概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案1(共58頁)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案 授課時間2月9日至3月2日課時數(shù)8授課方式理論課授課單元第一章 概率論的基本概念要求與目的通過教學使學生了解概率論的基本概念理，掌握概率的常用公式（乘法公式、全概率公式及貝葉斯公式），掌握幾種概型（古典概型、幾何概型、貝努里概型）概率的計算。重點與難點(1) 重點是概率論的基本概念理、概率的常用公式(2) 難點是古典概型、幾何概型、貝努里概型概率的計算主要內(nèi)容一、基本概念隨機試驗、樣本空間、隨機事件、基本事件、必然事件。不可能事件，完備事件組、概率的定義、古典概型、幾何概型、條件概率、事件的獨立性二、事件的關系的關系與運算事件的包含關系、事件的相等、并(和)事件與積(交)

2、、差事件、對立事件、互不相容事件（互斥事件）、事件的運算法則三、常用公式1.加法公式 2.減法公式3.對立事件概率公式 4.乘法公式5全概率公式 6、貝葉斯公式7.貝努里概型教學方法講授式 講練結合參考資料概率論與數(shù)理統(tǒng)計余長安編，武漢大學出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)計吳傳生編，高等教育出版社思考題P7-4,5 p11-7 p14-13 p20-22,23 p24-26,29講 稿第一章 概率論的基本概念一、基本概念1.  隨機試驗2. 樣本空間試驗所有可能結果的全體是樣本空間稱為樣本空間。通常用大寫的希臘字母表示（本書用S表示）每個結果叫一個樣本點.3隨機事件中的元素稱為樣本點，常用表示。

3、(1) 樣本空間的子集稱為隨機事件(用A,B表示)。(2) 樣本空間的單點子集稱為基本事件。(3) 實驗結果在隨機事件A中，則稱事件A發(fā)生。(4) 必然事件。(5) 不可能事件。(6) 完備事件組（樣本空間的劃分）4概率的定義（公理化定義）5古典概型隨機試驗具有下述特征：1）樣本空間的元素（基本事件）只有有限個；2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的；稱這種數(shù)學模型為古典概型。 =。6幾何概型 7條件概率設事件B的概率.對任意事件，稱P(A|B)=為在已知事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率。8條件概率的獨立性 A、B ,若P(AB)= P(A) P(B) 則稱事件A、B是相互獨立的，簡稱為獨立的

4、。設三個事件A,B,C滿足P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B) P(C) 稱A,B,C相互獨立。二、事件的關系的關系與運算.事件的包含關系若事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生，則稱事件B包含了A， 記作。. 事件的相等設A,B,若，同時有，稱A與B相等，記為A=B，.并(和)事件與積(交)事件 “A與B中至少有一個發(fā)生”為A和B的和事件或并事件。記作 .“A與B同時發(fā)生”這一事件為A和B的積事件或交事件。記作或.差事件 “A發(fā)生B不發(fā)生”這一事件為A與B的差事件，記作.對立事件稱“”為A的對立事件或稱為A的逆事件，記作。

5、.互不相容事件（互斥事件）若兩個事件A與B不能同時發(fā)生，即，稱A與B為互不相容事件（或互斥事件）。.事件的運算法則1)交換律 2)結合律 3)分配律 4)對偶原則 ，三、常用公式1.加法公式（1）對任意兩個事件A、B，有P()=P()+P()-P()（2）對任意三個事件A、B，C2.減法公式若AB 則P(B-A)= P(B)-P(A); P(B)P(A)P(A-B)= P(A)-P(AB) 3.對立事件概率公式對任一隨機事件A，有 P（）=1-P（A）；4.乘法公式當時: 5全概率公式定理1：設 是 一列互不相容的事件，且有,對任何事件A，有P(A)= 6、貝葉斯公式定理2：若是一列互不相容的

6、事件，且則對任一事件有兩個公式的相同點：相關問題都有兩個階段；兩個公式的不同點：全概率公式用于求第二階段某事件發(fā)生的概率，“由因求果”貝葉斯公式用于已知第二階段的結果，求第一階段某事件發(fā)生的概率，“由果求因”7.貝努里概型貝努里試驗:若試驗E只有兩個可能的結果A及，稱這個試驗為貝努里試驗。貝努里概型設隨機試驗E具有如下特征：1）每次試驗是相互獨立的；2）每次試驗有且僅有兩種結果：事件A和事件；3）每次試驗的結果發(fā)生的概率相同 稱試驗E表示的數(shù)學模型為貝努里概型。若將試驗做了n次，則這個試驗也稱為n重貝努里試驗。記為。設事件在n次試驗中發(fā)生了次，則四、舉例例1.已知，求【解】 例2.已知求A,B

