur uuur 1AP PB, ,2 ，求 AOB 面積的取值范圍35求一條漸近線方程是 3x 4y 0 ，一個焦點是 4,0 的雙曲 線標準方程，并求此雙曲線的離心率 （ 12 分）6雙曲線 x2 y2 a2 a 0 的兩個焦點分別為 F1,F2， P為雙曲線上任意一點，求證：PF 1 、PO 、PF2 成等比數(shù)列（ O為坐標原點）（12分）7已知動點 P與雙曲線 x2y21 的兩個焦點 F1，F(xiàn)2 的距離之和為定值，且 cos F1PF

4、2的最 1小值為 13.3（ 1）求動點 P 的軌跡方程；（2）設(shè) M（0，1），若斜率為 k（k0）的直線 l與 P點的軌跡交于不同的兩點 A、B，若 要使| MA|MB|，試求 k的取值范圍 （ 12分）8已知不論 b 取何實數(shù)， 直線 y=kx+b 與雙曲線 x2 2y2 1總有公共點， 試求實數(shù) k的取 值范圍 .（12 分）x2 y29設(shè)雙曲線 C1的方程為 2 2 1（a 0,b 0） ，A、B為其左、右兩個頂點， P是雙曲 ab線 C1上的任意一點，引 QBPB，QAPA，AQ 與 BQ交于點 Q.（1）求 Q 點的軌跡方程 ;（ 2）設(shè)（ 1）中所求軌跡為 C2， C1、C2的

5、離心率分別為 e1、 e2，當 e12 時， e2的取值范圍（ 14 分）10某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響， 正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚 4s. 已知各觀測點到該中心的 距離都是 1020m. 試確定該巨響發(fā)生的位置 .（假定當時聲音傳播的速度為 340m/ s : 相關(guān) 各點均在同一平面上 ）.（14 分）雙曲線練習題答案4 為直徑的半圓 ADB 中， POB 30 ，曲線 C 是 M 的軌跡，且曲線 C 過1. 如圖，在以點 O為圓心，| AB| OD AB ， P 是半圓弧上一點， 滿足 |MA| |MB |為定值的動

6、點 點 P.）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求曲線 C 的方程； （）設(shè)過點 D的直線 l與曲線 C相交于不同的兩點 E、F . 若 OEF 的面積不小于 2 2 ，求直線 l斜率的取值范圍 .解：（）以O(shè)為原點， AB、OD所在直線分別為 x軸、y軸，建立平面直角坐標系， 則 A（-2，0），B（2，0），D（0,2）,P（ 3,1 ），依題意得MA-MB=PA-PB （23）2 12 （23）2 122 2 AB 4.曲線 C是以原點為中心， A、B 為焦點的雙曲線設(shè)實半軸長為 a，虛半軸長為 b，半焦距為 c，則 c 2，2a 2 2 ， a2=2,b2=c2-a2=2.22曲線 C的方程為

7、 x y1.22解法 2：同解法 1 建立平面直角坐標系，則依題意可得MA-MB=PA-PBAB 4.曲線 C是以原點為中心， A、B 為焦點的雙曲線 .設(shè)雙曲線的方程為2x2a2 y2 1(a >0，b>0) .b2則由3)22a22ab1b241解得 a2=b2=2,曲線 C 的方程為2y2 1.2（ ）解法 1：依題意，可設(shè)直線 l 的方程為ykx+2，代入雙曲線 C 的方程并整理得（ 1-K2）x2-4kx-6=0.直線 l 與雙曲線 C 相交于不同的兩點E、F，k13k1k 2 0( 4k)2 4 6(1 k 2) 0k（- 3,-1）（-1，1）（ 1， 3）.4k1k

8、設(shè)E(x，y)，F(xiàn)(x2,y2)，則由式得 x1+x2=14kk2 ,x1x2EF (x1 x2) 2 (y1 x2)2(1k2)(x1x2)2 1 k2(x1x2 )2 4x1x22 2 3 k2 k2而原點 O 到直線 l的距離2 d 1 k2 ，2 2 3 k21 k2SDEF= 1d EF2若 OEF面積不小于 2 2,即 SOEF 2 2 ，則有k22 2 3 k 2 2 k4 k2 2 0,解得2 k 2.綜合、知，直線 l的斜率的取值范圍為 - 2 ， -1 （1-,1） （1, 2 ）.解法 2：依題意，可設(shè)直線 l 的方程為 y kx+2，代入雙曲線 C的方程并整理，得( 1

