高階方程的降階技巧

1、目錄一. 高階方程的引入及定義 1二. 幾類常見的可降階的高階微分方程 2（一）y " = f （ x ）型的微分方程 2（二）y“=f（x, y）型的微分方程 3（三）v ' = f （ y, y ）型的微分方程 4（四）二階方程的藉級數(shù)解 5三. 其他情況的高階微分方程 7四. 總結(jié) 1212參考文獻高階方程的降階技巧摘要:對于高階方程的解法問題，降階是普遍的求解方法，利用變換把高階方程 的求解問題化為較低階的方程的求解問題。 對于不同高階微分方程給出了相應(yīng)的 降階方法。關(guān)鍵詞：線性微分方程，降階，非零特解一. 高階方程的引入及定義所謂階，就是導(dǎo)數(shù)（或微分）的最高階數(shù).函

2、數(shù)未知，但知道變量與函數(shù)的代 數(shù)關(guān)系式，便組成了代數(shù)方程，通過求解代數(shù)方程解出未知函數(shù).同樣，如果知道自變量，未知函數(shù)及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）組成的關(guān)系式，得到的便是微分方 程，通過求解微分方程求出未知函數(shù)自變量只有一個的微分方程稱為常微分方 程。自變量的個數(shù)為兩個或兩個以上的微分方程稱為偏微分方程 .而高階微分方 程，即階數(shù)大丁二或者等丁二的方程.一般的高階微分方程沒有普遍的解法，處理 問題的基本原則是降階，利用變換把高階微分方程的求解問題化為較低階的方程 來求解。因為一般來說，低階微分方程的求解會比求高階的微分方程方便些。特別地，對丁二階（變系數(shù)）齊次線性微分方程，如能知道它的一個非零特解，

3、則 可利用降階法求得與它線性無關(guān)的另一個特解， 從而得到方程的通解，對丁非齊 次線性微分方程，只需再運用常數(shù)變易法求出它的一個特解，問題也就解決了。 因此，問題的關(guān)鍵就在丁尋找齊次線性微分方程的一個非零特解。一些相關(guān)定義如果方程（i）dy . dny、F(x，y，"0的左端為y及業(yè)，%y的一次有理整式。則稱（1）為n階線性微分方程.不是 dx dxn線性方程的方程稱為非線性微分方程.如果函數(shù)y=?（x）代入方程（1）后，能使它變?yōu)榘仁?則稱函數(shù)y=?（x）為方程（1）的解.我們把含有n個獨立的任意常數(shù)Ci，C2Cn的解y =叩（0|£2Cn）稱為n階方程（1）的通解.所謂

4、n階微分方程（1）的初值條件是指如下的n個條件：當x =為時，J y (nJ)=y。_ dy _ (1) . . d y = y0'd7 = y0, 次這里 x0，y0，y01) "y0nT是給定的n+1個常數(shù)，初值條件有時寫為10n 4 dxn-1dy(x°)(1). dy(x°)號)y(x0)= y°，一 = y°，= y°dx求微分方程滿足定解條件的解二. 幾類常見的可降階的高階微分方程二階微分方程的求解：(一)y"= f (x)型的微分方程特點:等式右端不含y, y,僅是x的函數(shù).解法：將y作為新的未知函數(shù)，

5、然后對原方程降階，令Z = y J y“ = z則有z，= f (x),方程兩邊同時積分得z = f(x)dx g即y = f ( x) dx c1再積分得y = f (x)dx dx c1x c2同理對丁 y(n) = f (x),令 z= ygJ Z = f (x),積分得：y (n)=f (x) dx c1則原方程變形為n-1階，對其繼續(xù)積分得y(n2 = . f (x)dx g dx c2則方程變?yōu)閚-2階,如此連續(xù)積分n次即得原方程的含有n個任意常數(shù)的通解.例1 解三階方程：y= sin x - cos x解: 等式兩端同時積分y = y dx = (sin x - cos x)dx

6、-cos x - sin x g再積分y = ydx= (-cosx-sinx q)dx-sin x cosx c1x c2再積分y = y dx = (sin x cosx c1x c2)dxG 2_=cosx sin x xC2x c32這就是所給方程的通解.（二）y"= f（x,y）型的微分方程特點:右端不含y.解法:降階令y，=pn yJp'代入原方程得：(2)乎=f(x, p) dx若f（x, p）為如下一些一些類型，可分別求得（2）降階式的解.i.ii.iii.iv.dyp (x)dx - p(x) dx-+p(x)y=q(x)通解：y = c + jq(x)e、

7、 dxe、 dx業(yè)+ p(x)y =q(x)yn,(n # 0,1 )通解：dx1(1 n) p(x)dx一(1 頊)p(x)dxy n = c (1 - n)q(x)edxe(方法兩邊同時除以yn,將y*拿到dy中，即dy)虬=g 匕 令u = y = ux，則* = x-dp + u，即求出u與x的關(guān)系，再將u代回，即得答案.dy _ a1 x b1 y c1dx a? x b2 y c2若 * = J 黃 旦，則令 u = a2 x + b2 ya2 b2c2akc工a1xb1yg = 0若色=S =也，則令1 仃 1=("：)a2b2c? a2xb2 yc2 = 0再令 X，

