空間曲面與空間曲線

1、6.6 空間曲面與空間曲線空間曲面與空間曲線xyzo1 2 0022221111DzCyBxADzCyBxAL空間直線的方程1、空間直線的一般方程2、空間直線的對(duì)稱式方程、空間直線的對(duì)稱式方程pzznyymxx000 xyzoL0M M s ptzzntyymtxx0003、直線的參數(shù)方程、直線的參數(shù)方程121121121zzzzyyyyxxxx 4、直線的兩點(diǎn)式方程121212222222111222|cosm mn np pmnpmnp（兩直線的夾角公式）（兩直線的夾角公式）5、兩直線的夾角6、直線與平面的夾角222222|sinpnmCBACpBnAm （直線與平面的夾角公式）（直線與平

2、面的夾角公式）定義定義: 若空間中的曲面S與三元方程F (x, y, z) =0有如下關(guān)系:(1) S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程F (x, y, z) =0;(2) 不在S上點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程F (x, y, z) =0;那么, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的一般方程, 而曲面S叫做方程F (x, y, z) =0的圖形.F (x, y, z) = 0 Sxyzo例如：2x+3y 4z19=0.在空間解析幾何中在空間解析幾何中,曲面被看成曲面被看成空間點(diǎn)的幾何軌跡空間點(diǎn)的幾何軌跡(x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = R2 稱此方程為球面的標(biāo)準(zhǔn)方程.特別: 當(dāng)球

3、心在原點(diǎn)O(0, 0, 0)時(shí), 球面方程: x2 + y2 + z2 = R2 例：求三維空間中球心為M0(x0, y0,z0), 半徑為R的球面的方程. 解：對(duì)于球面上任一點(diǎn)M(x, y, z), 都有|M M0|2 =R2.即 M0 M R222yxaz 上半球面上半球面xyz解: 原方程可改寫(xiě)為(x 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 5故: 原方程表示球心在M0(1, 2, 0), 半徑為 的球面.5練習(xí): 方程 x2 + y2 + z2 2x + 4y = 0表示怎樣的曲面?以上幾例表明研究空間曲面有以上幾例表明研究空間曲面有兩個(gè)基本問(wèn)題兩個(gè)基本問(wèn)題：（2 2）已知）已知曲

4、面方程曲面方程，研究曲面形狀，研究曲面形狀（1 1）求曲面方程）求曲面方程曲面的參數(shù)方程：曲面的參數(shù)方程：當(dāng)球心在原點(diǎn)O(0, 0, 0)時(shí),球面方程: x2 + y2 + z2 = R2 為參數(shù)為參數(shù)，如圖，取如圖，取 程程等等價(jià)價(jià)于于：則則球球心心在在原原點(diǎn)點(diǎn)的的球球面面方方 cossinsincossinRzRyRx 20 0的的球球面面的的參參數(shù)數(shù)方方程程。為為球球心心在在原原點(diǎn)點(diǎn)、半半徑徑為為 R M（x,y,z） RxyzPQN( , )( , )( , )xx u vyy u vzz u v一般地,曲面的參數(shù)方程可表示為： 0),(0),(zyxGzyxF空間曲線的一般方程空間曲

5、線的一般方程 曲線上的點(diǎn)都滿足曲線上的點(diǎn)都滿足方程，滿足方程的點(diǎn)都在方程，滿足方程的點(diǎn)都在曲線上，不在曲線上的點(diǎn)曲線上，不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程.xozy1S2SC空間曲線空間曲線C可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線.特點(diǎn)特點(diǎn)：空間曲線的一般方程 例例 方程方程 表示什么樣的曲線？表示什么樣的曲線？ 211222zzyxxyzO例例 方程方程 表示什么樣的曲線？表示什么樣的曲線？ 11yx解解交線如圖交線如圖:xozy11例例 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2

