教學(xué)內(nèi)容：弦切角

1、.教學(xué)內(nèi)容：弦切角 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解弦切角的概念，掌握弦切角定理及其推論，并會(huì)運(yùn)用它們解決有關(guān)問題2通過弦切角定理的證明，進(jìn)一步了解分情況證明數(shù)學(xué)命題的思想和方法 【主體知識(shí)歸納】1頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角2弦切角等于它所夾弧所對的圓周角3如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等 【基礎(chǔ)知識(shí)講解】1弦切角的定義要注意以下兩點(diǎn)：(1)角的頂點(diǎn)在圓上，實(shí)際上就是角的頂點(diǎn)是圓的一條切線的切點(diǎn)；(2)角的一邊是過切點(diǎn)的一條弦(所在的射線)，角的另一邊是切線上以切點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線2弦切角定理的證明與圓周角定理的證明相仿，也分三種情

2、況第一種情況是特殊情況，其他兩種是一般情況，通過作輔助線可轉(zhuǎn)化為第一種情況3弦切角是與圓有關(guān)的又一種角，要能在圖形中準(zhǔn)確地識(shí)別，并能正確應(yīng)用弦切角定理及其推論它給我們提供了證明角相等的又一個(gè)重要依據(jù)，它常常與圓周角、圓心角性質(zhì)聯(lián)合應(yīng)用來進(jìn)行證明、求解 【例題精講】例1：如圖7170，ABC中，AD為A的平分線，O過A點(diǎn)切BC于D點(diǎn)，且與AB、AC分別交于E、F點(diǎn)求證：EFBC剖析：欲證EFBC，可證同位角相等或內(nèi)錯(cuò)角相等由于同位角的關(guān)系不易找，所以設(shè)想構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，連結(jié)DF，因?yàn)?是弦切角，所以42,又31,12,易得34證明：連結(jié)DFBC是切線EFBC說明：(1)本例通過作輔助線DF

3、，利用弦切角定理、圓周角定理的推論，證明兩個(gè)角相等，從而證得兩直線平行體現(xiàn)觀察、分析、構(gòu)造、聯(lián)想、綜合解決問題的幾個(gè)環(huán)節(jié)觀察、分析、聯(lián)想、構(gòu)造、綜合應(yīng)用是解決幾何問題的重要手段(2)本例中，設(shè)AD與EF交于G有結(jié)論：DF2DG·DA例2：如圖7171，已知O的弦ABCD，過A點(diǎn)作O的切線交CD的延長線于E求證：AD2DE·AB剖析：欲證AD2DE·AB，需證AD：DEAB：AD因?yàn)锳BCD，所以，知BCAD，需證AD：DEAB：BC連結(jié)AC，只需證ABCADE即可證明：連結(jié)AC，說明：(1)本例是利用弦切角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理，找出相等的角，然后在證明三角

4、形相似的基礎(chǔ)上再證明等積式這種方法在以后證題時(shí)還要用到，要注意掌握(2)本題還可直接連結(jié)BD，證ABDADE例3：如圖7172，AB為O的直徑，過B點(diǎn)作O的切線BC，OC交O于點(diǎn)E，AE的延長線交BC于點(diǎn)D(1)求證：CE2CD·CB；(2)若ABBC2 cm，求：CE、CD的長剖析：要證CE2CD·CB，連結(jié)BE，證CEDCBE即可(1)證明：連結(jié)BE由(1)知CE2CD·CB，而CB2，(1)22·CD，CD(3) cm說明：有切線，并需要尋找角的關(guān)系時(shí)常添輔助線，為利用弦切角定理創(chuàng)造條件例4：如圖7173，AB是半圓O的直徑，ACAB，BDAB，C

5、D切O于E 求證：OE2AC·BD證法一：連結(jié)AE、OE、BEAB是O的直徑，BDAB，CAAB CA、DB是O的切線CD切O于E，CECA，CAECEAOBOE，OEBOBECAEOBE，CAECEAOBEOEBACEBOE 同理可證 AOEBDE 則OE2AC·BD證法二：如圖7174，分別延長DC、BA交于點(diǎn)P，連結(jié)OE、AE、BECD是O的切線，OECD 即PEO90°又 CAAB，DBABCAPDBP90°RtPACRtPEORtPBD則PD是O的切線，PEAEBPPEAPBE 即OE2AC·BD證法三：如圖7175，連結(jié)O

6、C、ODCD、AC、BD分別是O的切線，ACCE，BDDE，13，24，ACBD12(ACDBDC) ×180°90°OECD OCEODEOE2CE·BEOE2AC·BD說明：(1)此例是以切線的判定、切線的性質(zhì)、弦切角、切線長定理、相似三角形等知識(shí)構(gòu)成的證法一、證法三中要用到切線長定理及切線的性質(zhì)，所以要先證明CA、BD是圓的切線(2)本例題的結(jié)論是證明線段成比例，前兩種證法用“等比代換”，第三種證法是“等線段代換”思路是這樣分析的：結(jié)論中的三條線段OE、AC、BD不在一個(gè)三角形中，則不能直接用三角形相似來解決由于圖中有和OE、A

7、C、BD相等的線段，所以可以想到用“等線段代換”例5：如圖7176，設(shè)點(diǎn)P是等邊三角形ABC外接圓上的一點(diǎn)，AP交BC于D求證：(1)PAPBPC；(2)PA2BC2PB·PC；(3)剖析：證明PAPBPC，可在AP上截取AEBP，然后再證明PEPC即可由結(jié)論(1)可知，要證明PA2BC2PB·PC，只要證明PBDPAC和PABBAD,得PA·PDPC·PB，AB2PA·AD再結(jié)合(1)的結(jié)論，即可得證第(3)問，可先把結(jié)論整理變形為，又由(1)知，PCPBPA，所以結(jié)論可變?yōu)镻D·PAPB·PC，由PBDPAC即可證得證明

