七年級(jí)數(shù)學(xué)思維探究21線段射線與直線含答案

1、歐幾里得，古希臘數(shù)學(xué)家在流傳了幾千年的光輝著作幾何原本中，他用公理化方法將古希臘豐富的幾何學(xué)知識(shí)整理在嚴(yán)密的邏輯系統(tǒng)之中，使幾何學(xué)成為一門獨(dú)立的、演繹的科學(xué)，傳說托勒密王曾經(jīng)問他，除了他的幾何原本外還有沒有學(xué)習(xí)幾何的捷徑，他回答說：“幾何，無王者之道”這句話成為千古流傳的名言21線段、射線與直線解讀課標(biāo)意大利科學(xué)家伽利略曾說：“大自然用數(shù)學(xué)的語言講話，這個(gè)語言的字母是：圓、三角形以及其他各種數(shù)學(xué)形體”構(gòu)成平面圖形的基本元素是點(diǎn)和線在幾何圖形中，點(diǎn)無大小，線無寬窄，它們都是抽象思維的產(chǎn)物運(yùn)動(dòng)成線，線運(yùn)動(dòng)成面，面運(yùn)動(dòng)成體在線中，最簡(jiǎn)單、最常見的就是線段、射線、直線，它們的概念、畫法、性質(zhì)不但是后續(xù)

2、學(xué)習(xí)研究由線段組成的較復(fù)雜圖形的基礎(chǔ)，而且為現(xiàn)實(shí)問題的解決提供了有力的工具，使得許多問題的研究可以轉(zhuǎn)化為直觀、簡(jiǎn)明的幾何圖形的研究觀察一操作一思考一交流一總結(jié)是學(xué)習(xí)平面圖形性質(zhì)的有效途徑，解與線段相關(guān)的問題時(shí)，常用到中點(diǎn)、代數(shù)化、窮舉、分類與討論等概念與方法問題解決例1 已知一條直線上有、三點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，則線段的長(zhǎng)為_試一試?yán)弥悬c(diǎn)表示相關(guān)線段，因未給出圖形，故應(yīng)考慮點(diǎn)位置的多種可能例2如圖，已知是線段上的一點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則等于（ ）A B C D試一試?yán)弥悬c(diǎn)，設(shè)法把、用含相同線段的代數(shù)式表示，例3（1）在一條直線上有個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端

3、點(diǎn)的線段共有多少條？（2）平面內(nèi)有條兩兩相交直線，這條直線最少有幾個(gè)交點(diǎn)？最多有幾個(gè)交點(diǎn)？試一試從簡(jiǎn)單情形入手，由簡(jiǎn)到繁，歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律，或運(yùn)用“兩點(diǎn)確定一條線段（直線）”、“兩條直線相交有且只有一個(gè)交點(diǎn)”等幾何性質(zhì)作抽象分析，例4 已知為線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)（1）畫出相應(yīng)的圖形，并求出圖中線段的條數(shù)；（2）若圖中所有線段的長(zhǎng)度和為，求線段的長(zhǎng)度；（3）若為線段上的點(diǎn)，為的中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度試一試對(duì)于（2），設(shè)，把其他線段長(zhǎng)用的式子表示，通過列方程求解：對(duì)于（3），把長(zhǎng)用恰當(dāng)?shù)木€段和表示例5如圖，已知點(diǎn)、是數(shù)軸上三點(diǎn)，為原點(diǎn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，（1）求點(diǎn)、對(duì)應(yīng)的數(shù)；（2）動(dòng)點(diǎn)、同時(shí)從、出發(fā)，分別以

4、每秒個(gè)單位和個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)、為的中點(diǎn)，在上，且，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為求點(diǎn)、對(duì)應(yīng)的數(shù)（用含的式子表示）；為何值時(shí)，分析 對(duì)于（2），把、進(jìn)一步用含的式子表示，建立的方程解 （1）、兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為、（2），為中點(diǎn)，則，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，由得由得故當(dāng)秒或秒時(shí)巧合還是必然例6如圖，“回”字形的道路寬為米，整個(gè)“回”字形是一個(gè)長(zhǎng)米、寬米的長(zhǎng)方形場(chǎng)地，如果你沿著小路的中間從內(nèi)部出發(fā)走完這條小路，共走多少米？ 分析與解 行走路線的總寬為，總長(zhǎng)為，因此走完這條小路的總長(zhǎng)為細(xì)心的讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)，正好是長(zhǎng)方形場(chǎng)地長(zhǎng)與寬的乘積，也就是說，走完這條小路的總長(zhǎng)與這塊長(zhǎng)方形場(chǎng)地面積的數(shù)值相等追問 上述關(guān)系

