必修五解三角形?？碱}型

1、必修五解三角形常考題型1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型題剖析】考察點1:利用正弦定理解三角形例 1 在 ABC 中，已知 A:B:C=1:2:3,求 a :b :c.例2在ABC中，已知C2+.6，C=30。，求a+b的取值范圍?？疾禳c2 :利用正弦定理判斷三角形形狀 例3在ABC中，a2 tanB= b2 tanA，判斷三角形 ABC的形狀。例4在ABC中，如果lg a -lg c =lg sin B = - lg、2，并且B為銳角，試判斷此三角形的 形狀?？疾禳c3 :利用正弦定理證明三角恒等式 例6在ABC中，a,b,c分別是角 A,B,C的對邊，C=2B，求證cbab.例

2、5在AABC中，求證2 2a -bb2 -c2c2 -a2cos A cosB cosB cosC cosC cos A考察點4 :求三角形的面積例7在AABC中，a,b,c分別是三個內(nèi)角A,B,C的對邊，若a = 2,C',cos£, 求425ABC的面積S.例8已知AABC中a,b,c分別是三個內(nèi)角 A,B,C的對邊，ABC的外接圓半徑為12，且C ,3求ABC的面積S的最大值?？疾禳c5 :與正弦定理有關(guān)的綜合問題例9已知ABC的內(nèi)角A,B極其對邊a,b滿足a b = a cot A b cot B,求內(nèi)角CcosA b 4例10在ABC中，A, B, C所對的邊分別為

3、a,b,c,且c=10,，求a,b及AABCcosB a 3的內(nèi)切圓半徑。易錯疑難辨析易錯點利用正弦定理解題時，出現(xiàn)漏解或增解【易錯點辨析】本節(jié)知識在理解與運用中常出現(xiàn)的錯誤有：（1）已知兩邊和其中一邊的對角，利用正弦定理求另一邊的對角時，出現(xiàn)漏解或增解；（2）在判斷三角形的形狀時，出現(xiàn)漏解的情況。例1（1） 在ABC 中，a = 2、3, b = 6, A = 30 ,求 B;(2)在AABC 中，a =2、3,b =2, A =60 ,求 B;易錯點 忽略三角形本身的隱含條件致錯180 °等造成的錯誤?！疽族e點解析】解題過程中，忽略三角形本身的隱含條件，如內(nèi)角和為 c例2在ABC

4、中，若C =3B,求的取值范圍。b咼考真題評析例1 （2010 廣東高考）已知a, b , c分別是 ABC的三個內(nèi)角 A, B , C所對的邊，若a =1,b =漿,A +C = 2B,則 sin C =2tt（2010 北京高考）如圖1-9所示，在 ABC中，若b "c3,C冇圖1-9例 3 （2010-湖北高考）在AABC中，a =15,b =10, A=60 ,則 cosB 等于（）a，3例 4 （2010-天津高考）在ABC中，些二進AB cosC（1）求證B =C ；（2）若 cosA = 1，求 sin 4B += |的值。3 l 3丿1.1.2 余弦定理典型題剖析考察

5、點1:利用余弦定理解三角形例 1:已知ABC 中，b =3,c =3、3 B =30 ,求 A, C 和 a 。例 2: XBC 中，已知 a =2、,6,b =6 2、3c =4、, 3，求 A，B，C考察點2 :利用余弦定理判斷三角形的形狀例 3:在AABC 中，已知 a b c a，b-c =3ab,且 2cosA_sinB =sinC，試判斷厶ABC的形狀。例4:已知鈍角三角形 ABC的三邊a = k,b = k 2,c = k 4,求k的取值范圍?？疾禳c3 :利用余弦定理證明三角形中的等式問題例5在中，a,b,c分別是角 A，B，C的對邊，Ca 1（1）求證 a cosB bcos

6、A = c; （ 2）求證 a cos2cosa b c2 227（1）求證a2 -b2 sin A-Bc2一 sinC例6在L ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c。a ccosB sin B(2)求證b - ccos A sin A考察點4 :正余弦定理的綜合應(yīng)用 例 7:在LABC中，已知 b = .3 -1 a,C =30 ,求代B.例& 設(shè)L ABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a,b,c,已知b2c2= a23bc,(1 )求 A 的大??；(2)求 2sin BcosC -sin B -C 的值。例9:設(shè)L ABC得到內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且aco

