韶關(guān)學(xué)院大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽競賽大綱

1、韶關(guān)學(xué)院大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽競賽大綱I. 競賽性質(zhì)為提高大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平，推動數(shù)學(xué)教學(xué)體系、教學(xué)內(nèi)容與方法的改革，實施素質(zhì)教育，促進學(xué)風建設(shè)，繁榮校園文化，激發(fā)大學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才，為全校理、工、經(jīng)、管、農(nóng)科類的學(xué)生考研提供幫助，同時也為參加廣東省大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽和全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽選拔同學(xué)，實現(xiàn)“韶關(guān)學(xué)院大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽”目標，特制訂本競賽大綱。II. 競賽內(nèi)容 （一）韶關(guān)學(xué)院大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（非數(shù)學(xué)專業(yè)類）競賽內(nèi)容（參賽對象為全校理、工、經(jīng)、管、農(nóng)科類非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生）一、函數(shù)、極限、連續(xù)1 函數(shù)的概念及表示法、簡單應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系的建立.2 函數(shù)的性質(zhì)：有界性、單調(diào)性

2、、周期性和奇偶性.3 復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)、基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形、初等函數(shù).4 數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)、函數(shù)的左極限與右極限.5 無窮小和無窮大的概念及其關(guān)系、無窮小的性質(zhì)及無窮小的比較.6 極限的四則運算、極限存在的單調(diào)有界準則和夾逼準則、兩個重要極限.7 函數(shù)的連續(xù)性（含左連續(xù)與右連續(xù)）、函數(shù)間斷點的類型.8 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性.9 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函數(shù)微分學(xué)1. 導(dǎo)數(shù)和微分的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系、平面曲線的切線和法線.2. 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)

3、和微分的四則運算、一階微分形式的不變性.3. 復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法.4. 高階導(dǎo)數(shù)的概念、分段函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)、某些簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù).5. 微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必達(LHospital)法則與求未定式極限.7. 函數(shù)的極值、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸近線(水平、鉛直和斜漸近線)、函數(shù)圖形的描繪.8. 函數(shù)最大值和最小值及其簡單應(yīng)用.9. 弧微分、曲率、曲率半徑.三、一元函數(shù)積分學(xué)1. 原函數(shù)和不定積分的概念.2. 不定積分的基本性質(zhì)、基本積分公式.3. 定積分的概念和基本性質(zhì)、定積分中值定

4、理、變上限定積分確定的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)、牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式.4. 不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法.5. 有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分.6. 廣義積分.7. 定積分的應(yīng)用：平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力及函數(shù)的平均值四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、階、通解、初始條件和特解等.2. 變量可分離的微分方程、齊次微分方程、一階線性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.3. 可用簡單的變量代換求解的某些微分方程、可降階的高階微分方程： .

5、4. 線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理.5. 二階常系數(shù)齊次線性微分方程、高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程.6. 簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程：自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積.7. 歐拉(Euler)方程.8. 微分方程的簡單應(yīng)用.五、向量代數(shù)和空間解析幾何1. 向量的概念、向量的線性運算、向量的數(shù)量積和向量積、向量的混合積.2. 兩向量垂直、平行的條件、兩向量的夾角.3. 向量的坐標表達式及其運算、單位向量、方向數(shù)與方向余弦.4. 曲面方程和空間曲線方程的概念、平面方程、直線方程.5. 平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件、

6、點到平面和點到直線的距離.6. 球面、母線平行于坐標軸的柱面、旋轉(zhuǎn)軸為坐標軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程、常用的二次曲面方程及其圖形.7. 空間曲線的參數(shù)方程和一般方程、空間曲線在坐標面上的投影曲線方程.六、多元函數(shù)微分學(xué)1. 多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義.2. 二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念、有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).3. 多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分、全微分存在的必要條件和充分條件.4. 多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法.5. 二階偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)和梯度.6. 空間曲線的切線和法平面、曲面的切平面和法線.7. 二元函數(shù)的二階泰勒公式.8. 多元函數(shù)極值和條件極值、拉格朗日乘數(shù)法、多元函數(shù)的最大值、最小值

