第5次杯賽真題詳解（華杯賽）

1、1. 里山鎮(zhèn)到省城的高速路全長189 千米, 途經(jīng)縣城, 里山鎮(zhèn)到縣城54 千米. 早上8:30, 一輛客車從里山鎮(zhèn)開往縣城, 9:15 到達, 停留15 分鐘后開往省城, 11:00 到達. 另有一輛客車于同天早上8:50從省城徑直開往里山鎮(zhèn), 每小時行駛60 千米. 那么兩車相遇的時間為_.答案：10:08 解：客車先從里山鎮(zhèn)到縣城走了54km，此時是9:15，之后又停留了15分鐘，所以是9:30從縣城出發(fā)的，11:00到達省城，這段時間的速度是此時另一輛從8:50出發(fā)的車已經(jīng)行駛了40分鐘了，走了千米剩下的189-54-40=95km就是兩車合走的，也就是所以相遇時間是10:08.（徐峰

2、老師整理）2. 能否用540個下圖所示的1×2的小長方形拼成一個6×180的大長方形，使得6×180的長方形的每一行、每一列都有奇數(shù)個星? 請說明理由. 答案：可以前179行的排法都相同，如下圖所示，第180行有所不同。保證每行每列都是奇數(shù)個星星。（魏杰老師整理）3. 已知100 個互不相同的質(zhì)數(shù)，記，問: 被3 除的余數(shù)是多少？答案：如果某一個p等于3，那么結(jié)果為0；如果沒有一個p等于3，那么結(jié)果為1解析：首先考慮一個質(zhì)數(shù)的平方除以3的余數(shù)：如果該質(zhì)數(shù)就是3，那么它的平方除以3余數(shù)為0；如果該質(zhì)數(shù)不是3，那么它本身除以3一定是余1或者余2，無論哪一種，平方之后除

3、以3的余數(shù)都是1。根據(jù)余數(shù)的可加性，當某一個的時候，其余99個平方除以3都是余1，因此，余數(shù)為0當任何一個，所有的平方除以3都是余1，那么，余數(shù)為1（韓承程老師整理）4. 林林倒?jié)M一杯純牛奶，第一次喝了1/3，然后加入豆?jié){，將杯子斟滿并攪拌均勻，第二次林林又喝了1/3，繼續(xù)用豆?jié){將杯子斟滿并攪拌均勻，重復(fù)上述過程，那么第四次后，林林共喝了一杯純牛奶總量的_（用分數(shù)表示）答案：解析：大家要先分析清楚的是不論我是否加入豆?jié){，每次喝到的都是杯子里剩下牛奶的，要是能想清楚這一點那么這到題就變成了一道純找規(guī)律的問題了。 喝掉的牛奶 剩下的牛奶第一次： 1第二次： ×（喝掉剩下的） ×

4、（剩下是第一次剩下的）第三次： ×（喝掉剩下的） ×（剩下是第一次剩下的）第四次： ×（喝掉剩下的） 所以最后喝掉的牛奶為：（尹斌老師整理）5. 右圖是一個三角形網(wǎng)格, 由16 個小的等邊三角形構(gòu)成. 將網(wǎng)格中由3 個相鄰小三角形構(gòu)成的圖形稱為“3-梯形”. 如果在每個小三角形內(nèi)填上數(shù)字19 中的一個, 那么能否給出一種填法, 使得任意兩個“3-梯形”中的3 個數(shù)之和均不相同？如果能, 請舉出一例；如果不能, 請說明理由. 【考查知識點】抽屜原理【答案】不能【解析】三角形網(wǎng)格中的“3-梯形”共分了三個方向（沿三條邊的三個方向），我們只需要數(shù)出其中一個方向，然后將個數(shù)乘3即可。我們先數(shù)一下沿底邊方向的“3-梯形”的個數(shù)，按層數(shù)即可（有正有反），從最下一層依次是5個、3個、1個，共5+3+1=9（個），故三角形網(wǎng)格中共9×3=27（個）“3-梯形”；而每個小三角形內(nèi)填上數(shù)字19 中的一個，所以每個“3-梯形”中三個數(shù)的和最小是1+1+1=3，最大是9+9+9=27，共273+1=25（個）和；這里將3個數(shù)的和看做抽屜，27個“3-梯形”看做蘋果，根據(jù)抽屜原理將27個蘋果