2點三次Hermite插值多項式

1、1第四節(jié)第四節(jié) Hermite 插值多項式插值多項式要求在節(jié)點上函數(shù)值相等，而且要求在節(jié)點上若干階要求在節(jié)點上函數(shù)值相等，而且要求在節(jié)點上若干階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)也相等。即也相等。即,要求插值函數(shù)要求插值函數(shù)P(x)滿足滿足在實際問題中，對所構(gòu)造的插值多項式，不僅在實際問題中，對所構(gòu)造的插值多項式，不僅把此類插值多項式稱為把此類插值多項式稱為埃米爾特埃米爾特（Hermite）插值多項式插值多項式或稱帶導(dǎo)數(shù)的插值多項式，記為或稱帶導(dǎo)數(shù)的插值多項式，記為H (x)。 ()()()(),()(),()()mmiiiiiiP xf xP xfxPxfx2兩點三次Hermit插值x0 x0yy1y1xy0y1y3

2、3( ),( )0,1iiiiHxyHxyi已知：已知：構(gòu)造一個次數(shù)3的多項式H3(x) ，滿足插值條件：（* *）3兩點三次Hermit插值（續(xù)1）直接設(shè)直接設(shè)dcxbxaxxH233)(待定系數(shù)將使計算復(fù)雜，且不易推廣到高次?；貞洿ㄏ禂?shù)將使計算復(fù)雜，且不易推廣到高次?；貞汱agrangeLagrange插值基函數(shù)的方法，引入四個基函數(shù)插值基函數(shù)的方法，引入四個基函數(shù))(),(),(),(1010 xxxx使之滿足使之滿足0)(0)(0)(1)(10001000 xxxx10111011()0()1()0()0 xxxx0)(1)(0)(0)(10001000 xxxx10111011()

3、0()0()0()1xxxx5 54兩點三次Hermit插值（續(xù)2）300110011( )( )( )( )( )Hxyxyxyxyx令0101( ),( ),( ),( )xxxx其中其中都是次數(shù)為都是次數(shù)為3 3的多項式的多項式則則H3 3( (x) )是一個次數(shù)是一個次數(shù) 3 3的多項式且滿足插值條件的多項式且滿足插值條件（*）52100)()(xxxxbax 210012()()bxxxx2011()axx基函數(shù)求法：基函數(shù)求法：0( )x求求0101()0()0 xx00()1x21010100)(21()(xxxxxxxxx 3 3 620101011)(21()(xxxxxxx

4、xx 同理7設(shè) 由0(x0)=1 ，得 , 于是同理有2100)()(xxxxax 210100)()(xxxxxxx 201011)()(xxxxxxx 2011()axx8定理：滿足插值條件（*）的三次Hermite插值多項式H3(x)存在且唯一。9三次三次Hermite插值多項式的余項插值多項式的余項u定理定理 設(shè)設(shè) f(x) 在包含在包含x0, x1的區(qū)間的區(qū)間 a, b內(nèi)存內(nèi)存在四階導(dǎo)數(shù)，則對任意在四階導(dǎo)數(shù)，則對任意x a,b ，總存在一，總存在一個個 (a, b)（ 依賴于依賴于x）使）使2120)4(33)()(! 4)()()()(xxxxfxHxfxR 10證明證明: 由插值

5、條件知由插值條件知 R3(x0)=R3(x0)=0, R3(x1)=R3(x1)=0構(gòu)造輔助函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)21203)()()()()(xtxtxCtHtftF利用利用 f(x) H3(x)=C(x)(x x0)2(x x1)221203)()()(xxxxxCxR 取取 x 異于異于 x0 和和 x1, 設(shè)設(shè)11反復(fù)應(yīng)用反復(fù)應(yīng)用Rolle定理定理, 得得F(4)(t)至少有一個零點設(shè)為至少有一個零點設(shè)為(a, b)顯然顯然,F(t)有三個零點有三個零點x0, x, x1,由由Rolle定理知定理知, F(t)至少有兩個零點至少有兩個零點t0, t1滿足滿足x0t0t1x1,而而x0和和x1

