MIDAS GTS理論分析_2

1、第二篇 MIDAS/GTS的巖土分析第二篇 MIDAS/GTS的巖土分析巖土的有限元分析模型包含節(jié)點(diǎn)、單元、邊界條件。節(jié)點(diǎn)決定模型的位置，單元決定形狀和材料特性，邊界條件決定連接狀態(tài)。巖土分析就是為了分析巖土及與巖土連接的結(jié)構(gòu)在荷載作用下的反應(yīng)。巖土分析因?yàn)閹r土材料特性、地下水以及地形等因素的不確定性，所以其分析結(jié)果受輸入的條件的影響較大。因?yàn)閹r土的構(gòu)成非常復(fù)雜，所以完全真實(shí)地模擬巖土材料的剛度特性是非常困難和不現(xiàn)實(shí)也是不經(jīng)濟(jì)的。在明確分析目的的情況下，適當(dāng)簡(jiǎn)化分析模型是必要的。例如，模擬埋深較大的隧道時(shí)，將上部覆土高度內(nèi)的巖土都用有限元網(wǎng)格來(lái)模擬是不經(jīng)濟(jì)的。此時(shí)可模擬適當(dāng)范圍內(nèi)的巖土，將上部

2、覆土按外部荷載輸入也是比較經(jīng)濟(jì)的方法。另外，使用有限元方法模擬巖土?xí)r，用戶應(yīng)對(duì)有限元的理論和分析方法具有一定程度的了解，這樣在模擬巖土?xí)r才能合理簡(jiǎn)化和模擬。另外，應(yīng)根據(jù)分析的目的選擇單元的類型以及確定模型的范圍。在設(shè)計(jì)中如果關(guān)心的是位移、應(yīng)力以及支護(hù)的內(nèi)力，則應(yīng)該將模型的范圍擴(kuò)大一些，單元也應(yīng)該細(xì)分一些。但是像安全鑒定等探討巖土結(jié)構(gòu)的安全性時(shí)，則可以將模型縮小一些，外部邊界條件也可以使用彈簧來(lái)模擬。做特征值分析時(shí)，為了避免產(chǎn)生局部振型的產(chǎn)生，應(yīng)盡量簡(jiǎn)化模型。特別是在初步設(shè)計(jì)階段(preliminary design phase)可從簡(jiǎn)單的模型開(kāi)始分析，逐漸增加復(fù)雜度直到得到比較理想的結(jié)果。建立

3、數(shù)值分析模型時(shí)主要考慮事項(xiàng)如下：決定節(jié)點(diǎn)位置時(shí)，主要考慮結(jié)構(gòu)的幾何形狀、材料、截面類型、荷載狀態(tài)等需要節(jié)點(diǎn)位置的因素的影響。需要建立節(jié)點(diǎn)的位置如下：A. 需要輸出分析結(jié)果的位置B. 需要輸入荷載的位置C. 材料變化的位置或規(guī)劃的邊界D. 應(yīng)力變化較大的位置E. 巖土或結(jié)構(gòu)形狀變化位置線單元(桁架單元、梁?jiǎn)卧?雖然不受單元大小的影響，但是面單元和實(shí)體單元受單元大小、形狀、分布的影響，所以對(duì)應(yīng)力變化較大或應(yīng)力集中位置應(yīng)細(xì)分單元。一般來(lái)說(shuō)，需要細(xì)分單元的位置如下：A. 幾何不連續(xù)位置，例如隧道地面的角部。B. 荷載變化較大的位置，特別是有較大集中荷載作用位置C. 剛度或特性值變化的位置D. 不規(guī)則

4、邊界位置E. 可能發(fā)生應(yīng)力集中位置F. 需要精密的應(yīng)力和內(nèi)力結(jié)果的位置決定單元的大小和形狀時(shí)應(yīng)考慮的事項(xiàng)如下：A. 單元的尺寸和形狀盡量一致。B. 在需要單元尺寸變化的位置，大小的變化應(yīng)盡量按對(duì)數(shù)分布(logarithmic configuration)變化。C. 相鄰單元的尺寸差異要小于1/2。D. 計(jì)算應(yīng)力用的單元盡量選用四節(jié)點(diǎn)的面單元或八節(jié)點(diǎn)的實(shí)體單元，單元的形狀比最好是1:1且不要超過(guò)1:4。為了傳遞剛度或計(jì)算位移為目的時(shí)，不要超過(guò)1:10。E. 四邊形單元角度最好是90°，盡可能在45°135°之間；三角形單元的角度最好是60°，盡可能在30&

5、#176;150°之間。G. 面單元的節(jié)點(diǎn)應(yīng)盡量在同一平面內(nèi)，不在同一平面內(nèi)的高度差盡量不要超過(guò)1/100。1871. 坐標(biāo)系和節(jié)點(diǎn)MIDAS/GTS中使用的坐標(biāo)系如下：A. 整體坐標(biāo)系 (global coordinate system)B. 單元坐標(biāo)系 (element coordinate system)C. 節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系 (node Local coordinate system)整體坐標(biāo)系采用遵循右手法則的X、Y、Z軸的直角坐標(biāo)系和R、Z軸的圓柱坐標(biāo)系)，并用大寫(xiě)字母表現(xiàn)。節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)以及與節(jié)點(diǎn)相關(guān)的大部分的輸入數(shù)據(jù)、節(jié)點(diǎn)位移、反力等一般按整體坐標(biāo)系輸入和輸出。實(shí)體單元、平面應(yīng)變