8、：(1)在PA上截取AEPB，連結(jié)ECABC是等邊三角形，BCACCAEPBC，AECBPCCECP,CPACBA60°PCE是等邊三角形即PCPE，PAPBPC(2)BPDAPC60°,CAPCBP,PBDPAC,即PA·PDPB·PC又ABCBPA60°,BADBAP,PABBAD,即PA·ADAB2,得PA(PDAD)AB2PB·PC又PAPDAD，ABBC，PA2BC2PB·PC(3)由(2)中得，PA·PDPB·PC，由PAPBPC，代入上式，得， 【同步達(dá)綱練習(xí)】1選擇題(

9、1)AB是O的弦，CD是經(jīng)過O上點(diǎn)M的切線，若CDAB，則AM和BM的關(guān)系是AAMBMBAMBMCAMBMD無法確定(2)如圖7177，PC與O相切于C點(diǎn)，割線PAB過圓心O，P40°，則ACP等于A20°B25°C30°D40°(3)如圖7178，四邊形ABCD內(nèi)接于O，AB是直徑，過C點(diǎn)作O的切線MN，若BCM38°，則B等于A32°B42°C52°D48°(4)如圖7179，ABC內(nèi)接于O，PC切O于C點(diǎn)，PCD20°，則A等于A20°B30°C40°

10、;D50°(5)如圖7180，AP平分BAC，過P點(diǎn)的切線交AC的延長線于D，若AB3，AD6，則AP等于A18B9 C3D2(6)如圖7181，PC與O相切于C點(diǎn)，割線PAB過圓心O，若的度數(shù)為70°，則P等于A25°B20°C35°D55°(7)如圖7182，PA、PB切O于A、B，P50°，則D的度數(shù)為A65°B75°C40°D130°(8)如圖7183，AD是O的切線，A是切點(diǎn)，則ACB、BAD與AOB之間的關(guān)系是AACB2BADAOB BACBBADAOBCACBBADAOB

11、DAOBACBBAD(9)如圖7184，ABC內(nèi)接于O，BCAC，過B，C分別作O的切線，兩條切線相交于P，P80°，則ABC等于A50°B65°C75°D100°(10)如圖7185，已知PA、PB分別切O于A、B，APB60°，若PA10 cm，則O半徑的長為AcmB5 cmC10cmD5cm2填空題(1)ABC內(nèi)接于O，B25°，C75°，過A作O的切線交BC延長線于P，則P_；(2)如圖7186，在O中，AC是弦，AD是切線，CBAD，垂足為B，又CB與O交于E，若AE平分BAC，則ACB_； (

12、3)如圖7187，CD、BC切O于D、B，直徑DA的延長線交CB的延長線于E，若的度數(shù)為60°，則BDC_，C_，E_；(4)如圖7188，O是ABC的內(nèi)切圓，D、E、F為切點(diǎn)，A：B：C4：3：2，則DEF_，F(xiàn)EC_；(5)已知：O的弦AB，BC切O于B，且ABC30°，則O的直徑為_；(6)已知：如圖7189，CD是O的直徑，AE切O于點(diǎn)B，DC的延長線交AB于點(diǎn)A，A20°，則DBE_；(7)如圖7190，BC為O的直徑，DE切O于A點(diǎn)，BDDE若ABD50°，則的度數(shù)為_；(8)如圖7191，已知ABC內(nèi)接于O，DEBC，且與O切于點(diǎn)F，則圖中

13、與BFD相等的角的個(gè)數(shù)是_(9)如圖7192，已知四邊形ABCD內(nèi)接于O，AB是O的直徑，D是AC的中點(diǎn)，C切O于點(diǎn)C，BC30°，則cACD_3如圖7193，ABC的一邊BC切O于點(diǎn)F，點(diǎn)A在O上，AB、AC與O分別交于D、E，且求證：4如圖7194，O是ABC的外接圓，PD是O的切線，與AC的延長線交于點(diǎn)P，D是切點(diǎn)，且BCDP求證：DE·DPBD·CP5已知：如圖7195，PA、PB分別切O于A、B，P60°，C為劣弧上任一點(diǎn)，CDPA，CEPB，D、E在AB上，求證：DE是AD、BE的比例中項(xiàng)6如圖7196，已知O中，OBOA，P為OA的延長線上

14、任一點(diǎn)，BP與O相交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作O的切線QR，與PO相交于點(diǎn)R求證：PQ7如圖7197，已知M是以AB為直徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，過M點(diǎn)的切線與分別過點(diǎn)A、B的AB的垂線AD、BC相交于D、C兩點(diǎn)求證：OA2AD·BC8如圖7198，AB是O的弦，O的割線交O于點(diǎn)、P，過點(diǎn)A、B分別作AB的垂線交直線MP于兩點(diǎn)D和C，過點(diǎn)M、P分別作MP的垂線交AB于N、Q兩點(diǎn)求證：N·PQAD·BC9如圖7199，延長O半徑OA至B，使OAAB，D為O的切線，T為切點(diǎn)，BCD于C，D、O、A共線求證：ACBCAD參考答案【同步達(dá)綱練習(xí)】1(1)B (2)B (3)C (4)A (5)C (6)B (7)A (8)C (9)A (10)A2(1)50° (2)30° (3)60° 60° 30° (4)50° 70° (5)2 (6)55° (7)100° (8)5個(gè) (9)3過點(diǎn)B作AC的平行線，交AF的延長線于G得ABBG，由切割線定理，得BF2BD·BA4連結(jié)CD，證PCDDEB5連結(jié)AC、BC證明ADCCE