對(duì)趙州橋力學(xué)行為的分析

1、對(duì)趙州橋力學(xué)行為的分析趙州橋,又名安濟(jì)橋，位于河北趙縣境內(nèi)的洨河上，乃隋代匠師李春設(shè)計(jì)建造，是世界首創(chuàng)，又是目前世界上最古老的圓弧石拱橋。這座千年古橋在橋梁的設(shè)計(jì)和建造方面有許多獨(dú)到之處。趙州橋的突出特點(diǎn)為：（1）它是有資料記載的最早的采用圓弧形拱軸線的拱橋（在這以前傳統(tǒng)的拱軸線為半圓形），全橋長64.4m，凈跨37.02m，弧矢徑27.2m。（2）大弧拱的二肩上各有兩個(gè)小拱-伏拱。兩小拱的半徑分別為2.3m和1.2m，跨度分別為3.81m和2.85m。這一創(chuàng)造性設(shè)計(jì)，不但節(jié)省石料，減輕橋重，而且增強(qiáng)了橋體的瀉洪能力，造型優(yōu)美，是建筑史上的稀世杰作，1991年被美國土木工程師學(xué)會(huì)譽(yù)為“國際土木

2、工程歷史古跡”。1趙州橋圓弧形拱軸線對(duì)其力學(xué)行為的影響通過力學(xué)的學(xué)習(xí)我們知道，兩端絞支的簡支梁在受到均勻載荷作用時(shí)，將形成下凸的曲線，工程上稱之為懸鏈線，當(dāng)梁的形狀為倒懸鏈線，那么其撓度、轉(zhuǎn)角均為零，下面就具體進(jìn)行分析計(jì)算。如圖所示：最高點(diǎn)在橋的中點(diǎn)，且拱內(nèi)只有水平方向內(nèi)力將橋從中間截開進(jìn)行受力分析： (y方向)（x方向）兩式聯(lián)立，得（q為常數(shù)）邊界條件：x=0，y=0x=s/2，y=h/2可解出曲線方程： 又 得如果實(shí)際拱軸線曲線與所求得的曲線一致，那么認(rèn)為是安全、經(jīng)濟(jì)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，通過數(shù)據(jù)擬合比較結(jié)果，取八個(gè)孤立點(diǎn)具體計(jì)算誤差。趙州橋是一個(gè)弧形設(shè)計(jì)：已知弧半徑r=27.7m,凈跨l=37.0

3、2m,弧矢h=7.05m。如圖所示：先求出任意點(diǎn)拱高y與橫坐標(biāo)x之間的關(guān)系。由幾何關(guān)系：y+(r-h)+(-x)=r,所以y=-(r-h)左圖是用matlab作圖的結(jié)果，源程序如下：h=7.05;r=27.7;s=37.02;x=0:0.01:37.02;y=4*h/(s2).*(s*x-x.2);y1=sqrt(r.2-(s/2-x).2)-r+h;plot(x,y,'r',x,y1,'k')紅色曲線是理論值；黑色曲線是實(shí)際值。下面我們?nèi)“藗€(gè)點(diǎn)具體計(jì)算誤差：程序：h=7.05;r=27.7;s=37.02;x=2.25:2.25:18;y=4*h/(s2).*

4、(s*x-x.2);y1=sqrt(r.2-(s/2-x).2)-r+h;y,y1,(y-y1)./y結(jié)果： -0.1029 -0.0779 -0.0536 -0.0342 -0.0195 -0.0091 -0.0027 -0.0001點(diǎn)號(hào)12345678X值2.254.56.75911.2513.515.7518Y值（理論）1.60983.01124.20435.18905.96556.5335 6.8933 7.0446Y值（實(shí)際）1.7755 3.24584.42975.36636.08176.59326.91227.0453誤差0.10290.07790.05360.03420.019

5、50.00910.00270.0001我們可以看出趙州橋簡潔，易施工的圓弧形拱軸線與現(xiàn)代科學(xué)分析得出的曲線極其類似，與從前的半圓形設(shè)計(jì)相比是工程設(shè)計(jì)上的重大進(jìn)步。2伏拱對(duì)應(yīng)力分布的影響假設(shè)橋身兩端鉸支，取如圖的圓弧形橋共為研究對(duì)象。記拱絞處（x=0）豎直力為V，水平力為H。在xx處截面上，拱高y(x),傾角(x),軸力P，剪力，彎矩M，重力G（x）。由受力分析可得：因?yàn)橛蟹芭c無伏拱的值不同，導(dǎo)致其它相關(guān)值也不同，力學(xué)性質(zhì)有顯著區(qū)別。實(shí)驗(yàn)測(cè)知：有伏拱條件下：V=1146.60kN,H=1345.60kN無伏拱條件下：V=1407.98kN,H=1442.48kNa.對(duì)無伏拱先求已知弧半徑r=2

