1-3及4高斯法和牛頓法

1、 天津大學電氣與自動化工程學院天津大學電氣與自動化工程學院2008年 1.3 1.3 高斯一塞德爾法潮流高斯一塞德爾法潮流 以導納矩陣為基礎(chǔ)，并應用高斯以導納矩陣為基礎(chǔ)，并應用高斯-塞德爾迭代的算法是塞德爾迭代的算法是在電力系統(tǒng)中最早得到應用的潮流計算方法。在電力系統(tǒng)中最早得到應用的潮流計算方法。 優(yōu)點：原理簡單，程序設計十分容易。導納矩陣是一個優(yōu)點：原理簡單，程序設計十分容易。導納矩陣是一個對稱且高度稀疏的矩陣，因此占用內(nèi)存非常節(jié)省。就每次迭對稱且高度稀疏的矩陣，因此占用內(nèi)存非常節(jié)省。就每次迭代所需的計算量而言，是各種潮流算法中最小的，并且和網(wǎng)代所需的計算量而言，是各種潮流算法中最小的，并且

2、和網(wǎng)絡所包含的節(jié)點數(shù)成正比關(guān)系。絡所包含的節(jié)點數(shù)成正比關(guān)系。缺點：缺點：本算法的主要缺點是收斂速度很慢。本算法的主要缺點是收斂速度很慢。病態(tài)條件系統(tǒng)，計算往往會發(fā)生收斂困難病態(tài)條件系統(tǒng)，計算往往會發(fā)生收斂困難節(jié)點間相位角差很大的重負荷系統(tǒng)；節(jié)點間相位角差很大的重負荷系統(tǒng)；包含有負電抗支路包含有負電抗支路( (如某些三繞組變壓器或線路串聯(lián)電如某些三繞組變壓器或線路串聯(lián)電容等容等) )的系統(tǒng)；的系統(tǒng)；具有較長的輻射形線路的系統(tǒng)；具有較長的輻射形線路的系統(tǒng)；長線路與短線路接在同一節(jié)點上，而且長短線路的長長線路與短線路接在同一節(jié)點上，而且長短線路的長度比值又很大的系統(tǒng)。度比值又很大的系統(tǒng)。 此外，平衡

3、節(jié)點所在位置的不同選擇，也會影響到收斂性此外，平衡節(jié)點所在位置的不同選擇，也會影響到收斂性能。能。 目前高斯一塞德爾法已很少使用目前高斯一塞德爾法已很少使用1.4 1.4 牛頓一拉夫遜法牛頓一拉夫遜法1.4.11.4.1牛頓一拉夫遜法的一般概念牛頓一拉夫遜法的一般概念 牛頓一拉夫遜法牛頓一拉夫遜法( (簡稱牛頓法簡稱牛頓法) )在數(shù)學上是求解非線性代在數(shù)學上是求解非線性代數(shù)方程式的有效方法。其要點是把非線性方程式的求解過程數(shù)方程式的有效方法。其要點是把非線性方程式的求解過程變成反復地對相應的線性方程式進行求解的過程，即通常所變成反復地對相應的線性方程式進行求解的過程，即通常所稱的逐次線性化過程

4、。稱的逐次線性化過程。 對于非線性代數(shù)方程組對于非線性代數(shù)方程組即即 在待求量在待求量x x的某一個初始估計值的某一個初始估計值x(0)x(0)附近，將上式展開成附近，將上式展開成泰勒級數(shù)并略去二階及以上的高階項，得到如下的經(jīng)線性化泰勒級數(shù)并略去二階及以上的高階項，得到如下的經(jīng)線性化的方程組的方程組0)(xf),.2 , 1(0),.,(21nixxxfni0)()()0()0()0(xxfxf上式稱之為牛頓法的修正方程式。由此可以求得第一次迭代上式稱之為牛頓法的修正方程式。由此可以求得第一次迭代的修正量的修正量將將 相加，得到變量的第一次改進值相加，得到變量的第一次改進值x(1)x(1)。接