7、sB=3,bsin A = 4.（1）求邊長a ；（ 2 ）若ABC的面積S=10，求L ABC的周長I。易錯疑難解析易錯點 利用余弦定理判斷三角形的形狀時出現(xiàn)漏解情況【易錯點辨析】在等式兩邊同時約去一個因式時，需要十分小心，當該因式恒正或恒負時可以約去，一定要避免約去可能為零的因式而導(dǎo)致漏解。例1:在L ABC中，已知acosA=：bcosB,試判斷L ABC的形狀易錯點 易忽略題中的隱含條件而導(dǎo)致錯誤【易錯點辨析】 我們在解題時要善于應(yīng)用題目中的條件，特別是隱含條件，全面、細致地分析問題，如下列題中的 b >a就是一個重要條件。例 2:在LABC中，已知 a =2,b =2、2,C

8、=15 ,求 A。咼考真題評析例1 :（ 2011.山東模擬）在LABC中，D 為 BC 邊上一點，BC =3BD, AD =72,NADB =135：若 AC =AB,貝y BD =.例2 : （ 2010.天津高考）在 LABC中，內(nèi)角 A , B , C的對邊分別是a , b , c，若a2 -b2 二 3bc,sin C = 2 .3 sin B,則 a 等于（）B.60C.120D.1501-14所示），它由腰長為1 ,例3: （2010.北京高考）某班設(shè)計了一個八邊形的班徽（如圖頂角為a的四個等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為（）A. 2sin a -2cos

9、a 2C. 3sin a _3 cos a 1B. sin a - , 3 cos a 3D. 2sin a-cosa 1例4:（ 2010.安徽高考）設(shè)Labc是銳角三角形,a，b, c分別是內(nèi)角A，B，C所對邊長,2f兀心 ）2且 sin A =sin B sin B sin B。13/13 丿（1）求角A的值;AC =12,ac （其中b v c）例5:（陜西高考）如圖1-15所示，在L ABC中，已知B=45 °,D是BC邊上一點，AD=10 ,AC=14 , DC=6，求 AB 的長。tan A tan B例6:（2010.江蘇高考）在銳角LABC中，角A,B,C的對邊分別

10、是 求坦匹回C的值。必修五解三角形?？碱}型1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型題剖析】 考察點1:利用正弦定理解三角形 例 1 在 ABC 中，已知 A:B:C=1:2:3,求 a :b :c.【點撥】本題考查利用正弦定理實現(xiàn)三角形中邊與角的互化，利用三角形內(nèi)角和定理及正弦定理的變形形式a :b :c=si nA: si nB: si nC求解。7 A: B:C =1:2:3,而A B C =：.JIH-.七:1=1:、3:2.解：AWB丐,C乜a :b :=sin A: sin B:sinC =sin ： sin : sin= 6322【解題策略】要牢記正弦定理極其變形形式，要做

11、到靈活應(yīng)用。例2在ABC中，已知c=、2+'、6，C=30。，求a+b的取值范圍。然后再求解?！军c撥】此題可先運用正弦定理將 a+b表示為某個角的三角函數(shù),解：，9=30 ° , c= . 26，二由正弦定理得：,sin A sin B sinCsin30°/ a=2( .2 + 6 )sinA,b=2(2+、6)sinB=2( 2+、6)sin (150 °-A).a+b=2( .2+ 6 )sinA+sin(150 °-A)= 2( 2+ ,6 ) 2sin75 ° cos(75 °-A)=26 cos(75 °

12、-A) 當75 °-A=0 °，即A=75 °時，a+b取得最大值 2- 6=8+43 ； *=180。-(C+B)=150。-B,A V 150 ° , 0° <A< 150 °,-75 ° <75 °-A < 75 ° , Cos75 °<cos(75 °-A) <1 ,o>i 庖 r 6cos75 °=26 x62 = 2+ 6 .4綜合可得a+b的取值范圍為C.2.6 ,8+4、3>考察點2 :利用正弦定理判斷三角形形狀

13、例3在ABC中，a2 tanB= b2 tanA，判斷三角形 ABC的形狀。ABC的形狀。【點撥】通過正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，利用角的關(guān)系判斷解：由正弦定理變式 a=2Rsi nA,b=2Rsi nB 得:22Rsin Asin BcosB2二 2Rsin Bsin A cosA.sinAcosA=sin BcosB,即 sin2A 二sin2B , 2A = 2B或2A 2B 二：， .A= B或A B .2L ABC為等腰三角形或直角三角形?！窘忸}策略】“在ABC中，由sin2A=sin2B得/A= zb”是常犯的錯誤，應(yīng)認真體會上述解n答過程中“厶=ZB或/A+ ZB= ”的導(dǎo)

