坐標系與參數(shù)方程

1、專題20坐標系與參數(shù)方程1考查參數(shù)方程與普通方程、極坐標方程與直角坐標方程的互化.2考查利用曲線的參數(shù)方程、極坐標方程計算某些量或討論某些量之間的關(guān)系.、直角坐標與極坐標的互化如圖，把直角坐標系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標系中取相同的長度單位設 M是平面內(nèi)的任意一點，它的直角坐標、極坐標分別為(x, y)和(p 0),貝U【特別提醒】在曲線方程進行互化時，一定要注意變量的范圍，要注意轉(zhuǎn)化的等價性.二、直線、圓的極坐標方程(1) 直線的極坐標方程若直線過點M(p,0o)，且極軸到此直線的角為a,則它的方程為：pin(0a)=posin( 0一 a.幾個特殊位置直線的極坐標方程

2、直線過極點：0= a； 直線過點 M(a,0)且垂直于極軸：pcos 0= a; 直線過點M b, n且平行于極軸：psin 0= b.(2) 幾個特殊位置圓的極坐標方程 圓心位于極點，半徑為 r: p=r; 圓心位于 M(r,0)，半徑為r: p= 2rcos 0; 圓心位于 Mr, n，半徑為r： p= 2rsin 0.【特別提醒】當圓心不在直角坐標系的坐標軸上時，要建立圓的極坐標方程，通常把極點放置在圓心處，極軸與x軸同向，然后運用極坐標與直角坐標的變換公式.三、參數(shù)方程（1）直線的參數(shù)方程X= Xo+ tcos a,過定點M（Xo, y°）,傾斜角為a的直線l的參數(shù)方程為c.

3、（t為參數(shù)）.y= yo十 tSin a（2）圓、橢圓的參數(shù)方程x= xo+ rcos 0, 圓心在點M（xo,yo），半徑為r的圓的參數(shù)方程為.n （0為參數(shù)，02 n ）|y = yo十 rsin 022產(chǎn)x2 yx= acos 0, 橢圓-7十7= 1的參數(shù)方程為a by= bsin 0（0為參數(shù)）.【特別提醒】在參數(shù)方程和普通方程的互化中，必須使 x, y的取值范圍保持一致.高頻考點突破考點一坐標系與極坐標例1.【2017天津，理11】在極坐標系中，直線 4Tcos（二） 1 =0與圓T二2sin二6的公共點的個數(shù)為.【答案】2【解析】直纟媯2的卄2嚴1 = 0 ,圓為x;+（y-l）

4、*=l，因=-<1 ,所臥有兩個交點4【變式探究】【2016年高考北京理數(shù)】在極坐標系中，直線'cost - 3?sinv -1 = 0與圓'=2cos交于A, B兩點，則 |AB|=.【答案】2【解析】直線x-. 3y-1=0過圓（x1）2，y2=1的圓心，因此 AB =2.P= 2cos 0的垂直于極軸的兩條切線方程分別為（）【變式探究】在極坐標系中，圓A. 0= 0( p R)和 pcos 0= 2nB. 0= 2( p R)和 pcos 0= 2nC. 0= 2( p R)和 pcos 0= 1D. 0= 0( p R)和 pcos 0= 1解析 由 p= 2co

5、s 0得 x2 + y2 2x= 0.(x- 1)2+ y2= 1,圓的兩條垂直于 x軸的切線方程為 x= 0和x= 2.一、n故極坐標方程為 0= 2（ p R）和pcos 0= 2，故選B.答案 B考點二參數(shù)方程例2 .【2017 江蘇】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程（本小題滿分10 分）在平面坐標系中xOy中，已知直線I的參考方程為x - -8 tt（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方 2程為x =2s ,y =2. 2s(s為參數(shù)）.設P為曲線C上的動點，求點 P到直線I的距離的最小值【答案】4 .55【解析】直線？的普通方程為x-2v+8=0因為點P在曲線C上，設鬥2代2妊卜2八4任+ $2$