5、著就。接著就從從x(1)x(1)出發(fā)，重復上述計算過程。因此從一定的初值出發(fā)，重復上述計算過程。因此從一定的初值x(0)x(0)出出發(fā)，應用牛頓法求解的迭代格式為發(fā)，應用牛頓法求解的迭代格式為: :)()()0(1)0()0(xfxfx)0()0(xx和)()(1)()()()()( kkkkkkxxxxfxxf ）（ 上兩式中：上兩式中：f(x)f(x)是函數(shù)是函數(shù)f(x)f(x)對于變量對于變量x x的一階偏導數(shù)矩的一階偏導數(shù)矩陣，即雅可比矩陣陣，即雅可比矩陣J J；k k為迭代次數(shù)。為迭代次數(shù)。 由上兩式可見，牛頓法的核心便是反復形成并求解修正由上兩式可見，牛頓法的核心便是反復形成并求解

6、修正方程式。方程式。 牛頓法當初始估計值牛頓法當初始估計值x(0)x(0)和方程的精確解足夠接近時，和方程的精確解足夠接近時，收斂速度非常快，具有平方收斂特性。收斂速度非常快，具有平方收斂特性。1.4.21.4.2牛頓潮流算法的修正方程式牛頓潮流算法的修正方程式 在將牛頓法用于求解電力系統(tǒng)潮流計算問題時，由于所在將牛頓法用于求解電力系統(tǒng)潮流計算問題時，由于所采用采用f(x)f(x)的數(shù)學表達式以及復數(shù)電壓變量采用的坐標形式的的數(shù)學表達式以及復數(shù)電壓變量采用的坐標形式的不同，可以形成牛頓潮流算法的不同形式。不同，可以形成牛頓潮流算法的不同形式。 以下討論用得最為廣泛的以下討論用得最為廣泛的f(x

7、)f(x)采用功率方程式模型，而采用功率方程式模型，而電壓變量則分別采用極坐標和直角坐標的兩種形式。電壓變量則分別采用極坐標和直角坐標的兩種形式。( (一一) )極坐標形式極坐標形式 令令 則采用極坐標形式的潮流方程是：則采用極坐標形式的潮流方程是： 對每個對每個PQPQ節(jié)點及節(jié)點及PVPV節(jié)點節(jié)點 對每個對每個PQPQ節(jié)點節(jié)點iiiUU0 sincosiPBGUUPijijijijijjisi0cossiniijijijijijjisiQBGUUQ將上述方程式在某個近似解附近用泰勒級數(shù)展開，并略去二將上述方程式在某個近似解附近用泰勒級數(shù)展開，并略去二階及以上的高階項后，得到以矩陣形式表示的修

8、正方程式為階及以上的高階項后，得到以矩陣形式表示的修正方程式為: :式中：式中：n n為節(jié)點總數(shù)；為節(jié)點總數(shù)；m m為為PVPV節(jié)點數(shù)，雅可比矩陣是節(jié)點數(shù)，雅可比矩陣是(2n-m-2)(2n-m-2)階非奇異方陣。階非奇異方陣。( (二二) )直角坐標形式直角坐標形式 令令 在這里，潮流方程的組成與上不同，在這里，潮流方程的組成與上不同，對每個節(jié)點，都有二個方程式，所以在不計入平衡節(jié)點方程對每個節(jié)點，都有二個方程式，所以在不計入平衡節(jié)點方程式的情況下，總共有式的情況下，總共有2(n-1)2(n-1)個方程式。個方程式。 iiijfeU對每個對每個PQPQ節(jié)點，根據(jù)式節(jié)點，根據(jù)式(1(111)1

9、1)和式和式(1(112)12)有：有： 0)( ijijjijiijjijjijisiPeBfGffBeGeP0 )( ijijjijiijjijjijisiQeBfGefBeGfQ對每個對每個PVPV節(jié)點，除了有與式節(jié)點，除了有與式(1-39)(1-39)相同的有功功率方程式之相同的有功功率方程式之外，還有外，還有采用直角坐標形式的修正方程式為采用直角坐標形式的修正方程式為0)()(2222iiisiUfeU 仔細分析以上兩種類型的修正方程式，可以看出兩者具仔細分析以上兩種類型的修正方程式，可以看出兩者具有以下的共同特點。有以下的共同特點。(1)(1)修正方程式的數(shù)目分別為修正方程式的數(shù)目

