數(shù)學(xué)分析試題及答案7

1、;.（二十一）數(shù)學(xué)分析期終考試題一 敘述題 ：（每小題5 分，共 15 分）1 開(kāi)集和閉集2 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)定理3 Riemann 可積的充分必要條件二 計(jì)算題 ：（每小題 7 分，共 35 分）1、9x3 1xdx12、求x2(yb)2b2(0) 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積a b3、求冪級(jí)數(shù)(11 ) n2x n 的收斂半徑和收斂域n 1n4、 limx2y 2x01x 2y 21y05、f ( x, y, z)xxy2yz2(2,-1,2)到點(diǎn)（-11 2()，l 為從點(diǎn) P0， ， ）的方向，求 f lP0三討論與驗(yàn)證題：（每小題10 分，共 30 分）1、已知 f (x,

2、y)(x 2y2 ) sin x21y 2x2y 20，驗(yàn)證函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在原0x0, y0點(diǎn)不連續(xù)，但它在該點(diǎn)可微2、討論級(jí)數(shù)ln n 21 的斂散性。n 1n 213、討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)( xnxn1)x 1,1 的一致收斂性。n 1nn1四證明題 ：（每小題10 分，共20 分）1若f ( x)dx 收斂，且 f （ x）在 a,+ ）上一致連續(xù)函數(shù)，則有l(wèi)im f (x)0ax2設(shè)二元函數(shù)f (x, y) 在開(kāi)集 DR2 內(nèi)對(duì)于變量x是連續(xù)的，對(duì)于變量y 滿足Lipschitz條件： f ( x, y' )f ( x, y'' )L y'y ''

3、; 其中 ( x, y'), (x, y' ' )D,L 為常數(shù)證明 f ( x, y) 在 D內(nèi)連續(xù)。參考答案一、 1、若集合 S 中的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)，則稱(chēng)集合 S 為開(kāi)集；若集合 S 中包含了它的所有的聚點(diǎn)，則稱(chēng)集合 S 為閉集。;.'.2 設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un (x) 滿足（ 1） un (x)(n1,2, ) 在 a ， b 連續(xù)可導(dǎo)n 1a)un (x) 在a ， b 點(diǎn)態(tài)收斂于 S(x)n 1b)u'n ( x) 在 a ，b 一致收斂于( x)n 1則 S( x) =ddun ( x) 在 a ， b可導(dǎo)，且 dx n 1un ( x)n

4、1 dx un ( x)n13 、有界函數(shù)f ( x)在 a ， b 上可積的充分必要條件是，對(duì)于任意分法，當(dāng)max(xi)0 時(shí) Darboux 大和與 Darboux 小和的極限相等1i nt 3 )t 3dt二、 1、令 t31x （ 2 分）x3 1xdx32(1468（5 分）91072、 y1ba 2x2 , y2ba 2x2，（2 分）所求的體積為：a( y12y22 )dx 2 2 a 2b （ 5 分）a(11 )n1113、解：由于 lim(n)n分），當(dāng)11收斂半徑為(4n(1)n 1(1)n 1een 1n1x1時(shí)， (11 )n 2( 1)n (1) n10(n) ，

5、所以收斂域?yàn)?(1, 1) (3分）enee e22(x2y2)(1x2y21)4、limxylimlim( 1x2y21)2（ 7x01 x2y21x0y21)( 1 x2y21)x 0y 0y 0 ( 1 x2y 0分）5、解： 設(shè)極坐標(biāo)方程為f x (2,1,2)2, f y (2,1,2)0. f z (2,1,2)4（4分）f l (2,1,2)6（3分）13三、 1、解、 f x2x(sinx21x21y2cos1y 2)x2y20y 2x 2x 2y2（ 4 分）由于00;.'.1cos1當(dāng)趨于（ 0， 0）無(wú)極限。所以不連續(xù)，同理可的f y 也不連續(xù)，（ 2 分）x2y

6、22y2xln n 2122、解： limn211（5 分）2收斂，所以原級(jí)數(shù)收斂（5 分）2n 1 n1nn21xn10,1， nN 時(shí) 有3 、 解 ： 部 分 和 Sn ( x) x（3 分），取Nn1Sn ( x)xxn11，所以級(jí)數(shù)一致收斂（7 分）1nn四、 證明題 （每小題10 分，共 20 分）1、證明：用反證法若結(jié)論不成立，則00, X .a, x0X，使得f (x0 )0 ，（ 3 分）又因?yàn)樵趂 （ x）在 a, ） 上 一 致 連 續(xù) 函 數(shù) ，0(0,1),x ' , x ''a， 只 要 x'x''0， 有f (x&#