6、-血+ 4從而點尸到直線的的距離d = =亠_百當占=血時，£決=士£ 因此當點尸的坐標為（4 4）時，曲線C上點尸到直線f的距離取到最小值婪【考點】參數(shù)方程化普通方程【變式探究】【2016高考新課標1卷】（本小題滿分10分）選修4 4 :坐標系與參數(shù)方i x = a cost在直角坐標系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為錯誤！未找到引用源。(ty =1 + as int為參數(shù),a > 0).在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中 ，曲線C2：尸4cosv.(I) 說明Ci是哪一種曲線，并將C的方程化為極坐標方程；(II) 直線C3的極坐標方程為v - :-0,其

7、中:-0滿足tan : 0=2若曲線Ci與C2的公共點都 在C3上，求a.【答案】(I)圓，評 _2 3n1-a2 =0 (II) 1【解析】解：(I)消去參數(shù)得到q的普通方程f+0-1)圧G是法(Q1)為圓心，口為半徑的圓ix=pcoy代入C；的普通方程中,得到C；的極坐標方程為p sin 3 + 1 a' = 0.< ii)曲線GG的公共點的極坐標満足方程組pz -2jsin & + 】-/ = 0p = 4 cos 仇若由萬程組得 16cos: -8siiicosi?+l-(7: = 0?由已知tan = 2 ,16COS2<9-8smcos(9 = 0,從而

8、 1-=0,解得a = -l (舍去)，a-1口=1時，極點也為的公共點，在G上所以2“ 一I x = 1 +1【變式探究】(2015重慶，15)已知直線I的參數(shù)方程為'(t為參數(shù))，以坐標I十t原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為p2cos 2 0 =4p> o, 3n< e<于丿，則直線I與曲線C的交點的極坐標為.解析 直線I的直角坐標方程為 y= x+ 2，由p2cos 2 e= 4得p(cos2 0 sin2 0) = 4,直角 坐標方程為x2 y2= 4，把y= x + 2代入雙曲線方程解得 x= 2，因此交點為(一2, 0)，其

9、極 坐標為(2, n)答案（2, n）【變式探究】（2014江西，11（2）若以直角坐標系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，則線段y= 1 x（0 X 1的極坐標方程為（）A.P=cos 0+ sinB.1cos 0+ sin 0， n0<0tnC. p= cos 0+ sin 0, 0<02n解折X p cos &=psinD. p= cos 0+ sin 0, 0<0壬-y 1x化為極坐標方程対嚴皿*+1 f即P= 丄口- +-'0SrSl jcos p-f- sin p二線段在第一象限內(nèi)倍端點）八-蟲界殳故選A答案 A1. 【2017天津，

10、理11】在極坐標系中，直線 4：、cosC）7=0與圓r二2sin二的6公共點的個數(shù)為.【答案】2【解析】直線為273x +2y +1 = 0 ，圓為x2十（y -1）2 = 1，因為d =§ c 1，所以 4有兩個交點22. 【2017北京，理11】在極坐標系中，點 A在圓 -2'cosv -4，sin，4 = 0上,點P的坐標為（1,0），則| AP|的最小值為 .【答案】1【解析】將圓的極坐標方程化為普通方程為x2 y2 -2x-4y 4 = 0，整理為（x1 ）+（2 ）=1 ,圓心C（1,2 ），點p是圓外一點，所以|AP|的最小值就是|AC|-r =2-1=1.x

11、= 3cos v,3. 【2017課標1，理22】在直角坐標系 xOy中，曲線C的參數(shù)方程為.（0j =si n為參數(shù)），直線I的參數(shù)方程為乂乩4辱為參數(shù)）.y J -t.(1若a=-1，求C與I的交點坐標;(2)若C上的點到I的距離的最大值為,17，求a.【答案】(1)C與I的交點坐標為3,0 ,(21 24 25,25；(2) a = 8 或 a = -16.【解析】(1)曲線C的普通方程為2X 2彳 y =1.9當a - -1時,直線I的普通方程為解得X "或y = 021x 二2524 y 二25x 4y -3 =0由 X 21y 19從而C與I的交點坐標為 3,0 ，21

12、24 直線/的普通方程為尤+卄-口-故C上的點迢血刃到/的距離為方 |3c% +Asin®-口一當時，£的最丈值為蕭一由題設得斧二圧，所以“恥當X"時川的最大值為耳里曲題i殳得害二加，所決"76W'-yl 7【2017 江蘇】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）jx = -8 ' t在平面坐標系中xOy中，已知直線I的參考方程為t（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方廠2ix =2s2程為X 2sl (s y =2 2s為參數(shù)）.設P為曲線C上的動點，求點 P到直線I的距離的最小值【答案】竺55【解析】直線I的普通方程為x _2y 8

