6相似三角形證明技巧

1、6相似三角形證明技巧LT相似三角形證明技巧姓名：一、相似、全等的關(guān)系全等和相似是平面幾何中研究直線形性質(zhì)的兩 個(gè)重要方面，全等形是相似比為1的特殊相似形，相 似形則是全等形的推廣.因而學(xué)習(xí)相似形要隨時(shí)與全 等形作比較、明確它們之間的聯(lián)系與區(qū)別；相似形的 討論又是以全等形的有關(guān)定理為基礎(chǔ).二、相似三角形(1)三角形相似的條件：; ;.三、兩個(gè)三角形相似的六種圖形：只要能在復(fù)雜圖形中辨認(rèn)出上述基本圖形，并能根據(jù) 問(wèn)題需要舔加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出基本圖形，從而 使問(wèn)題得以解決.四、三角形相似的證題思路：判定兩個(gè)三角形相似思路：1）先找兩對(duì)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等（對(duì)平行線型找平行線）, 因?yàn)檫@個(gè)條件最簡(jiǎn)單;2）

2、再而先找一對(duì)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，且看夾角的兩邊是否對(duì)應(yīng)成比例；3）若無(wú)對(duì)應(yīng)角相等,則只考慮三組對(duì)應(yīng)邊是否成比例:、J找另二箱 形相似兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角找?jiàn)A邊對(duì)應(yīng)裁比例兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似等L Ar n r4+tJr,兩三角形相似兩邊對(duì)應(yīng)成比例且找第三邊也對(duì)應(yīng)成比例 角形相似三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三找一個(gè)直角 斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似八二 無(wú)n找另一角角形相似找兩邊對(duì)應(yīng)戢比例兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三判定定理1或判定定理4找頂角對(duì)應(yīng)相等找底角對(duì)應(yīng)相等判定定理1判定定理1找底和腰對(duì)應(yīng)成比例一判定定理3e）相似形的傳遞性 若“2, A2A3,則 1 s23五、確定證明的切入點(diǎn)。幾

3、何證明題的證明方法主要 有三個(gè)方面。第一，從“已知”入手，通過(guò)推理論證， 得出“求證”；第二，從“求證”入手，通過(guò)分析， 不斷尋求“證據(jù)”的支撐，一直追溯回到“已知”； 第三，從“已知”及“求證”兩方面入手，通過(guò)分析 找到中間“橋梁”，使之成為清晰的思維過(guò)程。六、證明題常用方法歸納：（一）、總體思路：“等積”變“比例”，“比例”找“相 似”（二）、證比例式和等積式的方法：對(duì)線段比例式或等積式的證明：常用 三點(diǎn)定形法”、 等線段替換法、中間比過(guò)渡法、面積法等.若比例式 或等積式所涉及的線段在同一直線上時(shí)，應(yīng)將線段比 轉(zhuǎn)移”必要時(shí)需添輔助線），使其分別構(gòu)成兩個(gè)相似 三角形來(lái)證明.可用口訣：遇等積，

4、改等比，橫看豎看找關(guān)系；三點(diǎn)定形用相似，三點(diǎn)共線取平截；平行線，轉(zhuǎn)比例，等線等比來(lái)代替； 兩端各自找聯(lián)系，可用射影和園哥.1、“三點(diǎn)定形法”：通過(guò)“橫找” “豎看”尋找 三角形，由有關(guān)線段的三個(gè)不同的端點(diǎn)來(lái)確定三 角形的方法。具體做法是：先看比例式前項(xiàng)和后 項(xiàng)所代表的兩條線段的三個(gè)不同的端點(diǎn)能否分 別確定一個(gè)三角形，若能，則只要證明這兩個(gè)三 角形相似就可以了，這叫做“橫定”；若不能， 再看每個(gè)比的前后兩項(xiàng)的兩條線段的兩條線段 的三個(gè)不同的端點(diǎn)能否分別確定一個(gè)三角形， 則 只要證明這兩個(gè)三角形相似就行了， 這叫做“豎 士力 7E。例1、已知：如圖，AAB阱,CE±AB,BF:±

5、;AC.求證：AE_ AC艮正氤1/BC例2、如圖，CD是RtAABC的斜邊AB上的高，/BAC的平分線分別交BC、CD于點(diǎn)E、F,求證:AC - AE=AF - AB例3、已知：如圖， ABC中，/ACB=9& AB的垂 直平分線交AB于D,交BC延長(zhǎng)線于F。求證：cD=de dr例3、如圖在 BBC, AD BE分別是BC AC邊上的高，DF,AB于F,交AC的延長(zhǎng)線于H,交BE于G,求證：FG/ FA= FB/ FH (2) FD是FG與FH的比例中項(xiàng).說(shuō)明：證明線段成比例或等積式，通常是借證三角形 相似.找相似三角形用三點(diǎn)定形法（在比例式中，或 橫著找三點(diǎn)，或豎著找三點(diǎn)），若不

6、能找到相似三角 形，應(yīng)考慮將比例式變形，找等積式代換，或直接找 等比代換例4、如圖6, CABCD中，E是BC上的一點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F,已知BE: EC =Safbe = 18,求：（1）BF: FD說(shuō)明：線段BF、FD三點(diǎn)共線應(yīng)用平截比定理.由平行四邊形得出兩線段平行且相等，再由平截比定 理”得到對(duì)應(yīng)線段成比例、三角形相似；由比例合比 性質(zhì)轉(zhuǎn)化為所求線段的比；由面積比等于相似比的平 方，求出三角形的面積.2、過(guò)渡法（或叫代換法）有些習(xí)題無(wú)論如何也構(gòu)造不出相似三角形，這就 要考慮靈活地運(yùn)用 過(guò)渡”，其主要類型有三種：（1）等量過(guò)渡法（等線段代換法）遇到三點(diǎn)定形法無(wú)法解決欲證的問(wèn)題時(shí)， 即如果