10、分別為2(n-1)-m2(n-1)-m及及2(n-1)2(n-1)個，在個，在PVPV節(jié)點所占比例不大時，兩者的方程式數(shù)目基本接近節(jié)點所占比例不大時，兩者的方程式數(shù)目基本接近2(n-1)2(n-1)個。個。(2)(2)雅可比矩陣的元素都是節(jié)點電壓的函數(shù)，每次迭代，雅可比矩陣的元素都是節(jié)點電壓的函數(shù)，每次迭代，雅可比矩陣都需要重新形成。雅可比矩陣都需要重新形成。 (3) (3)分析雅可比矩陣的非對角元素的表示式可見，某個非分析雅可比矩陣的非對角元素的表示式可見，某個非對角元素是否為零決定于相應的節(jié)點導納矩陣元素對角元素是否為零決定于相應的節(jié)點導納矩陣元素YijYij是否是否為零。因此如將修正方程

11、式按節(jié)點號的次序排列，并將雅可為零。因此如將修正方程式按節(jié)點號的次序排列，并將雅可比矩陣分塊，把每個比矩陣分塊，把每個2X22X2階子陣；作為分塊矩陣的元素，則階子陣；作為分塊矩陣的元素，則按節(jié)點號順序而構(gòu)成的分塊雅可比矩陣將和節(jié)點導納矩陣具按節(jié)點號順序而構(gòu)成的分塊雅可比矩陣將和節(jié)點導納矩陣具有同樣的稀疏結(jié)構(gòu)，是一個高度稀疏的矩陣。有同樣的稀疏結(jié)構(gòu)，是一個高度稀疏的矩陣。 (4)(4)和節(jié)點導納矩陣具有相同稀疏結(jié)構(gòu)的分塊雅可比矩陣和節(jié)點導納矩陣具有相同稀疏結(jié)構(gòu)的分塊雅可比矩陣在位置上對稱，但雅可比矩陣不是對稱陣。在位置上對稱，但雅可比矩陣不是對稱陣。 復習并分析這些特點非常重要，因為正是修正方

12、程式的復習并分析這些特點非常重要，因為正是修正方程式的這些特點決定了牛頓法潮流程序的主要輪廓及程序特色。這些特點決定了牛頓法潮流程序的主要輪廓及程序特色。1.4.31.4.3修正方程式的處理和求解修正方程式的處理和求解 在本節(jié)的開頭就已提到，牛頓算法的核心就是反復形成在本節(jié)的開頭就已提到，牛頓算法的核心就是反復形成并求解修正方程式。并求解修正方程式。 因此如何有效地處理修正方程式就成為提高牛頓法潮流因此如何有效地處理修正方程式就成為提高牛頓法潮流程序計算速度并降低內(nèi)存需量的關(guān)鍵所在。程序計算速度并降低內(nèi)存需量的關(guān)鍵所在。? 從算法的發(fā)展過程來看，在從算法的發(fā)展過程來看，在5050年代末就已經(jīng)提

13、出了牛頓法年代末就已經(jīng)提出了牛頓法潮流的雛形。潮流的雛形。先是用迭代法求解修正方程式，但遇到迭代法本身不收斂先是用迭代法求解修正方程式，但遇到迭代法本身不收斂的問題。的問題。用高斯消去法等直接法求解，但如前所分析，修正方程式用高斯消去法等直接法求解，但如前所分析，修正方程式的數(shù)目在的數(shù)目在2(n-1)2(n-1)左右，如果不利用雅可比矩陣的稀疏特性，左右，如果不利用雅可比矩陣的稀疏特性，當網(wǎng)絡節(jié)點數(shù)增加為當網(wǎng)絡節(jié)點數(shù)增加為N N倍，存儲雅可比矩陣的內(nèi)存量將正比倍，存儲雅可比矩陣的內(nèi)存量將正比于于N2N2倍倍, ,利用直接法求解修正方程的計算量將正比于利用直接法求解修正方程的計算量將正比于N3N