13、=0.因為點P在曲線C 上，設 P 2s2,2、2s ,從而點P到直線I的的距離d =2s2 4>/2s+82(s-72 ) +4/ 2 2-1 -2；5當s *2時,4/5dm in5因此當點P的坐標為 4,4時，曲線C上點P到直線I的距離取到最小值 乞551. 【2016年高考北京理數(shù)】在極坐標系中，直線 cost -込tsi-1=0與圓p=2cos日交于 A, B兩點y | AB|=.【答案】2【解析】直線xJ3y1=0過圓（x1）2+y2=1的圓心，因此|ab|=2.2. 【2016高考新課標1卷】（本小題滿分10分）選修4 4 :坐標系與參數(shù)方程一X = a cost在直角坐標

14、系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為錯誤！未找到引用源。（t=1 十 as int為參數(shù),a > 0）.在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中 ，曲線C2：尸4 cost.（I）說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程；（II） 直線G的極坐標方程為v - -0,其中：-0滿足tan 0 =2若曲線C1與C2的公共點都 在C3上，求a.【答案】(I)圓，P2-2 Psin8+1_a2=0 (II) 1【解析】解：(I)消去參數(shù)t得到CJ的普通方程/+O-1)八G是以(o；i)為圓心，曰為半徑的圓將"P g矽y=p sing代入q的普通方程中，得到q的極坐標方程為p

15、* -2psin & + l-a: =0(n)曲線CC2的公共點的極坐標滿足方程組P2 2Psi n 日 +1 -a2 =0,kP = 4cosT,若 P 工0，由方程組得 16cos2 0 -8sincos日+1a2 =0，由已知 tan6=2,可得 16cos2 v -8sin rcosv - 0，從而 1 -a2 =0，解得 a - -1 (舍去)，a =1.a =1時，極點也為 G,C2的公共點，在C3上所以a=1.3. 【2016高考新課標2理數(shù)】選修4 4:坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中，圓C的方程為(x 6)2 y2 = 25.(I)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極

16、軸建立極坐標系，求C的極坐標方程；X = t COSG(n)直線丨的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，丨與C交于A,B兩點，ly =tsi na| AB|"0，求丨的斜率.J15【答案】(I)2 12cost *11=0 ； (n)3【解析】（D由xp6.ry = pe可得C的極坐標方程p:+12pcos4-ll = 0.（II）在 中建立的極坐標系中，直線的極坐標方程為日二氐3總盤）由4 B所對應的極徑分別為久將/的極坐標方程代入C的極坐標方程得X?: + 12pcosa+ll = 0.于是 p + Pi 12久角 2 =11I AB |=| 角一 p. |= J(Q + 角) -= V14

17、4cos;a-44.由 4-8 J10 得 cos * Of = . tan 金二土 ".*所以丿的斜率為學或-羋4. 【2016高考新課標3理數(shù)】（本小題滿分10分）選修4-4 :坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為 x二3cos（：.為參數(shù)），以坐標原點為極 y =s in:點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線 C2的極坐標方程為：、si nC ）=2 2 .4（i）寫出G的普通方程和C2的直角坐標方程；（II）設點P在Ci上，點Q在C2上，求PQ的最小值及此時P的直角坐標【答案】（I） G的普通方程為y2=1 , C2的直角坐標方程為x y-4=0；

18、(n)【解析】（I） G的普通方程y+y:=h G的直角坐標方程為x+y-4=0（ID由題竄可設點戸的直角坐標為（的8存血如 因為Q提直線所以|尸0的最小值即為P 到G的距離dd）的最小值，班比）=歸也嚴 P = V? |血（比+手）-2 |J23丁21當且僅當住=2歸T+?娥EZ）時，必取得最小值，最小值為J5,此時尸的直甬坐標為1. （2015廣東，14）已知直線I的極坐標方程為2 pin ；0才戶迪，點A的極坐標為A7 n,，則點A到直線I的距離為化為 I: x y+ 1 = 0 和 A(2,解析依題已知直線I: 2 pin J一4卜、2和點AI -2），所以點A到直線1的距離為d=加+

