2點(diǎn)三次Hermite插值多項(xiàng)式

1、1第四節(jié)第四節(jié) Hermite 插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式要求在節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值相等，而且要求在節(jié)點(diǎn)上若干階要求在節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值相等，而且要求在節(jié)點(diǎn)上若干階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)也相等。即也相等。即,要求插值函數(shù)要求插值函數(shù)P(x)滿足滿足在實(shí)際問(wèn)題中，對(duì)所構(gòu)造的插值多項(xiàng)式，不僅在實(shí)際問(wèn)題中，對(duì)所構(gòu)造的插值多項(xiàng)式，不僅把此類插值多項(xiàng)式稱為把此類插值多項(xiàng)式稱為埃米爾特埃米爾特（Hermite）插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式或稱帶導(dǎo)數(shù)的插值多項(xiàng)式，記為或稱帶導(dǎo)數(shù)的插值多項(xiàng)式，記為H (x)。 ()()()(),()(),()()mmiiiiiiP xf xP xfxPxfx2兩點(diǎn)三次Hermit插值x0 x0yy1y1xy0y1y3

2、3( ),( )0,1iiiiHxyHxyi已知：已知：構(gòu)造一個(gè)次數(shù)3的多項(xiàng)式H3(x) ，滿足插值條件：（* *）3兩點(diǎn)三次Hermit插值（續(xù)1）直接設(shè)直接設(shè)dcxbxaxxH233)(待定系數(shù)將使計(jì)算復(fù)雜，且不易推廣到高次?；貞洿ㄏ禂?shù)將使計(jì)算復(fù)雜，且不易推廣到高次?；貞汱agrangeLagrange插值基函數(shù)的方法，引入四個(gè)基函數(shù)插值基函數(shù)的方法，引入四個(gè)基函數(shù))(),(),(),(1010 xxxx使之滿足使之滿足0)(0)(0)(1)(10001000 xxxx10111011()0()1()0()0 xxxx0)(1)(0)(0)(10001000 xxxx10111011()

3、0()0()0()1xxxx5 54兩點(diǎn)三次Hermit插值（續(xù)2）300110011( )( )( )( )( )Hxyxyxyxyx令0101( ),( ),( ),( )xxxx其中其中都是次數(shù)為都是次數(shù)為3 3的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式則則H3 3( (x) )是一個(gè)次數(shù)是一個(gè)次數(shù) 3 3的多項(xiàng)式且滿足插值條件的多項(xiàng)式且滿足插值條件（*）52100)()(xxxxbax 210012()()bxxxx2011()axx基函數(shù)求法：基函數(shù)求法：0( )x求求0101()0()0 xx00()1x21010100)(21()(xxxxxxxxx 3 3 620101011)(21()(xxxxxxx

4、xx 同理7設(shè) 由0(x0)=1 ，得 , 于是同理有2100)()(xxxxax 210100)()(xxxxxxx 201011)()(xxxxxxx 2011()axx8定理：滿足插值條件（*）的三次Hermite插值多項(xiàng)式H3(x)存在且唯一。9三次三次Hermite插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)u定理定理 設(shè)設(shè) f(x) 在包含在包含x0, x1的區(qū)間的區(qū)間 a, b內(nèi)存內(nèi)存在四階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任意在四階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任意x a,b ，總存在一，總存在一個(gè)個(gè) (a, b)（ 依賴于依賴于x）使）使2120)4(33)()(! 4)()()()(xxxxfxHxfxR 10證明證明: 由插值

5、條件知由插值條件知 R3(x0)=R3(x0)=0, R3(x1)=R3(x1)=0構(gòu)造輔助函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)21203)()()()()(xtxtxCtHtftF利用利用 f(x) H3(x)=C(x)(x x0)2(x x1)221203)()()(xxxxxCxR 取取 x 異于異于 x0 和和 x1, 設(shè)設(shè)11反復(fù)應(yīng)用反復(fù)應(yīng)用Rolle定理定理, 得得F(4)(t)至少有一個(gè)零點(diǎn)設(shè)為至少有一個(gè)零點(diǎn)設(shè)為(a, b)顯然顯然,F(t)有三個(gè)零點(diǎn)有三個(gè)零點(diǎn)x0, x, x1,由由Rolle定理知定理知, F(t)至少有兩個(gè)零點(diǎn)至少有兩個(gè)零點(diǎn)t0, t1滿足滿足x0t0t1x1,而而x0和和x1