9、-K2) x2-4kx-6=0.直線 l 與雙曲線 C 相交于不同的兩點E、F，k13 k 31 k2 022( 4k)2 4 6(1 k 2) 0.k（- 3 ，-1）（ -1，1）（1， 3）.設(shè) E(x1,y1),F(x2,y2),則由式得x1-x2= (x1 x2) 2 4x1x22 2 3 k21 k 2當 E、 F在同一去上時（如圖 1 所示），11S ODF S ODEODx1 x2 OD x1 x221 2 2 1 2SOEF當 E、 F在不同支上時（如圖 2所示） .1SOEF SODF SODE= 2 OD (x11x2) 12 ODx1x2 .綜上得 S OEF 1 OD

10、2x1 x2, 于是2 2 3 k2 由 OD 2 及式，得 SOEF= 2 2 3 k若 OEF面積不小于2 2,即S OEF 2 2,則有2 2 3 k21 k 222k 4 k2 0, 解得 2 k2.綜合、 知，直線l 的斜率的取值范圍為 - 2 ，-1( -1，1）（ 1，2）2. ()設(shè) OA md ， AB m ， OB m d由勾股定理可得： （md)2 m2 (m d)2得： d 1 m ， tan AOF4b， tan aAOB tan 2 AOFABOA由倍角公式2ba21 b 2a44 ，解得31 , 則離心率 e2）過 F 直線方程為ba(xc） ,與雙曲線方程2x2

11、a2 y b21聯(lián)立將 a 2b ， c 5b 代入，化簡有15 2 8 52 x x 4b2b21將數(shù)值代入，有 4 5 32 5b154285b ,解得 b22故所求的雙曲線方程為 x y36 91。3. 解：由條件知 F1（ 2，0） ， F2 （2，0） ，設(shè) A（x1，y1） ，B(x2，y2)I）解法一：（I）設(shè) M （x，y） ，則uuuur則 F1M ( x 2，uuury) ， F1A( x1 2，y1)，uuurF1Buuur(x2 2，y2)，F(xiàn)1O (2，0) ，uuuurF1Muuur uuurF1 A F1BuuurF1O 得2 x1 x2 6，即x1 x24，y1

12、 y2y1 y2AB 的中點坐標為x 4 ，y22當 AB 不與 x 軸垂直時，y1 y2x1 x2y2x422y，x 8 ，即 y1y2x y 8 (x1x8x2)又因為 A，B 兩點在雙曲線上，所以22x1 y12， x222y22 ，兩式相減得(x1 x2)(x1 x2) (y1 y2)(y1 y2)，即 (x1x2)(x4)(y1 y2)y 將 y1 y2y (x1 x2) 代入上式，化簡得 ( x 6)2x8當 AB與 x軸垂直時， x1 x2 2，求得 M （8，0） ，也滿足上述方程所以點 M 的軌跡方程是 (x 6)2 y2 4 x1 x2 x 4，解法二：同解法一的( I)有

13、y1 y2 y當 AB 不與 x 軸垂直時，設(shè)直線 AB 的方程是k(x 2)( k1)代入 x2 y2 2 有 (1 k 2)x2 4k 2x(4k22)0則 x1， x2 是上述方程的兩個實根，所以x1 x24k2k 2 1y1 y2 k ( x1x2 4)k 4k2k14kk 2 1由得4k2k 2 14ky k2 1當 k 0 時，0 ，由得，x4k ，將其代入有y4xy (x 4)y2( x 4)2 121y4y( x 4)22 (x 4)2 y2整理得 (x 6)2 y2 4 當 k 0 時，點 M的坐標為 (4，0) ，滿足上述方程當 AB 與 x 軸垂直時，x1 x22 ，求得