6、(222ayax 圓柱面圓柱面,交線如圖交線如圖. )()()(tzztyytxx 當(dāng)當(dāng)給給定定1tt 時(shí)時(shí)，就就得得到到曲曲線線上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)),(111zyx，隨隨著著參參數(shù)數(shù)的的變變化化可可得得到到曲曲線線上上的的全全部部點(diǎn)點(diǎn).空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程(0,0,1)1CCz練習(xí)：曲線 是一圓心在、半徑為的圓，圓 所在的平面與 軸垂直，求它的一般方程和參數(shù)方程。xyzO22221xyzz參考P27，例2 動(dòng)點(diǎn)從動(dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)發(fā)，經(jīng)過(guò)t時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)點(diǎn) A MM M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxM tax cos tay

7、sin vtz t 螺旋線的參數(shù)方程螺旋線的參數(shù)方程取時(shí)間取時(shí)間t為參數(shù)，為參數(shù)，解解xyzo螺旋線的參數(shù)方程還可以寫(xiě)為螺旋線的參數(shù)方程還可以寫(xiě)為 bzayaxsincos),( vbt 螺旋線的重要螺旋線的重要性質(zhì)性質(zhì)：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度與轉(zhuǎn)過(guò)的角度成正比上升的高度與轉(zhuǎn)過(guò)的角度成正比即即上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距 ,2 定義定義二、柱面二、柱面平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動(dòng)的直線移動(dòng)的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動(dòng)直線，動(dòng)直線 叫柱面的叫柱面的母線母線.CLxzy0

8、母線母線F( x,y )=0z = 0準(zhǔn)線準(zhǔn)線 (不含不含z)M(x,y,z)N(x, y, 0)S曲面曲面S上每一點(diǎn)都滿足方程；上每一點(diǎn)都滿足方程；曲面曲面S外的每一點(diǎn)都不滿足方程外的每一點(diǎn)都不滿足方程點(diǎn)點(diǎn)N滿足方程，故滿足方程，故點(diǎn)點(diǎn)M滿足方程滿足方程一般一般母線母線準(zhǔn)線準(zhǔn)線(不含不含x)F( y, z )=0 x = 0 xzy0一般一般12222 byaxabzxyo橢圓橢圓zxy = 0y12222 bzaxo雙曲雙曲pxy22 zxyo拋物拋物三、旋轉(zhuǎn)曲面三、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的

9、曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸播放播放曲線曲線 C 00),(xzyfCy zo繞繞 z軸軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)的方程的方程曲線曲線 C 00),(xzyfxCy zo繞繞 z軸軸.旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)的方程的方程曲線曲線 C 00),(xzyf旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面 SCSMN), 0(11zy zz 1zPMPy |11y1zy zo繞繞 z軸軸.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)的方程的方程.x S221yxy 曲線曲線 C 00),(xzyf旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面 SxCSMN), 0(11zyzz 1zPMPy

10、 |11y1z0),( 22 zyxfS：.繞繞 z軸軸.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)f (y1, z1)=0f (y1, z1)=0.y zo S221yxy 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)的方程的方程同同理理：yoz坐坐標(biāo)標(biāo)面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zyf繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程為為 . 0,22 zxyfyoz 02 xazy拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周yoxz 02 xazy拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周yayxz22 .oxz. 02 xazy拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周得旋轉(zhuǎn)拋物面得旋轉(zhuǎn)拋物面.x zbyax 雙曲線雙曲線0

11、y繞繞 x 軸一周軸一周x zbyax 雙曲線雙曲線0zy繞繞 x 軸一周軸一周x0zy 得得雙雙葉葉旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)雙雙曲曲面面122222 bzyax. zbyax 雙曲線雙曲線.繞繞 x 軸一周軸一周axyo上題雙曲線上題雙曲線繞繞 y 軸一周軸一周 012222 zbyax axyoz上題雙曲線上題雙曲線繞繞 y 軸一周軸一周 012222 zbyax a.xyoz 得得單單葉葉旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)雙雙曲曲面面122222 byazx.上題雙曲線上題雙曲線繞繞 y 軸一周軸一周 012222 zbyax 0 0 2222 =z=byax兩條相交直線兩條相交直線繞繞 x 軸一周軸一周x yo 0 0 222

