2014高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)一題多解專題四利用正(余)弦定理

1、1 題多解專題四：利用正(余)弦定理判斷三角形形狀 判定三角形形狀通常有兩種途徑: 是通過正弦定理和余弦定理，化邊為角 (如：a=2Rsi nA，a2 b2 c2 = 2ab cosC 等)，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進行判斷 此時注意一些常見的三角等式所體 現(xiàn)的內(nèi)角關(guān)系如：sin A= sin B? A = B ; sin(A B) = 0? A = B ; sin 2A = sin 2B? A = B 或 A+B 例：在 ABC 中，已知角 A , B , C 所對的邊分別是 a,b,c,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且 2cos Asin B=sin C，試判斷 AB

2、C 的形狀. 思路一：根據(jù)條件，判斷三角形三邊的關(guān)系，此時需要化角為邊；思路二：可以把角和 邊巧妙地結(jié)合起來，同時考慮邊之間的關(guān)系，角之間的關(guān)系 方法一：由正弦定理得 sin C c 2cos Asin B=sin C , sin B b 2 2 又 (a+b+c)(a+b-c)=3ab (a b)c = 3ab , 化簡得4b2 - c2 = 3b2，二 b=c,. a=b=c,即厶 ABC 是等邊三角形 方法二：T A+B+C=n，二 sin C=si n( A+B)，又 2cos As in B=sin C , / 2cos Asin B=sin(A+B) , / 2cos Asin B

3、=sin Acos B+cos Asin B , / sin Acos B-cos Asin B=0，二 sin(A-B)=0 , / A,B (0, n，二 A-B (- n n ,二 A=B , 又 T (a+b+c)(a+b-c)=3ab , 二是利用正弦定理、余弦定理化角為邊，如 代數(shù)恒等變換，求出三條邊之間的關(guān)系進行判斷 2R ,cos A = b2 c -a2 2bc cosA=2SCr2;，由余弦定理的推論得 cos A = b2 c 2bc b2 c-a2 2bc 2b 化簡得 b2 c2 _ a2 = c2，二 a=b； 通過 2 (a b)2 - c2 二3ab，即 a2

4、b2 - c2 二 ab ,3 _ n 又 C (0, n) C ，又 A=B , ABC 是等邊三角形. 3 規(guī)律總結(jié)：應(yīng)用正弦定理進行判斷或證明的方法： 判斷三角形的形狀實質(zhì)是判斷三角形的三邊或三角具有怎樣的關(guān)系； 利用正弦定理化邊為角或化角為邊，以實現(xiàn)邊角的統(tǒng)一，便于尋找三邊或三角具有的 關(guān)系； 判斷三角形的形狀的常見結(jié)果有等腰三角形、等邊三角形、直角三角形或等腰直角三 角形 針對性練習(xí)： 1. 在厶 ABC 中，若 a2tan B=b 2tan A，試判斷厶 ABC 的形狀. 【解析】法一：由正弦定理及已知，得 sin 2A 竺B =sin 2B 竺A , cos B cos A 即

5、sin Acos A=sin Bcos B , sin 2A=sin 2B. / 02A,2B2 n , 2A+2B2 冗; 2A=2B 或 2A=n -2B.即 A=B 或 A+B. 2 所以，三角形 ABC 是等腰三角形或直角三角形 . 法二：在得到 sin 2A=sin 2B 后，也可以化為 sin 2A-sin 2B=0 , 2cos(A+B)sin(A-B)=0 , cos(A+B)=0 或 sin(A-B)=0. / 0A+Bn ，且-n A-B n , A+B或 A-B=0, 2 即 A+B=或 A=B. ABC 是等腰三角形或直角三角形 . 2 2. 在 ABC 中，若 B = 60 2b= a+ c,試判斷 ABC 的形狀. 【解析】方法一：由正弦定理，得 2sin B=sin A+si n C. / B = 60 A+C = 120 :即 A = 120。一 C, 代入上式，得 2sin 60 =sin(120 -C)+sin C 展開，整理得： sin(C+30 )=1, C+30 =90 -C= 60故 A = 60 ABC 為正三角形. 方法二：由余弦定理，得 b2二a2 c2 -2accosB , a*C a c 2 2 2 4 T B=60 b , ( )=a c -2accos60 ,