6、也是也是F(t)零點(diǎn)零點(diǎn), 故故F(t) 至少至少有四個(gè)相異零點(diǎn)有四個(gè)相異零點(diǎn).1221203)()()()()(xtxtxCtHtftF0) ! 4)()()()4()4( xCfF ! 4)()()4( fxC 210)4(21203)(! 4)()()()(xxxxfxxxxxCxR 13例 求一個(gè)次數(shù)為4的多項(xiàng)式P4(x)，使它滿足P4(0)= P4(0)=0， P4(1)= P4(1)=1 ，P4 (2)=1n先構(gòu)造滿足先構(gòu)造滿足P2(0)= 0， P2(1)=1 ，P2(2)=1的插值的插值多項(xiàng)式多項(xiàng)式P2 (x)，易得，易得 設(shè)設(shè) 其中其中A，B為待定系數(shù)為待定系數(shù).n利用兩個(gè)導(dǎo)

7、數(shù)條件確定系數(shù)利用兩個(gè)導(dǎo)數(shù)條件確定系數(shù)A、B. 2213( )22P xxx 42( )( )()(0)(1)(2)PxP xAxB xxx14由解得A=1/4, B=-3/4故443(0)2021(1)()12PBPAB22241311( )(3) (1)(2)(3)2244P xxxxx xxxx 15n第五節(jié) 分段低次多項(xiàng)式插值1611111()( )( )( )( )( )()!nnnnfRxf xLxxn 從插值余項(xiàng)角度分析從插值余項(xiàng)角度分析 為了提高為了提高插值精度插值精度，一般來(lái)說(shuō)應(yīng)該，一般來(lái)說(shuō)應(yīng)該增加增加插值節(jié)點(diǎn)的插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，這從插值余項(xiàng)的表達(dá)式也可以看出，但不能簡(jiǎn)個(gè)數(shù)，這

8、從插值余項(xiàng)的表達(dá)式也可以看出，但不能簡(jiǎn)單地這樣認(rèn)為，原因有三個(gè)：?jiǎn)蔚剡@樣認(rèn)為，原因有三個(gè)：一一.高次插值的龍格高次插值的龍格 (Runge)現(xiàn)象現(xiàn)象17插值余項(xiàng)與插值余項(xiàng)與節(jié)點(diǎn)的分布節(jié)點(diǎn)的分布有關(guān)；有關(guān)；余項(xiàng)公式成立的前提條件是余項(xiàng)公式成立的前提條件是 有有足夠階連續(xù)導(dǎo)足夠階連續(xù)導(dǎo)數(shù)數(shù)（即函數(shù)足夠光滑），但隨著節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加，（即函數(shù)足夠光滑），但隨著節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加，這個(gè)條件一般很難成立；這個(gè)條件一般很難成立；隨著節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加，隨著節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加， 可能會(huì)增大?？赡軙?huì)增大。( )f x1()( )nf 隨著節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)增加到隨著節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)增加到某個(gè)值某個(gè)值，誤差反而會(huì)增加。，誤差反而會(huì)增加。18增

9、加插值多項(xiàng)式的次數(shù)增加插值多項(xiàng)式的次數(shù)并不一定會(huì)有更好的插值結(jié)果，并不一定會(huì)有更好的插值結(jié)果，這是因?yàn)楦叽味囗?xiàng)式的振蕩是很厲害的這是因?yàn)楦叽味囗?xiàng)式的振蕩是很厲害的.例：例：在在 5, 5上考察上考察 的的 Ln(x)。取取211)(xxf),., 0(105niinxi -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，越大，端點(diǎn)附近抖動(dòng)端點(diǎn)附近抖動(dòng)越大，稱為越大，稱為龍格龍格（Runge） 現(xiàn)象現(xiàn)象Ln(x) f (x) n=2n=5n=1019分段分段低次低次插值插值).()(63. 3)(xfxLxxLnnn時(shí)才有只有當(dāng)公式的高

10、階插值事實(shí)上已被證明：對(duì)于20分段插值的概念n 所謂分段插值，就是將被插值函數(shù)逐段多項(xiàng)式所謂分段插值，就是將被插值函數(shù)逐段多項(xiàng)式化。一般來(lái)說(shuō)，分段插值方法的處理過(guò)程分兩步，化。一般來(lái)說(shuō)，分段插值方法的處理過(guò)程分兩步，先將所考察的區(qū)間作一分劃先將所考察的區(qū)間作一分劃 并在每個(gè)并在每個(gè) 子區(qū)間上構(gòu)造插值多項(xiàng)式，然子區(qū)間上構(gòu)造插值多項(xiàng)式，然后把它們裝配在一起，作為整個(gè)區(qū)間后把它們裝配在一起，作為整個(gè)區(qū)間 上的插上的插值函數(shù)，即稱為分段多項(xiàng)式。值函數(shù)，即稱為分段多項(xiàng)式。01naxxxb：1,iix x, a b21定義定義 設(shè)設(shè)f(x)是定義在是定義在a,b上的函數(shù)，在節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)，在節(jié)點(diǎn) a= x0