12、2 =z=byax.兩條相交直線兩條相交直線繞繞 x 軸一周軸一周x yozx yoz 0 0 2222 =z=byax.兩條相交直線兩條相交直線繞繞 x 軸一周軸一周得旋轉(zhuǎn)錐面得旋轉(zhuǎn)錐面022222 bzyax.yxorR)0()222 rRryRx（ 圓圓繞繞 y軸軸 旋轉(zhuǎn)所成曲面旋轉(zhuǎn)所成曲面z繞繞 y軸軸 旋轉(zhuǎn)所成曲面旋轉(zhuǎn)所成曲面yxo.)0()222 rRryRx（ 圓圓z繞繞 y軸軸 旋轉(zhuǎn)所成曲面旋轉(zhuǎn)所成曲面22222)(ryRzx 環(huán)面方程環(huán)面方程.yxo.)0()222 rRryRx（ 圓圓4、橢圓錐面。為為母母線線，橢橢圓圓稱稱為為準(zhǔn)準(zhǔn)線線橢橢圓圓錐錐面面。這這些些直直線線稱稱

13、稱稱為為有有這這些些直直線線形形成成的的曲曲面面上上沒(méi)沒(méi)一一點(diǎn)點(diǎn)作作一一直直線線，所所和和上上的的定定點(diǎn)點(diǎn)，過(guò)過(guò)是是不不在在是是一一橢橢圓圓，定定義義：設(shè)設(shè)LPLPLox ),(1111zyxM),(zyxMzyLP的的移移動(dòng)動(dòng)一一周周的的動(dòng)動(dòng)直直線線形形成成且且沿沿?fù)Q換角角度度：過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)LP的橢圓錐面的方程。的橢圓錐面的方程。準(zhǔn)線為準(zhǔn)線為討論頂點(diǎn)在原點(diǎn)，討論頂點(diǎn)在原點(diǎn)，)0(12222 cczbyax),(),(1111zyxMLOMzyxM交于點(diǎn)交于點(diǎn)與準(zhǔn)線與準(zhǔn)線的連線的連線與與點(diǎn)點(diǎn)是錐面上的任一點(diǎn)，過(guò)是錐面上的任一點(diǎn)，過(guò)設(shè)設(shè)1/OMOM OMOM 1,使使 czbyaxLM1221221

14、11,上上在在又又222222czbyax 得：得：稱為橢圓錐面的方程，也叫二次錐面。 ),(1111zyxM),(zyxMzyLP111,xx yy zz 0),(0),(zyxGzyxF消去變量消去變量z后得：后得：0),( yxH曲線關(guān)于曲線關(guān)于 的的投影柱面投影柱面xoy設(shè)空間曲線的一般方程：設(shè)空間曲線的一般方程：以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面.投影柱面的投影柱面的特征特征：空間曲線在坐標(biāo)面上的投影如圖如圖:投影曲線的研究過(guò)程投影曲線的研究過(guò)程.空間曲線空間曲線投影曲線投影曲線投影柱面投影柱面類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影類

15、似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲線投影曲線,yoz面上的面上的投影曲線投影曲線,xoz 00),(zyxH空間曲線在空間曲線在 面上的面上的投影曲線投影曲線xoy例例 求曲線求曲線 在坐標(biāo)面上的投影在坐標(biāo)面上的投影. 211222zzyx解解（1）消去變量）消去變量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影為面上的投影為xoy,04322 zyxxyzO所以在所以在 面上的投影為線段面上的投影為線段.xoz;23|,021 xyz（2）因?yàn)榍€在平面）因?yàn)榍€在平面 上，上，21 z例例 求曲線求曲線 在坐標(biāo)面上的投影在坐標(biāo)面上

16、的投影. 211222zzyxxyzO（3）同理在）同理在 面上的投影也面上的投影也為線段為線段.yoz.23|,021 yxzxyzO例例 求曲線求曲線 在坐標(biāo)面上的投影在坐標(biāo)面上的投影. 211222zzyx空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影. .空間立體空間立體曲面曲面空間曲線的一般方程、參數(shù)方程空間曲線的一般方程、參數(shù)方程空間曲線在坐標(biāo)面上的投影空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF )()()(tzztyytxx 00),(zyxH 00),(xzyR 00),(yzxT小結(jié)旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法.柱面的概念柱面的概念(

17、母線、準(zhǔn)線母線、準(zhǔn)線).作業(yè)P32: 1,2,4,6,7,9P36: 2二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋

18、轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面