7、,C至少有一個發(fā)生的概率。【解】 =例3.（摸球模型不放回用組合問題求解）在盒子中有6個球，4個白球、2個紅球，從中任取兩個（不放回）。求取出的兩個球都是白球的概率，兩球顏色相同的概率，至少有一個白球的概率。【解】設A：兩個球都是白球，B：兩個球都是紅球，C：至少有一個白球 基本事件總數(shù)為=15A的有利樣本點數(shù)為, P(A)=6/15=2/5 B的有利樣本點數(shù)為, P(B)=1/15 P(A+B)=P(A)+P(B)=7/15P(C)=1-P(B)=14/15例4. （摸球模型有放回用二項分布求解）在上題中，取球方法改成有放回，結果如何？【解】用表示取到白球數(shù)P(A)= P(B)= = P(A

8、+B)=P(A)+P(B)=5/9 P(C)=1-P(B)=8/9例5（抽簽原理）有個上簽，個下簽，2個人依次抽簽，采用有放回與無放回抽簽，證明每個人抽到上簽的概率都是【證】放回抽樣結論是顯然的；不放回可用全概率公式證明例6：（幾何概型）在區(qū)間(0, 1)中隨機地取兩個數(shù), 則兩數(shù)之差的絕對值小于的概率為_【解】以x和y分別表示甲乙約會的時間，則 兩人到會面出時間差不超過15分鐘 例7：某工廠有三條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一中產(chǎn)品，該3條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的20%，30%，50%，又這三條流水線的不合格品率為5%，4%，3%，現(xiàn)在從出廠的產(chǎn)品中任取一件， （1）問恰好抽到不合格品的概率為多少？ (2

9、)已知抽到不合格品，求該產(chǎn)品來自一車間的概率【解】(1)設：表示產(chǎn)品來自第i條生產(chǎn)線 ：表示抽到不合格品由題意 P(A) =0.037 (2)【點評】通過該題細心體會貝葉斯公式和貝葉斯公式的用法。例8甲乙兩人同時射擊同一目標，甲命中的概率為0.6，乙命中的概率為0.5。已知已命中目標，求是甲命中目標的概率。【分析】咋看這個題目覺得應用貝葉斯公式求解，但仔細分析個目中只有一個過程，應用條件概率求解?！窘狻緼:甲命中，B:乙命中，C：命中，C=A+B=例9：一個盒子中有4件產(chǎn)品，3件一等品，1件二等品，從中任取兩件，設事件表示“第一次取到一等品”， 表示“第二次取到一等品”，求?！窘狻窟@一結果的意

10、義是明顯的例10：假定某人做10個選擇題，每個題做對的概率均為；求（1）該同學做對3道題的概率；(2) 該同學至少做對3道題的概率；【解】=1-=1-【點評】“至少”,通過對立事件求解。例11： 某人向同一目標獨立重復射擊,每次射擊命中目標的概率為p(0<p<1), 則此人第4次射擊恰好第2次命中目標的概率為(A) (B) .(C) (D) C 例12：設為隨機事件，且，則必有(A) (B) (C) (D) C 例13：設隨機變量服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，且則必有(A) (B) (C) (D) A 教學后記教 案 授課時間3月5日至3月30日課時數(shù)8授課方式理論課授課單元第二章&

11、#160;一維隨機變量及其分布要求與目的通過教學使學生了解分布函數(shù)的概念、離散型隨機變量的分布律及其表示、一維連續(xù)型隨機變量的概念、常見分布；掌握一維隨機變量函數(shù)的分布。重點與難點(1) 重點是分布函數(shù)的概念、離散型隨機變量的分布律及其表示、一維連續(xù)型隨機變量的概念、常見分布(2) 難點是一維隨機變量函數(shù)的分布主要內(nèi)容一、分布函數(shù)的定義與性質(zhì)1. 隨機變量2. 分布函數(shù)二、離散型隨機變量1.概念2.分布律及其表示三、連續(xù)型隨機變量1.一維連續(xù)型隨機變量的概念2.密度函數(shù)具有下述性質(zhì)：四、常見分布五、一維隨機變量函數(shù)的分布1.一維離散型隨機變量函數(shù)的分布2.一維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布 教學方法