7、及其簡單應(yīng)用.七、多元函數(shù)積分學(xué)1. 二重積分和三重積分的概念及性質(zhì)、二重積分的計算(直角坐標、極坐標)、三重積分的計算(直角坐標、柱面坐標、球面坐標).2. 兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計算、兩類曲線積分的關(guān)系.3. 格林(Green)公式、平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件、已知二元函數(shù)全微分求原函數(shù).4. 兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計算、兩類曲面積分的關(guān)系.5. 高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及計算.6. 重積分、曲線積分和曲面積分的應(yīng)用(平面圖形的面積、立體圖形的體積、曲面面積、弧長、質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、引力、功及流量等).八、無窮級數(shù)1. 常數(shù)項級數(shù)

8、的收斂與發(fā)散、收斂級數(shù)的和、級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件.2. 幾何級數(shù)與p級數(shù)及其收斂性、正項級數(shù)收斂性的判別法、交錯級數(shù)與萊布尼茨(Leibniz)判別法.3. 任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂.4. 函數(shù)項級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念.5. 冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）、收斂域與和函數(shù).6. 冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項求導(dǎo)和逐項積分)、簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法.7. 初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式.8. 函數(shù)的傅里葉(Fourier)系數(shù)與傅里葉級數(shù)、狄利克雷(Dirichlet)定理、函數(shù)在-l，l上的傅里葉級數(shù)、函數(shù)在0,l上的正弦級數(shù)和余弦級數(shù).（二）韶

9、關(guān)學(xué)院大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（數(shù)學(xué)專業(yè)類）競賽內(nèi)容（參賽對象為數(shù)學(xué)類專業(yè)學(xué)生）A、數(shù)學(xué)分析部分一、集合與函數(shù)1 實數(shù)集、有理數(shù)與無理數(shù)的稠密性，實數(shù)集的界與確界、確界存在性定理、閉區(qū)間套定理、聚點定理、有限覆蓋定理.2上的距離、鄰域、聚點、界點、邊界、開集、閉集、有界（無界）集、上的閉矩形套定理、聚點定理、有限覆蓋定理、基本點列，以及上述概念和定理在上的推廣.3 函數(shù)、映射、變換概念及其幾何意義，隱函數(shù)概念，反函數(shù)與逆變換，初等函數(shù)以及與之相關(guān)的性質(zhì). 二、極限與連續(xù)1數(shù)列極限、收斂數(shù)列的基本性質(zhì)（極限唯一性、有界性、保號性、不等式性質(zhì)）.2數(shù)列收斂的條件（Cauchy準則、迫斂性、單調(diào)有界原理、數(shù)列

10、收斂與其子列收斂的關(guān)系），極限及其應(yīng)用.3一元函數(shù)極限的定義、函數(shù)極限的基本性質(zhì)（唯一性、局部有界性、保號性、不等式性質(zhì)、迫斂性），歸結(jié)原則和Cauchy收斂準則，兩個重要極限及其應(yīng)用，計算一元函數(shù)極限的各種方法，無窮小量與無窮大量、階的比較，記號O與o的意義，多元函數(shù)重極限與累次極限概念、基本性質(zhì)，二元函數(shù)的二重極限與累次極限的關(guān)系.4函數(shù)連續(xù)與間斷、一致連續(xù)性、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)（局部有界性、保號性），有界閉集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致連續(xù)性）.三、一元函數(shù)微分學(xué)1.導(dǎo)數(shù)及其幾何意義、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)的各種計算方法，微分及其幾何意義、可微與可導(dǎo)的關(guān)系、

11、一階微分形式不變性.2.微分學(xué)基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余項與Lagrange余項).3.一元微分學(xué)的應(yīng)用：函數(shù)單調(diào)性的判別、極值、最大值和最小值、凸函數(shù)及其應(yīng)用、曲線的凹凸性、拐點、漸近線、函數(shù)圖象的討論、洛必達（L'Hospital）法則、近似計算.四、多元函數(shù)微分學(xué)1. 偏導(dǎo)數(shù)、全微分及其幾何意義，可微與偏導(dǎo)存在、連續(xù)之間的關(guān)系，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分，一階微分形式不變性，方向?qū)?shù)與梯度，高階偏導(dǎo)數(shù)，混合偏導(dǎo)數(shù)與順序無關(guān)性，二元函數(shù)中值定理與Taylor公式.2.隱函數(shù)存在定理、隱函數(shù)組存在定