6、單元、軸對(duì)稱單元的應(yīng)力和應(yīng)變一般也是按整體坐標(biāo)系輸出。整體坐標(biāo)系用于決定模型的幾何位置，程序默認(rèn)的基準(zhǔn)點(diǎn)為整體坐標(biāo)系的圓點(diǎn)。a node (Xi, Yi, Zi)reference point (origin) of the globalcoordinate system圖2.1 整體坐標(biāo)系的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)單元坐標(biāo)系用于與單元形狀相關(guān)的數(shù)值，遵循右手法則，一般用小寫(xiě)字母“x, y, z”表現(xiàn)。單元的內(nèi)力以及與單元相關(guān)的一些輸入使用單元坐標(biāo)系。 2. 單元類型和主要考慮事項(xiàng)MIDAS/GTS中的巖土模型一般使用如下單元類型。A. 實(shí)體單元 (solid element)B. 平面應(yīng)變單元 (2D pl

7、ane strain element)C. 平面應(yīng)力單元 (2D axisymmetric element)D. 接觸單元 (interface element)有限元的輸入包括決定單元類型、材料特性、剛度數(shù)據(jù)、位置、形狀、大小等內(nèi)容。2.1. 實(shí)體單元 (Solid Element)2.1.1. 一般事項(xiàng)實(shí)體單元是利用四節(jié)點(diǎn)、六個(gè)節(jié)點(diǎn)和八節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的三維實(shí)體單元(Solid Element)，用于模擬實(shí)體結(jié)構(gòu)(Solid Structure)或厚板殼(Thick Shell)結(jié)構(gòu)。根據(jù)單元的邊線上是否有中間節(jié)點(diǎn)，區(qū)分為高階單元和一般單元。實(shí)體單元僅有三個(gè)平移自由度，沒(méi)有旋轉(zhuǎn)自由度。一般來(lái)說(shuō)六面

8、體單元(八節(jié)點(diǎn)單元)和高階單元的位移和應(yīng)力結(jié)果與實(shí)際情況比較接近。但三角錐單元(四節(jié)點(diǎn)單元)或三角棱柱單元(六節(jié)點(diǎn)單元)的位移比較準(zhǔn)確但是應(yīng)力結(jié)果精確度較其它實(shí)體單元較差，所以在需要做精密分析的位置應(yīng)盡量避免使用這兩種類型單元。實(shí)體單元因?yàn)闆](méi)有旋轉(zhuǎn)自由度的剛度，所以與其它沒(méi)有旋轉(zhuǎn)自由度的單元相連時(shí)分析中容易產(chǎn)生奇異。遇到這種情況，在MIDAS/GTS中會(huì)自動(dòng)約束相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)自由度，從而可避免奇異的發(fā)生。另外，當(dāng)實(shí)體單元與梁?jiǎn)卧虬鍐卧染哂行D(zhuǎn)自由度的單元相連時(shí)，應(yīng)通過(guò)加一些約束條件(主從節(jié)點(diǎn)功能)或加剛臂的方法約束連接節(jié)點(diǎn)位置的旋轉(zhuǎn)自由度。單元的形狀比(aspect ratio)與單元的類

9、型、幾何形狀、結(jié)構(gòu)形狀等有關(guān)。一般來(lái)說(shuō)單元形狀比應(yīng)盡量接近1.0，六面體單元的八個(gè)內(nèi)部角度應(yīng)盡量接近90°。如果整體結(jié)構(gòu)滿足這樣的條件較為困難時(shí)，也應(yīng)該盡量在應(yīng)力集中或需要詳細(xì)分析的位置滿足這樣的條件。單元尺寸較小時(shí)收斂性好。實(shí)體單元可以與板單元、平面應(yīng)力單元、梁?jiǎn)卧?、桁架單元、植入式桁架單元、彈性連接、彈簧及接觸單元混合使用，可做線性靜力分析、非線性靜力和線性動(dòng)力分析。2.1.2. 實(shí)體單元的有限元模型MIDAS/GTS中的單元采用等參數(shù)理論(isoparametric formulation)建立單元平衡方程。MIDAS/GTS的單元平衡方程如下： (2.1)其中，: 應(yīng)變-位移

10、關(guān)系矩陣(幾何矩陣或應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣): 本構(gòu)矩陣(應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系矩陣): 位移向量: 形函數(shù)向量: 單元面積: 單元體積: 單元體力(body force)的大小: 面壓力: 節(jié)點(diǎn)荷載該方程適用于所有單元后進(jìn)行組合。MIDAS/GTS對(duì)增量荷載計(jì)算增量位移，體力 (body force)則加在最初階段。將公式(2.1)簡(jiǎn)化如下： (2.2)其中，: 單元?jiǎng)偠染仃? 節(jié)點(diǎn)荷載: 體力(body force): 面壓力根據(jù)等參數(shù)正則化理論，應(yīng)力與應(yīng)變問(wèn)題的場(chǎng)變量(field variable)單元內(nèi)的位移和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)與形函數(shù)的關(guān)系如下： (2.3)其中，: 在位置(x, y, z)上的x, y, z方

11、向上的位移。: 節(jié)點(diǎn)數(shù)量表2.1 局部單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)單元類型節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)六面體1-1-1-121-1-1311-14-11-15-1-1161-1171118-11190-1-11010-11101-112-10-1130-11141011501116-10117-1-10181-101911020-110五面體100-1210-1301-140015101601170.50-180.50.5-1900.5-1100.501110.50.511200.51130001410015010四面體100021003010400150.50060.50.50700.508000.590.500.51000.