12、講授式 講練結合參考資料概率論與數(shù)理統(tǒng)計余長安編，武漢大學出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)計吳傳生編，高等教育出版社思考題P31-3 4 p36-12 13 p44-20 p48-27 第二章 一維隨機變量及其分布一、分布函數(shù)的定義與性質(zhì)1. 隨機變量定義1：設隨機試驗的每一個可能的結果（樣本點）唯一地對應一個實數(shù)，則稱實變量為隨機變量，通常用大寫字母X,Y,Z等表示隨機變量，例1：一射手對一射擊目標連續(xù)射擊，則他命中目標的次數(shù)為隨機變量，的可能取值為0，1，2例2：某一公交車站每隔5分鐘有一輛汽車?？?，一位乘客不知道汽車到達的時間，則侯車時間為隨機變量,的可能取值為=。例3：大炮對某一目標射擊

13、，彈著點的位置，如果建立如圖所示的坐標系，則彈著點就可以用一個二維坐標（X,Y）表示出來，這時，就要用二維隨機變量來描述。2. 分布函數(shù)定義2 定義在樣本空間上，取值于實數(shù)域的函數(shù)，稱為是樣本空間上的（實值）隨機變量，并稱 是隨機變量的概率分布函數(shù).簡稱為分布函數(shù). 分布函數(shù)的性質(zhì)： （1）單調(diào)性 若則； （2） （3）右連續(xù)性 （4）二、離散型隨機變量1.概念定義3：只取有限個或可列個值的變量X為一維離散型隨機變量簡稱離散型隨機變量。2.分布律及其表示如果離散型隨機變X可能取值為()，相應的概率 為隨機變量X的分布列，也稱為分布律，簡稱分布。（1）分布律表示方法公式法（2）分布律表

14、示方法列表法也可以用下列表格或矩陣的形式來表示，稱為隨機變量的分布律：          分布列的性質(zhì):非負性：1）規(guī)范性：2）分布函數(shù) 例1: 已知 (1)求，(2)分布函數(shù)【解】 例2：設袋中有五個球（3個白球2個黑球）從中任取兩球，X表示取到的黑球數(shù)。（1）求X的分布律；（2）為隨機變量X的分布函數(shù)【解】X可能取值為0，1，2。,X的分布律 三、連續(xù)型隨機變量1.一維連續(xù)型隨機變量的概念定義1 若X是隨機變量，是它的分布函數(shù)，如果存在函數(shù)，使對任意的，有，則稱X為連續(xù)型隨機變量，相應的為連續(xù)型分布函數(shù).同時稱

15、是的概率密度函數(shù)或簡稱為密度.2.密度函數(shù)具有下述性質(zhì)：（1）非負性（1）規(guī)范性（3） （4） （5）由式可知，對的連續(xù)點必有 例3：設隨機變量X的分布函數(shù)為 。（1）求A，B ， (2)求 【解】 得 ， =例4：設隨機變量X的概率密度函數(shù)為 。（1） (2)分布函數(shù) （3）求 【解】 （1/6）（）四、常見分布 (1)兩點（0-1）分布 設離散型隨機變量的的分布列為 其中，則稱服從兩點分布，亦稱服從（01）分布，簡記為01）分布. (2)二項分布 若離散型隨機變量的分布列為 其中，則稱服從參數(shù)為的二項分布，簡稱服從二項分布，記為 易驗證 顯然，當=1時，二項分布就化為兩點分布.可見兩點分布

16、是二項分布的特例. (3)普哇松（Poisson）分布 設離散型隨機變量的所有可能取值為0，1，2，且取各個值的概率為 其中為常數(shù)，則稱服從參數(shù)為的普哇松分布，記為.易驗證 定理（普哇松定理）在重貝努里試驗中，事件在一次試驗中出現(xiàn)的概率為（與試驗總數(shù)有關）如果當時，常數(shù)），則有 (4)幾何分布 設是一個無窮次貝努里試驗序列中事件首次發(fā)生時所需的試驗次數(shù)，且可能的值為而取各個值的概率為 其中，則稱服從幾何分布.記為.易驗證 (5)均勻分布若隨機變量的概率密度函數(shù)為 時，則稱隨機變量服從上的均勻分布.顯然的兩條性質(zhì)滿足.其分布函數(shù)為 記為.(6)指數(shù)分布若隨機變量的分布函數(shù)為 概率中稱服從參數(shù)為的