5、是巧合還是必然？若是巧合，怎樣解釋這一現(xiàn)象；若是必然，又如何證明？探究（1）若路寬為米，走完這條小路共走多少米？（2）若長(zhǎng)方形的場(chǎng)地的長(zhǎng)為，寬為，其中充滿寬為的小路，走完這條小路共走多少米？數(shù)學(xué)沖浪知識(shí)技能廣場(chǎng)1如圖，已知線段，延長(zhǎng)到，使，為的中點(diǎn)，那么的長(zhǎng)為_2已知點(diǎn)在直線上，且線段的長(zhǎng)度為，線段的長(zhǎng)度為，、分別為線段、的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為_3小宇同學(xué)在一次手工制作活動(dòng)中，先把一張長(zhǎng)方形紙片按如圖所示的方式進(jìn)行折疊，使折痕的左側(cè)部分比右側(cè)部分短；展開后按圖的方式再折疊一次，使第二次折痕的左側(cè)部分比右側(cè)部分長(zhǎng)，再展開后，在紙上形成的兩條折痕之間的距離是_4如圖，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，下列等式不

6、正確的是（ ）A B C D5如圖，點(diǎn)、順次在直線上，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)若想求出的長(zhǎng)度，則只需條件（ ）A B C D6如圖，有、三戶家用電路接人電表，相鄰電路的電線等距排列，則三戶所用電線（ ）A戶最長(zhǎng) B戶最長(zhǎng) C戶最長(zhǎng) D三戶一樣長(zhǎng)7已知線段，直線上有一點(diǎn)（l）若，求的長(zhǎng)；（2）若是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)8（1）一條直線可以把平面分成兩個(gè)部分（或區(qū)域），如圖，兩條直線可以把平面分成幾個(gè)部分？三條直線可以把平面分成幾個(gè)部分？試畫圖說明（2）四條直線最多可以把平面分成幾個(gè)部分？試畫出示意圖，并說明這四條直線的位置關(guān)系（3）平面上有條直線，每?jī)蓷l直線都恰好相交，且沒有三條直線交于一點(diǎn)

7、，處于這種位置的條直線分一個(gè)平面所成的區(qū)域最多，記為，試研究與之間的關(guān)系思維方法天地9如圖，、依次是上的三點(diǎn)，已知，則圖中以、這個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的所有線段長(zhǎng)度的和為_10平面上不重合的兩點(diǎn)確定一條直線，不同三點(diǎn)最多可確定條直線若平面上不同的個(gè)點(diǎn)最多確定條直線，則的值為_11如圖，一根長(zhǎng)為、寬的長(zhǎng)方形紙條，將它按圖所示的過程折疊為了美觀，希望折疊完成后紙條端到點(diǎn)的距離等于端到點(diǎn)的距離，則最初折疊時(shí)，的長(zhǎng)應(yīng)為_12某班名同學(xué)分別站在公路的、兩點(diǎn)處，、兩點(diǎn)相距米，處有人，處有人要讓兩處的同學(xué)走到一起，并且使所有同學(xué)走的路程總和最小，那么集合地點(diǎn)應(yīng)選在（ ）A點(diǎn)處 B線段的中點(diǎn)處C線段上，距點(diǎn)米處 D線段上