12、50.5使用自然坐標(biāo)(natural coordinate)表現(xiàn)的局部單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)參見(jiàn)表2.1。六面體的節(jié)點(diǎn)920是高階單元的中間節(jié)點(diǎn)。五面體和四面體的高階單元的中間節(jié)點(diǎn)分別為715和510。實(shí)體單元的形函數(shù)參見(jiàn)表2.22.7。表2.2 8節(jié)點(diǎn)六面體單元的形函數(shù)形函數(shù)形函數(shù)表2.3 20節(jié)點(diǎn)六面體單元的形函數(shù)形函數(shù)表2.4 6節(jié)點(diǎn)五面體單元的形函數(shù)形函數(shù)形函數(shù)表2.5 15節(jié)點(diǎn)六面體單元的形函數(shù)形函數(shù)表2.6 4節(jié)點(diǎn)四面體單元的形函數(shù)形函數(shù)形函數(shù)表2.7 10節(jié)點(diǎn)四面體單元的形函數(shù)形函數(shù)形函數(shù)MIDAS/GTS中的實(shí)體單元只能做小位移分析，實(shí)體單元的應(yīng)變采用工程應(yīng)變(engineering s

13、trains)公式。 (2.3)使用場(chǎng)變量-節(jié)點(diǎn)位移表現(xiàn)得應(yīng)變與位移的幾何方程如下： (2.4)應(yīng)變-位移的幾何矩陣如下： (2.5)由公式(2.5)可知，為了計(jì)算應(yīng)變需要對(duì)形函數(shù)微分，在局部坐標(biāo)系和整體坐標(biāo)系上對(duì)形函數(shù)的微分之間的關(guān)系遵循下列的鏈?zhǔn)椒▌t(chain rule)。 (2.6)其中的相關(guān)矩陣是雅可比(Jacobian)矩陣。使用雅可比矩陣表現(xiàn)對(duì)x、y、z軸的微分如下： (2.7)將公式(2.3)代入(2.6)可得雅可比矩陣。 (2.8)應(yīng)力可使用彈性理論表現(xiàn)如下： (2.9)其中，是本構(gòu)矩陣，將在以后章節(jié)中介紹。使用上面公式按高斯-勒讓德(Gauss-Legendre)數(shù)值積分方

14、法求解公式(2.1)，其中積分點(diǎn)又叫高斯積分點(diǎn)。將公式(2.1)轉(zhuǎn)換為積分點(diǎn)的數(shù)值積分形式如下： (2.10)其中，: 積分點(diǎn): 積分點(diǎn)的總數(shù)量或積分次數(shù): 雅可比矩陣的行列式值(determinant): 積分點(diǎn)的方向權(quán)重適當(dāng)?shù)姆e分次數(shù)與是否存在高階節(jié)點(diǎn)有關(guān)。有高階節(jié)點(diǎn)時(shí)形函數(shù)為非線性，所以需要高階的積分次數(shù)。表2.82.13是MIDAS/GTS中針對(duì)不同的實(shí)體單元使用的積分點(diǎn)坐標(biāo)和權(quán)重值。表2.8 8節(jié)點(diǎn)六面體單元的積分點(diǎn)積分點(diǎn)1-0.57735027-0.57735027-0.5773502711120.57735027-0.57735027-0.5773502711130.577350

15、270.57735027-0.577350271114-0.577350270.57735027-0.577350271115-0.57735027-0.577350270.5773502711160.57735027-0.577350270.5773502711170.577350270.577350270.577350271118-0.577350270.577350270.57735027111表2.9 20節(jié)點(diǎn)六面體單元的積分點(diǎn)積分點(diǎn)1-0.77459667-0.77459667-0.7745966720-0.77459667-0.7745966730.77459667-0.77459

16、667-0.774596674-0.774596670-0.77459667500-0.7745966760.774596670-0.774596677-0.774596670.77459667-0.77459667800.77459667-0.7745966790.774596670.77459667-0.7745966710-0.77459667-0.774596670110-0.774596670120.77459667-0.77459667013-0.774596670014000150.774596670016-0.774596670.7745966701700.7745966701

17、80.774596670.77459667019-0.77459667-0.774596670.77459667200-0.774596670.77459667210.77459667-0.774596670.7745966722-0.7745966700.7745966723000.77459667240.7745966700.7745966725-0.774596670.774596670.774596672600.774596670.77459667270.774596670.774596670.77459667* = 0.5555555556, = 0.8888888889表2.10

18、6節(jié)點(diǎn)五面體單元的積分點(diǎn)積分點(diǎn)10.50.5-0.577350270.16666667200.5-0.577350270.1666666730.50-0.577350270.1666666740.50.50.577350270.16666667500.50.577350270.1666666760.500.577350270.16666667表2.11 15節(jié)點(diǎn)五面體單元的積分點(diǎn)積分點(diǎn)10.50.5-0.774596670.09259259200.5-0.774596670.0925925930.50-0.774596670.0925925940.50.500500.