14、出過程。2例4在AABC中，如果lg a -lg c = lg sin B = Tg 2，并且B為銳角，試判斷此三角形的形狀。【點撥】通過正弦定理把邊的形式轉(zhuǎn)化為角的形式，利用兩角差的正弦公式來判斷厶 ABC的形狀。解:lg sin B = -lg2, sin B 二又TB為銳角，o B=45由 lg a -lg c =由正弦定理，得sin Asin C.A =180 -45 -C,代入上式得：,2sinC =2sin 135 -C=2 sin 135 cosC-cos135 sinC=,2cosC 、. 2 sin C,.cosC =0,. C =90 ,. A = 45 .Uabc為等腰直

15、角三角形?？疾禳c3 :利用正弦定理證明三角恒等式例5在4ABC中，求證2 , 2, 2 2a -bb -ccos A cosB cosB cosC2 2cacosC cos A【點撥】觀察等式的特點，有邊有角要把邊角統(tǒng)一，為此利用正弦定理將a2,b2，c2轉(zhuǎn)化為 sin2 A,sin 2 B,sin 2 C .證明：由正弦定理的變式 a=2Rsi nA, b=2Rsi nB得:a2 -b24R2sin2 A4R2sin2 Bcos A cos Bcos A cos B2 2 24R (1-cos A) -(1- cos B) cos A cos B2 2(cos B - cos A) 2Z4R

16、 (cos B -cos A) cos A cos B.2 2 b - c4R2(cosC -cosB), 同理 cosB ' cosC2 2c a24R2(cos A - cosC).cosC cos A.左邊=4 R2(cos BcosA cosCcosB cosAcosC)=0 =右邊.等式成立?！窘忸}策略】在三角形中，解決含邊角關(guān)系的問題時，常運用正弦定理進行邊角互化,利用三角知識去解決，要注意體會其中的轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用。例6在KBC中，a,b,c分別是角 A,B,C的對邊，C=2B，求證cbab.然后【點撥】本題考查正弦定理與倍角公式的綜合應(yīng)用證明：T ABC =180

17、, B C =180 - A.又；C =2B, C -B 二 B.；sin(B C)=sin(180 A)=sin A,.c2-b2 =4R2(sin2C-sin2 B)2=4R (sinC sinB)(sinC-sin B)2 B C C-'BB C .C-'B=4R 2sincos 2cossin2 2 2 2= 4R2 sin(C B)sin(C -B) =4R2sin Asin B 二 ab =右邊.等式成立.【解題策略】有關(guān)三角形的證明題中，要充分利用三角形本身所具有的性質(zhì)。A十B 兀 C(1) A B C =叭A B -二-C,2A2 2 22B =2禦一2C.(2

18、)sin( A B)二-tanC.=si nC,cos(A B) = -cosC,ta n(A B)C A+B . C A+B cos ,cossin , tan 2 2 2 2 2+ Ccot .2sin A B(4)sin(2 A 2B)二一sin 2C,cos(2 A 2B)二 cos2C, tan(2A 2B) 一tan2C.考察點4 :求三角形的面積 b 5例7在XBC中，a,b,c分別是三個內(nèi)角 A,B,C的對邊，若a=2,C ,cos ',求厶4 25ABC的面積S.【點撥】先利用三角公式求出sinB,sinA及邊c，再求面積。解：由題意 cosB =，得 cosB =

19、2cos2 B1 =3,2 5254 3 兀7 210'B 為銳角，.sinB,sin A =sin(二-B-C)=sin(B)= ”5 4、 10由正弦定理得c ,7c 1. C 1 C 1048Sacsin B 2 *-2 2757【解題策略】在厶ABC中，以下三角關(guān)系式在解答三角形問題時經(jīng)常用到，要記準、記熟, 并能靈活應(yīng)用， A B C hys in (A B) =si nC,cos(A B) =-cosC;si n 聳BC A B . C cos ,cossin2 2 2例8已知AABC中a,b,c分別是三個內(nèi)角 A,B,C的對邊，AABC的外接圓半徑為12，且C二一3求AA

