高中數(shù)學(xué)必修1函數(shù)及其表示題型總結(jié)

1、函數(shù)及其表示考點(diǎn)一求定義域的幾種情況 假設(shè)f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集 R; 假設(shè)f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于0的實(shí)數(shù)集； 假設(shè)f(x)是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子大于或等于0的實(shí)數(shù)集合; 假設(shè)f(x)是對(duì)數(shù)函數(shù)，真數(shù)應(yīng)大于零。 .因?yàn)榱愕牧愦文粵](méi)有意義，所以底數(shù)和指數(shù)不能同時(shí)為零。 假設(shè)f(x)是由幾個(gè)局部的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各局部式子都有意義的實(shí)數(shù)集合; 假設(shè)f(x)是由實(shí)際問(wèn)題抽象出來(lái)的函數(shù)，那么函數(shù)的定義域應(yīng)符合實(shí)際問(wèn)題考點(diǎn)二 映射個(gè)數(shù)公式Card(A)=m,card(B)=n, m,nN，那么從A到B的映射個(gè)數(shù)為nm。簡(jiǎn)

2、單說(shuō)成“前指后底。方法技巧清單 方法一 函數(shù)定義域的求法1. (2021江西卷文)函數(shù)yx1 2 3x 4的定義域?yàn)閤C. (0,1A. 4,1B. 4, 0)x 0解析 由 2得4 x 0或0 x 1,應(yīng)選D.x 3x 4 04,0)U(0,12. (2021江西卷理)函數(shù)yln (x_1)_x2 3x 4的定義域?yàn)锳. ( 4, 1)B. ( 4,1)C.1,1)D . ( 1,1x 13x 4 04 xx 1.應(yīng)選Cx 1解析 由 2x3. (2021福建卷文)以下函數(shù)中，與函數(shù)有相同定義域的是A . f (x) In x1B.f(x)-xC.f(x) |x|D. f(x)In x的定義

3、域x 0 ; f (x)1的定義域是x工0; f (x) | x |x的定義域是x R； f(x) ex定義域是x R。應(yīng)選A.4.( 2007年上海)函數(shù)y也住 耳的定義域是答案 x x 4且x 3x 32x 1( 5求以下函數(shù)的定義域。 y= , x 2 ? l x 2 .y=.y= . x 1. 1 x岡x6.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,5，求函數(shù)F(x)=f(3x-1)-f(3x+1)的定義域。方法二函數(shù)概念的考察1.以下各組函數(shù)中表示同一函數(shù)的是(B.y=ln 和 yln xeC.y x 1 x 3 和yx 10 1d. y x 和 y x2.函數(shù)y=f(x)的圖像與直線x=2的公共點(diǎn)

4、個(gè)數(shù)為A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 0個(gè)或1個(gè)D.不能確定23.函數(shù)y=x2定義域?yàn)?,0.1,2，那么其值域?yàn)開方法三分段函數(shù)的考察i求分段函數(shù)的定義域和值域r 2x+2x 1,01求函數(shù)f(x)x 0,2的定義域和值域2 (2021天津文數(shù))設(shè)函數(shù)g (x)2(x R) , f(X)g(x) x 4,x g(x),g(x) x,x g (x).那么 f(x)的值域是9(A)9,。(1,(B) 0,)(C)(2,【解析】依題意知f(x)x22x224),x x22小x, x x 2(x2 , f(x)2 x2 x2,x2 x,ii求分段函數(shù)函數(shù)值3. (2021湖北文數(shù))3.函數(shù)f(x)x,x1