19、1481481560.5000.1481481570.50.50.774596670.09259259800.50.774596670.0925925990.500.774596670.09259259表2.12 4節(jié)點(diǎn)四面體單元的積分點(diǎn)積分點(diǎn)10.250.250.250.16666667表2.13 10節(jié)點(diǎn)四面體單元的積分點(diǎn)積分點(diǎn)10.585410200.138196600.138196600.2520.138196600.585410200.138196600.2530.138196600.138196600.585410200.2540.138196600.138196600.13819

20、6600.252.1.3. 單元自由度、單元坐標(biāo)系、單元類型在MIDAS/GTS中對(duì)三維實(shí)體單元沒(méi)有定義單元坐標(biāo)系，而是使用整體坐標(biāo)系，即實(shí)體單元僅具有沿著整體坐標(biāo)系X、Y、Z方向的平移自由度。單元的類型如圖2.2所示，有六面體單元、五面體單元、四面體單元三種。節(jié)點(diǎn)號(hào)順序參見(jiàn)圖2.2。單元邊線中點(diǎn)上有節(jié)點(diǎn)時(shí)是高階單元，圖2.2中僅顯示了一般單元。 plane no. 2plane no. 5plane no. 1plane no. 3plane no. 6plane no. 4(a) 六面體單元(Hexahedron)plane no. 2(triangular plane defined b

21、y nodes N4, N5 and N6)plane no. 5plane no. 3plane no. 4plane no. 1(triangular plane definedby nodes N1, N2 and N3)plane no. 4plane no. 3plane no. 2plane no. 1(b) 五面體單元(wedge) (c) 四面體單元(tetrahedron)圖2.2 三維實(shí)體單元的各單元類型和節(jié)點(diǎn)順序2.1.4. 單元相關(guān)功能建立單元: 輸入單元材料: 輸入材料特性壓力荷載: 輸入垂直于單元面上的荷載2.1.5. 單元內(nèi)力的輸出三維實(shí)體單元的單元內(nèi)力和應(yīng)力按下

22、列方式輸出，符號(hào)和方向按整體坐標(biāo)系輸出。 輸出節(jié)點(diǎn)位置的單元內(nèi)力 輸出節(jié)點(diǎn)位置和單元中心的三維應(yīng)力成分節(jié)點(diǎn)內(nèi)力是對(duì)單元應(yīng)力的積分計(jì)算而得的結(jié)果，符號(hào)參照整體坐標(biāo)系。節(jié)點(diǎn)和單元中心的應(yīng)力是利用單元內(nèi)的積分點(diǎn)(Gauss point)的應(yīng)力結(jié)果，按外推法(extraporation)計(jì)算單元節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力結(jié)果。應(yīng)力符號(hào)規(guī)定參見(jiàn)圖2.3，箭頭方向?yàn)檎?+)方向。(a) 軸向應(yīng)力和剪切應(yīng)力 (b) 主應(yīng)力圖2.3 三維實(shí)體單元的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力輸出和符號(hào)規(guī)定圖2.4 三維實(shí)體單元的單元內(nèi)力輸出圖2.5 三維實(shí)體單元的單元應(yīng)力輸出2.2. 平面應(yīng)變單元(2D Plane Strain Element)2.2.1.

23、一般事項(xiàng)像大壩或隧道等結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)度較大，且沿長(zhǎng)度方向上截面大小及內(nèi)力幾乎不發(fā)生變化的結(jié)構(gòu)上可使用平面應(yīng)變單元模擬。平面應(yīng)變單元有三角形和四邊形單元，具有平面內(nèi)的抗壓、抗拉、剪切剛度和厚度方向的抗壓和抗拉剛度。從應(yīng)力的角度考慮，四邊形單元要比三角形單元的結(jié)果要好一些，單元形狀比應(yīng)盡量接近于1.0。平面應(yīng)變單元可與梁?jiǎn)卧㈣旒軉卧?、植入式桁架單元、彈性連接、彈簧和接觸單元混用，可做線性靜力分析、非線性靜力和線性動(dòng)力分析。在MIDAS/GTS中要求可選擇X-Y、X-Z、Y-Z中的一個(gè)做單元平面。圖2.6是選擇X-Z平面時(shí)，程序自動(dòng)選擇垂直于平面方向上的單位寬度1.0作為厚度的示意。平面應(yīng)變單元沒(méi)有厚度

24、方向的應(yīng)變項(xiàng)，但根據(jù)泊松比效果有厚度方向的應(yīng)力項(xiàng)。1.0(unit thickness)plane strain elements圖2.6 二維平面應(yīng)變單元的厚度2.2.2. 平面應(yīng)變單元的有限元方程在MIDAS/GTS中使用等參數(shù)平面應(yīng)變理論(isoparametric plane strain formulation)建立平面應(yīng)變單元的平衡方程。平面應(yīng)變單元的平衡方程如下： (2.11)其中，: 單元邊界長(zhǎng)度: 單元厚度，為1。使用自然坐標(biāo)(natural coordinate)表述的單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)如表2.14所示。四邊形的58節(jié)點(diǎn)是高階單元的中間節(jié)點(diǎn)，三角形的46節(jié)點(diǎn)是高階單元的中間節(jié)點(diǎn)。