20、BC的面積S的最大值?！军c撥】本題主要考察正弦定理與三角形面積公示的綜合應(yīng)用。1 1解：SabcabsinC2Rsin A|_2Rsin BjsinCh、；3R2sin Asin B 3 R2cos( A - B) - cos(A B)23 R2cos(A -B)丄.2 2 當 COS(A -B) =1,即A =B時,(SABC)max =R2=108'、3.44【解題策略】 把三角形的面積公式和正弦定理相結(jié)合，通過討論三角函數(shù)值的取值，求得面積的最大值。考察點5 :與正弦定理有關(guān)的綜合問題 例9已知ABC的內(nèi)角A,B極其對邊a,b滿足a acot A b cot B,求內(nèi)角C【點撥】

21、本題主要考察解三角形中的正弦定理、和差化積公式等基礎(chǔ)知識，考察運算能力、 分析能力和轉(zhuǎn)化能力。ab解法1 :* a，b=acotA bcotB,且2R(R為MBC的外接圓半徑)sin A sin B.sin A-cos A = cosB-sin B, 1-sin2A=1-cos2B.cos2A-cos2B = 0又 7sin2A -sin2B =2cos(A B)sin(A-B).cos(A B)sin(AB) =0,.cos(A B) =0或sin(A-B) =0.又A,B為三角形的內(nèi)角，.A B 或A = B,2當A B 時，C =-;2 2ji兀當A = B時，由已知得cotA=1, A

22、，B ,. C .42n綜上可知，內(nèi)角C .2解法2 :由a b二acot A bcot B及正弦定理得， sin A sin B=cos A cosB， sin A -cosA 二 cosB -sin B，JI3TJI3T從而 sin Acos cosAsin cosBsin sin Bcos,4444即 sin（A_：） =sin（： - B）.又V A+B Vn，. A - - B,44A B , C2 2【解題策略】 切化弦、邊化角是三角關(guān)系化簡的常用方法，熟練運用三角恒等變換公式是解 題的關(guān)鍵。cosA b4例10在ABC中，A, B, C所對的邊分別為 a,b,c,且c=10,求a

23、,b及AABCcosB a3的內(nèi)切圓半徑?！军c撥】欲求邊，應(yīng)將已知條件中的邊角統(tǒng)一，先求角再求邊。解:由 cosA cosBacosA = sin B cosB sin A變形為 sin AcosA 二sin BcosB,. sin 2A =sin 2B又；a =b,. 2A - ： -2B,. A ,BC是直角三角形。la2 - b2 =102由 b 4解得 a =6,b =8.=一a 3,LABC的內(nèi)切圓半徑為r=LS=22 2【解題策略】解此類問題應(yīng)注意定理與條件的綜合應(yīng)用。易錯疑難辨析易錯點利用正弦定理解題時，出現(xiàn)漏解或增解【易錯點辨析】本節(jié)知識在理解與運用中常出現(xiàn)的錯誤有：（1）已知

24、兩邊和其中一邊的對角，利用正弦定理求另一邊的對角時，出現(xiàn)漏解或增解；（2）在判斷三角形的形狀時，出現(xiàn)漏解的情況。例1(3)在AABC 中，a = 2、3, b = 6, A = 30 ,求 B;(4)在AABC 中，a = 2、3, b = 2, A = 60 ,求 B;【錯解】(1)sin A由正弦定理得sin B=b -=6 sin30 3, b = 60【點撥】sin A由正弦定理得sin B = b -(1)漏解，由 sin B (02解都存在。（2）增解。由sinB-丄（02=2 sin60 丄.B=30 或1502.32<B v 180 °)可得B =60 或120

25、因為b > a,所以兩<B v 180 °)可得B=30或150，因為b v a,根據(jù)三角形中大邊對大角可知Bv A,所以B =150不符合條件，應(yīng)舍去?！菊狻浚?）由正弦定理得sinB 二b 業(yè)=6 sin302,32B =60 或 120（經(jīng)檢驗都符合題意）（2）由正弦定理得sinBb 泄遼 sin60 J又0°<B v 180 °. B=30 或 150b v a,根據(jù)三角形中大邊對大角可知B v A,.B =150不符合條件，應(yīng)舍去，.B =30 。易錯點忽略三角形本身的隱含條件致錯180 °等造成的錯誤?！疽族e點解析】解題過