17、指數(shù)分布.而隨機變量的概率密度為 (7)正態(tài)分布設隨機變量X的概率密度為 （*）是兩個常數(shù)，則稱設隨機變量X服從的正態(tài)分布，記為相應的分布函數(shù)為 并且稱為正態(tài)分布，記作.如果一個隨機變量X的分布函數(shù)是正態(tài)分布，也稱X是一個正態(tài)變量.分布常常稱為是標準正態(tài)分布，其密度函數(shù)通常以表示，相應的分布函數(shù)則記作，所以 (1)是偶函數(shù)，圖像關于y軸對稱，關于對稱； （2）在，在取得最大值； （3）是的拐點，是的拐點； （4）若，則 （5）例5：設隨機變量服從正態(tài)分布，（1）求.（2）求常數(shù)使【解】（2），所以 ；五、一維隨機變量函數(shù)的分布1.一維離散型隨機變量函數(shù)的分布例6，已知， 求的分布列。【解】2.

18、一維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布 設為一通常的連續(xù)函數(shù)，令，其中X為隨機變量，那么Y也是隨機變量，并稱它為隨機變量X的函數(shù). （1） 例7：已知，求的概率密度?！窘狻?= 例8：已知隨機變量的概率密度為 求的概率密度。 解題步驟： （1）求出x的有效作用范圍（的范圍）， 并根據(jù) 求出Y的有效作用范圍 ;(2)當時， 當時， 當時， （3）求出概率密度?！窘狻浚?）時， ，;(2)當時， 當時， 當時，= （3）例9：設隨機變量X的概率密度為 F(x)是X的分布函數(shù). 求隨機變量Y=F(X)的分布函數(shù).【解】易見，當x<1時，F(xiàn)(x)=0; 當x>8 時，F(xiàn)(x)=1.對于，有 設G(y

19、)是隨機變量Y=F(X)的分布函數(shù). 顯然，當時，G(y)=0；當時，G(y)=1. 對于， =于是，Y=F(X)的分布函數(shù)為 例10：設隨機變量的概率密度為，令求的概率密度【解】 設的分布函數(shù)為，即，則1) 當時，；2) 當時， .3) 當時，.4) 當，.所以.定理 設是一個連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為，又嚴格單調(diào)，其反函數(shù)有連續(xù)導數(shù)，則也是一個連續(xù)型隨機變量，且其密度函數(shù)為 其中 證明 不妨設是嚴格單調(diào)上升函數(shù)，這時它的反函數(shù)也是嚴格單調(diào)上升函數(shù)，于是 由此得的密度為 同理可證當嚴格單調(diào)下降時，有 由此定理得證. 例11： 設，又，易驗證這時定理3.1的條件滿足，又因為的反函數(shù)為，所以有

20、 由此可見.教學后記教 案授課時間4月2日至4月20日課時數(shù)6授課方式理論課授課單元第三章：多維隨機變量及其分布要求與目的通過教學使學生了解二維隨機變量的概念、分布律及其表示、分布函數(shù)、邊緣分布，條件分布、獨立性。掌握二維隨機變量函數(shù)的分布。重點與難點(1) 重點是二維隨機變量的概念、分布律及其表示、分布函數(shù)、邊緣分布，條件分布、獨立性(2) 難點是二維隨機變量函數(shù)的分布主要內(nèi)容一、基本概念聯(lián)合分布函數(shù)，聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)、邊緣分布函數(shù)二、離散型二維隨機變量離散型二維隨機變量的分布律、分布函數(shù)、邊緣分布，條件分布、獨立性三、連續(xù)型二維隨機變量連續(xù)型二維隨機變量的分布律、分布函數(shù)、邊緣分布，條件

21、分布、獨立性四、二維隨機變量函數(shù)的分布1.離散型隨機變量函數(shù)的分布2.連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布教學方法講授式 講練結合參考資料概率論與數(shù)理統(tǒng)計余長安編，武漢大學出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)計吳傳生編，高等教育出版社思考題P58-4 p68-8（1） p75-11 第三講：多維隨機變量及其分布一、基本概念1聯(lián)合分布函數(shù)設（）是二維離散型隨機變量，是任意實數(shù)，二維隨機變量（）的聯(lián)合分布函數(shù)。2.聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)（1）單調(diào)性關于x(y)單調(diào)不減；（2）,；(3) 關于x(y)右連續(xù)；(4)3邊緣分布函數(shù)設（）是二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為，則，二維隨機變量（）的邊緣分布函數(shù)。二、離散型二維隨機變量1

