數(shù)列通項(xiàng)公式常見(jiàn)求法

1、名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備數(shù)列通項(xiàng)公式的常見(jiàn)求法數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，每年高考都會(huì)出現(xiàn)有關(guān)數(shù)列的方面的試題，一般分為小題和大題兩種題型，而數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法是?？嫉囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn)，一般常出現(xiàn)在大題的第一小問(wèn)中，因此掌握好數(shù)列通項(xiàng)公式的求法不僅有利于我們掌握好數(shù)列知識(shí)，更有助于我們?cè)诟呖贾腥〉煤玫某煽?jī)。下面本文將中學(xué)數(shù)學(xué)中有關(guān)數(shù)列通項(xiàng)公式的常見(jiàn)求法進(jìn)行較為系統(tǒng)的總結(jié)，希望能對(duì)同學(xué)們有所幫助。一 .公式法高中重點(diǎn)學(xué)了等差數(shù)列和等比數(shù)列， 當(dāng)題中已知數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列， 在求其通項(xiàng)公式時(shí)我們就可以直接利用等差或等比數(shù)列的公式來(lái)求通項(xiàng)，只需求得首項(xiàng)及公差公比。1、等差數(shù)列公式例 1、（

2、 2011 遼寧理）已知等差數(shù)列 an 滿(mǎn)足 a2=0， a6+a8 =-10 （ I ）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；解：（ I ）設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為 d，由已知條件可得a1d0,2a112d10,解得a11,d1.故數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 an2n.2、等比數(shù)列公式例 2.（ 2011 重慶理）設(shè) an 是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a12， a3a24 。（）求 an 的通項(xiàng)公式解： I）設(shè) q 為等比數(shù)列 an 的公比，則由 a12, a3a24得2q22q 4 ，即 q2q2 0，解得 q2或q1（舍去），因此 q2.所以 an 的通項(xiàng)為 a 22n12n ( n N * ).n3、

3、通用公式若已知數(shù)列的前n 項(xiàng)和 Sn 的表達(dá)式，求數(shù)列an的通項(xiàng) an 可用公式anSnn1SnSn1n求解。一般先求出 a1=S1，若計(jì)算出的 an 中當(dāng) n=1 適合時(shí)可以2合并為一個(gè)關(guān)系式，若不適合則分段表達(dá)通項(xiàng)公式。例 3、已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 sn n21，求 an 的通項(xiàng)公式。解： a1s1 0 ，當(dāng) n 2 時(shí)名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備an sn sn 1 (n21) ( n1) 212n1由于 a1 不適合于此等式。 an0( n1)2n1(n2)二 .當(dāng)題中告訴了數(shù)列任何前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的遞推關(guān)系即：an 和 an-1 的關(guān)系時(shí)我們可以根據(jù)具體情況采用下列方法1、疊加法

4、()一般地，對(duì)于型如類(lèi)的通項(xiàng)公式，且f (1)f ( 2)f (n) 的和比an 1anfn較好求，我們可以采用此方法來(lái)求an 。即： an (anan 1 ) (an 1an 2 )(a2 a1 ) a1 (n 2) ；例 4、（ 2011 四川理8）數(shù)列an的首項(xiàng)為3 ， bn為等差數(shù)列且 bnan 1an (nN*) 若則 b32 ， b1012 ，則 a8A 0B 3C 8D11解：由已知知 bn2n8,an 1an2n8, 由疊加法(a2 a1) (a3a2 )(a8a7 )6 42 0 2 4 6 0 a8a1 3例 5、 已知數(shù)列 an 滿(mǎn)足 a11 ,an1an1，求數(shù)列 an

5、的通項(xiàng)公式。2n2n解：（ 1）由題知： an 1 an1111n2nn(n 1)nn1an(anan1)( an1an2)+(a 2 - a1)a11111)11)1(1)(2n(22nnn11312n2、疊乘法一般地對(duì)于形如“已知a1，且 an 1 =f （ n）（ f （ n）為可求積的數(shù)列） ”的形式可通過(guò)疊an乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。即： ananan 1a2a1(n2) ；an 1an 2a1例 6、在數(shù)列 an中， a1 =1,(n+1) · an 1=n · an，求 an的表達(dá)式。名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備解：由 (n+1) · an 1 =n

6、83; an 得an1n，ann1an=a2a3a4an123n 1 11a1a1··an 1=34nn所以 ana2a32n3、構(gòu)造法當(dāng)數(shù)列前一項(xiàng)和后一項(xiàng)即an 和 an-1 的遞推關(guān)系較為復(fù)雜時(shí)，我們往往對(duì)原數(shù)列的遞推關(guān)系進(jìn)行變形，重新構(gòu)造數(shù)列， 使其變?yōu)槲覀儗W(xué)過(guò)的熟悉的數(shù)列（等比數(shù)列或等差數(shù)列）。具體有以下幾種常見(jiàn)方法。（ 1）、待定系數(shù)法、一般地對(duì)于an =k an-1 +m(k、 m為常數(shù)）型，可化為的形式an + =k( an-1 + ). 重新構(gòu)造出一個(gè)以k 為公比的等比數(shù)列，然后通過(guò)化簡(jiǎn)用待定系數(shù)法求 ，然后再求 a 。n例 7、（ 2011 廣東理）設(shè) b