11、 x1x2xn-1xn=b,的函數(shù)值為的函數(shù)值為 y0 , y1 ,y2 ,yn-1 ,yn ,若函數(shù)若函數(shù) 滿足滿足條件條件 (1) 在每個(gè)子區(qū)間在每個(gè)子區(qū)間xi , xi+1(i=0,1,2,n-1)上是上是線性插值多項(xiàng)式線性插值多項(xiàng)式; (2) , i=0,1,2,n (3) 在區(qū)間在區(qū)間a , b上連續(xù)上連續(xù); 則稱則稱 是是f(x)在在a ,b上的上的分段線性插值函數(shù)。分段線性插值函數(shù)。1. 1.問(wèn)題的提法問(wèn)題的提法二、分段線性插值二、分段線性插值1( )L x1( )L x1()iiL xy1( )L x1( )L x222.2.分段線性插值函數(shù)的表達(dá)式分段線性插值函數(shù)的表達(dá)式 由

12、定義，由定義， 在每個(gè)子區(qū)間在每個(gè)子區(qū)間xi ,xi+1(i=0,1,2,n-1)上上是一次插值多項(xiàng)式是一次插值多項(xiàng)式;11,1111( ),0,1,1iiiiiiiiiiixxxxLxyyxxxxxxxin 1( )L x23nnnxxxxLxxxxLxxxxLxL11, 1211 , 1100, 11)()()()(分段線性插值函數(shù)分段線性插值函數(shù)24分段線性插值曲線圖分段線性插值曲線圖： 注：注：由圖象可知，由圖象可知， 在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)處的光滑性較差，為了提高光滑性，處的光滑性較差，為了提高光滑性，討論討論分段三次埃爾米特插值。分段三次埃爾米特插值。)(1xL253.3.分段線性插值函數(shù)的

13、分段線性插值函數(shù)的余項(xiàng)余項(xiàng)定理：定理：設(shè)設(shè) f(x) 在在a,b上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù) f(x) ，則對(duì)，則對(duì)2101max |( )|,max |iia x bi nMfxhxx , ,xa b 有212|( )| |( )( )|8hR xf xL xM其中，26證明：證明：在每個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間 10 11,(, ,)iixxin 12()( )()()!iiiifRxxxxx 在區(qū)間在區(qū)間 上上 , a b21012|( )|max |( )|()()iiii nMR xR xxxxx 221144()max ()()iiiixxhxxxx 由于由于2128|( )| |(

14、 )( )|hR xf xL xM于于是是27缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：分段插值函數(shù)只能保證連續(xù)性，分段插值函數(shù)只能保證連續(xù)性， 失去了原函數(shù)的光滑性。失去了原函數(shù)的光滑性。 優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡(jiǎn)單；計(jì)算簡(jiǎn)單； 適用于光滑性要求不高的插值問(wèn)題。適用于光滑性要求不高的插值問(wèn)題。 280.02.h最最大大步步長(zhǎng)長(zhǎng) 應(yīng)應(yīng)取取4( )cos1102f xx 考考慮慮構(gòu)構(gòu)造造一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)的的等等距距節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)表表，要要使使分分例例：段段線線性性插插值值的的誤誤差差不不大大于于，最最大大步步長(zhǎng)長(zhǎng)h h應(yīng)應(yīng)取取多多大大？2max( )8a x bhRfx 解解：( )cos ,|( )| 1fxxfx 2421|

15、102 1082hRh 291. 1.問(wèn)題的提法問(wèn)題的提法013331331()()0 1( )(1)( )( ) , ;,(3)(),()(0,1, )niiiiiiiiiinxxxyf xyfxinHermiteSxSxSxa bx xSxy Sxy in 設(shè)設(shè)個(gè)個(gè)插插值值節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn) ， ，。已已知知在在節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)上上的的函函數(shù)數(shù)值值和和導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)值值， ， ， 。分分段段三三次次插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式應(yīng)應(yīng)滿滿足足條條件件：和和在在上上連連續(xù)續(xù)( (2 2) )在在每每個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間上上是是三三次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式；定定義義: :。分段三次分段三次HermiteHermite插值多項(xiàng)式存在唯一插值多項(xiàng)式存在唯一三三. .分段三次分段三次HermiteHermite插值插值302.分段三次分段三次Hermite插值的表插值的表達(dá)式達(dá)式當(dāng)當(dāng) xxi，xi+1時(shí)時(shí), 兩點(diǎn)兩點(diǎn)Hermite插值插值12112111211121113)()()