合情推理與演繹推理課件

1、 內(nèi)容內(nèi)容結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu) “推理與證明推理與證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過程，是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習和生活中經(jīng)常使用的思維方也是人們學(xué)習和生活中經(jīng)常使用的思維方式推理一般包括合情推理和演繹推理在本式推理一般包括合情推理和演繹推理在本章中，我們將通過對已學(xué)知識的回顧，進一步章中，我們將通過對已學(xué)知識的回顧，進一步體會合情推理、演繹推理以及二者之間的聯(lián)系體會合情推理、演繹推理以及二者之間的聯(lián)系與差異；體會數(shù)學(xué)證明的特點，了解數(shù)學(xué)證明與差異；體會數(shù)學(xué)證明的特點，了解數(shù)學(xué)證明的基本方法的基本方法, ,包括直接證明的方法（如分析法、包括直接證明的方法（如分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法）和間接證明的方法（如綜

2、合法、數(shù)學(xué)歸納法）和間接證明的方法（如反證法）；感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活反證法）；感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習慣。中的作用，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習慣。 在日常生活中，人們常常需要進行這樣那樣的推理。例如:1、什么是推理 推理是人們思維活動的過程，是根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程。醫(yī)生診斷病人的病癥，警察偵破案件，氣象專家預(yù)測天氣的可能狀態(tài)，考古學(xué)家推斷遺址的年代，數(shù)學(xué)家論證命題的真?zhèn)蔚鹊取Ｔ跀?shù)學(xué)中，證明的過程更離不開推理。推 理合情推理（或然性推理）演繹推理（必然性推理）歸納（部分到整體、特殊到一般）類比（特殊到特殊）三段論

3、（一般到特殊）本節(jié)知識結(jié)構(gòu)歸納推理歸納推理歌德巴赫猜想的提出過程：歌德巴赫猜想的提出過程： 3710，31720，131730， 1037，20317，301317偶數(shù)奇質(zhì)數(shù)奇質(zhì)數(shù)63+3，猜想： 一個偶數(shù)（不小于6）總可以表示成兩個奇質(zhì)數(shù)之和；83+5，105+5，125+7，147+7，165+11， 1 00029+971，一個規(guī)律：哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。哥德巴赫是德國一位中學(xué)教師，也是一位著名的數(shù)學(xué)家，生于1690年，1725年當選為俄國彼得堡科學(xué)院院士。1742年，哥德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，每個不小于6的偶數(shù)都是兩個素數(shù)（只能被和

4、它本身整除的數(shù)）之和。如633，1257等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)寫信給當時的大數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a)任何一個6之偶數(shù),都可以表示成兩個奇質(zhì)數(shù)之和。 (b)任何一個9之奇數(shù),都可以表示成三個奇質(zhì)數(shù)之和。歸納推理的定義: 由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納). 簡言之,歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理。例如： 金受熱后體積膨脹， 銀受熱后體積膨脹， 銅受熱后體積膨脹， 鐵受熱后體積膨脹， 金、銀、銅、鐵是金屬的部分小類對象，它

5、們受熱后分子的凝聚力減弱，分子運動加速，分子彼此距離加大，從而導(dǎo)致體積膨脹 所以，所有的金屬受熱后都體積膨脹。例如： 磨擦雙手（S1 ）能產(chǎn)生熱（P）， 敲擊石頭（S2 ）能產(chǎn)生熱（P） ， 錘擊鐵塊（S3 ）能產(chǎn)生熱（P） ， 磨擦雙手、敲擊石頭、錘擊鐵塊都是物質(zhì)運動；所以，物質(zhì)運動能產(chǎn)生熱。如如: :觀察下圖觀察下圖, ,可以發(fā)現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)1+3+(2n1)=n21+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，解: 當n=1時,a1=1; 當n=2時，;211112a當n=3時，31211213a當n=4時，觀察可得,數(shù)列的前4項都等于相應(yīng)

6、序號的倒數(shù),由此猜想,這個數(shù)列的通項公式為:nan141311314a例1:已知數(shù)列an的第1項a1=1且 (n=1,2,3 ),試歸納出這個數(shù)列的通項公式.11nnnaaa 練習:(2010.上海)根據(jù)圖中5個圖形及相應(yīng)點的個數(shù)的變化規(guī)律,試猜測第n個圖形中有 個點.(1)(2)(3)(4)(5)21nn練習:(2009年廣東)設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n3),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點.若用f(n)表示這n條直線交點的個數(shù), f(4)= ,當n4時,f(n)= .(用n表示)5(4)(3)3ff (5)(4)4ff( )(1)1f nf nn累加得:( )(3)345(

7、1)f nfn1(2)(1)2nn(6)(5)5ff 歸納推理的一般步驟： 檢驗猜想。 提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想； 對有限的資料進行觀察、分析、 歸納整理；歸納推理所得的結(jié)論僅是一種猜想，未必可靠，還需證明例如，法國數(shù)學(xué)家費馬觀察到12342222215,2117,21257,2165537 都是質(zhì)數(shù)，于是他用歸納推理提出猜想：任何形如 的數(shù)都是質(zhì)數(shù)。2*21()nnN這就是著名的費馬猜想。半個世紀之后，善于計算的歐拉發(fā)現(xiàn)，第5個費馬數(shù)525214294967297641 6700417F 不是質(zhì)數(shù)，從而推翻了費馬的猜想。據(jù)說春秋時代魯國的公輸班（后人稱魯班，被認為是木匠業(yè)的祖師）一次去林