25、表2.14 局部單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)單元形式節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)四邊形1-1-121-13114-1150-16107018-10三角形10021030140.5050.50.5600.5表2.152.18為平面應(yīng)變單元的形函數(shù)。表2.15 4節(jié)點(diǎn)四邊形單元的形函數(shù)形函數(shù)形函數(shù)表2.16 8節(jié)點(diǎn)四邊形單元的形函數(shù)形函數(shù)形函數(shù)表2.17 3節(jié)點(diǎn)三角形單元的形函數(shù)形函數(shù)形函數(shù)形函數(shù)表2.18 6節(jié)點(diǎn)三角形單元的形函數(shù)形函數(shù)形函數(shù)平面應(yīng)變單元的應(yīng)變采用工程應(yīng)變(engineering strains)。 (2.12)應(yīng)變-位移的幾何方程如下： (2.13)雅可比矩陣如下： (2.14)平面應(yīng)變單元的數(shù)值積分公式如下：

26、(2.15)其中， : 積分點(diǎn)的方向上的權(quán)重值。表2.192.22中列有各種平面應(yīng)變單元中使用的積分點(diǎn)的坐標(biāo)和權(quán)重值。表2.19 4節(jié)點(diǎn)四邊形單元的積分點(diǎn)積分點(diǎn)1-0.57735027-0.577350271120.57735027-0.577350271130.577350270.57735027114-0.577350270.5773502711表2.20 8節(jié)點(diǎn)四邊形單元的積分點(diǎn)積分點(diǎn)1-0.77459667-0.7745966720-0.7745966730.77459667-0.774596674-0.77459667050060.7745966707-0.774596670.774

27、59667800.7745966790.774596670.77459667* = 0.5555555556, = 0.8888888889表2.21 3節(jié)點(diǎn)三角形單元的積分點(diǎn)積分點(diǎn)10.333333330.333333330.5表2.22 6節(jié)點(diǎn)三角形單元的積分點(diǎn)積分點(diǎn)10.50.50.16666667200.50.1666666730.500.166666672.2.3. 單元自由度和單元坐標(biāo)系在MIDAS/GTS中，平面應(yīng)變單元不使用單元坐標(biāo)系，僅使用整體坐標(biāo)系。單元的布置和節(jié)點(diǎn)順序如圖2.7所示。單元自由度僅有整體坐標(biāo)系方向上的兩個(gè)平移自由度。ESC y-axis (perpendic

28、ular toESC x-axis in the element plane)node numbering order for creating the element(N1àN2àN3àN4)ECS x-axis (N1 to N2 direction) ECS z-axis (normal to the element surface, out of the paper) center of elementGCS GCSECS y-axis (perpendicular ECS x-axis in the element planenode numbering

29、 orderfor creating the element(N1àN2àN3)ECS z-axis (normal to the element surface, out of the paper)ECS x-axis (N1 to N2 direction)center of element(a) 四邊形單元(b) 三角形單元圖2.7 平面應(yīng)變單元的布置2.2.4. 單元相關(guān)功能建立單元: 輸入單元材料: 輸入材料特性值壓力荷載: 輸入垂直于單元的邊的壓力荷載平面應(yīng)變單元的壓力荷載如圖2.8所示垂直于各邊，壓力荷載作用面積程序自動(dòng)默認(rèn)按單位寬度(1.0)計(jì)算。edge

30、number 1edge number 2edge number 4edge number 3GCS N3N2 N1 N4圖2.8 平面應(yīng)變單元的壓力荷載2.2.5. 單元內(nèi)力的輸出平面應(yīng)變單元的單元內(nèi)力和應(yīng)力輸出位置如下，符號(hào)和方向參照整體坐標(biāo)系方向。 圖2.9中說(shuō)明了坐標(biāo)軸方向或主應(yīng)力方向的符號(hào)約定。 輸出節(jié)點(diǎn)位置的單元內(nèi)力 輸出節(jié)點(diǎn)和單元中心位置的應(yīng)力。節(jié)點(diǎn)內(nèi)力是通過(guò)對(duì)單元應(yīng)力的積分計(jì)算而得的結(jié)果，符號(hào)參照整體坐標(biāo)系。節(jié)點(diǎn)和單元中心的應(yīng)力是利用單元內(nèi)的積分點(diǎn)(Gauss point)的應(yīng)力結(jié)果，按外推法(extraporation)計(jì)算單元節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力結(jié)果。應(yīng)力符號(hào)規(guī)定參見(jiàn)圖2.9，箭頭方

31、向?yàn)檎?+)方向。(a) 軸向應(yīng)力和剪切應(yīng)力 (b) 主應(yīng)力圖2.9 平面應(yīng)變單元的應(yīng)力符號(hào)約定圖2.10 平面應(yīng)變單元的單元內(nèi)力輸出圖2.11 平面應(yīng)變單元的單元應(yīng)力輸出2.3. 二維軸對(duì)稱單元2.3.1. 一般事項(xiàng)軸對(duì)稱單元用于單元的形狀、材料、荷載條件等都對(duì)稱于某個(gè)旋轉(zhuǎn)軸的結(jié)構(gòu)(例如，深井、圓形基礎(chǔ)、圓形隧道等)。軸對(duì)稱單元同平面應(yīng)變單元相同，四邊形單元比三角形單元的結(jié)果較好一些，單元形狀比應(yīng)盡可能接近于1.0。該單元不能與其他單元混合使用，可用于線性靜力分析和非線性靜力分析。軸對(duì)稱單元是將三維對(duì)稱模型考慮其軸對(duì)稱特性后簡(jiǎn)化成二維單元模型的。將坐標(biāo)平面選擇為X-Z平面時(shí)，MIDAS/GT