7、>0, 數(shù)列 an 滿(mǎn)足 a1=b， annban 1(n2)an2n12.（ 1）求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；anban1，得nan 12(n1)12n1，解：2(n 1)anban 1bbann an11設(shè) nbn ，則 bn2 bn 11 (n2) ，anbb（）當(dāng) b2 時(shí)， bn是以1 為首項(xiàng)，1 為公差的等差數(shù)列，22即 bn1( n 1) 1 1 n ， an2222（）當(dāng) b2時(shí)，設(shè) bn2 (bn 1) ，則 bn2 bn1( 21) ，bbb令 ( 21)1 ，得1，bn1b2 (bn 11 ) (n 2) ，bb2b2b2b知 bn21是等比數(shù)列，bn1(b11)( 2

8、)n1 ，又 b11，b2b2bbbbn1( 2) n112nbn，annbn (2 b) 2 b b2 b 2 bbn2nbn、對(duì)于 an1pan f (n)(其中 p為常數(shù) ) 這種形式 ,一般我們討論兩種情況：名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備i 、當(dāng) f(n) 為一次多項(xiàng)式時(shí)，即數(shù)列的遞推關(guān)系為an 1 Aan Bn C 型，可化為an 1 1 n2A an1 (n1)2 的形式來(lái)求通項(xiàng)。例 8.設(shè)數(shù)列an中， a11,an13an2n 1，求an 的通項(xiàng)公式。解：設(shè) an 1A( n1)B 3(anAnB)an13an2 An2BA2A2A1與原式比較系數(shù)得：2BA1B1即 an 1(n1)1

9、3(ann1)令 bn an n 1,則bn+1=3bn且 b1 =a1 +1+1=3bn 是 b1 = 3為首項(xiàng)，公比 q=3的等比數(shù)列bn3n1n33即: an3nn1ii 、當(dāng) f(n)為指數(shù)冪時(shí)，即數(shù)列遞推關(guān)系為an1AanB C n （ A、 B、 C 為常數(shù)，）型，可化為an 1Cn 1= A(anCn）的形式 . 構(gòu)造出一個(gè)新的等比數(shù)列， 然后再求 an例 9.（ 全國(guó)高考題）設(shè) a0為常數(shù)，且 an3n 12an1 （ nN*），證明：對(duì)任意n 1， an1 3n( 1)2n (1) n2n a05解：證明：設(shè) ant 3n2(an 1t3n 1 )用 an3n 12an1代入

10、可得 t15an3n是公比為2 ，首項(xiàng)為 a13的等比數(shù)列，55an3n(1 2a03 ) ( 2)n 1 （ nN*），55即： an3n( 1) n 1 2n( 1) n 2n a05當(dāng)然對(duì)于 an 1AanBC n 這種形式遞推關(guān)系求an時(shí)，當(dāng) A=C時(shí)，我們往往也會(huì)采取名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備另一種方法，即左右兩邊同除以Cn +1,重新構(gòu)造數(shù)列，來(lái)求an 。例 10、（ 2007 天津理）在數(shù)列an 中， a1 2，an 1ann 1 (2 )2n (n N ) ，其中0 （）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；解：由 an 1ann 1(2)2n ( nN ) ，0 ，an 1n 1an2n可得2

11、1，n 1nannann21，首項(xiàng)為0，故2an所以n為等差數(shù)列， 其公差為n 1，所以數(shù)列n的通項(xiàng)公式為 an(n 1)n2n （ 2）、倒數(shù)法一般地形如 anan1、 anan1an 1an 等形式的遞推數(shù)列可以用倒數(shù)法將其kan 1b變形為我們熟悉的形式來(lái)求通項(xiàng)公式。a1例 11.已知數(shù)列 an滿(mǎn)足： a11,ann3an，求 an的通項(xiàng)公式。1 1解：原式兩邊取倒數(shù)得：13an111aa3nn1a1n設(shè) bn = 1 ,則 bn-b n-1 =3, 且 b1=1 an1bn 是 b1=為首項(xiàng)，公差 d=2的等差數(shù)列b n 1 ( n 1) 3 3n21即 an3n2例 12 、（北京龍