5、f(f(1)A.4C.-4【解析】根據(jù)分段函數(shù)可得f(1)1log39D-411f(f(；) f( 2) 2 2 -,94所以B正確.iii解分段函數(shù)不等式4. (2021天津卷文)設(shè)函數(shù)f(x)x24x6, x6,x00那么不等式f (x) f (1)的解集是A.( 3,1)(3,) B.(3,1)(2,C.(1,1)(3,)D.(, 3)(1,3)答案A解析由，函數(shù)先增后減再增當(dāng)x 0 ,f(x) 2 f(1)3令 f(x) 3,解得x 1,x。當(dāng) x 0, x 63,x3 故 f (x)f (1)3，解得 3 x1 或 x3x2 4x5. (2021天津卷理)函數(shù)f(x)2'4x

6、 x ,0假設(shè) f(2 a2)0f(a),那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是A (, 1) (2,)B ( 1,2)C ( 2,1)D (, 2) (1,)解析：由題知f (x)在R上是增函數(shù),由題得2a2a，解得 2a 1，應(yīng)選擇C。6.( 2021北京理)假設(shè)函數(shù)f(x)x(1)那么不等式1| f(x)| -的解集為3解析 (1)由| f (x)l10(2)由 |f(x)| £310x1.3不等式| f (x)|13的解集為x| 3 x應(yīng)填 3,1 .7。(2021天津理數(shù))Iog2X,x 假設(shè)函數(shù) f(x)= log, x),x20,0，假設(shè)f(a)>f(-a),那么實(shí)數(shù)a的取值范圍

7、是(A) (-1, 0)U( 0, 1)(B)(亠，-1)(1,+x)(C) (-1, 0)U( 1,+x)(D)(亠,-1)U( 0,1)【答案】C由分段函數(shù)的表達(dá)式知,需要對(duì)a的正負(fù)進(jìn)行分類討論。f(a) f( a)a 0log2 a log1 a 或2a<0log2( a)2Iog2( a)a 01或a -20a1 或-1 aa【溫馨提示】分類函數(shù)不等式一般通過(guò)分類討論的方式求解，解對(duì)數(shù)不等式既要注意真數(shù)大于0,同事要注意底數(shù)在(0, 1)上時(shí)，不等號(hào)的方向不要寫錯(cuò)。iv解分段函數(shù)方程8. (2021北京文)函數(shù)f(x)3，X 1,假設(shè) f(x)X 1,2，那么xx.w 解析此題主

8、要考查分段函數(shù)和簡(jiǎn)單的函數(shù)值求x的值.屬于根底知識(shí)、根本運(yùn)算的考查.x 13x 2x 1x log32， x 2 x2無(wú)解，故應(yīng)填log 32.方法四 求函數(shù)的解析式1. 求以下函數(shù)的解析式1 3 1 f xx 3,求f(x).x x2 f 一 1 lg x，求f (x).x f(x)是二次函數(shù)，假設(shè) f(0)=0，且 f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x).1 f(x)滿足2f x f 3x.求f(x).x方法五函數(shù)圖像的考察xx1. (2021山東卷理)函數(shù)y ex ex的圖像大致為().e eA解析 函數(shù)有意義,需使ex e x 0,其定義域?yàn)閤|x 0 ,排除C,D,又因?yàn)閤x2

9、xy1 J 所以當(dāng)x 0時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，應(yīng)選A.e e e 1 e 12. ( 2021廣東卷理)甲、乙兩車由同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并沿同一路線(假定為直線)行駛甲B.匕時(shí)刻后，甲車在乙D. t0時(shí)刻后，乙車在甲車前面車、乙車的速度曲線分別為v甲和v乙(如圖2所示).那么對(duì)于圖中給定的t0和'，以下判斷中一定正確的是 ()A.在右時(shí)刻，甲車在乙車前面C.在t。時(shí)刻，兩車的位置相同y/W,y)"OQ(x,0)解析 由圖像可知，曲線v甲比v乙在0t°、0鮎與x軸所圍成圖形面積大, 那么在t°、右時(shí)刻，甲車均在乙車前面，選 A.3. (2021江西卷文)如下圖，一質(zhì)