12、理、隱函數(shù)（組）求導(dǎo)方法、反函數(shù)組與坐標變換.3.幾何應(yīng)用（平面曲線的切線與法線、空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線）.4.極值問題（必要條件與充分條件），條件極值與Lagrange乘數(shù)法.五、一元函數(shù)積分學(xué)1. 原函數(shù)與不定積分、不定積分的基本計算方法（直接積分法、換元法、分部積分法）、有理函數(shù)積分：型，型.2. 定積分及其幾何意義、可積條件（必要條件、充要條件：）、可積函數(shù)類.3. 定積分的性質(zhì)（關(guān)于區(qū)間可加性、不等式性質(zhì)、絕對可積性、定積分第一中值定理）、變上限積分函數(shù)、微積分基本定理、N-L公式及定積分計算、定積分第二中值定理.4.無限區(qū)間上的廣義積分、Cauchy收斂準則、絕

13、對收斂與條件收斂、非負時的收斂性判別法（比較原則、柯西判別法）、Abel判別法、Dirichlet判別法、無界函數(shù)廣義積分概念及其收斂性判別法.5. 微元法、幾何應(yīng)用（平面圖形面積、已知截面面積函數(shù)的體積、曲線弧長與弧微分、旋轉(zhuǎn)體體積），其他應(yīng)用.六、多元函數(shù)積分學(xué)1.二重積分及其幾何意義、二重積分的計算（化為累次積分、極坐標變換、一般坐標變換）.2.三重積分、三重積分計算（化為累次積分、柱坐標、球坐標變換）.3.重積分的應(yīng)用（體積、曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動慣量等）.4.含參量正常積分及其連續(xù)性、可微性、可積性，運算順序的可交換性.含參量廣義積分的一致收斂性及其判別法，含參量廣義積分的連續(xù)性、可微

14、性、可積性，運算順序的可交換性.5.第一型曲線積分、曲面積分的概念、基本性質(zhì)、計算.6.第二型曲線積分概念、性質(zhì)、計算；Green公式，平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件.7.曲面的側(cè)、第二型曲面積分的概念、性質(zhì)、計算，奧高公式、Stoke公式，兩類線積分、兩類面積分之間的關(guān)系.七、無窮級數(shù)1. 數(shù)項級數(shù)級數(shù)及其斂散性，級數(shù)的和，Cauchy準則，收斂的必要條件，收斂級數(shù)基本性質(zhì)；正項級數(shù)收斂的充分必要條件，比較原則、比式判別法、根式判別法以及它們的極限形式；交錯級數(shù)的Leibniz判別法；一般項級數(shù)的絕對收斂、條件收斂性、Abel判別法、Dirichlet判別法.2. 函數(shù)項級數(shù)函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)

15、的一致收斂性、Cauchy準則、一致收斂性判別法（M-判別法、Abel判別法、Dirichlet判別法）、一致收斂函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用.3.冪級數(shù)冪級數(shù)概念、Abel定理、收斂半徑與區(qū)間，冪級數(shù)的一致收斂性，冪級數(shù)的逐項可積性、可微性及其應(yīng)用，冪級數(shù)各項系數(shù)與其和函數(shù)的關(guān)系、函數(shù)的冪級數(shù)展開、Taylor級數(shù)、Maclaurin級數(shù).4.Fourier級數(shù)三角級數(shù)、三角函數(shù)系的正交性、2及2周期函數(shù)的Fourier級數(shù)展開、 Bessel不等式、Riemann-Lebesgue定理、按段光滑函數(shù)的Fourier級數(shù)的收斂性定理.B、高等代數(shù)部分一、多項式1. 數(shù)域與一元多項式的概念