12、門(mén)育才學(xué)校 20XX屆高三上學(xué)期第三次月考）在數(shù)列 an 中， a11，并3且對(duì)任意 n N,n 2 都有 an an 1 an 1an 成立，令 bn1(n N ) an（）求數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式；13 ,當(dāng) n2 時(shí)，解：（ 1）當(dāng) n=1 時(shí)， b1a1名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備由 an an 1 an 1 an111，等式兩邊取倒數(shù)得：1, 所以 bn bn 1anan 1所以數(shù)列 bn 是首項(xiàng)為3，公差為1 的等差數(shù)列，所以數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式為 bnn 2（ 3）、對(duì)數(shù)法當(dāng)數(shù)列 an 和 an-1 的遞推關(guān)系涉及到高次時(shí)，形如：anp = man-1q（其中 m、p、 q為常數(shù)）

13、等，我們一般采用對(duì)數(shù)法，等式兩邊分別取對(duì)數(shù)，進(jìn)行降次，再重新構(gòu)造數(shù)列進(jìn)行求解。例 13、（ 2006 山東）已知 a1=2，點(diǎn) (an,an+1 )在函數(shù) f(x)=x2+2 x 的圖象上，其中 =1 ， 2， 3， （1） 證明數(shù)列 lg(1+ an)是等比數(shù)列；解：（ 1）由已知an 1an22an ，an 11(an1)2a12an11，兩邊取對(duì)數(shù)得lg(1an 1)2lg(1an ) ，即 lg(1 an 1 )2lg(1an )lg(1an ) 是公比為2 的等比數(shù)列 .例 14、若數(shù)列 an 中，a1 =3 且 an 1an2（ n 是正整數(shù)），則它的通項(xiàng)公式是an =（ 上海高考

14、題） .解由題意知 an 0，將 an 1an2 兩邊取對(duì)數(shù)得 lg an 1 2 lg an ，即 lg an12，所lg an以數(shù)列 lg an 是以 lg a1=lg 3為首項(xiàng)，公比為 2 的等比數(shù)列， lg alg a2n 1lg 32n 1，n1即 an32n 1.（4）、特征方程法、一般地對(duì)于形如已知a1m1 ,a2m2 , an+ 2=A an+ 1 +B an(A、B 是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列，我們可以采取兩種方法來(lái)求通項(xiàng)。法一：可用特征方程的方法求解：我們稱(chēng)方程： x2-Ax-B=0為數(shù)列的特征方程（i ）當(dāng)方程有兩個(gè)相異的實(shí)根（或虛根）p、 q 時(shí)，有： an c1 pnc2

15、 qn ，其中 c1 與 c2由已知 a1 m1 , a2 m2 , 確定。（ii ）當(dāng)方程有唯一的實(shí)根 p 時(shí)，有 an(c1 n c2 ) pn ，其中 c1 與 c2 由已知 a1 m1 , a2 m2 ,名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備確定。法二：可構(gòu)造成an 2x1an 1x2 (an 1x1an ) ，則 an 1x1an 為等比數(shù)列，進(jìn)而求通項(xiàng)公式，這種方法過(guò)程較為繁雜。例 15、已知 a 1 =2 ， a 2=3 ， an22an 1an ，求通項(xiàng)公式。解法一：特征方程的根為1，所以 an = (c1 n+c2)× 1nc1c22得 c1 = c2 = 1，所以 an = n

16、 + 1 。由：c22c13解法二：設(shè) an 2x1an 1x2 (an 1x1an ) ，可得 x 1 = x 2= 1，于是 an+ 1 an 是公比為 1 的等比數(shù)列， an+ 1 an = 1，所以 an = n + 1 。例 16已知數(shù)列 an 滿(mǎn)足 a12,a2 3,an 23an 1 2an (nN * ) ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng) an 。解：其特征方程為 x23x2，解得 x11,x22 ，令 anc11nc2 2n ，a1c12c22c11an 1 2n 1 由1 ，a2c14c2，得c322例 17、（ 2009 陜西卷文）已知數(shù)列an 滿(mǎn)足， anan 1, n N* .

17、a1 1 a22, an22令 bnan 1an ，證明： bn 是等比數(shù)列；( ) 求an 的通項(xiàng)公式。解：（ 1）證明： b1a2a11,當(dāng) n2時(shí)， bnan 1anan1anan1( anan 1 )122bn 1,12所以 bn是以 1 為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。21 )n 1,（2）解由（ 1）知 ban 1an(n2當(dāng) n2時(shí)， ana1(a2a1 ) (a3a2 )(anan 1 )11(1)( 1)n 2221(1 )n1215211211(n2n 1,13)3()1(232)2當(dāng) n1時(shí)， 5 2(1)1 11 a1 。332所以 a5 2( 1 )n 1 (n N * )