19、（一 1）型答案5222. （2015北京，11）在極坐標系中，點J直線p(cos 0+ 3sin 0) = 6 的距離為n化為(1，翻,3)到直線的距離為d= 11 +3? 3 61 = 1 21 = 1.解析在平面直角坐標系下，點2直線方程為：x+ 3y= 6 ,點（1,答案 1冗3. （2015安徽，12）在極坐標系中，圓 p= 8sin 0上的點到直線 0= §（p R）距離的最大值解析 由 p= 8sin 0得 x2 + y2= 8y,即 x2 + (y 4)2= 16，由 0= J得 y= 3x,即 3x y=0,圓心（0, 4）到直線y=/3x的距離為2，圓p= 8si

20、n 0上的點到直線0= 3的最大距離3為 4+ 2 = 6.答案 624. （2015江蘇，21）已知圓C的極坐標方程為p +2 2 psin 0 4 4 = 0,求圓C的半徑.解 以極坐標系的極點為平面直角坐標系的原點O,以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標系xOy.圓C的極坐標方程為2 2 p 22sin 0 22cos 0 4 = 0, 化簡，得 p2 + 2 psin 0 2 pcos 04= 0.p? +則圓C的直角坐標方程為X2+ y2 2x+ 2y 4 = 0,即(x 1)2+ (y+ 1)2 = 6,所以圓C的半徑為 6.5. (2015新課標全國I, 23)在直角坐標系xOy中

21、，直線Ci： x=- 2,圓C2： (x 1) +(y 2)2= 1,以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求Ci, C2的極坐標方程；n若直線Q的極坐標方程為 0=4(p R),設C2與C的交點為M , ”，求厶QMN的面積.解 因為工=呻為爲所以O的根坐標方程為由二-2,Ci 的極坐標方程為 p- 2pcos &-4psin +4=0.等&弓弋入滬-Qco"-伽n B+斗=山得，一3問十斗=訕解得卩】=戀5*'故0-刃=邁, 即臨=©由于G的半徑為1,所以UA£V為等腰直角三角形，所以2鳥的面積為丄一一 x = 1+3

22、cost,6. (2015福建，21(2)在平面直角坐標系 xOy中，圓C的參數(shù)方程為(ty= -2 + 3si nt為參數(shù))在極坐標系(與平面直角坐標系 xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸)中，直線I的方程為pepsin(0才丿=m(m R). 求圓C的普通方程及直線l的直角坐標方程； 設圓心C到直線I的距離等于2,求m的值.解 消去參數(shù)t，得到圓C的普通方程為(x 1)2+ (y+ 2)2= 9.由 2 psin 0- ； = m,得pin 0 pcos 0 m = 0.所以直線l的直角坐標方程為 x y + m = 0.依題意，圓心 C到直線l的距離等于2,即

23、|1 ( 2)+ m| = 2,勺2解得 m = 3±2 2.7. (2015 湖南,16 n )已知直線I:(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為 P= 2cos 0.(1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；設點M的直角坐標為(5,. 3)，直線I與曲線C的交點為A, B,求|MA| |MB|的值.解 衛(wèi)汀等價干p2=2pc&.將滬= 代入即得曲線C的直甬坐標方程為莊+嚴抵=0叫 2代入式，得Q+ 53f+ 18=0. y 十f設這個方程的兩個實根分為貝U由裁數(shù)f的幾何意義懼聞bL4. ' IS.1. 【2014高考安徽

24、卷理第4題】以平面直角坐標系的原點為極點，X軸的正半軸為極(X = t 訐'1軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位，已知直線I的參數(shù)方程是(tly = t3為參數(shù))，圓C的極坐標方程是 t =4cosr，則直線I被圓C截得的弦長為()A.、14 b.214 c. 2 D2 2【答案】D【解析】將直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t,化成直角坐標方程為 x-y-4 = 0,圓C的極坐標方程=4cosv兩邊同乘為2 =4cost，化成直角坐標方程為(x-2)2 y2二4,則圓心 (2,0) 到直線I的距離d二|2 二42,所以直線I被圓C截得的弦長LR2 -d2二2.2，故選D.x = T