14、3倍地倍地增長。增長。 這就限制了牛頓法潮流程序的解題規(guī)模，從而使得這種方這就限制了牛頓法潮流程序的解題規(guī)模，從而使得這種方法的推廣應用一度止步不前。法的推廣應用一度止步不前。 其后正是人們注意到了雅可比矩陣高度稀疏的特點，求其后正是人們注意到了雅可比矩陣高度稀疏的特點，求解修正方程式時采用了稀疏程序設計技巧，并且發(fā)展了一套解修正方程式時采用了稀疏程序設計技巧，并且發(fā)展了一套在消元過程中旨在盡量保持其稀疏性、以減少內(nèi)存需量并提在消元過程中旨在盡量保持其稀疏性、以減少內(nèi)存需量并提高計算速度的有效方法高計算速度的有效方法( (即著名的最優(yōu)順序消去法即著名的最優(yōu)順序消去法) )，才使牛，才使牛頓法真

15、正得到了突破，因而在頓法真正得到了突破，因而在6060年代中期以后被普遍采用。年代中期以后被普遍采用。 結(jié)合修正方程式的求解，目前在實用的牛頓法潮流程序結(jié)合修正方程式的求解，目前在實用的牛頓法潮流程序中所包含的程序特點主要有以下三個方面，這些程序特點對中所包含的程序特點主要有以下三個方面，這些程序特點對牛頓法潮流程序性能的提高起著決定性的作用。牛頓法潮流程序性能的提高起著決定性的作用。 (1)(1)對于稀疏矩陣，在計算機中以對于稀疏矩陣，在計算機中以“壓縮壓縮”方式只儲存方式只儲存其非零元素，且只有非零元素才參加運算。其非零元素，且只有非零元素才參加運算。 (2) (2)修正方程式的求解過程，

16、采用對包括了修正方程常修正方程式的求解過程，采用對包括了修正方程常數(shù)項的增廣矩陣以按行消去而不是傳統(tǒng)的按列消去的方式進數(shù)項的增廣矩陣以按行消去而不是傳統(tǒng)的按列消去的方式進行消元運算。由于消元運算系按行進行，因此可以不需先形行消元運算。由于消元運算系按行進行，因此可以不需先形成整個增廣矩陣，然后進行消元運算，而是采取邊形成、邊成整個增廣矩陣，然后進行消元運算，而是采取邊形成、邊消元、邊存儲的方式，即每形成增廣矩陣的一行便馬上進行消元、邊存儲的方式，即每形成增廣矩陣的一行便馬上進行消元，并且消元結(jié)束后便隨即將結(jié)果送內(nèi)存存儲。消元，并且消元結(jié)束后便隨即將結(jié)果送內(nèi)存存儲。 圖圖1-11-1是增廣矩陣按

17、行消元的示意圖，圖中表示了五階是增廣矩陣按行消元的示意圖，圖中表示了五階增廣矩陣的前四行，其中增廣矩陣的前四行，其中1-31-3行已完成了消元運算且已經(jīng)存行已完成了消元運算且已經(jīng)存放在內(nèi)存中，接著要進行的是第四行的消元運算，即消去對放在內(nèi)存中，接著要進行的是第四行的消元運算，即消去對角元以左的三個元素。在具體的程序中，待消行是放在一個角元以左的三個元素。在具體的程序中，待消行是放在一個專用的工作數(shù)組中進行消元運算的。專用的工作數(shù)組中進行消元運算的。 這種按行消元做法的好處這種按行消元做法的好處: :是對于消元過程中新注入的非零元素，當采用是對于消元過程中新注入的非零元素，當采用“壓縮壓縮”存儲

18、方式時，可以方便地按序送入內(nèi)存，不需要預留它們存儲方式時，可以方便地按序送入內(nèi)存，不需要預留它們的存放位置。的存放位置。特別值得注意的是由于不必一次形成整個雅可比矩陣，特別值得注意的是由于不必一次形成整個雅可比矩陣，且常數(shù)項的消元運算已和矩陣的消元過程同時進行，因此且常數(shù)項的消元運算已和矩陣的消元過程同時進行，因此這種牛頓潮流算法求解修正方程式時，所需的矩陣存儲量這種牛頓潮流算法求解修正方程式時，所需的矩陣存儲量只是消元運算結(jié)束時所得到的用以進行回代的上三角矩陣只是消元運算結(jié)束時所得到的用以進行回代的上三角矩陣而已。而已。 (3) (3)消元的最優(yōu)順序或節(jié)點編號優(yōu)化消元的最優(yōu)順序或節(jié)點編號優(yōu)化