6、也是也是F(t)零點零點, 故故F(t) 至少至少有四個相異零點有四個相異零點.1221203)()()()()(xtxtxCtHtftF0) ! 4)()()()4()4( xCfF ! 4)()()4( fxC 210)4(21203)(! 4)()()()(xxxxfxxxxxCxR 13例 求一個次數(shù)為4的多項式P4(x)，使它滿足P4(0)= P4(0)=0， P4(1)= P4(1)=1 ，P4 (2)=1n先構(gòu)造滿足先構(gòu)造滿足P2(0)= 0， P2(1)=1 ，P2(2)=1的插值的插值多項式多項式P2 (x)，易得，易得 設(shè)設(shè) 其中其中A，B為待定系數(shù)為待定系數(shù).n利用兩個導(dǎo)

7、數(shù)條件確定系數(shù)利用兩個導(dǎo)數(shù)條件確定系數(shù)A、B. 2213( )22P xxx 42( )( )()(0)(1)(2)PxP xAxB xxx14由解得A=1/4, B=-3/4故443(0)2021(1)()12PBPAB22241311( )(3) (1)(2)(3)2244P xxxxx xxxx 15n第五節(jié) 分段低次多項式插值1611111()( )( )( )( )( )()!nnnnfRxf xLxxn 從插值余項角度分析從插值余項角度分析 為了提高為了提高插值精度插值精度，一般來說應(yīng)該，一般來說應(yīng)該增加增加插值節(jié)點的插值節(jié)點的個數(shù)，這從插值余項的表達式也可以看出，但不能簡個數(shù)，這

8、從插值余項的表達式也可以看出，但不能簡單地這樣認為，原因有三個：單地這樣認為，原因有三個：一一.高次插值的龍格高次插值的龍格 (Runge)現(xiàn)象現(xiàn)象17插值余項與插值余項與節(jié)點的分布節(jié)點的分布有關(guān)；有關(guān)；余項公式成立的前提條件是余項公式成立的前提條件是 有有足夠階連續(xù)導(dǎo)足夠階連續(xù)導(dǎo)數(shù)數(shù)（即函數(shù)足夠光滑），但隨著節(jié)點個數(shù)的增加，（即函數(shù)足夠光滑），但隨著節(jié)點個數(shù)的增加，這個條件一般很難成立；這個條件一般很難成立；隨著節(jié)點個數(shù)的增加，隨著節(jié)點個數(shù)的增加， 可能會增大。可能會增大。( )f x1()( )nf 隨著節(jié)點個數(shù)增加到隨著節(jié)點個數(shù)增加到某個值某個值，誤差反而會增加。，誤差反而會增加。18增

9、加插值多項式的次數(shù)增加插值多項式的次數(shù)并不一定會有更好的插值結(jié)果，并不一定會有更好的插值結(jié)果，這是因為高次多項式的振蕩是很厲害的這是因為高次多項式的振蕩是很厲害的.例：例：在在 5, 5上考察上考察 的的 Ln(x)。取取211)(xxf),., 0(105niinxi -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，越大，端點附近抖動端點附近抖動越大，稱為越大，稱為龍格龍格（Runge） 現(xiàn)象現(xiàn)象Ln(x) f (x) n=2n=5n=1019分段分段低次低次插值插值).()(63. 3)(xfxLxxLnnn時才有只有當公式的高

10、階插值事實上已被證明：對于20分段插值的概念n 所謂分段插值，就是將被插值函數(shù)逐段多項式所謂分段插值，就是將被插值函數(shù)逐段多項式化。一般來說，分段插值方法的處理過程分兩步，化。一般來說，分段插值方法的處理過程分兩步，先將所考察的區(qū)間作一分劃先將所考察的區(qū)間作一分劃 并在每個并在每個 子區(qū)間上構(gòu)造插值多項式，然子區(qū)間上構(gòu)造插值多項式，然后把它們裝配在一起，作為整個區(qū)間后把它們裝配在一起，作為整個區(qū)間 上的插上的插值函數(shù)，即稱為分段多項式。值函數(shù)，即稱為分段多項式。01naxxxb：1,iix x, a b21定義定義 設(shè)設(shè)f(x)是定義在是定義在a,b上的函數(shù)，在節(jié)點上的函數(shù)，在節(jié)點 a= x0