8、，距點(diǎn)米處13公園里準(zhǔn)備修條直的通道，并在通道交叉路口處設(shè)一個(gè)報(bào)亭，這樣的報(bào)亭最多設(shè)（ ）A個(gè) B個(gè) C個(gè) D個(gè)14線段上選取種點(diǎn)，第種是將等分的點(diǎn)；第種是將等分的點(diǎn)；第種是將等分的點(diǎn)，這些點(diǎn)連同線段的端點(diǎn)可組成線段的條數(shù)是（ ）A B C D15電子跳蚤游戲盤為，如果電子跳蚤開始時(shí)在邊上點(diǎn)，。第一步跳蚤跳到邊上點(diǎn)，且；第二步跳蚤從跳到邊上點(diǎn)，且；第三步跳蚤從跳到邊上點(diǎn)，且跳蚤按上述規(guī)則跳下去，第次落到，請(qǐng)計(jì)算與之間的距離16在直線上，點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)若，且使關(guān)于的方程有無數(shù)個(gè)解（1）求線段的長(zhǎng)；（2）試說明線段的長(zhǎng)與點(diǎn)在線段上的位置無關(guān)；（3）如圖，若點(diǎn)為線段的

9、中點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，試說明的值不變17切蛋糕在小明歲的生日晚會(huì)上，一共有位客人到場(chǎng)，在他吹滅了生日蠟燭，準(zhǔn)備切蛋糕時(shí)，爸爸說：“小明，你能用最少的切割次數(shù)為我們?cè)谧娜嗣壳幸环莸案鈫?？你切割次，最多能切得多少塊蛋糕？”18已知數(shù)軸上、兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)分別為和，為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)數(shù)為（1）若為線段的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)；（2）數(shù)軸上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)距離和為？若存在，求出值；若不存在，請(qǐng)說明理由（3）若點(diǎn)、點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在原點(diǎn))同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)，它們的速度分別為、個(gè)長(zhǎng)度單位分，則第幾分鐘時(shí)，為的中點(diǎn)？21線段、射線與直線問題解決例1 或例2B，例3（1）；（2）當(dāng)平面內(nèi)兩兩相交的條直線交于一點(diǎn)

10、時(shí)，此時(shí)交點(diǎn)個(gè)數(shù)最少為個(gè)；為使平面內(nèi)兩兩相交的直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多，可使其任意兩線相交都產(chǎn)生一個(gè)新的交點(diǎn)，且任意三條直線都不過同一點(diǎn)，于是可得交點(diǎn)數(shù)最多為例 4（1）略（2）（3）例6追問假定有這樣一條長(zhǎng)方形的小路，寬，長(zhǎng)，如圖，沿著這條小路的中間行走，顯然行走路線的長(zhǎng)為，這就說明行走路線的長(zhǎng)與寬為的長(zhǎng)方形小路的長(zhǎng)是相等的由于長(zhǎng)方形場(chǎng)地充滿了寬的小路，這便啟發(fā)我們將長(zhǎng)方形場(chǎng)地分割成條寬、長(zhǎng)的小路，如圖，于是這條小路的總長(zhǎng)為探索（1）；（2）假定有這樣一條小路，長(zhǎng)為，寬為沿著這條小路的中間行走，顯然行走路線的長(zhǎng)為由于長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形場(chǎng)地可以分割成條長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形小路，可知這條小路的長(zhǎng)為數(shù)學(xué)沖浪1 2或 3 4D 5A 6D 7（1）或（2）8（1）如圖1，兩條直線因其位置不同，可以分別把平面分成個(gè)或個(gè)區(qū)域；如圖2，三條直線因其位置關(guān)系的不同，可以分別把平面分成個(gè)、個(gè)和個(gè)區(qū)域（2）如圖3，四條直線最多可以把平面分成個(gè)區(qū)域，此時(shí)這四條直線位置關(guān)系是兩兩都相交，且無三線共點(diǎn)（3）平面上條直線兩兩相交，且沒有三條直線交于一點(diǎn)，把平面分成個(gè)區(qū)域，平面本身就是一個(gè)區(qū)域，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由此可以歸納公式9其長(zhǎng)度總和10平面上個(gè)不同點(diǎn)最多可確定條直線11設(shè)，則12A設(shè)集合地點(diǎn)在線段的處，距點(diǎn)米，則距點(diǎn)米，所走的路程總和為，當(dāng)時(shí)，總和最小為米13B 14C線段間出現(xiàn)個(gè)點(diǎn)，