10、點(diǎn) P(x,y)在xOy平面上沿曲線運(yùn)動(dòng)， 速度大小不變，其在x軸上的投影點(diǎn)Q(x,0)的運(yùn)動(dòng)速度V V(t)的圖象解析 由圖可知，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)P(x, y)在兩個(gè)圭寸閉曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，投影點(diǎn)Q(x,0)的速度先由正到0、到負(fù)數(shù)， 再到0，到正，故A錯(cuò)誤；質(zhì)點(diǎn)P(x, y)在終點(diǎn)的速度是由大到小接近 0,故D錯(cuò)誤；質(zhì)點(diǎn)P(x, y)在開 始時(shí)沿直線運(yùn)動(dòng)，故投影點(diǎn)Q(x,0)的速度為常數(shù)，因此C是錯(cuò)誤的，應(yīng)選B.4 (2021山東理數(shù))(11)函數(shù)y=2x-x2的圖像大致是1【解析】因?yàn)楫?dāng)x=2或4時(shí)，2x-x2=0，所以排除B、C;當(dāng)x=-2時(shí)，2-x2= - 4<0，故排除D，所4以選A o5

11、 (2021安徽文數(shù))設(shè)abc 0,二次函數(shù)f(x) ax2 bx c的圖像可能是【解析】當(dāng)a 0時(shí)，b、c同號(hào)，(C)( D)兩圖中c 0,故b 0, 0 ,選項(xiàng)(D)符合2a【方法技巧】根據(jù)二次函數(shù)圖像開口向上或向下，分 a 0或a 0兩種情況分類考慮.另外還要注意c值是拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，還要注意對(duì)稱軸的位置或定點(diǎn)坐標(biāo)的位置等 方法六映射概念的考察21 . 設(shè)f :x x是集合A到集合B的映射，如果B= 1,2，那么An B=()A. B. 1 C.或 2 D.或 12集合M= a,b,c，N= 1,0.1映射f:M N滿足f(a)+(b)+f(c)=0,那么映射f: M N的個(gè)數(shù)

12、是() A.4B.5 C. 6 D. 73集合M= a,b,c到集合N= 1,0.1 一共有個(gè)不同的映射。方法七函數(shù)值域和最值的求法1. 利用二次函數(shù)在有限區(qū)間上的范圍求值域求函數(shù)y= x2 6x 5的值域3x 12. 別離常數(shù)法求函數(shù)y= 的值域x 23. 換元法求函數(shù)y= x 4.1 x的值域4. 數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)y= |x 1 |x 4的值域5.判別式法求函數(shù) y -x2x 的值域X x 1 方法八函數(shù)奇偶性和周期性的考察1.(2021全國(guó)卷I理)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,假設(shè)f(x 1)與f(x 1)都是奇函數(shù)，那么(B. f(x)是奇函數(shù)A. f (x)是偶函數(shù)C.f(x)f (x

13、2)D. f (x 3)是奇函數(shù)答案 D解析 Q f(x 1)與f(x 1)都是奇函數(shù)，f( x 1)f (x 1), f( x 1) f (x 1),4的周期函D函數(shù)f (x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)，及點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，函數(shù)f (x)是周期T 21 ( 1) 數(shù).f( x 14) f(x 1 4)， f( x 3) f (x 3)，即 f (x 3)是奇函數(shù)。應(yīng)選2.(2021山東卷理)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=Iog2(1 x),x f(x 1)02),x0，那么f(2021)的值為(A.-1B. 0C.1D. 2答案C解析由得f (1) Iog2 21,f(0) 0,f(1)f(0

