平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例

1、平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例考綱傳真1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義 .2. 了解平面向量的數(shù) 量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的 運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂 直關(guān)系.5.會(huì)用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題 .6.會(huì)用向量方法解決簡 單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題【知識(shí)通關(guān)】1. 向量的夾角 已知兩個(gè)非零向量a和b,作OA = a, OB = b,則 AoB就是向量a與b的夾角, 向量夾角的范圍是：0, .2. 平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個(gè)非零向量a, b的夾角為,則數(shù)量|a bcos 叫做a與

2、b的數(shù)量 積，記作a b投影IalCOS 叫做向量a在b方向上的投影，IblCOS 叫做向量b在a方向上的投影幾何 意義數(shù)量積a b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影IblCOS 的乘積3. 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律：a b= b a；(2) 數(shù)乘結(jié)合律：(a b= a b)= a (b(3) 分配律：a (b+ C) = a b+ a C.4. 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)非零向量 a= (x, y), b= (x2, y2), = a, b>.結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|=/a_a|a|=p x2 + y2數(shù)量積a b= |a|b|cos a b = x1x2+ y1

3、y2夾角A a b cos = |a|b|.x1x2+ y1y2COS = t22 22x2+ y2 x2+ y2a ba b= 012 + y1y2= 0|a b| 與 |a|b| 的|a b| |a|b|X1X2 + y1y2|7 1+ y2 2+ y2關(guān)系常用結(jié)論1. 平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1) (a+ b) (a b)= a2 b2;(2) (a±)2= a2 ±>ab+ b2.2. 兩個(gè)向量a, b的夾角為銳角？ ab>0且a, b不共線；兩個(gè)向量a, b的夾角為鈍角？ a bv 0且a, b不共線.【基礎(chǔ)自測】1判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打

4、“”，錯(cuò)誤的打“X”)(1) 兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量.()(2) 向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量. ()(3) 由 a b = 0 可得 a = 0 或 b = 0.()(4) (a b)c= a(b c).()答案(1) (3) ××2. 已知Ial= 6, Ibl = 3,向量a在b方向上的投影是4,則a b為()A. 12 B. 8 C. 8D. 2A3. 已知向量 a= (1, m), b= (3, 2),且(a+ b)丄b,貝U m=()A. 8 B. 6 C. 6D. 8D4. 已知 a, b是平面向量，如果

5、|a| = 3, |b|= 4, |a+ b|= 2,那么 |a b|=()A. .46 B. 7 C. 5 D. 21A5. 已知向量a= (1,/3), b= (3, 1),則a與b夾角的大小為 .6【題型突破】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算I"強(qiáng)L 1. 已知點(diǎn) A( 1, 1), B(1, 2), C( 2, 1), D(3,4),則向量 CD在BA方向上的投影是()A. 3.5 B .兮 C . 3 5 D.譽(yù)A 2.在 ABC 中，AB = 4, BC = 6, ABC =，D 是 AC 的中點(diǎn)，E 在 BC 上，且 AE 丄 BD,貝U AE BC =()A. 16 B. 12

6、C. 8D. - 4A3. 已知菱形 ABCD的邊長為6, ABD = 30°點(diǎn)E , F分別在邊BC, DC上， BC = 2BE , CD = CF若AE BF = - 9,貝U 的值為()A. 2 B. 3 C. 4 D. 5B方法總結(jié)1.向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法1當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí),可利用定義法求解,即ab= IallbICoSa, b> ；2當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a= x1, y1 , b= x2, y2 ,則 a = 12+ y1y2.2. 解決涉及幾何圖形的向量的數(shù)量積運(yùn)算問題時(shí)，常利用解析法，巧妙構(gòu)造坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)求解.平面向量的夾角與

7、模l21?考法1平面向量的?！纠?1】設(shè)向量 a, b 滿足Ial = 2, b= a+ b= 3,則 a+ 2b =.已知向量a= (COS , Sin , b= (3, 1),則2a- b的最大值為.(1) 4 2 (2)4?考法2平面向量的夾角【例2】(1)若非零向量a, b滿足a = 2b,且(a- b)(3a + 2b),貝U a與b 的夾角為() 3 A. 4 B2 c. TD. (2) (2018遼南一模)設(shè)向量a= (1,. 3), b= (m, .3),且a, b的夾角為銳角，貝U實(shí)數(shù)m的取值范圍是.(1)A(2)(-3, 1) (1,+)方法總結(jié)1.求解平面向量模的方法1寫

8、出有關(guān)向量的坐標(biāo),利用公式a= ;x2 + y2即可；2當(dāng)利用向量的線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積公式進(jìn)行求解，a= a22.求平面向量的夾角的方法a b、,i2+ yiy21定義法：cos = 麗，注意的取值范圍為0, n； 2坐標(biāo)法：若 a= x1, y , b= x2, y2 ,貝UCOS =寸彳十于寸2+ y2；3解三角形法：可以把所求兩向量的夾角放到三角形中進(jìn)行求解.蟲戰(zhàn)填刃(1)(2018 廣州一模)已知向量 a= (m,2), b= (1,1),若|a+ b=a+b,則實(shí)數(shù)m =.(2)(2017山東高考)已知e1, e2是互相垂直的單位向量.若：3e1 e2與e1+ e勺夾角為60&#

9、176;則實(shí)數(shù)的值是.(1)2 33 平面向量的應(yīng)用SS3I 【例3】(1)在厶ABC中，已知向量AB = (2,2), IACI = 2, AB AC= 4,則厶ABC的面積為()A. 4 B. 5 C. 2 D. 3 (2017全國卷 )已知 ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn), 則PA (PB + PC)的最小值是(34A. 2 B . 2 C . 3(1)C(2)B.方法總結(jié)1.用向量法解決平面(解析)幾何問題的兩種方法：(1) 幾何法：選取適當(dāng)?shù)幕?基底中的向量盡量已知模或夾角),將題中涉及的向 量用基底表示，利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算；(2) 坐標(biāo)法：建

10、立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問題中的長度、 垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.一般地，存在坐標(biāo)系或易建坐標(biāo)系的題目適合用坐標(biāo)法.2.平面向量與三角函數(shù)的綜合問題，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到 三角函數(shù)的關(guān)系式然后求解. 舐肚練刃(1)(2019廈門模擬)平行四邊形ABCD中，AB = 4, AD = 2, ABAD =4,點(diǎn)P在邊CD上，則PAPB的取值范圍是()A. 1,8B . 1,+ )C. 0,8D . 1,0(2019沈陽模擬)已知向量a, b滿足Ial=Ibl = a= 2且(a C) (b C) = 0,則2bc|的最大值為.(I)A (2) 7+1【真題鏈接】1. (2018 全國卷 U)已知向量 a, b滿足 |a|= 1, a b= 1,則 a (2a b)=()A. 4 B. 3 C. 2D. 0B2. (2016 全國卷 M)已知向量 BA = 2, BC=今，2 ,則 ABC =()A. 30° B. 45° C. 60°D. 120°A3. (2014 全國卷 U)設(shè)向量 a, b滿足|a+ b|= .1