道路卵形回旋線任意點(diǎn)坐標(biāo)及方位角計算方法

1、道路卵形回旋線任意點(diǎn)坐標(biāo)及方位角計算方法 葉松林 【摘 要】 本文提出了卵形曲線中緩和曲線段上點(diǎn)位坐標(biāo)計算方案，推導(dǎo)了其計算過程及公式，并附實例。對始于高等級道路的平面卵形 曲線的測設(shè)有重要的指導(dǎo)作用。 高等級公路，特別是高速公路的平面線形設(shè)計形式很多，但歸根結(jié)底，它們都由直線、圓和緩和曲線(我國公路路線設(shè)計規(guī)范中規(guī)定回旋線或稱菲涅爾螺旋線為緩和曲線線形)等公路平面線形要素組合而成。各種平面線形設(shè)計形式，如基本形、卵形、S形、C形等等，對 高速公路更加適應(yīng)汽車轉(zhuǎn)彎時的行車軌跡，消除曲率突變，增進(jìn)線形美觀及行車舒適感、安 全感都有極其重要的意義，但同時，也使曲線計算及野外測設(shè)更為復(fù)雜。本文針對在

2、高速公路設(shè)計實際中出現(xiàn)的卵形曲線，推導(dǎo)了緩和曲線段點(diǎn)位坐標(biāo)計算方法及公式，為現(xiàn)場測設(shè)人員提供了有效的計算方案和測設(shè)指導(dǎo)。 一、回旋線的基本特征及坐標(biāo)計算 回旋線上，任意一點(diǎn)的曲率半徑與該點(diǎn)至曲線起點(diǎn)的曲線長l之積為一常數(shù)(圖1)即 l=A (1) 或 2 式中，A2為回旋曲線常數(shù)，表征回旋曲線曲率變化緩急程度的量，稱A為回旋曲線參數(shù)。 圖 1 1.回旋曲線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)計算 由圖1(曲線右旋)，取回旋線的起始點(diǎn)ZH處的切線方向為x軸，法線方向為y軸，任意一點(diǎn)的 切線方向方位角為緩和曲線角。在緩和曲線上對任意一點(diǎn)P取微分 dl=d dx=dlcos dy=dlsin 考慮式(1)對或l在區(qū)間0，

3、或0，l上積分后有下列關(guān)系式成立 l22A2 (2) (3) (4) 或者 (5) (6) 對于公路平面線形的基本形，其緩和曲線始于直線終于圓曲線，故緩和曲線的曲率半徑變化于R(圓曲半徑)。設(shè)緩和曲線段長度為ls,則 (7) (8) 2.回旋線的幾何要素 見圖1，回旋線的幾何要素計算公式如下：任意點(diǎn)P處的曲率半徑(由式(1)和式 (2) (9) P點(diǎn)的回旋曲線長 (10) P點(diǎn)的緩和曲線角(切線方位角，由(9)式 ) (11) 上面導(dǎo)出了當(dāng)參數(shù)分別為和l時的右旋緩和曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)和幾何要素公式。顯然，緩和曲線左旋時(圖2)，與右旋相比，x坐標(biāo)公式一致，而y、反號。若令sign=±

4、1，緩和曲線右旋時取sign=1，左旋時取sign=-1，則坐標(biāo)和方位角等符號量可統(tǒng)一 表示為： (12) 圖 2 3. 回旋曲線的基本特征 1.幾何特性?；匦€隨著曲線長度的增加，曲率按線性函數(shù)增加。起點(diǎn)處l=0，曲率l/0，終點(diǎn)處l=ls，曲率l/p常數(shù)。 2.相似性?；匦€的形狀只有一種，回旋曲線參數(shù)A即為放大系數(shù)。 二、卵形曲線形式及其緩和曲線段坐標(biāo)計算 按直線-緩和曲線(A1)-圓曲線(R1)-緩和曲線-圓曲線(R2)-緩和曲線(A2)-直線的順序組合構(gòu)成的平面線形形式(R1R2)，稱為卵形曲線(圖 3) 。卵形曲線中，顯然圓曲線-緩和曲線-圓曲線段的緩和曲線坐標(biāo)計算是新的課 題