14、) f( 1)1f(2)f(1) f(0)1,f(3)f(2)f(1)1 ( 1) 0,ff(3)f(2)0 ( 1)1 , f(5)f(4)f(3)1, f(6)f(5)f(4)0,所以函數(shù)f(x)的值以6為周期重復(fù)性出現(xiàn).所以 f (2021)=:f (5) =1,應(yīng)選 Cf(x)3. (2021江西卷文)函數(shù)f (x)是()上的偶函數(shù)，假設(shè)對(duì)于x 0,都有 f(x 2)f(x)，且當(dāng)x 0,2)時(shí),f (x) Iog2(x1)，那么f(2021) f (2021)的值為B.1C. 1答案 C解析 f( 2021)f(2021)f(0) f (1) log；log；1，應(yīng)選C.方法九函數(shù)奇

15、偶性和對(duì)稱性考察2 x1. (2021全國(guó)卷U文)函數(shù)y log2的圖像2 x(A)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(B)關(guān)于主線y x對(duì)稱答案 A解析由于定義域?yàn)?-2,2)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f(-x)=-f(x)，故函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，選A。2.(2021重慶理數(shù))的圖象2xA.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.關(guān)于直線y=x對(duì)稱 C.關(guān)于x軸對(duì)稱 D.關(guān)于y軸對(duì)稱解析：f( x)112xx-f (x)f (x)是偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱方法十函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的考察1.(2021山東卷文)定義在R上的奇函數(shù)f (x)，滿足 f(x 4)f (x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，那么A. f( 25) f (11)f(8

16、0)B.f (80) f (11) f( 25)C. f (11) f (80)f( 25)D.f ( 25) f (80)f(11)答案D解析因?yàn)閒 (x)滿足f(x 4)f (x)，所以 f (x8) f(x),所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，那么 f( 25)f( 1), f(80)f(0), f(11)f(3),又因?yàn)閒(x)在R上是奇函數(shù)，f(0)0 ,得f(80)f(0) 0,f( 25) f( 1)f(1),而由f(x 4)f(x)得f(11)f(3)f (3)f(1 4)f(1),又因?yàn)閒(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，所以f(1)f (0)0所以().f(80) f (11),

17、應(yīng)選 D.0,即f (1)f( 25)(A) a b c(B) a c b(C) ca b (D) c b a答案 B解析此題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的增減性，由11>lge>0,知a>b,又c= Ige,作商比擬知c>b，選B。3. (2021遼寧卷文)偶函數(shù)f (x)在區(qū)間0,)單調(diào)增加，那么滿足1f(2x 1) < 5)的x取值范圍C.( i1 2(A)(丄，-)3 3答案 A解析 由于f(x)是偶函數(shù)，故f(x) = f(|x|) 得f(|2x - 1|) vf(-)，再根據(jù)f(x)的單調(diào)性得|2x - 1| V3112-解得-Vxv-3 334.(2021陜西卷文)

18、定義在R上的偶函數(shù)f (x)滿足：對(duì)任意的捲龍0,X2)，有f(X2)X2f (Xi)Xi0.(A) f 'f( 2)f (1)B. f(1) f( 2)f(3)C. f (2)f(1)f(3)D. f(3)f(1)f ( 2)答案A解析由(X2 Xj(f(X2)f(xj)0等價(jià)，于f (X2)X2f (X1)X10那么f(x)在X1,X2(,0( X1X2)上單調(diào)遞增,又f (x)是偶函數(shù)，故f (x)在X1,X2(0,(X1X2)單調(diào)遞減.且滿足n N*時(shí),f( 2)f(2),3>210,得f(3)f(2) f (1),應(yīng)選 A.(2021陜西卷理)定義在R上的偶函數(shù)f (x

19、)滿足：對(duì)任意的 X1, X2(,0( X1 X2)，有(X2 xJ(f(X2)f (X1) 0.那么當(dāng)nN*時(shí)，有()(A)f(n)f(n1) f(n 1)B. f (n 1)f ( n)f(n1)C. C. f (n1) f(n) f(n 1)D. f(n 1)f(n 1)f(n)那么()0答案C5)f ( Xi )(f (X2)解析：x1 , x 2 x2Xt時(shí)，f ( X)為偶函數(shù) 而 n+1>n>n-1>0.(X2f ( x)在(為減函數(shù)f (n) f (n 1) f (n 1),0( X1 X2)f (xjf (x )在(0，f (n 1)xj( f (X2,0為