8、 dy =傘 b1y =g(Y)Y = y - dx a2x b2yX已上求得的解為p =W（x，g） .回代y'= p，得也=%x，c1）變量可分離的一階方程，積 dx分得y =( x，c1 )dx c2(1 x2)y = 2xy.y A =1, y lx=o = 3令y ' = P ,則y " = dL ,則方程變?yōu)?2 dp(1 x2) 2xpdxdxdpP2、c1 = 3 ,則y = p = Ci(1 + x )因為 y lx= 3,3y = x 3x C2,因為 y |xz = 1 , ,二C2 = 1 ,所以所求特解為：y = x3 + 3x +1.(三)

9、y"= f (y,y)型的微分方程特點:右端不含x.解法:降階令y' = dy =pn y"=dp .由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得 dxdxy =業(yè)=業(yè)取=?亞dx dy dx dy代入原方程得：dp pf (y, p)dy這是一個關(guān)丁 y,p的一階方程,若以求得它的通解為：y = p = (y,C1)變量可分離的一階方程，積分得：1,dy = x C2(y, G )即原方程得通解.例 3 求 yy "= 2( y')2 - y滿足 y (0) = 1, y'(0) = 2 的特解 解： 令y = p ,則y " = p 詈，則方程變?yōu)?

10、dp 2、yp 2( p - p) dyy dy = 2( p _ 1) (； p = y# 0)分離變量得：一1dp = %dy，等式兩端同時積分化簡得：p - 1yp-1 = Gy2,即 y = Gy2 +1,把 y = 1 時，y = 2代入上式得 g = i, 則方程化為dydx分離變量得:dyy21dx積分得： arctan y = x C2 = y = tan( x C2)一 , 兀 將y(0) =1代入解得C2 = 2，故原萬程的特解為：(n)y = tan! x.4(四)二階線性方程的籍級數(shù)解對帶初值條件的二階齊次線性方程2+ p(x)l +q(x)y =0, y(0) = y

11、°, y'(0) = y0 這里 x° = 0 ,否則可引進新變量dx dxt =x -x0化為t0 =0.有如下定理L定理 若方程中系數(shù)p(x), q(x)或xp(x), x2q(x)能展成收斂區(qū)間為x<R的籍級數(shù)，則二階齊次線性方程有收斂區(qū)間為x < R的籍級數(shù)特解n =0oO y = xa'n anxn =0C3O-.na n xn =0這里"為待定常數(shù).ii - n階貝塞爾方程2 d2ydy / 22、x 2 x (x -n )y = 0dx2dx(n為非負常數(shù)),有特解yi =QOzk =02k ni xk!(n + k+1)

12、l2j(-1)kJn(x)y2 =azk =0(-1)kk !】(-n k 1)三 J _n(x).n階貝塞爾方程有通解y = cJn(x) +C2J(x),其中G,%為任意常數(shù).Jn(x)(或J = (x)是由貝塞爾方程所定義的特殊函數(shù)，成為n(或-n)階(第一 類)貝塞爾函數(shù).1r(s)的定義：當s芝0時r(s)= xs%"dx；當s<0時且非整數(shù)T(s)=(s + 1).0s(s)有性質(zhì)：(s+1) =s(s);對正整數(shù) n,有(n+1)=n!(一)y(n)般情況=f(x, y(k),.,yg)型的微分方程特點：不顯含未知函數(shù)y及y',.,y(k-1)解法:令y(

13、k) = z,則(k 1)y(n) (n _k)=z , y z(n-k)(n-k)z f (x,z,.,z)求得z,將y (k)= z連續(xù)積分k次，可得通解.(二)y(n)= f( y寸).y型的微分方程特點:右端不顯含自變量x.解法:設(shè)y' = p(y),則y =虹也=p dp_dy dx dy2 d 2 d i'dp y = p r p ，dydy代入原方程得到新函數(shù)p(y)的n-1階方程，求得其解為:£ = p(y) = (y,ci,., Cnj) dx原方程通解為：dy：(y,Ci,., Cn j)(三)齊次方程特點：F (x,ty,ty,.，ty(n) =

14、 tkF (x, y, y,., y(n)zdx 解法：可通過變換y = e將其降階，得新未知函數(shù)z(x).zdx.2. z d xy = z e , y= ( z Ze,(n ).,/-n(_ 1 ) . zcVi (z ,z , . z . , e )代入原方程并消去e k zdx得新函數(shù)z(x)的n-1階方程f (x, z, z ,., z(") = 0例4 求方程x2yy" = (y - xy)2的通解.zdx21解： 設(shè)y = e J ,代入原方程，得z'+z =，解得其通解為x x原方程得通解為C1c2 xe注：解二階可降階微分方程初值問題需注意： 一般