25、 cos 丁2. 【2014高考北京卷理第 3題】曲線.，(：為參數(shù))的對稱中心()L y = 2 = sin 廿A.在直線y = 2x上B.在直線y =-2x上建立極坐標系，則線段y=1-x 0_x_1的極坐標為（）【答案】B"x = 1 + cose【解析】參數(shù)方程所表示的曲線為圓心在 (1,2)，半徑為1的圓，其y =2 +si n 日對稱中心為(-1,2)，逐個代入選項可知，點(-1,2)滿足y = _2x，故選B.3. 【2014高考湖北卷理第16題】已知曲線 G的參數(shù)方程是坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程是=2，則C1與 C2交點 的直

26、角坐標為 .【答案】(.3,1)【解析】x2 + V* =4岳消去嗎x7 =3yx> ftjazO),由"2得/+八4,解方程組=3/得G與X* =3yG的交點坐標為(3=1).4. 【2014高考湖南卷第11題】在平面直角坐標系中，傾斜角為'的直線I與曲線4x = 2 cos-：C：，C-為參數(shù))交于 A、B兩點，且 AB =2，以坐標原點 0為極點，xy =1 +si n。軸正半軸為極軸建立極坐標系，則直線I的極坐標方程是.【答案】、cos： -sin v -1【解析】試題分析：利用 sin2 cos2，、=1可得曲線C的普通方程為2 2 (x2 ) +(y T )

27、 =1，即曲線C為直角2r =2的圓，因為弦長 AB =2 = 2r，所以圓心在直線l上,又因為直線的斜率為1，所以直線的直角坐標方程為y = x -1,則根據(jù)直角坐標與極坐標之間的轉(zhuǎn)化可得y = x-1= sin :?co -1 ：cos - sin ： -1 ，故填 P (cossin 日)=1.x軸的非負半軸為極軸5. 【2014江西高考理第12題】若以直角坐標系的原點為極點,、|兀 ： ,0 -cos v si n2TtC.- cost sin_-2【答案】AB：,0cos v sin vjiD. J 二 cost sinv,0 _-4ji< 【解析】根據(jù) 'cosv -

28、 x, 'sinv - y 0j 0,2二,y =1 x 0_ x _1 得:y 0,1,sin v -1 -）cosv,（0 _ :： cos： : 1,0 _ ： sin）: 1,）解得1H,0 ，選 A.cos v si n2x = 2+t6. 【2014重慶高考理第15題】已知直線I的參數(shù)方程為丿（t為參數(shù)），以坐y = 3 +t標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為2Sin二-4cosv - 0 t _0,0 w : 2二，則直線l與曲線C的公共點的極徑P =【答案】5X = 2+r【解析】由蟄數(shù)方程.消法參數(shù)得直線的一般式方程為:x-v + l=

29、0（1）y = 3+r由曲線的極坐標方程psm:-4coi = 0兩邊同乘嘆Q得，斗冰 = 0,所以，曲線C在直角坐標系下的方程為F =4x解由方程（1） （2能成的方程級得所IX直線嚴1=0與曲線C：的交點坐標為（1,2）,極徑尸石弔二花所以答案應為：a/5jin7. 【2014陜西高考理第15題】在極坐標系中，點 （2,）到直線? si n ）=1的距66離是.【答案】1【解析】直線rsin)=1化為直角坐標方程為3y_1x-1=0，點(2,二)的直6 2 2 6角坐標為(-、3,1)，點(-、3,1)到直線一3 y _ 1 x _ 1 = 0的距離2 2=1，故答案為1.嚴 1 -1、3

30、 一1 =0| d 二 2 J（1、23 2心%）8.【2014天津高考理第13題】在以O為極點的極坐標系中，圓 r = 4sinq和直線r sinq二a相交于AB兩點.若DAOB是等邊三角形，貝U a的值為【答案】3.【解析】圓的方程為 x+ （y- 2） = 4，直線為 y = a :DAOB是等邊三角形，其中一個交點坐標為»>-，代入圓的方程可得 a= 3.9.【2014高考福建理第21 (2)題】 已知直線I的參數(shù)方程為x = a2t ，厶“,（t為參數(shù)），l y = 4t圓C的參數(shù)方程為X =4cos 日y =4si n 日V為常數(shù))(I)求直線I和圓C的普通方程;(