19、 經(jīng)過消元運算得到的上三角矩陣一般仍屬稀疏陣，但由經(jīng)過消元運算得到的上三角矩陣一般仍屬稀疏陣，但由于消元過程中在原來是零元素的位置上有新元素注入，使得于消元過程中在原來是零元素的位置上有新元素注入，使得它的稀疏度比原來雅可比矩陣的上三角有所降低。但分析表它的稀疏度比原來雅可比矩陣的上三角有所降低。但分析表明，注入元素的多少和消元的順序或節(jié)點編號有關(guān)。節(jié)點編明，注入元素的多少和消元的順序或節(jié)點編號有關(guān)。節(jié)點編號優(yōu)化的作用即在于找到一種網(wǎng)絡節(jié)點的重新編號方案，使號優(yōu)化的作用即在于找到一種網(wǎng)絡節(jié)點的重新編號方案，使得按此構(gòu)成的節(jié)點導納矩陣以及和它相應的雅可比矩陣在高得按此構(gòu)成的節(jié)點導納矩陣以及和它相

20、應的雅可比矩陣在高斯消元或三角分解過程中出現(xiàn)的注入元素數(shù)目能大大減少。斯消元或三角分解過程中出現(xiàn)的注入元素數(shù)目能大大減少。節(jié)點編號優(yōu)化通常有三種方法：節(jié)點編號優(yōu)化通常有三種方法：靜態(tài)法靜態(tài)法按各節(jié)點靜態(tài)連接支路數(shù)的多少順序編號；按各節(jié)點靜態(tài)連接支路數(shù)的多少順序編號；半動態(tài)法半動態(tài)法按各節(jié)點動態(tài)連接支路數(shù)的多少順序編號；按各節(jié)點動態(tài)連接支路數(shù)的多少順序編號；動態(tài)法動態(tài)法按各節(jié)點動態(tài)增加支路數(shù)的多少順序編號。按各節(jié)點動態(tài)增加支路數(shù)的多少順序編號。 三種節(jié)點編號優(yōu)化方法：動態(tài)法效果最好，但優(yōu)化本身三種節(jié)點編號優(yōu)化方法：動態(tài)法效果最好，但優(yōu)化本身所需計算量也最多，而靜態(tài)法則反之。對于牛頓法潮流計算所需

21、計算量也最多，而靜態(tài)法則反之。對于牛頓法潮流計算來說，一般認為，采用半動態(tài)法似乎是較好的選擇。來說，一般認為，采用半動態(tài)法似乎是較好的選擇。1.4.41.4.4牛頓潮流算法的性能和特點牛頓潮流算法的性能和特點 牛頓潮流算法突出的優(yōu)點是收斂速度快，若選擇到一個牛頓潮流算法突出的優(yōu)點是收斂速度快，若選擇到一個較好的初值，算法將具有平方收斂特性，一般迭代較好的初值，算法將具有平方收斂特性，一般迭代4 45 5次便次便可以收斂到一個非常精確的解。而且其迭代次數(shù)與所計算網(wǎng)可以收斂到一個非常精確的解。而且其迭代次數(shù)與所計算網(wǎng)絡的規(guī)模基本無關(guān)。絡的規(guī)?；緹o關(guān)。 牛頓法也具有良好的收斂可靠性，對于上節(jié)中提到的對牛頓法也具有良好的收斂可靠性，對于上節(jié)中提到的對以節(jié)點導納矩陣為基礎(chǔ)的高斯一塞德爾法呈病態(tài)的系統(tǒng)，牛以節(jié)點導納矩陣為基礎(chǔ)的高斯一塞德爾法呈病態(tài)的系統(tǒng)，牛頓法均能可靠地收斂。頓法均能可靠地收斂。 牛頓法所需的內(nèi)