15、情況，邊解邊定常數(shù)計算簡便; 遇到開平方時，要根據(jù)題意確定正負號。三. 其他情況的高階微分方程N階微分方程一般地可寫為F (t, x, x',., x(n) = 0下面討論幾類特殊方程的降階問題。i.方程不顯含未知函數(shù)x,或更一般地，設(shè)方程不含x,x',.,x(k4,即方程呈 形狀(k) (k 1)(n)、F(t,x ,x ,.,x ) = 0,(* km n)可降低k階.令y = x(k)，方程降為y的n-k階方程F(t,y,y',.,y(j)=0.若求得 上面所示方程的通解y =(t,Ci,C2,.,Cn_k),即x(k) = (t,q,C2,.,Cj),再經(jīng)過k次

16、積分得到x = (t , Ci , C2 ,., Cn ),其中C1,C2,.,Cn任意常數(shù).可以驗證,這就是方程F(t, x, x',.,x(n)=。的通解.例5求方程烏_1廿=0的解.dt 5 t dt 4解： 令d x = y，則方程化為 也-1 y = 0，即方程化為一階方程.dt 4dt t4°d x .方程積分后得y = Ct,即二3 = ct, dtx = C1t4C2t3C3t2C4tC5其中Ci, C2, C3, C4 , C5為任意常數(shù)，這就是原方程的通解.ii .不顯含自變量t的方程F (x, x ,., x(n) = 0令y=x',視x為新自變

17、量，而視x為新自變量，則方程就可可降低一階，事實上,在所作的假定下,x'=y,x” = dy = dyx' = ydy,x”'=ydyl + y2 d y ,.,采用數(shù)學(xué)dt dx dxIdxJdx2歸納法可以證明，x(k)可用y,-dy ,.,-v表出(kn).將這些表達式代入原式dx dxn可得 F(x,y,座,.,Jf) =0.dx dx 一iii .齊次線性微分方程nn Jd x 一、 d _x角 計. an(t)x =0.dtdt 一其求解問題歸結(jié)為尋求方程的n個線性無關(guān)的特解，但如何求這些特接呢？沒有 普遍的方法可循.這是與常系數(shù)線性微分方程的極大差異之處.

18、但是我們指出，如 果知道方程的一個非零特解，則利用變換，可將方程降低一階；或更一般地，若知 道方程的k個無關(guān)的特解，則可通過一系列同類型的變換，使方程降低k階.并且 得到的n-k階方程也是齊次線性的.設(shè)X,X2,.,Xk是上述方程的k個線性無關(guān)解，顯然Xi不包等丁 0(i=1,2,k),令x = x<y ,直接計算可得x' = XkV' xk 'y,x” = xky” 2xk'y' x'y,(n)(n)- (n J)n(n 一1) (n-2)七.* (n)xxkynxky xk yxk y2nn將這些關(guān)系式代入 一+a1(t)+. + an

19、(t)x =0中，可得dtdt”xkY(n) f 利風(fēng)就-1). x：n) *廠. aJy = 0, 這是關(guān)丁 y的n階方程，且各項系數(shù)是t的已知函數(shù)，而y的系數(shù)包等丁零,因為治 是此方程的解.因此，如果引入新未知函數(shù)z = y',并在/ #0的區(qū)間上用&除方 程的各項,我們便得到形狀如/)fci(t)z(n) . 4)(t)z' b®)(t)Z=0的n-1階齊次線性微分方程.r y因有關(guān)系x = xk Jzdt或z = y'=.因此，對丁上述方程我們就知道它的r yk-1個線性無關(guān)解乙=& (i = 1,2, ，k-1).b (t)Z(E +

20、 . + 4)(t)Z'+ bg)(t)Z = 0的解,事實上，Z|,z2,.,zkA是 z(nJ) 十 假設(shè)這k-1個解之間存在關(guān)系式ax W2X2. - akjXkjakA 三 0 ,aiXiXUa?X2XUXk J. 乳I Xkii其中ai,a2,.,a心是常數(shù)，那么就有Xiai 一I Xk a.Xk iXk一 a kaiX|a2X2. ak虱為 一 0 ,由丁 Xi,X2,.,Xk線性無關(guān)，故必有 a =a2 =. = ak =0.這就是說 4/2,., Zk是 線性無關(guān)的.因此，若對z(7 +bi(t)Z(E +. +吊(t)Z'+bg)(t)Z = 0仿上做法，可進

21、一步令z = fudt ,則可將方程化為關(guān)丁u的n-2階齊次線性微分方程(n (n_3)u G(t)u . Cn 項t)u=0,并且還知道方程此方程的k-2個線性無關(guān)解z ；-Ui = I ，,1 =i,2，,k2利用k個線性無關(guān)特解當中的一個解a,可以把方程nn _id xdxai(t)行. an(t)x = 0dtdt降低一階，成為n-i階齊次線性微分方程Z(n旬bi(t)z(n*).b(n)(t)z' b(n_i)(t)z = 0并且知道它的k-i個線性無關(guān)解；而利用兩個線性無關(guān)解Xk,Xk】，則乂可以把方nnW-Vai(t)了渚. an(t)X = 0dtdt降低兩階，成為n-2階齊次線性微分方程u(nSq(t)u(n' . cUt)u=0,同時，也知道了它