教學(xué)內(nèi)容：弦切角

1、.教學(xué)內(nèi)容：弦切角 【學(xué)習(xí)目標】1理解弦切角的概念，掌握弦切角定理及其推論，并會運用它們解決有關(guān)問題2通過弦切角定理的證明，進一步了解分情況證明數(shù)學(xué)命題的思想和方法 【主體知識歸納】1頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角2弦切角等于它所夾弧所對的圓周角3如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等 【基礎(chǔ)知識講解】1弦切角的定義要注意以下兩點：(1)角的頂點在圓上，實際上就是角的頂點是圓的一條切線的切點；(2)角的一邊是過切點的一條弦(所在的射線)，角的另一邊是切線上以切點為端點的一條射線2弦切角定理的證明與圓周角定理的證明相仿，也分三種情

2、況第一種情況是特殊情況，其他兩種是一般情況，通過作輔助線可轉(zhuǎn)化為第一種情況3弦切角是與圓有關(guān)的又一種角，要能在圖形中準確地識別，并能正確應(yīng)用弦切角定理及其推論它給我們提供了證明角相等的又一個重要依據(jù)，它常常與圓周角、圓心角性質(zhì)聯(lián)合應(yīng)用來進行證明、求解 【例題精講】例1：如圖7170，ABC中，AD為A的平分線，O過A點切BC于D點，且與AB、AC分別交于E、F點求證：EFBC剖析：欲證EFBC，可證同位角相等或內(nèi)錯角相等由于同位角的關(guān)系不易找，所以設(shè)想構(gòu)造內(nèi)錯角，連結(jié)DF，因為4是弦切角，所以42,又31,12,易得34證明：連結(jié)DFBC是切線EFBC說明：(1)本例通過作輔助線DF

3、，利用弦切角定理、圓周角定理的推論，證明兩個角相等，從而證得兩直線平行體現(xiàn)觀察、分析、構(gòu)造、聯(lián)想、綜合解決問題的幾個環(huán)節(jié)觀察、分析、聯(lián)想、構(gòu)造、綜合應(yīng)用是解決幾何問題的重要手段(2)本例中，設(shè)AD與EF交于G有結(jié)論：DF2DG·DA例2：如圖7171，已知O的弦ABCD，過A點作O的切線交CD的延長線于E求證：AD2DE·AB剖析：欲證AD2DE·AB，需證AD：DEAB：AD因為ABCD，所以，知BCAD，需證AD：DEAB：BC連結(jié)AC，只需證ABCADE即可證明：連結(jié)AC，說明：(1)本例是利用弦切角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理，找出相等的角，然后在證明三角

4、形相似的基礎(chǔ)上再證明等積式這種方法在以后證題時還要用到，要注意掌握(2)本題還可直接連結(jié)BD，證ABDADE例3：如圖7172，AB為O的直徑，過B點作O的切線BC，OC交O于點E，AE的延長線交BC于點D(1)求證：CE2CD·CB；(2)若ABBC2 cm，求：CE、CD的長剖析：要證CE2CD·CB，連結(jié)BE，證CEDCBE即可(1)證明：連結(jié)BE由(1)知CE2CD·CB，而CB2，(1)22·CD，CD(3) cm說明：有切線，并需要尋找角的關(guān)系時常添輔助線，為利用弦切角定理創(chuàng)造條件例4：如圖7173，AB是半圓O的直徑，ACAB，BDAB，C

5、D切O于E 求證：OE2AC·BD證法一：連結(jié)AE、OE、BEAB是O的直徑，BDAB，CAAB CA、DB是O的切線CD切O于E，CECA，CAECEAOBOE，OEBOBECAEOBE，CAECEAOBEOEBACEBOE 同理可證 AOEBDE 則OE2AC·BD證法二：如圖7174，分別延長DC、BA交于點P，連結(jié)OE、AE、BECD是O的切線，OECD 即PEO90°又 CAAB，DBABCAPDBP90°RtPACRtPEORtPBD則PD是O的切線，PEAEBPPEAPBE 即OE2AC·BD證法三：如圖7175，連結(jié)O

6、C、ODCD、AC、BD分別是O的切線，ACCE，BDDE，13，24，ACBD12(ACDBDC) ×180°90°OECD OCEODEOE2CE·BEOE2AC·BD說明：(1)此例是以切線的判定、切線的性質(zhì)、弦切角、切線長定理、相似三角形等知識構(gòu)成的證法一、證法三中要用到切線長定理及切線的性質(zhì)，所以要先證明CA、BD是圓的切線(2)本例題的結(jié)論是證明線段成比例，前兩種證法用“等比代換”，第三種證法是“等線段代換”思路是這樣分析的：結(jié)論中的三條線段OE、AC、BD不在一個三角形中，則不能直接用三角形相似來解決由于圖中有和OE、A

7、C、BD相等的線段，所以可以想到用“等線段代換”例5：如圖7176，設(shè)點P是等邊三角形ABC外接圓上的一點，AP交BC于D求證：(1)PAPBPC；(2)PA2BC2PB·PC；(3)剖析：證明PAPBPC，可在AP上截取AEBP，然后再證明PEPC即可由結(jié)論(1)可知，要證明PA2BC2PB·PC，只要證明PBDPAC和PABBAD,得PA·PDPC·PB，AB2PA·AD再結(jié)合(1)的結(jié)論，即可得證第(3)問，可先把結(jié)論整理變形為，又由(1)知，PCPBPA，所以結(jié)論可變?yōu)镻D·PAPB·PC，由PBDPAC即可證得證明

