絕對(duì)不等式的證明

1、教材：中學(xué)代數(shù)研究絕對(duì)不等式的定義：絕對(duì)不等式的定義： 當(dāng)不定元取一切有意義的數(shù)值時(shí)，不等式恒成立，我們稱之為恒不等式，也稱為絕對(duì)不等式。常識(shí)性理解的論證常識(shí)性理解的論證綜合法證明不等式綜合法證明不等式分析法證明不等式分析法證明不等式放縮法證明不等式放縮法證明不等式構(gòu)造函數(shù)證明不等式構(gòu)造函數(shù)證明不等式構(gòu)造幾何圖形證明不等式構(gòu)造幾何圖形證明不等式反證法證明不等式反證法證明不等式羅增儒教授用糖水濃度的思考方法，借助生活經(jīng)驗(yàn)推的得一系列的不等式。例1、分析：若以a表示糖水，b表示糖，那么b/a表示糖水的濃度。現(xiàn)在加糖m，糖水變甜，濃度增大，因此，不等式成立。利用生活中的經(jīng)驗(yàn)可以讓同學(xué)們更好的理解不等

2、式的意義。 ./, amambababmb則都是正數(shù)，若常識(shí)性理解的論證 方法1例2、證明分析 用向量的觀點(diǎn)考察不等式會(huì)比較直觀，例如以上的二維柯西不等式中，可令向量則上述柯西不等式可以用向量表示為22222)bdac()dc)(ba (+),(),(dcba.,2222bdacdcba證明絕對(duì)不等式的綜合法，是從題目的已知條件或已知成立的不等式出發(fā)，利用不等式 的基本性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)變形，進(jìn)而得出所要求證的不等式。利用綜合法的關(guān)鍵是熟知一些常用的不等式，通過(guò)變形，將未知的不等式歸結(jié)為常用的不等式。以下不等式是常用的。如：ab2ba22ab2ba方法2用綜合法證明不等式用綜合法證明不等式分析法是證

3、明不等式的一種重要方法，用分析法論證，“若A則B”這個(gè)題的模式是：欲證B的真，只需要證明命題B1的真，從而又，只要證明A為真?，F(xiàn)在已知A真，故B真?？梢?jiàn)分析法事執(zhí)果索因，步步尋求上一步成立的充分條件，寫出簡(jiǎn)要的形式為： B=B1=B2=Bn=A例3、證明 ()()bmbaam+用分析法證明不等式用分析法證明不等式 方法3分析分析只需證 兩端約去ab,故只需再證 因?yàn)橐阎恍璧沁@是已知條件，故原不等式成立注：分析法不是等價(jià)證明，不應(yīng)寫成mbamabambm ;0m abABBBBn21利用放縮法證明不等式的關(guān)鍵是尋找中間變量C，使AC邏輯推理=導(dǎo)出矛盾=肯定結(jié)論。下面舉例加以說(shuō)明用反證法證明不等式用反證法證明不等式 方法7例7、已知f(x)=x+px+q求證：f（1），f（2），f（3）中至少有一個(gè)不小于0.5.分析 此題分析此題從正面解決比較困難，可以用反證法，假設(shè)結(jié)論不成立，即f（1），f（2），f（3）都小于0.5。則有:由于 得 -5.52p+q-4.5.此式于式矛盾，這說(shuō)明假設(shè)不成立，故原命題成立。反證法在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題有著廣泛的應(yīng)用，尤其在處理存在性命題、否定性命題、唯一性命題，反證法更有特殊的優(yōu)越性。0.5 f(3)0.5f(2)0.5 f(1)0.5q+3p+90.