22、. 離散型二維隨機變量的分布律設是一個二維離散型隨機變量，它們一切可能取的值為令 稱是二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布. 二維聯(lián)合分布的三個性質(zhì)： 2. 離散型二維隨機變量的分布函數(shù) 3. 離散型二維隨機變量的邊緣分布設二維隨機變量（）的聯(lián)合概率分布=中對固定的關于求和而得到 4. 離散型二維隨機變量的條件對于固定的若，稱為在的條件下，隨機變量的條件概率. 同樣定義為在的條件下，隨機變量的條件概率. 條件概率符合概率的性質(zhì) 5. 離散型二維隨機變量的獨立性設離散型隨機變量的聯(lián)合概率分布列與邊緣分布為：， 定理1：離散型隨機變量獨立的充分必要條件是對于任意的都有 例1 從1，2，3，4種任取一個記為

23、，在從1種任取一個記為，(1)求二維隨機變量（）的聯(lián)合分布律 XY123411/400021/81/80031/121/12/1/12041/161/161/161/16(2)求二維隨機變量（）的邊緣分布律。 (3)求的條件下，X的概率分布(4) 隨機變量獨立嗎？ 不獨立。例2 ，且，求隨機變量（）的聯(lián)合分布律及。X Y 0 101 0.3 0.2 0.1 0.40.50.5 0.4 0.6例3 已知X,Y獨立，完成下表： X Y 1 2 312 例4 已知（X,Y）的分布律為： X Y 0 112 0.4 a b 0.1已知獨立，求a,b三、連續(xù)型二維隨機變量1定義與性質(zhì)如果聯(lián)是一個合分布函

24、數(shù)，若存在函數(shù)，使對任意的，有 成立，則稱是一個連續(xù)型的聯(lián)合分布函數(shù)，并且稱其中的是的聯(lián)合概率密度函數(shù)或簡稱為密度.如果二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)是連續(xù)型分布函數(shù)，就稱是二維的連續(xù)型隨機變量.密度函數(shù)的性質(zhì)：由分布函數(shù)的性質(zhì)可知，任一二元密度函數(shù)必具有下述性質(zhì)：反過來，任意一個具有上述兩個性質(zhì)的二元函數(shù)，必定可以作為某個二維隨機變量的密度函數(shù).此外，密度函數(shù)還具有性質(zhì)：（3）若在點連續(xù)，是相應的分布函數(shù)，則有 （4）若是平面上的某一區(qū)域，則 2連續(xù)型隨機變量的邊緣分布若（）聯(lián)合分布函數(shù)已知，那么，它的兩個分量X與Y的分布函數(shù)稱為邊際分布函數(shù)可由聯(lián)合分布函數(shù)求得，概率密度 3. 連續(xù)型隨機變量條

25、件分布 若（）概率密度為，邊緣概率密度，稱 為在的條件下，隨機變量的條件概率密度.類似地，稱 為在的條件下，隨機變量的條件概率密度.設隨機變量的聯(lián)合分布為，如果對任意的都 則稱是獨立的4.隨機變量的獨立性設隨機變量的聯(lián)合分布為，如果對任意的都 則稱是獨立的定理2：如果是二維連續(xù)型隨機變量，則X與也都是連續(xù)型隨機變量，它們的Y密度函數(shù)分別為，這時容易驗證X與Y獨立的充要條件為： 幾乎處處成立。說明：(1)或點點成立，則X與Y獨立。 (2)X與Y獨立,則點點成立不一定點點成立。 (3)在個別點，則X與Y可能還獨立；在一點，則X與Y一定不獨立。例1：已知隨機變兩（X,Y）的概率密度為(1)求A (2