14、 M (8，0) ，也滿足上述方程故點 M 的軌跡方程是 (x 6)2 y2 4 uuur uuurII)假設(shè)在 x軸上存在定點 C(m，0) ，使 CAgCB為常數(shù)1)當 AB 不與 x 軸垂直時，設(shè)直線 AB 的方程是 y k(x 2)( k代入 x2 y2 2有 (1 k2)x2 4k2x (4k2 2) 0則 x1， x2 是上述方程的兩個實根，所以x1 x24k22， x1x2k14k2 2 ， k 2 1 ，uuur uuur 2于是 CAgCB (x1 m)(x2 m) k2( x1 2)(x2 2)2(1 2m)k 2 2 2 4 4m 2 m2 2(1 2 m) 2m2k1u

15、uur uuur uuur uuur因為 CAgCB是與 k 無關(guān)的常數(shù)，所以 4 4m 0，即 m 1，此時 CAgCB = 1當 AB 與 x 軸垂直時，點 A， B 的坐標可分別設(shè)為 （2， 2） ， （2， 2） ，uuur uuur此時 CAgCB (1，2) g(1， 2)1uuur uuur故在 x軸上存在定點 C（1，0） ，使 CAgCB為常數(shù)4.（）由題意知，雙曲線C 的頂點（ 0，a）到漸近線 ax所以 aba2 b 2ab25c5由ca25 得 b 1a22 ca2 b2 c 52 5 所以5所以曲線 C 的方程是 y4）設(shè)直線AB 的方程為由題意知 k2, m 0m得

16、A點的坐標為（m得B點的坐標為（2將 P 點的坐標代入 y x 24設(shè) Q 為直線 AB 與 y 軸的交點，則 Q 點的坐標為（ 0 ，S AOB = S AOQ S BOQby 0的距離為 255 ，5229x2 16y2，雙曲線有一個焦點為（ 4， 0），6789雙曲線方程化為：2 x2y2 19161648225916雙曲線方程為：2 x2y 2 11444e16525642525512 分）解析 ：設(shè)雙曲線方程為：12 分）解析 ：易知 b則 PF12x12 分）解析 ：a,c2a,e2 ，準線方程： xa ，設(shè) P x,y ，22(xa2 )，PF 22 2 2 2(x a ) x

17、ya2 )，PO22 xyPF1 PF22(x2a2)22x2 a 22PO 2PF 1 、PO 、PF2成等比數(shù)列 .(1) x2 y2 1， c 2.設(shè)| PF1| | PF2| 2a(常數(shù) a>0)，2a>2c2 2，a> 2由 余弦 定 理有 cosF1PF2 | PF1| 2 | PF2| 2| F1F2| 2 (| PF1| | PF2|) 22| PF1| PF2| | F1F2| 2 2a24 1| PF1| PF2| 1 | PF1| PF2| (2| PF1| PF2|2| PF1| PF2|PF1| | PF2| ）2a2，當且僅當 | PF1| | P

18、F2|時， | PF1| PF2| 取得最大值2a42aa2 4 1 31，解得 a23， b2 a2a2.此時 cos F1PF2 取得最小值x2P 點的軌跡方程為 x3y21.3（2）設(shè) l：y kxm（k0），則由，設(shè) A(x1，y1)，B(x2， y2)，3km m即 Q( 2，2)13k2 1 3k2m13k21klkAB k· 3km 13k2a22x3y則 AB 中點1，由題意kxc2 3 2 1將代入得： （13k2）x26kmx3（m21）0 （*）x1 x2 3kmQ（x0， y0）的坐標滿足： x0m2 1 3k2，y0 kx0m13k2|MA|MB|，M 在 AB的中垂線上，1 3k21 ，解得 m 123k 又由于 （*） 式有兩個實數(shù)根，知>0，即 (6km)24(13k2)3(m21) 12(13k2m2)>0 13k2 121 3k2( 2 )2>0，解得 1<k< 1，由 k0， ，將代入得 k 的取值范圍是 k（ 1，0） （0，1).y kx b22x 2y 1消去 y 得(2k21)x2+4kbx+(2b2+1)=0,2 2b 2 1 ，不合題意 .2 2b12 分）解析 ：聯(lián)立方程組0, 即 k2 時，若 b=0，則 k；若 b 0 x22 時，依題意有 =（4kb）22當1當12k22