26、程中，忽略三角形本身的隱含條件，如內(nèi)角和為c例2在SBC中，若C =3B,求 的取值范圍。b【錯解】 由正弦定理得c = sinC _ sin3B sin(B 2B)b sinB si nBsin Bsin Bcos2B cosBs in2Bsin B2 2= cos2B 2cos B =4cos B-1.c；0 乞 cos2 B一 1 乞 4cos2 B1 乞 3, 03bc2【點撥】在上述解題過程中， 得到了 =4cos B-1后，忽略了三角形的內(nèi)角和定理及隱含b的A,B,C均為正角這一條件。【正解】 由正弦定理可知c_si nC sin3B sin (B 2B) =b sinBsin B

27、 sin B_ sinBcos2B cosBsin2B sin B2 2二 cos 2 B 2cos B =4cos B1.Ta b c=180 ,c =3b.'0 ° <B V 45 ° ,V cosB V 1.22c V 4cos B1 V 3，故 1 V - V 3.b咼考真題評析例1 （2010 廣東高考）已知a, b , c分別是 ABC的三個內(nèi)角 A, B , C所對的邊，若a =1,b =慮 A+C =2B,則 sinC =【命題立意】 本題主要考察正弦定理和三角形中大邊對大角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定角 C的值。31【點撥】在ABC中，A'

28、;B'Cv,又A，C=2B ,故B ,由正弦定理知3asin B1B兀si nA,又a v b，因此A從而可知C ，即sin C = 1。故填1.b262【名師點評】 解三角形相關(guān)問題時，應(yīng)靈活掌握邊角關(guān)系，實現(xiàn)邊角互化。例2（ 2010 北京高考）如圖1-9所示，在 ABC中，若b =1,Ch3,C,3則 a =.【命題立意】本題考查利用正弦定理解決三角形問題，同時要注意利用正弦定理得到的兩解 如何取舍?！军c撥】由正弦定理得， =” sin B =. 2兀sin B2sin3-C為鈍角，二B必為銳角,nn:B A . a = b = 1.6 6故填1【名師點評】1在0,二范圍內(nèi)，正弦

29、值等于的角有兩個，因為角 C為鈍角，所以角 B必為銳角，防止忽略角的范圍而出現(xiàn)增解圖1-9例 3 （ 2010 湖北高考）在ABC 中，15,10,60 ,則 COSB 等于（）2 -23B.S!、63D-63B的范【命題立意】本題考查正弦定理及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是確定角 圍。 10 -1510.廠 10_sin602【點撥】由正弦疋理得，.sin BA =60 ,.B 為銳角。.cosB 二，1 -sin2 B =1-6，故選【名師點評】根據(jù)三角形性質(zhì)大邊對大角準確判斷角B的范圍，從而確定角B的余弦值。sin 60 ° sin B1515例4 ( 2010 天津高考

30、)在ZABC中，些 =COsBAB cosC(2)若 cosA -，求 sin4B 的值。3 I 3丿同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、【命題立意】本題主要考察正弦定理、兩角和與差的正弦公式、二倍角的正弦與余弦等基礎(chǔ)知識，同時考察基本運算能力。證明：（1）在 ABC 中，由正弦定理及已CBS十。于c(O ss i nB c OCscBo s Cs i 即 sin B - C = 0.因為-二 v B-C < :，從而 B-C=0，所以 B=C .解: （2）由 A B 二和（1）得 A 二二-2B，故cs2B =«s2-2 22又 0< 2B< :，于是 sin 2B = 1

31、 -cos 2B從而3sin 4B =2sin 2Bcos2B 二迂,999IJJ L IJ Lcos4B =cos 2B sin 2B = 一。所以 sin j 4B 十一 l = sin4B cos=318【名師點評】（1）證角相等，故由正弦定理化邊為角。（2）在（1）的基礎(chǔ)上找角 A與角B的函數(shù)關(guān)系，在求 2B的正弦值時要先判斷 2B的取值范圍。1.1.2余弦定理典型題剖析考察點1:利用余弦定理解三角形例 1:已知ABC 中，b = 3,c = 3 3, B = 30 ,求 A, C 和 a。32 ，【點撥】解答本題可先由余弦定理列出關(guān)于邊長 a的方程，首先求出邊長 a，再由再由正弦定理