20、增函數(shù)f ( n) f (n 1)6.( 2021江蘇卷)a函數(shù)f(x)ax，假設(shè)實(shí)數(shù)mn滿足f (m) f(n)，那么m、n的大小關(guān)系為解析、51a(0,1)，函數(shù) f(x)2ax在R上遞減。由f (m)f(n)得:m<n7. (2021安徽文數(shù))(7)設(shè)a32(2), c (-)，那么a，b， c的大小關(guān)系是(A) a>c>b(B) a>b>c(C) c> a> b(D) b>c>a27.A【解析】y x5在x 0時(shí)是增函數(shù)，所以a c，2y (-)x在x 0時(shí)是減函數(shù)，所以c b。5方法一抽象函數(shù)的解法1. (2021四川卷理)函數(shù)f

21、(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù) x都有5 xf(x 1)(1 x)f(x)，那么 f (f ()的值是2B.12A.0C.1D.-2答案A解析1 1 1 1 . .八)?)八)0 ;令 x 0，貝U f (0) 0由 xf (x 1)(1x)f(x)得 f (xx 11) f (x)，所以f(5)訂(2)o丄2f3-2125 - 3x5f ( f (-)f(0) 0,應(yīng)選擇 A 2.(2021山東卷理)定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x 4) f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù) 假設(shè)萬(wàn)程f(x)=m(m>0)在區(qū)間 8,8上有四個(gè)不同的根 捲,x?, X3N

22、，那么Xi x?氏 .答案 -8解析 因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)，滿足f (x 4) f (x),所以f (x 4) f ( x),所以，由 f (x)為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線x 2對(duì)稱且f (0)0，由 f (x 4) f (x)知f (x 8) f (x),所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，又因?yàn)閒(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù) 所以f(x)在區(qū)間-2,0上也是增函數(shù). 如下圖，那么方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間 8,8上有四個(gè)不同的根 治必必兇,不妨設(shè)為x： X3 X4由 對(duì)稱性知 x-ix212x3x44所以x1x2x3x412 48方法十二對(duì)數(shù)函數(shù)的考察3(2021全國(guó)卷1文數(shù)

23、)(7 )函數(shù)f(x) |lgx|假設(shè)a b且，f(a) f(b)，那么a b的取值范圍是(A)(1,)(B)1,)(C) (2,)(D) 2,)C【命題意圖】做本小題時(shí)極易無(wú)視a的取值范圍，而利用均值不等式求得a+b= a - 2 ,從而錯(cuò)選a11D,【解析1】因?yàn)閒(a)=f(b)，所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或 b -，所以a+b= a -又0<a<b,所以 aa10<a<1<b，令f (a) a由“對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)f (a)在a (0,1)上為減函數(shù)，所以f(a)>f(1)=1+仁2,a即a+b的取值范圍是(2,+x).0 a

24、 10 X 1【解析2】由 0<a<b,且 f(a)=f(b)得：1 b，利用線性規(guī)劃得：1 y，化為求z x y的取值ab 1xy 1范圍問(wèn)題，z x y y x z，1 yyX121 過(guò)點(diǎn)X1,1 時(shí) z 最小為 2,.(C) (2,)4 (2021全國(guó)卷1理數(shù))(10)函數(shù)f(x)=|lg x|.假設(shè)0<a<b,且f(a)=f(b),那么a+2b的取值范圍是(A)(2 . 2,)(B)2 . 2,)(C)(3,)(D)3,)分析：杜小題三募君査對(duì)數(shù)笑數(shù)的單調(diào)性及值域.饋本小豐時(shí)島富視作的取道范圍*直撈制用均佢不等式隸澤：= a + ->22,從在輅曲乩這呈侖恿者控曲皓昧.fSj