18、 。n332名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備本題也可以用特征方程來(lái)證明, 同學(xué)們不妨自己試試。、一般地形如：an 1a anb （a、 b、 c、 d 為常數(shù)）c and可得到相應(yīng)的特征方程：xaxb ，再將其變?yōu)?cx2( da) xb0 ，通過(guò)該方程的根cxd的情況來(lái)重新構(gòu)造數(shù)列。（i ）如果方程 cx2( da) xb0 有兩個(gè)相異的實(shí)根，則有數(shù)列anp 是以 a1p 為anqa1q首項(xiàng)， acp 為公比的等比數(shù)列；acq（ii ）如果方程 cx2(da) xb0 有兩個(gè)相同的實(shí)根， 則數(shù)列1是以1為首anpa1p項(xiàng)，2c為公差的等差數(shù)列。ad例 18、（2009 江西理22）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列

19、 an ，a1a, a2b ，且對(duì)滿(mǎn)足 mnp q的正整數(shù) m, n, p, q 都有amana paq.(1 am )(1 an )(1a p )(1aq )（1）當(dāng) a1 , b4 時(shí)，求通項(xiàng) a ;25n解：（ 1）由amana p aq得(1 am )(1 an )(1ap )(1aq )a1anan )(1a2an1.將 a11 , a24代入化簡(jiǎn)得(1 a1 )(1a2 )(1an 1 )252an 11an.an 12構(gòu)造方程 xaxb (a=2,b=1,c=1,d=2) 化簡(jiǎn)得： x2=1 解得 x=1 和-1.cxd所以數(shù)列 1an 為等比數(shù)列，1an所以 1an1 1an

20、1,1an3 1an 1從而： 1an1,即 an3n1.1a3n3n1n名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備n31可驗(yàn)證， an3n1 滿(mǎn)足題設(shè)條件 .例 19 已知數(shù)列 an 滿(mǎn)足 a2, aan 12 (n2)，求數(shù)列 an 的通項(xiàng) an 1n2an 11解 ：其 特征 方程 為 xx2 ， 化簡(jiǎn) 得 2x220 ，解 得 x1 1, x21 ，令2x1an 11c an1an 11an1由 a12, 得 a24 ，可得 c1 ，53an1是 以a111為首項(xiàng)，以1數(shù) 列1a1為公比的等比數(shù)列，an133an 1 11n 13n( 1)n，anan1 333n( 1)n三 、當(dāng)題中給出的是Sn 和

21、an 的關(guān)系時(shí)， 我們一般通過(guò)作差法結(jié)合 an = Sn Sn1這個(gè)通用公式對(duì)原等式進(jìn)行變形，消掉Sn 得到 an 和 an+1 的遞推關(guān)系，或消掉an得到 Sn 和 Sn 1的遞推關(guān)系，然后重新構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)公式。例 20（、 2007 湖北理 19）已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，且滿(mǎn)足： a1a (a 0) ，an 1 rSn(nN * ， rR, r1) （）求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；解：（ I ）由已知an 1rSn , 可得 an 2rSn 1 ，兩式相減可得aar(SS)r a,n 2n 1n 1nn 1即 an 2(r1)an 1,又 a2ra1ra, 所以 r=0 時(shí)，數(shù)

22、列 an 為： a，0， ， 0， ；當(dāng) r0, r1時(shí)，由已知 a0,所以 an0 （ nN* ），于是由 an 2(r1)an 1 , 可得an 2r1(n N) ，an 1名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備a2 , a3 , , an成等比數(shù)列，當(dāng) n 2時(shí) ， anr (r 1)n 2 a.ann1,綜上，數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 an1)n2 a, n 2r (r例 21：（ 2007 重慶理）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和滿(mǎn)足 Sn1 ，且6Sn(an 1)(an 2), nN *（1）求 an 的通項(xiàng)公式；解：由 a1 S11 (a1 1)(a1 2) ，解得 a1 1 或

23、a12，由假設(shè) a1 S1 1，因此 a1 2。6又由 an+1 Sn+1- Sn 1(a n 1 1)(a n 1 2)6得 an+1- an-3 0 或 an+1 -an因 an 0，故 an+1 -an 不成立，舍去。因此 an+1- an-3 0。從而 an是公差為an 3n-2。例 22. （ 2009 全國(guó)卷理）設(shè)數(shù)列 an 的前1 (an1)( a2) ，6n3，首項(xiàng)為2 的等差數(shù)列，故an的通項(xiàng)為n 項(xiàng)和為 Sn , 已知 a11, Sn 14an2（I ）設(shè) bnan 1 2an ，證明數(shù)列 bn 是等比數(shù)列（II）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。解：（ I ）由 a11, 及 Sn14an2 ，有 a1a2a412,a23a1 2 5, b1 a2 2a1 3由 Sn 14an2 ，則當(dāng) n2時(shí)，有 Sn4an 12 得 a4a4a,a2a