7、39; )f ( x'' )0，（ 3分）于是A0a, 令 XA01 ，取上述使f (x0 )0的點(diǎn)2x0X ,，不妨設(shè)f (x0 ) 0 ， 則 對(duì) 任 意 滿 足x x00 的 x， 有f ( x)f ( x0 )000 取 A 和 A 分 別 等 于 x00 和 x00， 則2222A 'f ( x)dx00 有，由 Cauchy 收斂定理，f ( x)dx 不收斂，矛盾（4 分）A2a2、證明：(x0 , y0 )D ，由 Lipschitz條件f (x, y)f (x0 , y0 )f ( x, y) f ( x, y0 )f ( x, y0 ) f ( x0

8、 , y0 )L yy0f ( x, y0 )f (x0 , y0 ) （ 1），（6 分）又由二元函數(shù) f (x, y) 在開(kāi)集 DR2 內(nèi)對(duì)于變量 x 是連續(xù)的，（ 1）式的極限為0， f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 連續(xù)，因此f ( x, y) 在 D內(nèi)連續(xù)（4分）（二十二）數(shù)學(xué)分析期末考試題一敘述題 ：（每小題5 分，共 15 分）;.'.1 Darboux和2 無(wú)窮限反常積分的 Cauchy 收斂原理3 Euclid 空間二 計(jì)算題 ：（每小題 7 分，共 35 分）n n!1、limn n2、求由下列兩條曲線圍成的平面圖形的面積y 22x2 yx23、 I

9、n0e x xn dx ( n 是非負(fù)整數(shù)）4、設(shè) uf ( x2y 2z2 , xyz), f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求2uz x5、求 f (x)ex 的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式三討論與驗(yàn)證題：（每小題10 分，共 20 分）1、討論二元函數(shù)連續(xù)、偏可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系。對(duì)肯定的結(jié)論任選一進(jìn)行證明；對(duì)否定的結(jié)論，給出反例2、討論級(jí)數(shù)cosnx( 0x) 的絕對(duì)和條件收斂性。n 1n p四證明題 ：（每小題10 分，共 30 分）x01 f（x）在 0 ，+）上連續(xù)且恒有f （ x） >0，證明 g( x)xtf (t) dt在 0 ， +）上f (t )dt0單調(diào)增加2設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)xn 收斂，xn單

10、調(diào)減少，證明lim nxn0n1n3f ( x, y)y2，證明： lim f ( x, y) 不存在xyx0y0參考答案Px0x1xn b 和一、 1、有界函數(shù)f ( x) 定義在 a,b 上，給一種分法， a記M isup f ( x), xi 1 , xi , mi inff (x), xi1 , xi，則nnPS(P)M i xi , S( P)mixi 分 別 稱(chēng) 為 相 應(yīng) 于 分 法的 Darboux大 和 和i1i 1;.'.Darboux 小和。0. N a 使得 m nN ，成立n2、f ( x)dxm3、 Rn 向量空間上定義內(nèi)積運(yùn)算x, y x1 y1xn yn

11、 構(gòu)成 Euclid空間二、 1、由于 lim ln n n!lim 1(nln i ) n ln n)limnnnnni 1ni 1分）2、解：兩曲線的交點(diǎn)為（2， 2），（0， 0），（2 分）ln i 11ln xdx 1（ 7n n022x )dx4（5 分）所求的面積為：( 2x0233、 解：I ne x x n dx0x n e x |0 + ne x x n 1dx =nI n 11x x n dx +e x xn dx （ 6 分）=e001I nn! (1分）4、： u = 2 f1 xyzf 2 （ 3 分）2 u2 x(2 zf11xyf12 )yf 2yz(2 zf2

12、1 xyf22 ) （ 4xz x分）x5、解： 由于余項(xiàng) rn ( x)en 10( n) ，（ 3 分）所以(n1)!xex1 xx 2x n（4 分）2!n!三、 1、解、可微必可偏導(dǎo)和連續(xù)，證明可看課本133 頁(yè)（ 4 分），可偏導(dǎo)不一定連續(xù)和可微例子可看課本135 頁(yè)（ 6 分）2、解：當(dāng) p1時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂， （ 4分）當(dāng) 0p1，由 Dirichlet定理知級(jí)數(shù)收斂，cosnx2cos nx1cos2nx| cosnx | 發(fā)散，即級(jí)數(shù)條件收斂（ 4 分），但，所以n pn p2n p2n pn 1n p當(dāng) p0 時(shí)，級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0，所以級(jí)數(shù)不收斂（2 分）四、 證明題

