關(guān)于“二次型”的教學體會

1、關(guān)于關(guān)于“二次型二次型”的教學體會的教學體會廈門大學數(shù)學科學學院廈門大學數(shù)學科學學院 杜妮杜妮20102010年年4 4月于三明學院月于三明學院一一. . 1 1、二次型與相伴矩陣、二次型與相伴矩陣 nnnnnnnnnaaaxaaaxf xxxxxxaaaxx ax111211212222121212(,) 定義定義這里這里a= =aknn, ,xkn1. .a稱為稱為f 的的相伴矩陣相伴矩陣. 數(shù)域數(shù)域k上上n元二次型元二次型 數(shù)域數(shù)域k上上n階對稱矩陣階對稱矩陣.注注 特別強調(diào)相伴矩陣寫法的唯一性特別強調(diào)相伴矩陣寫法的唯一性.1:12 2、慣性定理、慣性定理 122222111122221

2、 111(,)npppprrkkkkrrf xxxc yc ycyc yd zd zdzd z慣性定理慣性定理: : f (x1,xn)是是r上上n元二次型元二次型, 在在 非退化線性替換非退化線性替換x = cy, x = dz下下, 其中其中 則必有則必有p = k.0,0,1.iicdir注注： 此處強調(diào)通過此處強調(diào)通過非退化非退化的線性替換，聯(lián)系習題的線性替換，聯(lián)系習題：設(shè)實二次型設(shè)實二次型其中其中 證明證明 f 的正慣性指數(shù)的正慣性指數(shù)pk.22221211(,).,nkkk sf xxxyyyy1,(1).niijjjya xiks 3 3、正定矩陣的等價說法、正定矩陣的等價說法

3、定理定理: a =arnn, 則下列條件等價則下列條件等價: (1) a是正定陣是正定陣. (2) 對任意對任意0xrn1 , 有有xax 0. (3) 存在可逆陣存在可逆陣prnn, 使得使得pap = in. (4) 存在可逆陣存在可逆陣prnn, 使得使得a = pp. (5) a的正慣性指數(shù)的正慣性指數(shù)p = n. (6) a的所有主子式的所有主子式 0. (7) a的所有順序主子式的所有順序主子式 0. (8) a的所有特征值的所有特征值 0. (注明第九章中證明注明第九章中證明) 注：注：此處配合舉例說明，使學生靈活掌握等價條件此處配合舉例說明，使學生靈活掌握等價條件.定理定理:

4、設(shè)設(shè)a=arnn, a為半正定矩陣為半正定矩陣 a的所有的所有主子式主子式 0 .注注: 此處此處“主子式主子式”不能改為不能改為“順序主子順序主子式式”.強調(diào)與半正定矩陣判定條件的對比強調(diào)與半正定矩陣判定條件的對比 設(shè)設(shè) f (x1,xn) = xax是是k上上n元二次型元二次型, 作作非退非退化化線性替換線性替換x=cy, 其中其中c是是k上的上的n階可逆陣階可逆陣, 則則f ( x1,xn ) = ycacy = g( y1,yn ).定義定義: a , bknn , b與與 a稱為稱為合同合同的的,如果存如果存在在n階可逆陣階可逆陣c, 使使b = cac.例例: 復數(shù)域上任一復數(shù)域上

5、任一n階對稱方陣階對稱方陣a, 必存在必存在n階方階方陣矩陣陣矩陣t, 使得使得a=tt且且r (t) = r (a).例例:設(shè)設(shè) f 是實二次型是實二次型, 其相伴矩陣為其相伴矩陣為a, 若若|a|0, 證明證明: 必存在一組實數(shù)必存在一組實數(shù) , 使使12,na aa12(,)0.nf a aa 例例:設(shè)設(shè)a是反對稱陣是反對稱陣, 即即a= -acnn, 則則a必合必合同于同于010100ss, s. 例例: 若若a是實反對稱陣是實反對稱陣, 則則a的行列式總是非負的行列式總是非負實數(shù)實數(shù). 例例: 元素全是整數(shù)的反對稱矩陣的行列式一元素全是整數(shù)的反對稱矩陣的行列式一定是某個整數(shù)的平方定是

6、某個整數(shù)的平方. 定理定理:設(shè)設(shè) 是是n維歐氏空間維歐氏空間v上對稱算子上對稱算子, 則存在則存在v的的一組標準正交基一組標準正交基, 使使 在這組基下的矩陣是對角陣在這組基下的矩陣是對角陣.利用同構(gòu)的思想，得到利用同構(gòu)的思想，得到定理定理:設(shè)設(shè)a= arnn, 則存在正交陣則存在正交陣t, t-1at=tat為對角陣為對角陣, 且對角線元素為且對角線元素為a的特征值的特征值.定理定理:設(shè)設(shè) 是是n元實二次型元實二次型, 是是a的所有特征值的所有特征值, 則必存在則必存在正交線正交線性替換性替換 為正交陣為正交陣, 使使 f 的正慣性指數(shù)等于的正慣性指數(shù)等于a的正特征值個數(shù)的正特征值個數(shù), f

7、 的負慣性指數(shù)等于的負慣性指數(shù)等于a的負特征值個數(shù)的負特征值個數(shù), f 的秩等于的秩等于a的非零特征值的個數(shù)的非零特征值的個數(shù).22211122(,)nnnf xxyyy1(,)nf xxx ax 1,n,xty t 例例: 設(shè)設(shè)a是是n階實對稱矩陣，階實對稱矩陣， 是是其所有特征值其所有特征值, 則對任意則對任意 , 都有都有例例:設(shè)設(shè)a,b是是n階實對稱矩陣，其特征值分別是階實對稱矩陣，其特征值分別是 則則a+b的特征值全落在的特征值全落在 中中.12.n12.n1rn 1.na 12.n11,nn 例例 設(shè)設(shè)a是是n階正定陣，階正定陣，b是是同同階實對稱矩陣，則必階實對稱矩陣，則必存在可逆矩陣存在可逆矩陣c，使得，使得其中其中 是矩陣是矩陣 的特征值的特征值.例例 設(shè)設(shè)a是是n階正定陣，階正定陣，b是是同同階實對稱矩陣，若階實對稱矩陣，若ab是實對稱陣，則是實對稱陣，則ab是正定陣的充要條件是是正定陣的充要條件是b的特征值全是大于零的實數(shù)的特征值全是大于零的實數(shù).12,nnc acic bcdiag i 1a b 例例: 證明證明: n維歐氏空間維歐氏空間v的自伴隨算子的自伴隨算子 有有公共由它們的特征向量組成的標準正交基的充公共由它們的特征向量組成的標準正交基的充分必要條件是分必要條件是