6、7.7m,凈跨l=37.02m,弧矢h=7.05m。如圖所示：先求出任意點(diǎn)拱高y與橫坐標(biāo)x之間的關(guān)系。由幾何關(guān)系：y+(r-h)+(-x)=r,所以y=-(r-h)(x)=G(h-y)=Gr-,其中為常數(shù)。為求這個(gè)常數(shù)=V/2。而V的數(shù)據(jù)為已知。用數(shù)值積分的方法可以求出常數(shù)G。V/2=G=G*41.242又因?yàn)閂=1407.98kN,所以G=17.070.所以(x)=17.070* r-數(shù)值積分過程：qiao.m文件：function y=qiao(x)r=27.7;l=37.02;y=r-sqrt(r.2-(l/2-x).2);quad(qiao,0,18.51)VG/2=quad(qiao

7、,0,18.51)= 41.2421所以G=17.070.b.對(duì)有伏拱(x)=61.945 kN/m應(yīng)力分析：對(duì)于石質(zhì)結(jié)構(gòu)的拱橋，其界面之間只能承受壓應(yīng)力（>0），而不可以承受拉應(yīng)力（<0），因此，與多數(shù)情況不一樣，我們不必運(yùn)用最大切應(yīng)力準(zhǔn)則較核，而只需計(jì)算各截面的 。軸力P只產(chǎn)生壓應(yīng)力，彎矩M能產(chǎn)生拉壓應(yīng)力最小正應(yīng)力： （已知b=1m,h=1.03m）數(shù)值計(jì)算應(yīng)力分析：下面我們?nèi)匀焕胢atlab計(jì)算八個(gè)孤立點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。.m文件：function y=qiao3(x)r=27.7;l=37.02;y=(17.070.*x).*(r-sqrt(r.2-(l/2-x).2); fu

8、nction y=qiao2(x)r=27.7;l=37.02;y=17.070*(r-sqrt(r.2-(l/2-x).2);function y=qiao4(x)q=61.945y=q.*x;無伏拱：x=0;h=1442.48;v=1407.98;r=27.7;l=37.02;c=7.05;o=atan(0.5).*(r.2-(l/2-x).2).(-0.5).*(-2.*x+l);G=quad('qiao2',0,x);P=h*cos(o)+(v-G)*sin(o);d=quad('qiao3',0,x);y=sqrt(r.2-(l/2-x).2)-r+c

9、;M=v*x-h*y+d-x*G;b=1;a=1.03;n=P/(b*a)-6*M/(b*(a2);P,M,n有伏拱：x=18;h=1345;v=1146;r=27.7;l=37.02;q=61.945;c=7.05;o=atan(0.5).*(r.2-(l/2-x).2).(-0.5).*(-2.*x+l);G=q.*x;P=h*cos(o)+(v-G)*sin(o);d=quad('qiao4',0,x);y=sqrt(r.2-(l/2-x).2)-r+c;M=v*x-h*y+d-x*G;b=1;a=1.03;n=P/(b*a)-6*M/(b*(a2);P,M,n通過此程序

10、可計(jì)算任意點(diǎn)的彎矩、剪力、最小拉應(yīng)力點(diǎn)號(hào)12345678X值2.254.56.75911.2513.515.7518有伏 P 拱 M拱形 1680.11599.215271465.51415.91378.91355.31345.435.02166.9370.4592.9799.4966.61079.01127.81433.1608.8-612-1930.4-3146.7-4127.7-4786.4-5072.0無伏 P拱 M拱形 1855.61749.31677.91627.415871548.41505.71455.2327.9637.81030.11550.82243.73145.4428

11、45677.3-53.4-1909.2-4196.8-7190.9-11149-16286-22767-30696為了更直觀的表示，進(jìn)行了數(shù)據(jù)擬合。x=2.25:2.25:18;y1=1433.1 608.8 -612 -1930.4 -3146.7 -4127.7 -4786.4 -5072.0;y2=-53.4 -1909.2 -4196.8 -7190.9 -11149 -16286 -22767 -30696;a=polyfit(x,y1,5);b=polyfit(x,y2,5);t1=polyval(a,x);t2=polyval(b,x);plot(x,y1,'k+',x,t1,'k',x,y2,'r+',x,t2,'r')紅線表示無伏拱的情況；黑線表示無伏拱的情況；可以看出伏拱的存在有效地降低了拉應(yīng)力的影響，全橋的應(yīng)力分布比較均勻。無伏拱的橋梁不但拉應(yīng)力更大，而且應(yīng)力分布起伏很大，對(duì)拱橋強(qiáng)度不利。小結(jié)：以上一方面對(duì)趙州橋圓弧形拱軸線與理論曲線進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)古代設(shè)計(jì)與理想曲線基本吻合；另一方面對(duì)