高考真題第十八篇坐標系與參數(shù)

1、高考真題第十八篇坐標系與參數(shù)方程2019 年1. . (2019全國I理22)選修44 :坐標系與參數(shù)方程1 t2在直角坐標系Xoy中，曲線C的參數(shù)方程為2，1 t2(t為參數(shù))以坐標原點O為極4t1 t2點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線I的極坐標方程為2 CoS .3 Sin 11 0 .(1) 求C和I的直角坐標方程；(2) 求C上的點到I距離的最小值.2. (2019全國II理22)選修4-4 :坐標系與參數(shù)方程在極坐標系中，O為極點，點M( 0, 0)( 00)在曲線C :4sin 上，直線I過點A(4,0) 且與OM垂直，垂足為P.(1) 當0= 時，求0及I的極坐標方程；3

2、(2) 當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程.3. (2019全國III理22)選修4-4 :坐標系與參數(shù)方程(10分)如圖，在極坐標系 OX 中，A(2,0) , B(V,) , CG 2,) , D(2,),弧 AB，BC，CD所在圓的圓心分別是(1,0) , (1,?) , (1,),曲線M1是弧AB ,曲線M2是弧BC , 曲線M3是弧CD .(1)分別寫出M1 , M2 , M3的極坐標方程;(2)曲線M由M1 , M2 , M3構(gòu)成，若點P在M上，且| OP |. 3 ,求P的極坐標.X4. (2019天津理12)設(shè)a R ,直線ax y 20和圓y2cos ,

3、2sin （為參數(shù)）相切，貝U a的值為2010-2018 年（2018北京）在極坐標系中，直線cos Sin a(a0）與圓=2cos 相切，則a（2017北京）在極坐標系中，點2A在圓 2 cos4 Sin40上，點P的坐標為（1,0）,則| APl的最小值為（2017天津）在極坐標系中，直線4 cos( ) 160與圓2si n 的公共點的個數(shù)為（2016北京）在極坐標系中，直線cos .3 Sin10與圓2cos 交于 A, B兩點U | AB|（2015廣東）已知直線I的極坐標方程為2 sin（ ）4A的極坐標為2 2,）,則點A到直線l的距離為4（2015安徽）在極坐標系中，圓8s

4、in上的點到直線3(R）距離的最大值（2018全國卷I ）選修4 -4坐標系與參數(shù)方程（10分）在直角坐標系Xoy中，曲線C1的方程為y k|x| 2 .以坐標原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為2 2 cos 3 0 .（1）求C2的直角坐標方程;（2）若G與C2有且僅有三個公共點，求G的方程.（2018全國卷 ）選修4 4:坐標系與參數(shù)方程（10 分） O QC Q 在直角坐標系XOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線I的參數(shù)y 4sin 、十,XIt COS ,厶、仏 萬程為（t為參數(shù)）y 2 tsin （1）求C和I的直角坐標方程；（2）若曲線C截直線I

5、所得線段的中點坐標為（1,2）,求I的斜率.（10 分）9. （2018全國卷川）選修44坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系 XOy中，0O的參數(shù)方程為cos,（為參數(shù)），過點（0,、2）Sin且傾斜角為 的直線I與0O交于A , B兩點.（1）求的取值范圍;（2）求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程.10.（2018江蘇）C.選修44坐標系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）在極坐標系中，直線I的方程為Sin（）62 ,曲線C的方程為4cos,求直線l被曲線C截得的弦長.11 .（2017新課標I）在直角坐標系XXOy中，曲線C的參數(shù)方程為y3cosSin,（為參X數(shù)），直線I的參數(shù)方程為ya 4t1 t

6、（t為參數(shù)）.（1）若a1 ,求C與I的交點坐標;若C上的點到丨距離的最大值為.17 ,求a .12.（2017新課標）在直角坐標系XOy中，以坐標原點為極點,X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為cos 4 .（1）M為曲線C1上的動點，點 P在線段OM上，且滿足IOMllOPl 16 ,求點P的 軌跡C2的直角坐標方程；設(shè)點A的極坐標為（2,）,點B在曲線C2上，求 OAB面積的最大值.3一一X 2 t13. （2017新課標川）在直角坐標系 XOy中，直線I1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）,y kt2 m直線2的參數(shù)方程為P ,當k變化時，Pm （ m為參數(shù)）.設(shè)l1與l2的交