8、：(1)在PA上截取AEPB，連結(jié)ECABC是等邊三角形，BCACCAEPBC，AECBPCCECP,CPACBA60°PCE是等邊三角形即PCPE，PAPBPC(2)BPDAPC60°,CAPCBP,PBDPAC,即PA·PDPB·PC又ABCBPA60°,BADBAP,PABBAD,即PA·ADAB2,得PA(PDAD)AB2PB·PC又PAPDAD，ABBC，PA2BC2PB·PC(3)由(2)中得，PA·PDPB·PC，由PAPBPC，代入上式，得， 【同步達綱練習(xí)】1選擇題(

9、1)AB是O的弦，CD是經(jīng)過O上點M的切線，若CDAB，則AM和BM的關(guān)系是AAMBMBAMBMCAMBMD無法確定(2)如圖7177，PC與O相切于C點，割線PAB過圓心O，P40°，則ACP等于A20°B25°C30°D40°(3)如圖7178，四邊形ABCD內(nèi)接于O，AB是直徑，過C點作O的切線MN，若BCM38°，則B等于A32°B42°C52°D48°(4)如圖7179，ABC內(nèi)接于O，PC切O于C點，PCD20°，則A等于A20°B30°C40°

10、;D50°(5)如圖7180，AP平分BAC，過P點的切線交AC的延長線于D，若AB3，AD6，則AP等于A18B9 C3D2(6)如圖7181，PC與O相切于C點，割線PAB過圓心O，若的度數(shù)為70°，則P等于A25°B20°C35°D55°(7)如圖7182，PA、PB切O于A、B，P50°，則D的度數(shù)為A65°B75°C40°D130°(8)如圖7183，AD是O的切線，A是切點，則ACB、BAD與AOB之間的關(guān)系是AACB2BADAOB BACBBADAOBCACBBADAOB

11、DAOBACBBAD(9)如圖7184，ABC內(nèi)接于O，BCAC，過B，C分別作O的切線，兩條切線相交于P，P80°，則ABC等于A50°B65°C75°D100°(10)如圖7185，已知PA、PB分別切O于A、B，APB60°，若PA10 cm，則O半徑的長為AcmB5 cmC10cmD5cm2填空題(1)ABC內(nèi)接于O，B25°，C75°，過A作O的切線交BC延長線于P，則P_；(2)如圖7186，在O中，AC是弦，AD是切線，CBAD，垂足為B，又CB與O交于E，若AE平分BAC，則ACB_； (

12、3)如圖7187，CD、BC切O于D、B，直徑DA的延長線交CB的延長線于E，若的度數(shù)為60°，則BDC_，C_，E_；(4)如圖7188，O是ABC的內(nèi)切圓，D、E、F為切點，A：B：C4：3：2，則DEF_，F(xiàn)EC_；(5)已知：O的弦AB，BC切O于B，且ABC30°，則O的直徑為_；(6)已知：如圖7189，CD是O的直徑，AE切O于點B，DC的延長線交AB于點A，A20°，則DBE_；(7)如圖7190，BC為O的直徑，DE切O于A點，BDDE若ABD50°，則的度數(shù)為_；(8)如圖7191，已知ABC內(nèi)接于O，DEBC，且與O切于點F，則圖中

13、與BFD相等的角的個數(shù)是_(9)如圖7192，已知四邊形ABCD內(nèi)接于O，AB是O的直徑，D是AC的中點，C切O于點C，BC30°，則cACD_3如圖7193，ABC的一邊BC切O于點F，點A在O上，AB、AC與O分別交于D、E，且求證：4如圖7194，O是ABC的外接圓，PD是O的切線，與AC的延長線交于點P，D是切點，且BCDP求證：DE·DPBD·CP5已知：如圖7195，PA、PB分別切O于A、B，P60°，C為劣弧上任一點，CDPA，CEPB，D、E在AB上，求證：DE是AD、BE的比例中項6如圖7196，已知O中，OBOA，P為OA的延長線上

14、任一點，BP與O相交于點Q，過點Q作O的切線QR，與PO相交于點R求證：PQ7如圖7197，已知M是以AB為直徑的圓上一動點，過M點的切線與分別過點A、B的AB的垂線AD、BC相交于D、C兩點求證：OA2AD·BC8如圖7198，AB是O的弦，O的割線交O于點、P，過點A、B分別作AB的垂線交直線MP于兩點D和C，過點M、P分別作MP的垂線交AB于N、Q兩點求證：N·PQAD·BC9如圖7199，延長O半徑OA至B，使OAAB，D為O的切線，T為切點，BCD于C，D、O、A共線求證：ACBCAD參考答案【同步達綱練習(xí)】1(1)B (2)B (3)C (4)A (5)C (6)B (7)A (8)C (9)A (10)A2(1)50° (2)30° (3)60° 60° 30° (4)50° 70° (5)2 (6)55° (7)100° (8)5個 (9)3過點B作AC的平行線，交AF的延長線于G得ABBG，由切割線定理，得BF2BD·BA4連結(jié)CD，證PCDDEB5連結(jié)AC、BC證明ADCCE