26、)求分布函數(shù) 當時， 其他， （3）求 (4) 求邊緣概率密度 (5) 求條件概率密度 當時，不存在； 當時，(6) 求 (7)獨立嗎？點點成立，則X與Y獨立。例2：已知隨機變量（X,Y）時區(qū)域D上的分布，D由圍成，問X,Y是否獨立？解： 同理： 所以X,Y不否獨立。例3：甲乙兩人到達同一地點的時間X,Y服從7,8上的均勻分布，X,Y獨立，求X，Y的差不超過小時的概率。 X,Y獨立例4若二維連續(xù)隨機變量的聯(lián)合概率密度為 （ ）則稱服從二維正態(tài)分布，記作 。說明：（1）二維正態(tài)分布的邊緣分布是一維正態(tài)分布，； （2）二維隨機變量的邊緣分布都是是一維正態(tài)分布，則不一定服從二維正態(tài)分布；（3）是相關

27、系數(shù)，獨立的充分必要條件是； （4），且獨立，則 四、二維隨機變量函數(shù)的分布1.離散型隨機變量函數(shù)的分布例1已知二維隨機變量的分布為X Y121 1/41/621/31/4求：(1) (2) (3) 解：(1) (2) (3) 2.連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布已知（）聯(lián)合概率密度，求的概率密度。這類問題主要通過分布函數(shù)法求解。具體過程如下：(1)劃出的區(qū)域D；(2)作等值線(3)平行移動等值線，尋找等值線與D相交的關鍵點。(4)當時，=0,  當時，=1, 當時 (5) 例2設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為 求： 的概率密度解：令，當時，；當時， =; 3) 當時

28、，即分布函數(shù)為： 故所求的概率密度為：例3X,Y獨立且都服從0,1上的均勻分布，求的概率密度。 解： X,Y獨立，所以當時，；當時，；當時， =;當時， 例4練習冊 10題例5設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為 求： 的概率密度例6設隨機變量X與Y獨立，其中X的概率分布為，而Y的概率密度為f(y)，求隨機變量Z=X+Y的概率密度.解： (因為X與Y獨立) 例7 的分布；設隨機變量X與Y獨立，分別是他們的分布函數(shù)，求解：= 教學后記教 案 授課時間4月23日至5月11日課時數(shù)6授課方式理論課授課單元第四章 隨機變量的數(shù)字特征要求與目的通過教學使學生了解隨機變量的數(shù)學期望、方差、協(xié)方差與相關系數(shù)

29、的概念，掌握數(shù)學期望、方差、協(xié)方差與相關系數(shù)的求法。重點與難點(1) 重點是數(shù)學期望、方差、協(xié)方差與相關系數(shù)的概念與求法(2) 難點是協(xié)方差與相關系數(shù)的概念與求法主要內(nèi)容一、隨機變量的數(shù)學期望1數(shù)學期望的定義2隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望3.隨機變量的數(shù)學期望的性質(zhì) 二、方差1.方差的定義常用的計算方差的公式 2方差的性質(zhì) 3.常見分布的方差三、協(xié)方差與相關系數(shù)1.隨機變量的協(xié)方差2.二維隨機變量的相關系數(shù)教學方法講授式 講練結合參考資料概率論與數(shù)理統(tǒng)計余長安編，武漢大學出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)計吳傳生編，高等教育出版社思考題P89-4 p97-15 p102-21 第四章 隨機變量的數(shù)字特征一、隨機變

30、量的數(shù)學期望1數(shù)學期望的定義定義:(1)若離散型隨機變量可能取值為其分布列為，則當時，稱存在數(shù)學期望，并且數(shù)學期望為. (2) 設是一個連續(xù)型隨機變量，密度函數(shù)為，當時,稱的數(shù)學期望存在，記作。 2隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 (1)若是一個離散型隨機變量，如果，則有，(2)若是連續(xù)性隨機變量，密度函數(shù)為，且 ，則有 (3)若是一個二維離散型隨機變量，其聯(lián)合分布列為 ， (4)設是二維連續(xù)型隨機變量，密度函數(shù)為， 3.隨機變量的數(shù)學期望的性質(zhì) (1)若是一個常數(shù)，則.(2)若存在，則對任意的實數(shù)、，存在且 (3)若是相互獨立的且存在，則存在且 4常見幾種分布的數(shù)學期望（1）兩點分布的期望（2）二項分