7、點為Ik的軌跡為曲線C .（1）寫出C的普通方程;以坐標原點為極點,X軸正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)3 :(cos Sin )0 , M為l3與C的交點，求M的極徑.14.（2017江蘇）在平面坐標系中XOy中，已知直線I的參考方程為8 tt （t為參數(shù)），2曲線C的參數(shù)方程為2I （ S為參數(shù)）.設(shè)P為曲線2 2sC上的動點，求點P到直17 .線I的距離的最小值.X acost15.（2016年全國I）在直角坐標系XOy中，曲線G的參數(shù)方程為y 1 a si nt（t為參數(shù)，a > 0）.在以坐標原點為極點,X軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2 :4cos（I）說明G是哪種曲線，并將

8、G的方程化為極坐標方程;（II）直線C3的極坐標方程為=a° ,其中 a° 滿足 tan a°=2 ,若曲線G與C2的公共點都在C3上，求a .16 .（2016年全國II）在直角坐標系XOy中，圓C的方程為X 6y225（I）以坐標原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程;X t cos（II）直線l的參數(shù)方程是y tsin （t為參數(shù)），l與C交于A B兩點，AB '.帀,求I的斜率.（2016年全國III）在直角坐標系XOy中，曲線C1的參數(shù)方程為X 3 cos （為y Sin參數(shù))，以坐標原點為極點，以 X軸的正半軸為極軸，建立極

9、坐標系，曲線C2的極坐標方程為sin()2 2 .4(I)寫出Ci的普通方程和C2的直角坐標方程;11 OS為參數(shù)()設(shè)點P在Ci上，點Q在C2上，求IPQl的最小值及此時 P的直角坐標.18. (2016江蘇)在平面直角坐標系 XOy中，已知直線I的參數(shù)方程為橢圓C的參數(shù)方程為 X cos , 為參數(shù)，設(shè)直線I與橢圓C相交于A,B兩點，求線 y 2sin ,段AB的長. 2 219.( 2015新課標I)在直角坐標系XOy中，直線C1 : X2 ,圓C2: (X 1)2 (y 2)2 1 ,以坐標原點為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(I)求C1, C2的極坐標方程；- R ,設(shè)C2與

10、C3的交點為M,N,求4()若直線 C3的極坐標方程為C2MN的面積.20. (2015新課標)在直角坐標系XOy中，曲線G :tcos tsin(t為參數(shù)，22. (2015陜西)在直角坐標系 XOy中，直線l的參數(shù)方程為3 it-Jt2(t為參數(shù)).以其中0,在以0為極點，X軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2:2sinC3:2、3 cos(I)求C2與C3交點的直角坐標;()若G與C2相交于點A, G與C3相交于點B,求| AB |的最大值.)40 ,求圓C的半徑.421. (2015江蘇)已知圓C的極坐標方程為2 2、2 Sin(2 Gsin原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，C

11、的極坐標方程為(I)寫出 C的直角坐標方程；() P為直線I上一動點，當P到圓心C的距離最小時，求 P的直角坐標.t2t(t為參數(shù)).2 2X y23. (2014新課標I)已知曲線 C :1，直線I :49(I )寫出曲線C的參數(shù)方程，直線I的普通方程；()過曲線C上任一點P作與I夾角為30o的直線，交I于點A ,求IPAl的最大值與最小值.24. (2014新課標)在直角坐標系XOy中，以坐標原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，半圓C的極坐標方程為2cos(I)求C的參數(shù)方程;()設(shè)點D在C上，C在D處的切線與直線、3x 2垂直，根據(jù)(I)中你得到的參數(shù)方程，確定 D的坐標.25.(

12、2013新課標I)已知曲線 Ci的參數(shù)方程為5cost5sint(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為2sin 。(I)把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程;26.()求G與C2交點的極坐標( 0 ,(2013新課標)已知動點 P , Q都在曲線 2 ).X 2cosy 2sin為參數(shù)上，對應(yīng)參數(shù)分別為為PQ的中點。(I )求M的軌跡的參數(shù)方程( )將M到坐標原點的距離 d表示為 的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標原點。(為參數(shù))，以坐標原點為極X 2 cos27. (2012新課標)已知曲線 G的參數(shù)方程是y 3sin點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系

