旋轉(zhuǎn)體的體積試題解析——高數(shù)?？碱}目PPT學習教案

1、會計學1旋轉(zhuǎn)體的體積試題解析旋轉(zhuǎn)體的體積試題解析高數(shù)常考題高數(shù)?？碱}目目 設(shè)一立體在x軸上的投影區(qū)間為a, b ，過x點垂直于x軸的截面面積S(x)是x的連續(xù)函數(shù)，求此立體的體積。 (1) 在a, b內(nèi)插入分點： a=x0 x1x2 xn-1xn=b，xOax1xi-1xixnb第1頁/共17頁 V =ni 1S(i)xi。 (3) 立體體積為 (2)過xi(i=1, 2, , n-1)且垂直于x軸的平面，把立體分割成n個小薄片，第i個小薄片體積的近似值S(xi)xi。 將n個小薄片體積的近似值相加得立體體積的近似值=baniiTdxxSxSV)()(lim10第2頁/共17頁RR- -xyo

2、解解 取坐標系如圖取坐標系如圖底圓方程為底圓方程為222Ryx= = 垂垂直直于于x軸軸的的截截面面為為直直角角三三角角形形x截面面積截面面積,tan)(21)(22 xRxA- -= =立體體積立體體積dxxRVRR tan)(2122- -= = - -.tan323 R= =第3頁/共17頁解解取坐標系如圖取坐標系如圖底圓方程為底圓方程為,222Ryx= = xyoRx垂垂直直于于x軸軸的的截截面面為為等等腰腰三三角角形形截面面積截面面積22)(xRhyhxA- -= = = =立體體積立體體積dxxRhVRR - - -= =22.212hR = =第4頁/共17頁 旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體就是由

3、一個平面圖形饒這平面內(nèi)就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺圓臺第5頁/共17頁Oxba y旋轉(zhuǎn)體：旋轉(zhuǎn)體： 由連續(xù)曲線 y=f (x)、直線 x=a 、a=b 及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體。 y=f (x)討論：討論： 旋轉(zhuǎn)體的體積怎樣求？第6頁/共17頁一一般般地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy = =、直直線線ax = =、bx = =及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為多多少少？

4、取取積積分分變變量量為為x，,bax 在在,ba上任取小區(qū)上任取小區(qū)間間,dxxx ，取取以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄片片的的體體積積為為體體積積元元素素，dxxfdV2)( = =xdxx xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為dxxfVba2)( = =)(xfy = =第7頁/共17頁曲線y=f(x)繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積：V =baf(x)2dx。 解：橢圓繞 x 軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積： Vx =2a0y2dx =2axxaab03222)3(2-=234ab=x yOab22xaaby-=下頁繞x軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積。y2dx =2

5、dxxaaba)(20222- axxaab03222)3(2-=234ab=。 例 3 求橢圓12222=byax 第8頁/共17頁yr解解hPxhry = =取取積積分分變變量量為為x，, 0hx 在在, 0h上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間,dxxx ，xo直線直線 方程為方程為OP第9頁/共17頁以以dx為底的窄邊梯形繞為底的窄邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積為體積為dxxhrdV2 = =圓錐體的體積圓錐體的體積dxxhrVh20 = = hxhr03223 = =.32hr = =yrhPxo第10頁/共17頁a- -aoyx解解,323232xay- -= =33232

6、2 - -= =xay,aax- - 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積dxxaVaa33232 - - = = - -.105323a = =第11頁/共17頁 類類似似地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)( yx = =、直直線線cy = =、dy = =及及y軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為xyo)(yx = =cddyy2)( = =dcV第12頁/共17頁解解繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積dxxyVax)(220 = = - - - - = =2022)cos1()cos1(dttata - - - -

7、 = =20323)coscos3cos31(dtttta.532a = =a 2a )(xy第13頁/共17頁繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積可看作平面圖可看作平面圖OABC與與OBC分別繞分別繞y軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差.dyyxVay)(2202 = = dyyxa)(2201 - - oyxa 2ABCa2)(2yxx = =)(1yxx = = - - = =222sin)sin(tdtatta - - - -022sin)sin(tdtatta - - = =2023sin)sin(tdttta.633a = =第14頁/共17頁解解取取積積分分變變量量為為y,4 , 0 y體積元素為體積元素為dyQMPMdV22 - - = =dyyy)43()43(22- - - - - - = =,412dyy- - = =dyyV