31、布的期望所以（3）普哇松分布的數(shù)學期望 (4) 均勻分布的數(shù)學期望 .(5) 指數(shù)分布的數(shù)學期望設的密度函數(shù)是參數(shù)為的指數(shù)分布，求.解 (6)正態(tài)分布的數(shù)學期望例1:已知,求 例2設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為 (1)求解法1, 解法2, (2) 求 =二、方差1.方差的定義定義：設是一個離散型隨機變量，數(shù)學期望存在，如果存在，則稱為隨機變量的方差，并記作. 方差的平方根稱為標準差或根方差，在實際問題中標準差用得很廣泛。 常用的計算方差的公式 2方差的性質(zhì) （1）若是常數(shù)，則；（2）若是常數(shù)，則；(3) （4）若相互獨立且存在，則存在且 性質(zhì)（4）可以推廣到維隨機變量的情形,并且 3.常

32、見分布的方差(1)兩點分布的方差 ，(2) 普哇松分布的方差 (3) 均勻分布的方差 (4) 指數(shù)分布的方差 (5)二項分布的方差 (6)正態(tài)分布的方差設X服從分布，求例1:已知,求 例2設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為 求 三、協(xié)方差與相關系數(shù)1.隨機變量的協(xié)方差 定義 若是一個二維隨機變量，稱為與的協(xié)方差，并記作，即 公式： 由協(xié)方差的定義即知它具有下述性質(zhì)： (1) 0(2) 對稱性：(3)線性性： ；(4) (5)若X,Y獨立，則2.二維隨機變量的相關系數(shù)定義，若是一個二維隨機變量，則稱為隨機變量與的相關系數(shù) 相關系數(shù)的性質(zhì)（1）；（2），當且僅當存在常數(shù)，使得； 說明：(1)時，

33、稱與不相關，時，稱與正相關，時，稱與負相關 (2)若X,Y獨立，則相關系數(shù)。反過來，關系數(shù)，X,Y不一定獨立。(3)二維正態(tài)分布中的為X,Y的相關系數(shù)，當且僅當X,Y獨立。例1: 二維隨機變量的概率分布為：0 1 0 1 求：與的相關系數(shù) ; 解：因為，所以與的相關系數(shù)例2已知隨機變量（X，Y）的概率密度為,求解： = = = 例3設， ，X,Y相互獨立，令，求。解： （X與Y獨立） 例4設A,B為隨機事件，且，令 求：（I）二維隨機變量(X,Y)的概率分布； （II）X和Y的相關系數(shù)解:（I） 由于， 所以， ， ， =（或），故(X,Y)的概率分布為 Y X 0 1 0 1 (II) X,

34、 Y的概率分布分別為 X 0 1 Y 0 1 P P 則，DY=, E(XY)=,故 ，從而 例5: 已知，求，。解: ， =0例6: 設隨機變量，令 <1>求 <2> 解: () , , 同理， 的取值為-1，1 = = 教學后記概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末復習題1. 如果隨機事件滿足, 則稱為對立事件.2. 如果隨機事件滿足, 則稱為互不相容.3.設件為3個隨機事件, 試用事件” 發(fā)生, 與不發(fā)生”可表示為.4.設事件,且, , 則概率.5. 設事件與互不相容, 且, 則概率.6. 設事件與互不相容, 且, 則概率. 1 7. 設為2個隨機事件, 則. A. B.

35、 C. D B 8. 設為2個隨機事件, 則下列不正確的是. D A. B. C. 若,則 D. 9. 設事件滿足, 則下列中正確的是.A. B. C. D B 10. 設為2個隨機事件, 滿足,則下列中正確的是 . A. 與必同時發(fā)生 B. 發(fā)生必發(fā)生 C. 不發(fā)生必不發(fā)生 D. 不發(fā)生必發(fā)生 C 11.設在15只同類型的零件中有2只是次品, 現(xiàn)從中任取3只, 則所取的零件中有2只次品的概率為.12.從52張撲克牌(無王牌)中任取13張, 則其中有5張黑桃, 3張紅心, 3張方塊, 2張草花的概率為.13.一袋中裝有3個紅球, 2個白球, 現(xiàn)從中任取2個球, 則在這2個球中, 恰好有1個紅球

36、1個白球的概率是.14.拋擲3枚均勻的硬幣, 恰好有2枚正面向上的概率為.15.袋中有10只紅球, 7只白球, 從中陸續(xù)取3只, 取后不放回, 則這3只球依次為紅白紅的概率為.16.設袋中有編號分別為1 , 2 , , 10的球, 從中任取一個, 觀察編號. 求編號不超過5的概率. 求編號是奇數(shù)的概率. 求兩事件和的概率. 解: 17.從數(shù)1, 2, , 中任取兩個, 求它們的和是偶數(shù)的概率. 解: 為偶數(shù)時, 為奇數(shù)時, 18. 在0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取三個不同的數(shù), 則取到的三個數(shù)不含0和5的概率為A. B. C. D A 19. 設隨機事件滿足: , 則 D A.