13、，曲線C2的極坐標方程是2 .正方形ABCD的頂點都在C2上，且A、B、C、D依逆時針次序排列，點A的極坐標為(2,).3(I)求點A、B、C、D的直角坐標;()設(shè)P為Ci上任意一點，求I PA 2 | PB |2 | PC |2 | PD |2的取值范圍.X 2cos28. (2011新課標)在直角坐標系 XOy中，曲線C1的參數(shù)方程為( 為y 2 2sin參數(shù)),M是Ci上的動點，P點滿足OP 2M , P點的軌跡為曲線C2(I )求C2的方程3與CI的異于極點( )在以0為極點，X軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線的交點為A,與C2的異于極點的交點為 B,求AB .1 .解析(1)因為1

14、 t2答案部分2019 年21 ,且X1 t21T4t21 ,所以C的直角2坐標方程為X2普1(x1).I的直角坐標方程為 2x ,3y 110.X cos(2)由(1)可設(shè)C的參數(shù)方程為y 2si n為參數(shù)，C上的點到I的距離為2cos2 Gsin.711|4cos114cos-11取得最小值7,故C上的點到I距離的最小值為'、7 .32.解析(1)因為M o, o在C上，當O 時，O 4sin2 3.3 3由已知得 IoPl IoAICOs2.3設(shè)Q( I )為I上除P的任意一點在Rt OPQ中 cos - OP I 2 ,3經(jīng)檢驗，點P(2,)在曲線 cos2上.33所以，啲極坐

15、標方程為cos -24cos(2)設(shè) P( I ),在 Rt OAP 中，I OPl | OA | cos 4cos I 即 因為P在線段OM上，且AP OM ,故 的取值范圍是所以，P 點軌跡的極坐標方程為4cos4'23解析(1)由題設(shè)可得，弧AB,BC,CD所在圓的極坐標方程分別為2cos2sin2cos所以MI的極坐標方程為 2cosTtM 2的極坐標方程為2sin3，M3的極坐標方程為442cosIt(2)設(shè) P(,),由題設(shè)及(1)知若 G ,則 2cos3 ,解得卄 3 若-亍則2sin3 ,解得2cos綜上，P的極坐標為或3,或3Tt2 24解析 由圓的參數(shù)方程，可得圓

16、的普通方程為X 2 y 14 ,因為直線ax y 20和圓相切，2a 1 2所以圓心2,1到直線ax y 20的距離-2 r ,4a3 解得a -.41. 12 【解析】利用X2010-2018 年cos , y Sin,可得直線的方程為X y a 0 ,圓到直線的距離等于半徑，即 11 a 11 , a 1.2或1,2又 a 0 , a 1、. 2 .2. 1【解析】圓的普通方程為X2 y2 2x 4y 4 0,即(X 1)2 (y 2)2 1 .設(shè)圓心為 C(1,2),所以 IAPImin IPClr 2 11 .3. 2【解析】直線的普通方程為2 3x 2y 1 0 ,圓的普通方程為2(

17、y 1)21 ,3因為圓心到直線的距離 d -1 ,所以有兩個交點.44. 2【解析】將 CoS ,3 Sin 1 0化為直角坐標方程為 X × 3y 1 0 ,將p=2cos化為直角坐標方程為( 1)2 y2 1 ,圓心坐標為(1,0),半徑r=1 ,又(1, 0)在直線X 3y 10 上，所以 |AB| =2r=2.故直線I的直角坐標方程為 x-y+1二0,而點A(2'-2,7 )對應(yīng)的直角坐標為4-CoS ）二.2 ,所以 y X二 1,A(2,.2),所以點 A(2,.2)到直線 l : x-y + 1 二 0 的距離為 |2+2+"二5 2 . 2 26.