5、，它成為整個卵形曲線計算的瓶頸。解決了這個問題，其他平面線形形式的曲線坐標(biāo)計算 也就迎刃而解了。 圖 3 解決問題的關(guān)鍵在于對兩圓曲線之間的緩和曲線的正確認(rèn)識：(1) 兩不等圓曲線之間的緩和 曲線仍是回旋線；(2) 該回旋線是沒有起點(diǎn)(0)的回旋線段。 于是，解決問題的方案是：第一，仍須確定哪端為回旋曲線的起點(diǎn)(0)端；第二，假定緩和曲線起點(diǎn)而套用平面曲線基本形計算回旋曲線任意一點(diǎn)坐標(biāo)及其方位角；第三，坐標(biāo)變換為大地(或施工區(qū))坐標(biāo)形式，而這正是高效測設(shè)曲線的現(xiàn)代發(fā)展所需要的坐標(biāo)形式。 我們知道，回旋曲線起點(diǎn)處曲率半徑=，隨著離曲線起點(diǎn)的曲 線長度增加，曲率半徑由大變小。因此，卵形曲線兩圓之間

6、回旋線的起點(diǎn)必在相接圓半徑較大的圓曲線那一端。由此再確定回旋線的右或左旋形式以確定獨(dú)立坐標(biāo)公式(sign的值)的使用。根據(jù)回旋線上特征點(diǎn)的已知大地坐標(biāo)和獨(dú)立坐標(biāo)，可計算出坐標(biāo)變換參數(shù)，從而得到回旋線上任意一點(diǎn)的大地坐標(biāo)及其切向、法向方位角。 以圖3為例，因為R1>R2，可見回旋線的起點(diǎn)在R1圓曲線的那一端，顯然，該回旋線右旋。設(shè)回旋曲線起點(diǎn)為O，起點(diǎn)處切線方向為x軸，法線方向為y軸，建立獨(dú)立坐標(biāo)系。 O-YH弧長：l1A2/R1 2 O-HY弧長：ls=l1+l0A/R2 這里，l0=lYH-HY為緩和曲線段長度。 緩和曲線上任意點(diǎn)P至起點(diǎn)O的弧長為 ll1+l 這里，l為P至圓

7、緩點(diǎn)YH的弧長。 將l1,ls,l分別替代l代入式(7)、式(8)得到圓緩點(diǎn)YH、緩圓點(diǎn)HY、任意點(diǎn)P獨(dú)立坐 標(biāo)系坐標(biāo)xYH,yYH,xHY,yHY,xP,yP(注意，計算時式中RR 2)。 設(shè)獨(dú)立坐標(biāo)系xOy原點(diǎn)O的大地坐標(biāo)為(X0,Y0)，x軸的大地方位角為0，由YH、HY點(diǎn)的大地坐標(biāo)和獨(dú)立坐標(biāo)可分別反算直線YH-HY的坐標(biāo)方位角1,2，則 0=1-2 (13) 于是，獨(dú)立坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P(x,y)的大地坐標(biāo)X，Y為 XX0+xcos0-ysin0 (14) YY0+xsin0+ycos0 (15) 這里，X0,Y0可由點(diǎn)YH或HY已知坐標(biāo)數(shù)據(jù)(大地、獨(dú)立)用上兩式求得。 P點(diǎn)切線大地方

8、位角 =0+sign (16) 法線大地方位角 (-sign90)±180 (17) 三、算 例 廣東某高速公路一段卵形曲線設(shè)計數(shù)據(jù)的特征點(diǎn)大地坐標(biāo)見表1，緩和曲線參數(shù)A30 0，緩和曲線長度l0=157.50 m，兩相接圓曲半徑見圖4。求緩和曲線內(nèi)兩里程樁號點(diǎn)的大地坐標(biāo)及法向方位角。 圖4 表1 部分設(shè)計數(shù)據(jù) 因R2>R1，可見回旋線起點(diǎn)在R2端且左旋(sign=-1)，建立獨(dú)立坐標(biāo)系如圖4。則 l1=A2/R2=30 m ls=l1+l0=A2/R1187.50 m 由此代入式(7)、式(8)并注意到RR1=480得HY，YH點(diǎn)獨(dú)立坐標(biāo)為 由直線HY-YH的大地方位

9、角1和獨(dú)立方位角2得獨(dú)立坐標(biāo)軸x的大地方位角 =1-2138°5105 則 X04 094.145 Y0 于是緩和曲線上點(diǎn)K0+420處、K0+380處坐標(biāo)與方位角數(shù)據(jù)可得 K0+420：(l=l1+484.93-420=94.93) x=94.906 y=-1.584 2°5206 X=4 023.723 Y=3 965.247 45°5859 K0+380：(l=l1+484.93-380=134.93) x=134.792 y=-4.546 5°4743 X=3 995.637 Y=3 993.723 43°0322 四、結(jié)束語 卵形曲線中兩圓曲之間的緩和曲線段是螺旋回旋線不含起點(diǎn)的一部分。其上任意點(diǎn)的坐標(biāo)計 算仍可套用平面線形基本形中的緩和曲線點(diǎn)的坐標(biāo)公式。本文給出的卵形曲線中緩和曲線段 任一點(diǎn)的坐標(biāo)特別是大地