32、求角A，角C,也可以先由正弦定理求出角C,然后再求其他的邊和角。解法1 :3,3 $ _2a 3、3 cos30 ，由正弦定理 b2 二 a2，c2-2accosB,得 32 二 aA = 30 , C =1202-a -9a，18=0,解得 a =3或 6.當 a =3時,a sin B當”6時，由正弦定理得sinA = 丁二6 -于=90,解法2 :B =30 , b > csin30'-2知本題有兩解。由正弦定理得si心普133 -C =60 或120 , 當C =60時，A = 90，由勾股定理得：a 二 一 b2 c2 = 32 亠 3 3 =6當C =120時，A =

33、30 ,公BC為等腰三角形，.a =3?！窘忸}策略】 比較兩種解法，從中體會各自的優(yōu)點， 從而探索出適合自己思維的解題規(guī)律和 方法。三角形中已知兩邊和一角，有兩種解法。方法一利用余弦定理列出關(guān)于第三邊的等量關(guān)系列出方程，利用解方程的方法求出第三邊的長，這樣可免去判斷取舍的麻煩。方法二直接運用正弦定理，先求角再求邊。例 2: KBC 中，已知 a =2、6,b =6 2 3, C =4、3，求 A，B，C【點撥】解答本題可由余弦定理求出角的余弦值，進而求得各角的值。解法1:由余弦定理得:.222b +c -acos A 二2bc_ 2 2. 26 2 .3亠43 - 2 62 6 23 432b

34、c_ 36 24 3 12 48 -244& 3 48=72_24丄3 = 33 _ .348 3 4823 22 °因為A 0 ,180 ,所以A =30。2 2 2cosC，2ab2 2.66 2 3_ 24 36 24、3 12 -48 _ 224（6+24“2因為C0 ,180 ,所以C =45因為 ABC =180 ,所以 B =180 -45 -30 -105解法2 :1由解法1知sin A -,21 4"、.： 3 由正弦定理得，si nC=CSA=2-.a2晶2因為b > c，所以B > C,所以角C應(yīng)該是銳角，因此 C = 45 。又因

35、為 A B C =180 ,所以 B =180 -45 -30' =105【解題策略】已知三角形三邊求角，可先用余弦定理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解時，要根據(jù)邊的大小確定角的大小，防止增解或漏解。考察點2 :利用余弦定理判斷三角形的形狀例 3:在ABC 中，已知 a b c a b-c = 3ab,且 2cosA_sinB =sinC，試判斷厶ABC的形狀。【點撥】本題主要考察利用正弦定理或余弦定理判斷三角形的形狀，從問題的已知條出發(fā), 找到三角形邊角之間的關(guān)系，然后判斷三角形的形狀。解法1:（角化邊）由正弦定理得sinC _ c sin B b由 2cosAsin B 二

36、 sinC，得 cosA 二si nC2sin Bc2b又由余弦定理的推論得cosA =c2b2 , 2 2 c b -a2bc2 2 2 2 2 2又："a b c ab-c =3ab.a b -c=3b,.4b-c=3b,b = c.a =b =c,. UaBC為等邊三角形。解法2 :（邊化角）7 A B C =180 , sinC 二 sin A B .又：*2cos A_Sin B = sin C ,.2cosA（sin B =sin A_cosB cosA sinB,. sin AB =0.又TA與B均為L ABC的內(nèi)角， A=B.2 2又由 a b c a bc 二 3a

37、b，得 a b;c 二 3ab,a2 bc2 2ab =3ab，即 a2 b2 -c2 二 ab,由余弦定理得 cosC ,2而 0°<Cv 180 °, C =60 .又；A二B,. LABC為等邊三角形?！窘忸}策略】 已知三角形關(guān)系中的邊角關(guān)系式判斷三角形的形狀，有兩條思考路線：一是化邊為角，求出三個角之間的關(guān)系式；二是化角為邊，求出三條邊之間的關(guān)系式，種轉(zhuǎn)化主要 應(yīng)用正弦定理和余弦定理。例4:已知鈍角三角形 ABC的三邊a=k,b=k，2,c = k 4,求k的取值范圍?！军c撥】由題意知厶ABC為鈍角三角形，按三角形中大邊對大角的原則，結(jié)合a,b,c的大小關(guān)系，

38、故必有 C角最大且為鈍角，于是可有余弦定力理求出k的取值范圍。解：222nonc = a b -2abcosC,當 C為鈍角時，-2abcosC > 0, a b v c ,2 2 2k k 2 v k 4 ，解得-2 v k v 6.而 k+k+2 > k+4 , :k > 2.故 2 v k v 6故 k 的取值范圍是2,6 .【解題策略】應(yīng)用三角形三邊關(guān)系時，應(yīng)注意大邊對大角?？疾禳c3 :利用余弦定理證明三角形中的等式問題 例5在中，a,b,c分別是角 A，B, C的對邊，(1) 求證 a cosB bcos A 二 c;CA i(2) 求證 a coscos2a b