18、 6【解析】圓 二8sin 即2：8 Sin ,化為直角坐標方程為 x2 + (y4)2二16 ,直線，則tan :3, 化為直角坐標方程為 J3xy二0 ,圓心(0,4)到直線3的距離為|4|2，4-2所以圓上的點到直線距離的最大值為6.7.【解析】 由X cos , y Sin 得C2的直角坐標方程為(X 1)2 y24.由(1)知 C2是圓心為A( 1,O),半徑為2的圓.由題設(shè)知，C1是過點B(0, 2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線.記 y軸右邊的射線為l1, y軸左邊的射線為2 .由于B在圓C2的外面，故G與C2有且僅有三個公共點等價于Il與C2只有一個公共點且2與C2有兩個公共點，或2

19、與C2只有一個公共點且1與C2有兩 個公共點.Ik 21當1與C2只有一個公共點時，A到1所在直線的距離為2 ,所以2 ,故Qk 14 、k 或 k 0.34經(jīng)檢驗，當k 0時，h與C2沒有公共點；當k 時，與C2只有一個公共點，23與C2有兩個公共點.|k 2| I當2與C2只有一個公共點時，A到2所在直線的距離為2 ,所以 22 ,故k 0k 1或k -.34經(jīng)檢驗，當k 0時，與C2沒有公共點；當k 時，2與C2沒有公共點.34綜上，所求G的方程為y x 2 .32 2&【解析】(1)曲線C的直角坐標方程為y i.4 16當COS 0時，I的直角坐標方程為 y tanX 2 ta

20、n ，當cos 0時，I的直角坐標方程為 X 1 .將I的參數(shù)方程代入 C的直角坐標方程，整理得關(guān)于t的方程2 2(1 3cos )t 4(2cos Sin )t 80 .因為曲線C截直線l所得線段的中點(1,2)在C內(nèi)，所以有兩個解，設(shè)為 t1，t2 ,則 t1 t20 .又由得t1 t24(2cos Sin ),故2cos Sin 0，于是直線l的斜率1 3cos2k ta n 2.9【解析】(1)®O的直角坐標方程為x2 y2 1.當 §時，I與0O交于兩點.2時，記tank ,則I的方程為 y kx2 . l 與 Cl O 交于兩點當且僅當2l1 k2l1，解得 k

21、即(一，)或4 2(2盲).綜上， 的取值范圍是10.X(2) I的參數(shù)方程為yt CoS ,2 t Si n(t為參數(shù)，一4設(shè)A ,B ,P對應(yīng)的參數(shù)分別為tA ,tB , tp且tA ,tB滿足 t22 2tsin10 .于是tAtB2/2 Sin, tp/2ISin.又點P的坐標,則tp所以點XP的軌跡的參數(shù)方程是邁i 2In 2 ,邁邁2( cos 22 2C.【解析】因為曲線C的極坐標方程為=4cosT).tAtB(, y)滿足為參數(shù)，tp cos ,.2 tp SinT).所以曲線C的圓心為(2,0),直徑為4的圓.因為直線l的極坐標方程為sin(-) 2 ,6則直線I過A(4,0

22、),傾斜角為 ,6所以A為直線l與圓C的一個交點.設(shè)另一個交點為 B,則 OAB= .6連結(jié)OB,因為OA為直徑，從而 OBA=-,2B所以 AB 4cos 2 3 .6因此，直線l被曲線C截得的弦長為2.3 .11.【解析】(1)曲線C的普通方程為x2y2 1.1時，直線I的普通方程為4y 30.4y 3 02 解得y2 121252425從而C與I的交點坐標為(3,0),21 2425,25).(2)直線l的普通方程為4ya 40,故 C 上的點(3cos ,sin)到I的距離為當a 4時，d的最大值為13cos 4sin a 4117a-9 .由題設(shè)得aJ .17 ,所以a.17 17當

23、a4時，d的最大值為 a.由題設(shè)得 a1 Ai ,所以a 16 .1717綜上，a 8或a 16 .12 .【解析】(1)設(shè)P的極坐標為(，)(0) , M的極坐標為(1, ) ( 10).由橢圓知QPl|OM |41 cos由|OM | |OP | 16得C2的極坐標方程4cos (0).2 2因此C2的直角坐標方程為(X 2) y 4(x0).(2)設(shè)點B的極坐標為(B, ) ( B 0) 由題設(shè)知OA I 2 , B 4cos ,OAB面積S 1I OA| B SinAoB4cos ISi n(3)|2|si n(2-)3 2 .3 .也時，S取得最大值23.所以O(shè)AB面積的最大值為2,