13、（每小題10 分，共30 分）xf (x)xx( xf (t )tf (t)dt'xf ( x) f (t )dttf (t) dtf ( x)1 證明： g(x)0000（8分）(xf (t)dt )2(xf (t )dt ) 200所以函數(shù)單調(diào)增加（2 分）;.'.2證明： m, nm ，有 (n m)xm 1xnxm 由此得 nxnnnxm ，（ 4 分）由m級(jí)數(shù)收斂，故0 可取定 m0 使得 xm0，又 limn，故n0 使得 nn0 時(shí)，n1nm0n分）于是當(dāng) nn0 時(shí)，有 0 nxn2，得證（ 2 分）有2 ，（4n m3、證明：lim f (x, y)limx1

14、 lim f (x, y) lim2x 221， 所 以x 0x 0x2xx0x 0 xx2y xyx2lim f ( x, y) 不存在（ 10 分）x 0y 0（二十三）數(shù)學(xué)分析期末考試題一敘述題 ： ( 每小題 5 分，共 15 分）1 微積分基本公式2 無(wú)窮項(xiàng)反常積分3 緊幾合二計(jì)算題 ： ( 每小題7 分，共35 分）1、d x 2dt2dxdx01t 4 1 1x 42、求由下列兩條曲線圍成的平面圖形的面積yx22yx3、求n(n2)x n的收斂半徑和收斂域n14、設(shè) uxe yze zy ，求偏導(dǎo)數(shù)和全微分1xy15、 limx 0xyy 0三 討論與驗(yàn)證題 ： ( 每小題 10

15、 分，共 30 分）1 討論 f ( x, y)2x 2 y 22 的二重極限和二次極限y2(x y)x1dx2討論e的斂散性0 x p ln x;.'.3、討論函數(shù)項(xiàng)fn ( x)xnx n 1 ( 0 x1) 的一致收斂性。四 證明題： ( 每小題 10 分，共20 分）1設(shè) f （ x）連續(xù)，證明xu)duxuf (u)( x0f ( x)dx du002證明 u y ( x2y 2 ) 滿足 y ux ux uxyy參考答案一 、 1 、 設(shè) f (x) 在 a, b 連續(xù) ， F (x) 是 f ( x) 在 a,b 上 的一個(gè) 原函數(shù)，則成 立bf ( x) dx F (b

16、) F (a) 。a2 、設(shè)函數(shù)f (x) 在 a,) 有定義，且在任意有限區(qū)間a, A 上可積。若極限limAf ( x)dx 存在，則稱(chēng)反常積分收斂，否則稱(chēng)反常積分發(fā)散Aa3、如果 S的任意一個(gè)開(kāi)覆蓋U 中總存在一個(gè)有限子覆蓋， ，即存在 U中的有k限個(gè)開(kāi)集 U ikU iS ，則稱(chēng) S 為緊集i 1 ，滿足i1二、 1、 dx2dt2dx = ddx01 t 41 1x4dxx2dt2x分）1 t 4（ 701 x82、解：兩曲線的交點(diǎn)為（-2 ， 4），（ 1， 1），（ 2 分）1(2xx2 )dx9所求的面積為：（5 分）223 ： lim nn(n2)1，收斂半徑為 1（ 4 分

17、），由于 x1 時(shí)，級(jí)數(shù)不收斂，n所以級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?1，1）（3 分）4： u = eyzu = xzeyz1u = xyeyze z （ 4 分）xyzdu e yzdx(xzeyz1)dy( xyeyze z )dz （3 分）5、解： lim1xy 1lim ( 1xy1)(1xy1)1（7分）x0xyx0xy(1xy1)2y0y0三、 1、解、由于沿 ykx 趨于（0，0）時(shí)，limx 2 y 20k1( xy) 21k，所以( x, kx)( 0,0 ) x 2 y21;.'.重極限不存在（5 分）lim limx2 y20, lim limx2 y 20 ，（5 分）2 y2( x y) 22 y2( x y) 2x 0 y 0 xy 0 x 0 x1 p11dx2： 0p1，由于 x 20( x0) 故 e收斂（ 4 分）； p1，由x p ln xx p ln x01p11于 x21( x) （4 分）故edx收斂， p1， e dx，x p ln x0 x p ln x0 x ln x發(fā)散（ 2 分）。3、 limf n (x)0 f (x) （ 3 分），nlim sup f n ( x)f (