7、線 段比例式中的四條線段都在圖形中的同一條直線 上，不能組成三角形，或四條線段雖然組成兩個(gè)三 角形，但這兩個(gè)三角形并不相似，那就需要根據(jù)已 知條件找到與比例式中某條線段相等的一條線段 來(lái)代替這條線段，如果沒(méi)有，可考慮添加簡(jiǎn)單的輔 助線。然后再應(yīng)用三點(diǎn)定形法確定相似三角形。當(dāng) 然，還要注意最后將代換的線段再代換回來(lái)。例5:如圖3, /SBC中，AD平分/ BAC , AD 的垂直平分線FE交BC的延長(zhǎng)線于E.求證：DE2 = BECE.E D C 圉3 E練習(xí)：如圖8在矩形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，BE ±AC 交 AC 于 F ,過(guò) F 作 FD；于G.求證：AG 2=AF 嚀CA

8、B說(shuō)明：證明線段的等積式，可先轉(zhuǎn)化為比例式， 再用等線段替換法，然后利用 三點(diǎn)定形法”確定要證 明的兩個(gè)三角形相似.、例6.如圖，已知 ABC中，AB=AC , AD是BC 邊上的中線，CF / BA, BF交AD于P點(diǎn)，交AC 于E點(diǎn)。求證：BP2=PE - PF。PF三條線段共線，找不到兩 個(gè)三角形，所以必須考慮等線段代換等其他方法，因 為AB=AC , D是BC中點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)知AD是BC的垂直平分線，如果我們連結(jié) PC,由線 段垂直平分線的性質(zhì)知 PB=PC,只需證明 PECs PCF,問(wèn)題就能解決了。(2)等比過(guò)渡法(等比代換法)當(dāng)用三點(diǎn)定形法不能確定三角形，同時(shí)也無(wú)等線 段

9、代換時(shí)，可以考慮用等比代換法，即考慮利用第三組線段的比為比例式搭橋， 并進(jìn)行代換，然 后再用三點(diǎn)定形法來(lái)確定三角形。例7:如圖4,在9BC 中，/ BAC=90 , AD求證:AB DFAC AFLBC, E是AC的中點(diǎn)，ED交AB的 延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.練習(xí)：如圖，在叢BC中，AD是BC邊上的中 線，M是AD的中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線交AB于N.求:AN: AB的值;說(shuō)明：求比例式的值，可直接利用己知的比例關(guān) 系或是借助己知條件中的平行線，找等比過(guò)渡.當(dāng)已 知條件中的比例關(guān)系不夠用時(shí)，還應(yīng)添作平行線，再 找中間比過(guò)渡.例8.如圖，已知：在 ABC中，/BAC=900,ADBC, E是AC的中點(diǎn)，ED交A

10、B的延長(zhǎng)線于F。贄、 求證:（3）、等積過(guò)渡法（等積代換法）思考問(wèn)題的基本途徑是：用三點(diǎn)定形法確定兩個(gè)三角形，然后通過(guò)三角形相似推出線段成比例； 若 三點(diǎn)定形法不能確定兩個(gè)相似三角形，則考慮用等 量（線段）代換，或用等比代換，然后再用三點(diǎn)定 形法確定相似三角形，若以上三種方法行不通時(shí)， 則考慮用等積代換法。例9:如圖5,在小BC中，/ ACB=90 , CD 是斜邊AB上的高，G是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)B作BEX AG ,垂足為E,交CD于點(diǎn)F.求證：CD2=DF DG.小結(jié)：證明等積式思路口訣：“遇等積，化比例：橫 找豎找定相似；不相似，不用急：等線 等比來(lái)代替。”（三）比例問(wèn)題：常用處理方法

11、是將“一份”看著k;對(duì)于等比問(wèn)題，常用處理辦法是設(shè)“公比”為 k。（四）.對(duì)于復(fù)雜的幾何圖形，通常采用將部分需要 的圖形（或基本圖形）“分離”出來(lái)的辦法處理。 七、中考鏈接：例10. （2015.資陽(yáng)）如圖10,直線y=ax+1與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，與雙曲線y=k （x x>0）相交于點(diǎn)P, PC，x軸于點(diǎn)C,且PC=2,點(diǎn)A 的坐標(biāo)為（2,0）.（1）求雙曲線的解析式；(2)若點(diǎn)Q為雙曲線上點(diǎn)P右側(cè)的一點(diǎn)，且 QH，x軸于H,當(dāng)以點(diǎn)Q、C、H為頂點(diǎn)的三角形與 AOB相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).同步練習(xí)：1 .如圖，E是平行四邊形的邊DA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，EC 交AB于點(diǎn)G,交BD于點(diǎn)F,求證：FC2=FG EF.2 .如圖，E是正方形ABCM BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE交CD于F,過(guò)F作FM/ BE交DE于M.求證：FM=CF.（注：等線替代和等比替代的思想不局限于證明等 積式，也可應(yīng)用于線段相等的證明。此題用等比替代 可以解決。）【家庭作業(yè)】1.如圖，點(diǎn)D、E分別在邊 AB、AC上，且/ ADE=ZC求證：(1) AADEiAACB;(2)AD - AB=AE AC.2、如圖， ABC中，點(diǎn)DE在邊BC上，且ADEM等 邊三角形，/ BAC=120