37、互為對立事件 B. 互不相容 C. 一定為不可能事件 D. 不一定為不可能事件 20. 設隨機事件互不相容, 且, , 則 C A. B. C. D. 21. 設是兩個隨機事件, 且, , 則 B A. 互不相容 B. C. D. 22. 設是兩個隨機事件, 且, , 求概率解: , .23. 設是兩個隨機事件, 且, , 求概率解: , .24. 有兩箱同種類的零件, 第一箱裝50只, 其中10只一等品; 第二箱裝30只, 其中10只一等品. 今從兩箱中任取一箱, 然后從該箱中取零件兩次, 每次任取一只, 作不放回抽樣. 求(1)第一次取到一等品的概率; (2)在第一次取到一等品的條件下,

38、第二次取到一等品的概率.解: 設用表示”第次取到一等品” , 用表示”第箱被取到”, 則, , , .(1) .(2). .25. 有兩箱同種類的零件, 第一箱裝50只, 其中10只一等品; 第二箱裝30只, 其中18只一等品. 今從兩箱中任取一箱, 然后從該箱中取一個零件. (1) 求該零件是一等品概率. (2)若該零件是一等品, 求該零件是從第二箱中取出的概率.解: 設用表示”取到的零件是一等品”, 用表示”第箱被取到”, 則, , , .(1) .(2) .26. 設一箱產(chǎn)品60件, 其中次品6件, 現(xiàn)有一顧客從中隨機買走10件, 則下一顧客買走一件產(chǎn)品買到次品的概率為.27. 設隨機事

39、件相互獨立, 且, , 則28. 設是兩個隨機事件, 則下列中不正確的是 C A. 相互獨立時, B. 時, C. 互不相容時, D. 時, 29. 甲乙兩人對飛機進行射擊, 兩人擊中飛機的概率分別為0.5, 0.8, 飛機被一人擊中而被擊落的概率為0.4, 飛機被兩人擊中而被擊落的概率為0.6. 假設甲乙兩人射擊是相互獨立的, 求飛機被擊落的概率.解: 設用表示“飛機被擊落”, 用表示“甲擊中飛機”, 用表示“乙擊中飛機”., , , , , . .30. 設隨機變量的分布律為, 則常數(shù).31. 設隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布, 且, 則 5/2 32. 設隨機變量的分布律為, 則.33.

40、將3個球隨機地放入4個杯子, 求杯子中球的個數(shù)最大值的分布律.解: 設用表示“杯子中球的個數(shù)最大值”. , , .34. 設隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布, 則必有 B A. 取整數(shù)值 B. C. D. 35. 設隨機變量的概率密度為 則常數(shù) _-1/2 .36. 設隨機變量的分布函數(shù)為則.37. 設隨機變量的概率密度為 則常數(shù).38. 設隨機變量的概率密度為 其中, 且概率, 求常數(shù),的值.解: 一方面, 另一方面, 所以.一方面, 另一方面, 所以.得方程組 解得.40. 設隨機變量, 且, 則的值為 A A. . B. . C. . D. . 41. 設隨機變量, 則概率的值 D A. 與

41、有關, 但與無關. B. 與無關, 但與有關.C. 與和均有關. D. 與和均無關. 42. 設隨機變量, 對于給定的, 數(shù)滿足. 若, 則等于 B A. . B. . C. . D. . 43. 設隨機變量, 且. 求.解: 由于, 所以. 設其分布函數(shù)為. ,由于, 所以, 解得. .44. 設隨機變量服從指數(shù)分布, 且. 求概率.解: 由于服從指數(shù)分布. 所以其分布函數(shù)為.由于, 所以. .45. 設隨機變量, 現(xiàn)對進行5次獨立觀測, 設表示: 在5次觀測中, 的值大于1的次數(shù). 試求的分布律.解: 由于, 所以其分布函數(shù)為.隨機變量是服從,的二項分布: 46. 設隨機變量, 求的分布函數(shù); 函數(shù)的概率密度; 概率與.解: 由于, 所以的概率密度函數(shù)為 . .47. 設隨機變量的概率密度為求函數(shù)的概率密度. 解: 48. 二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 則常數(shù).49. 二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為