31、II)若直線I與圓C有公共點，求實數(shù) a的取值范圍.【答案】（I） 2xy2a =0,x2 y2 =16; （II） -2、5 乞 a 乞 2.5【解析由已知直線/的參數(shù)方程為:二二(幼參數(shù)皿去參數(shù)瑯可得直線的普通方程一I x 4cos 3由圓c的些數(shù)方程為 . c(&為常數(shù))消去茲數(shù)氏即可得圓的普通方程-I y = 4 sm &(II)由直線f與圓C有公共點:等價于圓心到直線的距離小干或等干圓的半徑t由點到直線的距離公式即可得到結(jié)論一試題解析：(I)直線l的普通方程為2x-y-2a=0.圓C的普通方程為x2，y2=16.(II)因為直線I與圓有公共點，故圓C的圓心到直線I的距

32、離d=<4，解得、怎10.【2014高考江蘇第21C題】在平面直角坐標系 xoy中，已知直線I的參數(shù)方程(t為參數(shù))，直線I與拋物線y = 4x相交于AB兩點，求線段AB的長.【答案】8 2【解析】直線I的普通方程為x-1(y-2)=0，即y=3-x，與拋物線方程聯(lián)立方程組解得 嚴 一1不妨設P(1,O),F2(O,2),則線段RP2的中點坐標為(一，1),所求直線的斜率為k=，于,卜 _9, ,. |ab|=J(9_1)2 +(_6_2)2 =8血.% =2, $2 =-611.【2014高考遼寧理第23題】將圓x2 y1上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標 變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C.(I

33、)寫出C的參數(shù)方程；(n股直線l:2x+y-2=0與C的交點為P, F2，以坐標原點為極點， x軸正半軸為極坐標建立極坐標系，求過線段PP2的中點且與I垂直的直線的極坐標方程.x= cost、3【答案】(1)( t為參數(shù))；(2) :T .y=2si nt4si n 2cos【解析】設(珂)為圓上的馬在已知變換下位C上點依題意，得工=： 由春+>?=1 y = ->得云十(今=1,即曲線C的方程為云十工=1,故C得參數(shù)方程為譏為參數(shù))一24y=2sinf2或壯x2y = 1( X = 1(2)由X 41解得：,y = 02x y _2 =0"11是所求直線方程為y _1

34、= 1 (x - ，化極坐標方程，并整理得22312.【2014高考全國1第23題】4sin v - 2cos vx2y2x = 2 + t,已知曲線C1 :1,直線1 :(t為1 49ly = 2 2t,2cost -4sin - -3，即參數(shù))(I) 寫出曲線C的參數(shù)方程，直線I的普通方程；(II) 過曲線C上任意一點P作與I夾角為30的直線，交I于點A， PA的最大值與最小值.【答案】(I) x -2cosr 2x y _6 =o ；(II)最大值為 2-5，最小值為 匸5 . =3si n。，55【解析】工=J 0(I)曲線C的夢數(shù)方程為 一；J 為參數(shù))-直線F的普通方程為2x+&g

35、t;-6 = 0. y = ? sin 仇(H)曲線C上任意一點P(2cos(93sin)到F的距離為出二璽|4s胡+ 3血0 6|.則|/y| = =|5sm( + a)-6|.其中映為銳角，且 tana = |.當sin(&+a) = -l時|皿|取到最大值，最大倩為三匕當血(0+=1時，舊|取到最小值，最小值為 洋.13. 【2014高考全國2第23題】在直角坐標系 xoy中，以坐標原點為極點，x軸為極軸建立極坐標系，半圓 C的極坐標方程為 T二2COS d ,n n 1 °2(I)求C的參數(shù)方程；(n)設點D在C上，C在D處的切線與直線I : y = . 3x 2垂直