32、S中將整體坐標(biāo)系的Z軸做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸，把單元定義在Z軸的右側(cè)。此時(shí)半徑方向就是整體坐標(biāo)系的X軸，所有節(jié)點(diǎn)的X坐標(biāo)均應(yīng)為正值(X0)。單元的厚度如圖2.12所示，自動(dòng)設(shè)置為1.0 radian(單位寬度)。Z (axis of rotation)1.0 radian (unit width)an axisymmetric element(radial direction)圖2.12 軸對(duì)稱單元的單位寬度平面應(yīng)變單元具有軸對(duì)稱特性，所以沒(méi)有圓周方向的位移、剪切應(yīng)變()、圓周方向的剪切應(yīng)力()。2.3.2. 軸對(duì)稱單元的有限元方程MIDAS/GTS的軸對(duì)稱單元是根據(jù)等參數(shù)理論(isoparametri

33、c formulation)開(kāi)發(fā)的。軸對(duì)稱單元的單元厚度是相對(duì)于對(duì)稱軸的圓周方向的長(zhǎng)度。圓周長(zhǎng)度為半徑的 倍，但是現(xiàn)在取圖2.11所示的1 radian建立單元平衡方程。 (2.16)其中，= 半徑方向長(zhǎng)度軸對(duì)稱的單元應(yīng)變公式如下： (2.17)應(yīng)變-邊形幾何方程如下： (2.18)2.3.3. 單元自由度和單元坐標(biāo)系在MIDAS/GTS中軸對(duì)稱單元參照整體坐標(biāo)系，單元的布置和節(jié)點(diǎn)順序參見(jiàn)圖2.7。單元自由度以整體坐標(biāo)系為基準(zhǔn)在選擇的坐標(biāo)平面上具有兩個(gè)位移自由度。2.3.4. 單元相關(guān)功能建立單元輸入單元材料輸入材料特性壓力荷載垂直于單元的邊的壓力荷載2.3.5. 單元內(nèi)力輸出軸對(duì)稱單元的單元

34、內(nèi)力和應(yīng)力的輸出位置如下，其符號(hào)和方向參照整體坐標(biāo)系。圖2.13中說(shuō)明了坐標(biāo)軸方向和主應(yīng)力的符號(hào)約定。 輸出節(jié)點(diǎn)位置的內(nèi)力 輸出節(jié)點(diǎn)和單元中心的應(yīng)力節(jié)點(diǎn)上的單元內(nèi)力是將節(jié)點(diǎn)位置的位移乘以相應(yīng)單元的剛度計(jì)算而得的。節(jié)點(diǎn)和單元中心的應(yīng)力是根據(jù)積分點(diǎn)的應(yīng)力使用外推法計(jì)算而得的。單元應(yīng)力的符號(hào)約定參見(jiàn)圖2.13，箭頭方向?yàn)檎?+)方向。(a) 軸向應(yīng)力和剪切應(yīng)力b) 主應(yīng)力圖2.13 軸對(duì)稱單元的應(yīng)力符號(hào)約定圖2.14 軸對(duì)稱單元的內(nèi)力輸出圖2.15 軸對(duì)稱單元的應(yīng)力輸出2.4. 接觸單元(Interface Element)2.4.1. 一般事項(xiàng)MIDAS/GTS中提供了允許不同材料之間或剛度相差較

35、大的材料之間可以滑動(dòng)的接觸單元-Goodman單元。一般來(lái)說(shuō)使用等參數(shù)(isoparametric)單元調(diào)節(jié)剛度到適當(dāng)?shù)臄?shù)值可以實(shí)現(xiàn)類似于接觸單元的效果，但是接觸單元不必細(xì)分單元可以使用細(xì)長(zhǎng)的單元。圖2.16所示的是節(jié)點(diǎn)號(hào)為1, 2, 3, 4與整體坐標(biāo)軸x-軸傾斜角度的典型的接觸單元。圖2.16 典型的接觸單元接觸單元的剪切應(yīng)力由用戶定義的接觸單元的剪切剛度承擔(dān)，可用于判斷剪切應(yīng)力是否超過(guò)了莫爾-庫(kù)倫(Mohr-Coulomb)屈服標(biāo)準(zhǔn)中的最大剪切強(qiáng)度。超過(guò)了最大剪切強(qiáng)度，則殘留剪切系數(shù)將被用于計(jì)算單元?jiǎng)偠?。另外，?dāng)單元受拉時(shí)，水平剛度和剪切剛度將被乘以1/10000，此時(shí)接觸單元可用于模擬