24、3 .13.【解析】(1)消去參數(shù)t得II的普通方程l: y k消去參數(shù)m得I2的普通方程l2：yy設(shè)P(Xly),由題設(shè)得y,消去x2y24 y 0 .所以C的普通方程為x2(2) C的極坐標方程為2cos2Sin4 OV<2 ,聯(lián)立2 2 . 2 cos Sincos +sin4_ 得 cos 八、2=0Sin=2 cos+sin故tan29. 21cos =, Sin =10 10代入2cos2 -sin2=4得2 =5 ,所以交點M的極徑為、5 .14【解析】直線I的普通方程為X 2y 80.因為點P在曲線C上，設(shè)P(2s2,2-2S),從而點P到直線I的的距離d2s2 4、2s

25、 8| 2(s2)2 4,'(1)2 ( 2)2.515.X【解析】（1）ya cost1 asint(t均為參數(shù))4.55S .2 時，dmin 便5因此當點P的坐標為（4,4）時，曲線C上點P到直線I的距離取到最小值1 2 a2 C1為以0, 1為圓心，a為半徑的圓.方程為 X22y 2y 1SinSina20 即為C1的極坐標方程C?:4cos兩邊同乘得4 CoS2y , cos2 2Xy 4x即 X 22 y2C3 :化為普通方程為y2x ,由題意:C1和C2的公共方程所在直線即為 C3一得：4x 2y 1 a20 ,即為C3 1 a20 , a 116.【解析】(I)整理圓的

26、方程得 X2 y2 12 11 0,2 2 2X y由 cos X可知圓C的極坐標方程為2 12 cos 11 0.Sin y（U ）記直線的斜率為k ,則直線的方程為 kX y 0 ,由垂徑定理及點到直線距離公式知:1022即笄90 '整理得k2 3 ,則k17.2X2【解析】(I) G的普通方程為y31 , C2的直角坐標方程為 x y 40.()由題意，可設(shè)點 P的直角坐標為C,3cos ,sin ),因為C2是直線,20.所以IPQl的最小值，即為P到C2的距離d ()的最小值,| J3 cosSin 41 廠當且僅當d( ) ；212|Sin(-) 2|.2k (k Z)時，

27、d ()取得最小值，最小值為63 1此時P的直角坐標為立)18.【解析】橢圓C的普通方程為21 ,將直線I的參數(shù)方程41 It2-Jt，2代入X2L 1 ,4,得(1解得t10 , t2167 .所以ABt1t2I7【解析】(:I)因為X19.2CoS , y122t)C1的極坐標方程為cos1 ,即 7t2 16tSin ,2，C2的極坐標方程為22 cos 4 Sin 4(I)將=代入 22 cos44 Sin 41 Si n4 5o=122y 0 ,曲線C3的直角坐標方程為解得 1 = 2、2 ,2= 2 , MN=JAI_C2MN的面積一222 2【解析】(I)曲線C2的直角坐標方程為

28、 X yX2y2 2 、 3x2X0 聯(lián)立 2X2y2y2y 0，解得2、3x 0,0，或X0,y23J2所以C2與Ci交點的直角坐標為(0,0)和(一?，3) 2 2()曲線C1的極坐標方程為( R, 0),其中 0因此A得到極坐標為(2sin)，B的極坐標為(2-,3cos ,).所以 AB 2sin273CoS4 Sin(-t5當時，AB取得最大值，最大值為 4 .,以極軸為X軸的正半軸，建621 .【解析】以極坐標系的極點為平面直角坐標系的原點立直角坐標系 xoy.圓C的極坐標方程為2222JSincos4 0,22化簡，得 22 Sin2 cos40 .則圓C的直角坐標方程為2 2X

29、 y22y4 0 ,2 2即 X 1y 16,所以圓C的半徑為& .22.【解析】(I)由2>3sin ,得2 2蟲 Sin從而有2+y22.3y,所以 X2+ y3 .(I)設(shè)叩+貝別又C(Z)，則|PC| . 33t 322.t2 12,故當t=0時，IPCl取最小值，此時P點的直角坐標為(3,0).X 2cos23.【解析】(I)曲線C的參數(shù)方程為X 2Cos (為參數(shù)). y 3sin .直線l的普通方程為2x y 60.()曲線C上任意一點P(2cos .3 Sin )到的距離為4cos 3sin6.則PA亠 2'55sin(sin 3056,其中為銳角，且tan當 sin()=-1時，P