36、，根據(jù)(I)中你得 到的參數(shù)方程，確定 D的坐標.【答案】()十是參數(shù)，0邛S) ； (n) (-3)y=si nP2 2【解析】(1)設點M (x, y)是C上任意一點，則由亍二2cos二可得C的普通方程為：2 2x y = 2x，即(x-1)2 y2 =1(0y 叮)，X=1+C0sB cfy所以C的參數(shù)方程為一,(:是參數(shù)，0 v L:：).y =sin P 設D點坐標為(1 +皿0,晶由 知C是以G0)為圓心，1為半徑的上半圓, 因為C在點D處的切線與f垂直，所法直線GD與f的斜率相同，tanQ=J5,卩=眷 故d點的直角坐標為(1+g召血9即6史).-J'-J亠 仝14. 【

37、2014高考上海理科】已知曲線 C的極坐標方程為 P(3cosv -4sin“=1，貝U C與極軸的交點到極點的距離是 .1【答案】1311【解析】令v - 0，則(3cos0-sin0) =1,=，所以所求距離為 一.3 3(2013 新課標I理)(23)(本小題10分)選修44 :坐標系與參數(shù)方程x=4+5cost已知曲線 G的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸|y=5+5s int為極軸建立極坐標系，曲線 C的極坐標方程為 p =2sin。(I)把G的參數(shù)方程化為極坐標方程；(n)求C1與C2交點的極坐標(p>0,0< 0<2n)"x=4

38、+ 5cost22【答案】(1)因為，消去參數(shù)，得(X-4)2 (y-5)2 = 25，即ly =5 +5s in tx2 y2 -8x -10y 16 =0,故C1 極坐標方程為2 -8cost -10sin *16=0；22X=1,X=0（2） C2的普通方程為x2 y2 -2y =0,聯(lián)立G、C2的方程，解得或,y=1 y = 2所以交點的極坐標為 C、2）,（2）.4 2【解析】（1）先得到Ci的一般方程，進而得到極坐標方程；（2）先聯(lián)立求出交點坐標，進而求出極坐標.【考點定位】本題考查極坐標方程的應用以及轉(zhuǎn)化，考查學生的轉(zhuǎn)化與化歸能力.（2013 新課標n理）（23）（本小題滿分10

39、分）選修4 4;坐標系與參數(shù)方程x = 2cos P已知動點P , Q都在曲線C：一 （ B為參數(shù)）上，對應參數(shù)分別為3 =ay= 2sin P與 a =2n （ 0 VaV 2 n ） , M 為 PQ 的中點。（I）求M的軌跡的參數(shù)方程（n）將M到坐標原點的距離 d表示為的函數(shù)，并判斷 M的軌跡是否過坐標原點?！窘馕觥?lt; I）由題意有（25久2血a）； G（2cos2a12sin2a）.因此 AZ （cos a +cos 2 ct, sin（z +sin 2a）;¥ =住 + COS 3OfM的軌跡的參數(shù)方程為 . JG為蔘數(shù)L* 二 sin a + sin laCII）

40、M點到坐標原點的距離為d =+'=2+2cosof（0 <a< 2）,當a二扭時，d=Qf故【的軌跡過坐標原點一【解題思路與技巧】本題第（I）問，由曲線 c的參數(shù)方程，可以寫出其普通方程，從而得出點P的坐標,求出答案；第（n）問，由互化公式可得 .【易錯點】對第（I）問，極坐標與普通方程之間的互化，有一部分學生不熟練而出錯:對第（2）問，不理解題意而出錯.【考點定位】本小題主要考查坐標系與參數(shù)方程的基礎知識，熟練這部分的基礎知識是解答好本類題目的關(guān)鍵.（2013 陜西理）C.（坐標系與參數(shù)方程選做題 ）如圖，以過原點的直線的傾斜角 二為參數(shù)，則圓x2 y2 -x=0的參數(shù)方程為 .ysin r cos ：, 0 ：）:二.【解析】x? +y2 _x = 0,（ x-丄）2 + y? =1,以（,0）為圓心，-為半徑，且過原點2422111的圓它的標準參數(shù)方程為x= + cos。，y = si na,0蘭口 c2兀,由已知，以過原點的直222線傾斜角0為參數(shù)，則0 ： v :二，所以0乞2：2二。所以所求圓的參數(shù)方程為x二cos2 , y二si nr cos , 0 w :-.【考點定位】本題考查與圓的參數(shù)方程有關(guān)的問題，涉及圓的標準方程和參數(shù)方程等知識，屬于容易題。（2013 江西理）15 （1）