等比數(shù)列的性質(zhì)(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 教學(xué)內(nèi)容【知識結(jié)構(gòu)】1等比數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：=q（q0）1°“從第二項起”與“前一項”之比為常數(shù)(q) 成等比數(shù)列=q（,q02° 隱含：任一項“0”是數(shù)列成等比數(shù)列的必要非充分條件3° q= 1時，an為常數(shù)2.等比數(shù)列的通項公式1: 3.等比數(shù)列的通項公式2: 4既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列 5等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，那么稱這個數(shù)G為a與

2、b的等比中項. 即G=±（a,b同號）如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，則，反之，若G=ab,則，即a,G,b成等比數(shù)列a,G,b成等比數(shù)列G=ab（a·b0） 6等比數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+k，則 在等比數(shù)列中，m+n=p+q，有什么關(guān)系呢？ 由定義得： ，則7 等比數(shù)列的增減性：當(dāng)q>1, >0或0<q<1, <0時, 是遞增數(shù)列;當(dāng)q>1, <0,或0<q<1, >0時, 是遞減數(shù)列;當(dāng)q=1時, 是常數(shù)列;當(dāng)q<0時, 是擺動數(shù)列;【熱身練習(xí)】 求下列各等比數(shù)列的通項公式： 1.

3、=-2, =-8 2.=5, 且2=-3 3.=5, 且 解：1. 2. 3.以上各式相乘得：【例題精講】例1 已知是項數(shù)相同的等比數(shù)列，求證是等比數(shù)列.證明：設(shè)數(shù)列的首項是，公比為;的首項為，公比為，那么數(shù)列的第n項與第n+1項分別為：它是一個與n無關(guān)的常數(shù)，所以是一個以q1q2為公比的等比數(shù)列.例2 已知：b是a與c的等比中項，且a、b、c同號，求證： 也成等比數(shù)列證明：由題設(shè)：b2=ac 得： 也成等比數(shù)列例3 (1) 已知是等比數(shù)列，且, 求 (2) ac,三數(shù)a, 1, c成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，求解：(1) 是等比數(shù)列， 2()25, 又>0, 5; (2) a, 1, c成

4、等差數(shù)列, ac2, 又a, 1, c成等比數(shù)列, a c1, 有ac1或ac1, 當(dāng)ac1時, 由ac2得a1, c1,與ac矛盾， ac1, .例4 已知無窮數(shù)列， 求證：（1）這個數(shù)列成等比數(shù)列 （2）這個數(shù)列中的任一項是它后面第五項的， （3）這個數(shù)列的任意兩項的積仍在這個數(shù)列中證：（1）（常數(shù)）該數(shù)列成等比數(shù)列 （2），即： （3）， 且，（第項）例5 設(shè)均為非零實數(shù)， 求證：成等比數(shù)列且公比為證一：關(guān)于的二次方程有實根， ， 則必有：，即，成等比數(shù)列 設(shè)公比為，則，代入 ，即，即證二： ，且 非零，例6設(shè)為數(shù)列的前項和，其中是常數(shù) （1） 求及； （2）若對于任意的，成等比數(shù)列，求

5、的值解（1）當(dāng)，（） 經(jīng)驗，（）式成立， （2）成等比數(shù)列，即，整理得：，對任意的成立， 例7在等差數(shù)列an中，若a100，則有等式a1+a2+an=a1+a2+a19n（n19，nN成立.類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列bn中，若b91，則有等式 成立答案：b1b2bnb1b2b17n（n17，nN*）；解：在等差數(shù)列an中，由a100，得a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100，所以a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1，又a1a19，a2a18，a19nan1a1a2ana19a18an1a1a2a19n，若a90，同理可得a1a2ana1a2a17n，相

6、應(yīng)地等比數(shù)列bn中，則可得：b1b2bnb1b2b17n（n17，nN*）。【備選例題】例8如圖31，在邊長為l的等邊ABC中，圓O1為ABC的內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，圓On+1與圓On外切，且與AB、BC相切，如此無限繼續(xù)下去.記圓On的面積為an（nN*），證明an是等比數(shù)列；證明：記rn為圓On的半徑，則r1=tan30°=。=sin30°=，所以rn=rn1（n2），于是a1=r12=，故an成等比數(shù)列。點評：該題考察實際問題的判定，需要對實際問題情景進(jìn)行分析，最終對應(yīng)數(shù)值關(guān)系建立模型加以解析。例9已知數(shù)列和滿足：a1=,an+1=其中為實數(shù)

7、，n為正整數(shù).（）對任意實數(shù)，證明數(shù)列不是等比數(shù)列；（）試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論.解：（）證明：假設(shè)存在一個實數(shù)，使是等比數(shù)列，則有,即矛盾.所以不是等比數(shù)列. ()解：因為又,所以當(dāng)18， (N+),此時不是等比數(shù)列：當(dāng)18時，,由上可知，(N+).故當(dāng)-18時，數(shù)列是以（18）為首項，為公比的等比數(shù)列.點評：本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)，推理和運算能力。例10等比數(shù)列的前n項和為， 已知對任意的 ，點，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上. （1）求r的值； （2）當(dāng)b=2時，記 求數(shù)列的前項和解:因為對任意的,點，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.所以得,當(dāng)時, 當(dāng)時,又因為

8、為等比數(shù)列, 所以, 公比為, 所以（2）當(dāng)b=2時，, 則 相減,得所以【鞏固練習(xí)】1.設(shè)等比數(shù)列an的公比q=2,前n項和為Sn,則= .2.等比數(shù)列an中,a3=7,前3項之和S3=21，則公比q的值為 1或- .3.如果-1,a,b,c,-9成等比數(shù)列,那么b= -3 ,ac= 9 .4.在等比數(shù)列an中，已知a1a3a11=8，則a2a8= 4 .5.若數(shù)列an的前n項和Sn=3n-a，數(shù)列an為等比數(shù)列，則實數(shù)a的值是 1 .6.設(shè)a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列，其公比為2，的值為 .7.等比數(shù)列an前n項的積為Tn,若a3a6a18是一個確定的常數(shù)，那么數(shù)列T10，T13，T17，T25中也是常數(shù)的項是 T17 .8.在等比數(shù)列中,前項和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列,則等于（ C ）.(A) (B) (C) (D)C.提示：因數(shù)列為等比，則，因數(shù)列也是等比數(shù)列，則即，所以，故選擇答案C。9.若互不相等的實數(shù)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，且，則（ D ）A4 B2 C2 D4