36、節(jié)理。接觸單元延長(zhǎng)度或?qū)挾确较蛏系膬闪械墓?jié)點(diǎn)坐標(biāo)相同。各節(jié)點(diǎn)的自由度與其所屬的單元的自由度相同。2.4.2. 二維接觸面單元的平衡方程接觸單元的正應(yīng)力()和剪切應(yīng)力()的本構(gòu)關(guān)系如下: (2.19)本構(gòu)關(guān)系矩陣如下： (2.20)其中，: 軸向剛度: 剪切剛度單元坐標(biāo)的形函數(shù)()表達(dá)式如下： (括號(hào)內(nèi)值用于高階函數(shù)) (2.21)單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移用等參數(shù)形函數(shù)表示如下： (2.22)接觸單元的形函數(shù)如下:(4節(jié)點(diǎn)二維接觸單元)(6節(jié)點(diǎn)二維接觸單元)單元坐標(biāo)系的位移公式如下： (2.23)三角函數(shù)值sin()和cos()可以由對(duì)單元坐標(biāo)的整體坐標(biāo)的微分中計(jì)算而得。 (2.24) (2.25)對(duì)

37、單元坐標(biāo)軸的整體坐標(biāo)的微分方程如下： (2.26)所以三角函數(shù)值sin()和cos()可定義為如下公式： (2.27)其中， (2.28)應(yīng)變的增量公式重新表現(xiàn)如下: (2.29)其中，是單元所有節(jié)點(diǎn)的位移向量。 (2.30)幾何轉(zhuǎn)換矩陣中包含對(duì)整體坐標(biāo)系的形函數(shù)的微分。首先計(jì)算包含對(duì)單元坐標(biāo)軸的形函數(shù)的微分的。 (2.31)將上面轉(zhuǎn)換為整體坐標(biāo)系， (2.32)將公式(2.10)中定義的雅可比行列式的值用于積分轉(zhuǎn)換。 (2.33)單元?jiǎng)偠染仃嚨膯卧鴺?biāo)系表達(dá)式如下： (2.34)由位移計(jì)算應(yīng)變?cè)隽?，由?yīng)變?cè)隽坑?jì)算應(yīng)力增量。計(jì)算正應(yīng)力后利用莫爾-庫(kù)倫屈服準(zhǔn)則計(jì)算剪切應(yīng)力。 (2.35)其中，:

38、 粘聚力: 內(nèi)摩擦角當(dāng)超過(guò)時(shí)，剪切剛度則將被殘留剪切剛度替換。另外，重新計(jì)算正應(yīng)力，當(dāng)為拉應(yīng)力時(shí)，則軸向剛度和剪切剛度乘以1/10000，使之具有非常小的剛度。2.4.3. 三維接觸單元的平衡方程建立平衡方程的過(guò)程與二維接觸單元相同。實(shí)體單元的矩陣如下： (2.36)其中，: 軸向剛度: 剪切剛度單元上任意點(diǎn)的整體坐標(biāo)與形函數(shù)的關(guān)系如下： (2.37)任意點(diǎn)的整體坐標(biāo)系方向的位移用等參數(shù)形函數(shù)表現(xiàn)如下：(2.38)三維接觸單元的等參數(shù)(isoparametric)形函數(shù)如下：(8節(jié)點(diǎn)三維接觸單元) (2.39)(16節(jié)點(diǎn)三維接觸單元)(2.40)重新表達(dá)的應(yīng)變?cè)隽抗饺缦拢?(2.41)其中，

39、是整體坐標(biāo)位移的接觸單元坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。包含對(duì)單元坐標(biāo)軸的形函數(shù)的微分項(xiàng)的的計(jì)算公式如下：(2.42)2.4.4. 接觸單元的特性值接觸面單元的特性值如下：符號(hào)特性值單位粘聚力荷載/單位面積內(nèi)摩擦角角度垂直方向剛度系數(shù)荷載/單位面積剪切方向剛度系數(shù)荷載/單位面積殘留剪切方向剛度系數(shù)荷載/單位面積3. 本構(gòu)模型(Constitutive Model)MIDAS/GTS中提供了13種巖土模型，沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)的設(shè)計(jì)人員可能會(huì)無(wú)法確定什么樣的問(wèn)題中應(yīng)使用什么樣的模型。雖然本構(gòu)模型最終還是應(yīng)由設(shè)計(jì)人員選擇，但下面提供幾種確定本構(gòu)模型時(shí)的參考事項(xiàng)，即材料的剛度、容許位移、穩(wěn)定性。對(duì)于過(guò)度固結(jié)的地基上的上部結(jié)構(gòu)

40、重量較重的廠房，基礎(chǔ)的沉降將是設(shè)計(jì)中主要考慮的事項(xiàng)。因?yàn)樯喜拷Y(jié)構(gòu)荷載與地耐力相比相對(duì)較小，所以荷載-位移曲線主要集中在線彈性區(qū)域內(nèi)。此時(shí)可僅做線彈性分析，非線性的影響很小。相反，在施工堤壩時(shí)容許在不影響使用的情況下發(fā)生屈服和較大的變形。此時(shí)為了得到比較真實(shí)的位移結(jié)果需要做非線性分析，而單純的線彈性分析得到的位移較小。在軟弱地基上建立堤壩時(shí)，在一些位置會(huì)產(chǎn)生過(guò)孔隙水壓力。如果設(shè)計(jì)中比較關(guān)注過(guò)孔隙水壓的擴(kuò)散過(guò)程，則應(yīng)做流固耦合或不耦合的固結(jié)分析，此時(shí)需要使用劍橋模型(Cam-clay)或更復(fù)雜的有效應(yīng)力模型。要注意的是不是所有的本構(gòu)模型都適合所有的巖土。例如劍橋模型(Cam-clay)和修正劍橋模