39、c .22 2【點撥】本題考察余弦定理及余弦定理與二倍角公式的綜合應(yīng)用。證明：2,2.2 2,2 2(1)左邊=af +° " +畀 +c -a2ac2bc2 2,2 ,2 2 2 a c -b b c -a2ac2bc2c2c二c二右邊，故原式成立。(2)左邊.a1 c0SCc1 cOsA2 2a2 丄22>1+a " -c2 丄22、1+b +c -a2< 2ab 丿2< 2bc 丿2b2 丄 22b +c -a+ c +2b 丿-1 a b ci；=右邊,故原式成立?！窘忸}策略】(1)小題利用余弦定理將角化為邊。(2)小題先降幕，然后利用余

40、弦定理將角化為邊。例6在L ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c。(1)求證a2 -b2 sin A-Bc2一 sinC(2)求證accosB b -ccosAsinB sin A【點撥】本題考察余弦定理及余弦定理與兩角和差正弦公式的綜合應(yīng)用證明：2 2 2(1)由 a2=b2 c22bccosA,得；a；b = °一 加器必=1 _ 2 b cosA。ccc又vsnBc sin C 2 2a -bsinBsinC 2sin BcosAsin C21-2cos Acsin Csin A B -2cos As in B si nAcosBcosAs in Bsin Csin C

41、sin A BsinC故原式成立。(2)左邊2 2 2 a +c b a _c -2ac2 2 2 . b +c -a b _c -2bc2a2 - a2 -c2 b22a2b2 -b2 -c2 a22b2 2 a cb22ab2 -c2 a2snB二右邊。sin A2b故原式成立?？疾禳c4 :正余弦定理的綜合應(yīng)用 例 7:在L ABC中，已知 bhw3-1 a,C =30 ,求 代 B.【點撥】本題主要考察正、余弦定理的綜合應(yīng)用。解：；b 二.3-1 a, c2 二 b2 a2-2ab cosC-|2-1 )aa22h4 -2、3 a2 a2 -、3 -3 -1 a2a > 0,c &

42、gt; 0,c = 2 .”3a, 2 -一3a 由正弦定理得-SinC,a sin A2、2sinA= SinC.A =75 或 105 .由 b=：i&3-1 a知 a>b, 若 A =75，則 B =180 - A C =75 ,a =b,與已知矛盾。A =105 ,B =180 - A C =45 .【解題策略】本題邊未知，已知一角，所以考慮使用余弦定理得a, c的關(guān)系，再結(jié)合正弦定理求sin A.注意特殊角的三角函數(shù)值，如:sin 75 二-6- ,sin15 二-624 4例& 設(shè)LABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，C,已知b2 C2 =a2 ,3bc

43、,(1)求 A的大小;(2)求 2sin BcosC -sin B - C 的值?！军c撥】本題考察余弦定理，和角、差角的正弦公式的綜合應(yīng)用。解:1)由余弦定理222ba 二 b c -2bccosA,得 cos A2bc2bc(2) 2sin BcosCsin B -C =2sin BcosC - sin BcosC - cosBsinC二sinBcosC cosBsinC =sin B C1=si ny-A =si nA -。2例9:設(shè)L ABC得到內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c,且acosB=3,bsin A = 4.(1)求邊長a;(2 )若ABC的面積S=10，求L ABC的周長

44、I?！军c撥】本題考察正弦定理、余弦定理、三角形面積公式及同腳三角函數(shù)關(guān)系式的綜合應(yīng)用。解：(1)已知 acosB =3,bsinA =4.3 acosB a cosB b cosB將兩式相除，有-=cot B.4 bsinA si nA bsinB b又由 acosB =3知 cosB >0,3 4則 cosB ,sin B ，則 a = 5.5 51(2 )由 S acsinB =10,得 c =5.22 2 2 a c -b 由 cosBac故 l -102、5?！窘忸}策略】把已知兩個關(guān)系式相除是本題的難點，也是解決此題的關(guān)鍵，相除之后出現(xiàn) a，使用正弦定理使問題得到順利解決。sin