16、.2. 多項式整除、帶余除法、最大公因式、輾轉(zhuǎn)相除法.3. 互素、不可約多項式、重因式與重根.4. 多項式函數(shù)、余數(shù)定理、多項式的根及性質(zhì).5. 代數(shù)基本定理、復(fù)系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解.6. 本原多項式、Gauss引理、有理系數(shù)多項式的因式分解、Eisenstein判別法、有理數(shù)域上多項式的有理根.7. 多元多項式及對稱多項式、韋達(Vieta)定理.二、行列式1. n級行列式的定義.2. n級行列式的性質(zhì).3. 行列式的計算.4. 行列式按一行（列）展開.5. 拉普拉斯(Laplace)展開定理.6. 克拉默(Cramer)法則.三、線性方程組1. 高斯(Gauss)消元法、線性方程組

17、的初等變換、線性方程組的一般解.2. n維向量的運算與向量組.3. 向量的線性組合、線性相關(guān)與線性無關(guān)、兩個向量組的等價.4. 向量組的極大無關(guān)組、向量組的秩.5. 矩陣的行秩、列秩、秩、矩陣的秩與其子式的關(guān)系.6. 線性方程組有解判別定理、線性方程組解的結(jié)構(gòu).7. 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、解空間及其維數(shù)四、矩陣1. 矩陣的概念、矩陣的運算(加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置等運算)及其運算律.2. 矩陣乘積的行列式、矩陣乘積的秩與其因子的秩的關(guān)系.3. 矩陣的逆、伴隨矩陣、矩陣可逆的條件.4. 分塊矩陣及其運算與性質(zhì).5. 初等矩陣、初等變換、矩陣的等價標準形.6. 分塊初等矩陣、分塊初等變換.五、雙

18、線性函數(shù)與二次型1. 雙線性函數(shù)、對偶空間2. 二次型及其矩陣表示.3. 二次型的標準形、化二次型為標準形的配方法、初等變換法、正交變換法.4. 復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上二次型的規(guī)范形的唯一性、慣性定理.5. 正定、半正定、負定二次型及正定、半正定矩陣.六、線性空間1. 線性空間的定義與簡單性質(zhì).2. 維數(shù)，基與坐標.3. 基變換與坐標變換.4. 線性子空間.5. 子空間的交與和、維數(shù)公式、子空間的直和.七、線性變換1. 線性變換的定義、線性變換的運算、線性變換的矩陣.2. 特征值與特征向量、可對角化的線性變換.3. 相似矩陣、相似不變量、哈密爾頓-凱萊定理.4. 線性變換的值域與核、不變子空間.八、

19、若當標準形1.矩陣.2. 行列式因子、不變因子、初等因子、矩陣相似的條件.3. 若當標準形.九、歐氏空間1. 內(nèi)積和歐氏空間、向量的長度、夾角與正交、度量矩陣.2. 標準正交基、正交矩陣、施密特(Schmidt)正交化方法.3. 歐氏空間的同構(gòu).4. 正交變換、子空間的正交補.5. 對稱變換、實對稱矩陣的標準形.6. 主軸定理、用正交變換化實二次型或?qū)崒ΨQ矩陣為標準形.7. 酉空間.C、解析幾何部分一、向量與坐標1. 向量的定義、表示、向量的線性運算、向量的分解、幾何運算.2. 坐標系的概念、向量與點的坐標及向量的代數(shù)運算.3. 向量在軸上的射影及其性質(zhì)、方向余弦、向量的夾角.4. 向量的數(shù)量積、向量積和混合積的定義、幾何意義、運算性質(zhì)、計算方法及應(yīng)用.5. 應(yīng)用向量求解一些幾何、三角問題.二、軌跡與方程1.曲面方程的定義：普通方程、參數(shù)方程(向量式與坐標式之間的互化)及其關(guān)系.2.空間曲線方程的普通形式和參數(shù)方程形式及其關(guān)系.3.建立空間曲面和曲線方程的一般方法、應(yīng)用向量建立簡單曲面、曲線的方程.4.球面的標準方程和一般方程、母線平行于坐標軸的柱面方程.三、平面與空間直線1.平面方程、直線方程的各種形式，方程中各有關(guān)字母的意義.2.從決定平面和直線的幾何條件出發(fā)，選用適當方法建立平面、直線方程.3.根據(jù)平面和直線的方程，判定平面與平