11、 x1x2xn-1xn=b,的函數(shù)值為的函數(shù)值為 y0 , y1 ,y2 ,yn-1 ,yn ,若函數(shù)若函數(shù) 滿足滿足條件條件 (1) 在每個子區(qū)間在每個子區(qū)間xi , xi+1(i=0,1,2,n-1)上是上是線性插值多項式線性插值多項式; (2) , i=0,1,2,n (3) 在區(qū)間在區(qū)間a , b上連續(xù)上連續(xù); 則稱則稱 是是f(x)在在a ,b上的上的分段線性插值函數(shù)。分段線性插值函數(shù)。1. 1.問題的提法問題的提法二、分段線性插值二、分段線性插值1( )L x1( )L x1()iiL xy1( )L x1( )L x222.2.分段線性插值函數(shù)的表達式分段線性插值函數(shù)的表達式 由

12、定義，由定義， 在每個子區(qū)間在每個子區(qū)間xi ,xi+1(i=0,1,2,n-1)上上是一次插值多項式是一次插值多項式;11,1111( ),0,1,1iiiiiiiiiiixxxxLxyyxxxxxxxin 1( )L x23nnnxxxxLxxxxLxxxxLxL11, 1211 , 1100, 11)()()()(分段線性插值函數(shù)分段線性插值函數(shù)24分段線性插值曲線圖分段線性插值曲線圖： 注：注：由圖象可知，由圖象可知， 在節(jié)點在節(jié)點處的光滑性較差，為了提高光滑性，處的光滑性較差，為了提高光滑性，討論討論分段三次埃爾米特插值。分段三次埃爾米特插值。)(1xL253.3.分段線性插值函數(shù)的

13、分段線性插值函數(shù)的余項余項定理：定理：設(shè)設(shè) f(x) 在在a,b上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù) f(x) ，則對，則對2101max |( )|,max |iia x bi nMfxhxx , ,xa b 有212|( )| |( )( )|8hR xf xL xM其中，26證明：證明：在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間 10 11,(, ,)iixxin 12()( )()()!iiiifRxxxxx 在區(qū)間在區(qū)間 上上 , a b21012|( )|max |( )|()()iiii nMR xR xxxxx 221144()max ()()iiiixxhxxxx 由于由于2128|( )| |(

14、 )( )|hR xf xL xM于于是是27缺點：缺點：分段插值函數(shù)只能保證連續(xù)性，分段插值函數(shù)只能保證連續(xù)性， 失去了原函數(shù)的光滑性。失去了原函數(shù)的光滑性。 優(yōu)點：優(yōu)點：計算簡單；計算簡單； 適用于光滑性要求不高的插值問題。適用于光滑性要求不高的插值問題。 280.02.h最最大大步步長長 應(yīng)應(yīng)取取4( )cos1102f xx 考考慮慮構(gòu)構(gòu)造造一一個個函函數(shù)數(shù)的的等等距距節(jié)節(jié)點點函函數(shù)數(shù)表表，要要使使分分例例：段段線線性性插插值值的的誤誤差差不不大大于于，最最大大步步長長h h應(yīng)應(yīng)取取多多大大？2max( )8a x bhRfx 解解：( )cos ,|( )| 1fxxfx 2421|

15、102 1082hRh 291. 1.問題的提法問題的提法013331331()()0 1( )(1)( )( ) , ;,(3)(),()(0,1, )niiiiiiiiiinxxxyf xyfxinHermiteSxSxSxa bx xSxy Sxy in 設(shè)設(shè)個個插插值值節(jié)節(jié)點點 ， ，。已已知知在在節(jié)節(jié)點點上上的的函函數(shù)數(shù)值值和和導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)值值， ， ， 。分分段段三三次次插插值值多多項項式式應(yīng)應(yīng)滿滿足足條條件件：和和在在上上連連續(xù)續(xù)( (2 2) )在在每每個個小小區(qū)區(qū)間間上上是是三三次次多多項項式式；定定義義: :。分段三次分段三次HermiteHermite插值多項式存在唯一插值多項式存在唯一三三. .分段三次分段三次HermiteHermite插值插值302.分段三次分段三次Hermite插值的表插值的表達式達式當當 xxi，xi+1時時, 兩點兩點Hermite插值插值12112111211121113)()()