45、 A易錯疑難解析易錯點 利用余弦定理判斷三角形的形狀時出現(xiàn)漏解情況【易錯點辨析】在等式兩邊同時約去一個因式時，需要十分小心，當該因式恒正或恒負時可以約去，一定要避免約去可能為零的因式而導(dǎo)致漏解。例1:在L ABC中，已知acosAbcosB,試判斷L ABC的形狀?！惧e解】由余弦定理得:,a2b2c2_ a2 =b2a2c2_b2,2 2 2 2 2 2 b c -a, a c -bab -2bc2ac2 2 丄 224, 22 丄,22, 4ab ac -a ba bc-b,a2 -b2 c2 = a2b2a2 _b2 ,2 2.2.c a b .故L ABC為直角三角形?！军c撥】利用余弦定

46、理把已知等式中角的形式轉(zhuǎn)化為邊的形式，其思路是正確的，但是在等式變形中約去了可能為零的因式a2 -b2，產(chǎn)生了漏解的情況，導(dǎo)致結(jié)論錯誤?！菊狻坑捎嘞叶ɡ淼茫? 2 2 2 2 2b c - aa c b22222 222ab, ab c-a=ba c-b,2bc2ac2 2 2 2 22 2 $2 22 2 2ab c 二 a b ab , ab cab =0,.a 二 b或 c2 二 a2 b2。L ABC為等腰三角形或直角三角形。易錯點 易忽略題中的隱含條件而導(dǎo)致錯誤【易錯點辨析】 我們在解題時要善于應(yīng)用題目中的條件，特別是隱含條件，全面、細致地分析問題，如下列題中的 b >a就是

47、一個重要條件。例 2：在LABC中，已知 a =2,b =2-、2,C =15 ,求 A?！惧e解】由余弦定理，得c2 =a2 b2 -2abcosC =4 8 -2 2 2.22=84、.3,. Ci6-2.4a si n C1由正弦定理，得si nA.又0 °<Av 180 ° , A = 30或150 .c 2【點撥】注意到已知條件中b = 2-，2 > a二2這一隱含條件，則 B > A，顯然A = 150是不可能的?！菊狻?由余弦定理，得 c2 二 a2 b2-2abcosC =8-4；3. c =6 -、2.a sinC 1又由正弦定理，得 s

48、inA. -.b>a,.B>A.又 0°<Av 180°, A = 30c 2咼考真題評析例 1 :（ 2011.山東模擬）在|_ABC中，D 為 BC 邊上一點BC = 3BD, AD = 2, NADB = 135 :若 AC = AB,貝y BD =.【命題立意】本題主要考察余弦定理與方程組的應(yīng)用?！军c撥】如圖1-13所示，設(shè)AB =k,則AC .2k,再設(shè)BD =x,則DC =2x,在LI ABD中， （由余弦定理得k2 =x2+22，x芒一=x2+2 + 2x。在L ADC中，由余弦定理I 2丿22L v2222得 2k = 4x 2 2 2x

49、. 24x 2 4x, . k = 2x 1 - 2x 。由得2x2 -4x-1 =0,解得 x =25 （負值舍去），故填2 -【名師點評】 根據(jù)題意畫出示意圖由 CD=2BD,AC= 、2AB,設(shè)出未知量，在兩個三角形中分別利用余弦定理，然后聯(lián)立方程組求解。圖 1-13例2 : （ 2010.天津高考）在 LABC中，內(nèi)角 A , B , C的對邊分別是a , b , c，若a2 -b2 = . 3bc,sin C = 2、. 3 sin B,則 a 等于（）A. 30 °B.60 °C.120 °D.150【命題立意】本題考察正、余弦定理的綜合應(yīng)用，考察分析

50、問題、解決問題的能力?！军c撥】由sinC =2、3sin B,根據(jù)正弦定理得c = 2；.3b,代入a2 -b2 f?3bc,得2 2 2 2 2a -b =6b ,即a = 7b ,，由余弦定理得 2 2 2b c -a2bcb2 12b-7b22b 2、36b2<3b2<A v 180,A =30 .故選【名師點評】 應(yīng)用正弦定理把已知條件中sin C=2、3sin B,轉(zhuǎn)化成邊b, c的關(guān)系，再代入已知得a，b的關(guān)系，利用余弦定理變形形式求角的余弦值。例3:（2010.北京高考）某班設(shè)計了一個八邊形的班徽（如圖 1-14所示），它由腰長為1，頂角為a的四個等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為（）A. 2sin a -2