41、型(modified Cam-clay)適合于一般超固結(jié)土上，但對(duì)于嚴(yán)重超固結(jié)土并非適用，反而線彈性模型更適合一些。也就是說(shuō)，為了選擇適合當(dāng)?shù)貛r土條件的本構(gòu)模型，需要做相當(dāng)多的考察。3.1. 概要在GTS中提供的線彈性、彈塑性本構(gòu)模型均適用于平面應(yīng)變單元、軸對(duì)稱單元、實(shí)體單元。提供的13種本構(gòu)關(guān)系如下：A. 線彈性(linear-elastic)B. 正交異性線彈性(transversely isotropic linear-elastic)C. 非線性彈性(nonlinear Elastic) 雙曲線(hyperbolic)模型D. 彈塑性(elasto-plastic) 莫爾-庫(kù)倫(Moh

42、r-Coulomb)、屈雷斯卡(Tresca)、范梅塞斯(von Mises)、德魯克-普拉格(Drucker-Prager)、霍克-布朗(Hoek-Brown)等。E. 應(yīng)變-軟化(strain-softening)F. 臨界狀態(tài)巖土模型(critical state soil model) 劍橋(Cam-clay)模型、修正劍橋(modified Cam-Clay)模型。G. 隱式節(jié)理模型(implicit joint model) 節(jié)理巖體(Jointed Rock Mass)3.2. 線彈性(Linear-Elastic)模型在GTS中最簡(jiǎn)單的巖土模型是應(yīng)力與應(yīng)變成正比的線彈性模型。應(yīng)

43、力與應(yīng)變的關(guān)系式如下： (2.43)二維分析中，平面應(yīng)變分析中。.當(dāng)接近于0.5時(shí)，項(xiàng)接近零，項(xiàng)接近。這表明應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系取決于體積應(yīng)變，另外因?yàn)榻咏诹?，所以接近于無(wú)窮大，其物理意義是當(dāng)接近于0.5時(shí)體積應(yīng)變接近于零。為了能夠計(jì)算值不能等于0.5。大于0.49的值容易引起數(shù)值計(jì)算錯(cuò)誤。在GTS中限制了大于0.5的值，但是沒(méi)有限制為了防止數(shù)值計(jì)算錯(cuò)誤的值。當(dāng)要模擬非壓縮性(incompressible)固體材料時(shí)，應(yīng)在輸入了接近0.5的值后查看是否發(fā)生數(shù)值錯(cuò)誤。3.2.1. 線彈性材料的特性值線彈性材料需要輸入的特性值如下：表2-23 線彈性特性值對(duì)話框中名稱特性值彈性模量(modulus

44、of elasticity) (E)彈性模量泊松比(Poissons ratio) (v)泊松比粘聚力(Cohesion) (C)粘聚力內(nèi)摩擦角(friction angle) ()內(nèi)摩擦角彈性模量增量(Inc. of elastic modulus)隨高度變化的彈性模量的增量參考高度(reference height)基準(zhǔn)高度輸入資料中包含粘聚力和內(nèi)摩擦角，雖然并不參與分析，但是用于在后處理中輸安全系數(shù)和屈強(qiáng)比(yield ratio)。線彈性模型中因?yàn)闆](méi)有定義屈服值，所以計(jì)算得到的應(yīng)變有可能不具有現(xiàn)實(shí)意義。遵循Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則的粘聚力和內(nèi)摩擦角，將輸出計(jì)算得到的剪切應(yīng)力與理

45、論屈服應(yīng)力的比值。在MIDAS/GTS中可以模擬彈性模量沿著深度的變化。當(dāng)輸入的彈性模量的增量為0時(shí)，彈性模量沒(méi)有變化，否則將按下面公式計(jì)算。 (2.44)線彈性模型不適合模擬非線性特性非常強(qiáng)的巖土模型，但是當(dāng)為了查看比地基剛度較大的上部結(jié)構(gòu)的反應(yīng)時(shí)，可以使用線彈性模型。3.3. 正交異性線彈性(Transversely Isotropic Linear-Elastic)圖2.17 正交異性材料特性值自然地基一般有分層且傾斜，所以地基再正交的兩個(gè)方向上可能會(huì)有不同的特性值。如圖2-17所示，地層單元的x軸與整體坐標(biāo)軸x軸的角度為，單元的正交方向x和z上的特性屬于正交異性(橫觀同性)。單元方向上的特性值如下： x, y-方向: z-方向: z和x, y的聯(lián)系: 是對(duì)應(yīng)于x應(yīng)變的z應(yīng)變的泊松比。這些參數(shù)應(yīng)滿足下列條件：對(duì)單元坐標(biāo)軸xyz的彈性本構(gòu)關(guān)系(elastic constitutive relation)如下： (2.45)對(duì)于單元坐標(biāo)軸xyz的應(yīng)力與對(duì)于整體坐標(biāo)系xyz的應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式如下：(2.46)其中，是整體坐標(biāo)系下xyz軸的方向向量。整體坐標(biāo)系下的本構(gòu)關(guān)系如下。 (2.47)3.3.1. 正交異性(橫觀同性)彈性材料的特性值正交異性線彈性材料的特性值如下：