8、中砍樹時被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子.魯班的思路是這樣的：茅草是齒形的；茅草能割破手.我需要一種能割斷木頭的工具；它也可以是齒形的.這個推理過程是歸納推理嗎？ 由兩類對象具有某些類似特征，和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）類比推理的定義: 簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理 發(fā)明行星三大運動定律的開普勒曾說類比推理是自然奧妙的參與者和自己最好的老師 數(shù)學(xué)家波利亞曾指出“類比是一個偉大的引路人,求解立體幾何往往有賴于平面幾何的類比問題.”【例1】如圖，利用類比推測球的有關(guān)性質(zhì) 圓 球圓心與弦（非直徑）中點的連線垂直于

9、弦與圓心距離相等的兩條弦長相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長 圓的周長C= 圓的面積S=d2r 球心與截面圓（不經(jīng)過球心的截面圓）圓心的連線垂直于截面圓。與球心距離相等的兩個截面圓面積相等；與球心距離不等的兩個截面圓面積不等；與球心距離較近的截面圓面積較大。球的表面積24 rS 球的體積334rV 例2 類比實數(shù)的加法和乘法，列出它們相似的運算性質(zhì)。解(1)兩個實數(shù)經(jīng)過加法運算或乘法運算后，所得的結(jié)果仍然是一個實數(shù)。(2)從運算律的角度考慮，加法和乘法都滿足交換律和結(jié)合律，即a+b=b+aab=ba(a+b)+c=a+(b+c)(ab) c=a (bc)(3)從逆運算的角度考慮

10、，二者都有逆運算，加法的逆運算是減法，乘法的逆運算是除法，這就使得方程都有唯一解a+0=a1aa(4)在加法中，任意實數(shù)與0相加都不改變大?。怀朔ㄖ械?與加法中的0類似，即任意實數(shù)與1的積都等于原來的數(shù)，即1 | xaxa 0 | 1(0)xaaxa類比推理的一般步驟： 找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征； 用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想； 檢驗猜想。例例3 類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試試 給出空間給出空間 中四面體性質(zhì)的猜想中四面體性質(zhì)的猜想地圖的”四色猜想”歌尼斯堡七橋猜想卡拉比猜想數(shù)學(xué)中的猜想歐氏第五公設(shè)猜想西塔潘猜想

11、費馬大定理歐氏第五公設(shè)猜想數(shù)學(xué)中的猜想:歐氏幾何同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個內(nèi)角的和小于兩直角，則這一直線經(jīng)無限延長后在這一側(cè)相交。黎曼幾何在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(交點)。羅氏幾何從直線外一點，至少可以做兩條直線和這條直線平行非歐幾何非歐幾何費馬大定理當整數(shù)n 2時，關(guān)于x, y, z的不定方程 無正整數(shù)解。 nnnxyz222xyz333xyz444xyznnnxyz3+4=5,5+12=13.3+4=5,5+12=13.維爾斯于1994年9月徹底圓滿證明了“費馬大定理” 。 數(shù)學(xué)中的猜想:地圖的“四色猜想”數(shù)學(xué)中的猜想: 每幅地圖都可以用四種顏色著色，使

12、得有共同邊界的地區(qū)著上不同的顏色。 歌尼斯堡七橋猜想 18世紀在哥尼斯堡城(今俄羅斯加里寧格勒)的普萊格爾河上有7座橋，將河中的兩個島和河岸連結(jié)，如圖所示。城中的居民經(jīng)常沿河過橋散步，于是提出了一個問題：能否一次走遍7座橋，而每座橋只許通過一次，最后仍回到起始地點。 數(shù)學(xué)中的猜想: 卡拉比猜想源于代數(shù)幾何，是由意大利著名幾何學(xué)家卡拉比在1954年國際數(shù)學(xué)家大會上提出的:在封閉的空間，有無可能存在沒有物質(zhì)分布的引力場?卡拉比認為是存在的，可是沒有人能證實，包括卡拉比自己。 數(shù)學(xué)家丘成桐27歲攻克幾何學(xué)上難題“卡拉比猜想”，并因此在1982年(33歲)獲得數(shù)學(xué)界的“諾貝爾獎”菲爾茲獎卡拉比猜想數(shù)學(xué)

13、中的猜想:中國目前最年輕的教授劉路，90年生，22歲被聘任為中南大學(xué)正教授級研究員 數(shù)學(xué)中的猜想:“西塔潘猜想”“西塔潘猜想”是由英國數(shù)理邏輯學(xué)家西塔潘于上個世紀90年代提出的一個反推數(shù)學(xué)領(lǐng)域關(guān)于拉姆齊二染色定理證明強度的猜想。在組合數(shù)學(xué)上，拉姆齊（Ramsey）定理是要解決以下的問題：要找這樣一個最小的數(shù)n，使得n個人中必定有k個人相識或l個人互不相識。2011年5月，由北京大學(xué)、南京大學(xué)和浙江師范大學(xué)聯(lián)合舉辦的邏輯學(xué)術(shù)會議在浙江師范大學(xué)舉行，中南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)與計算技術(shù)學(xué)院酷愛數(shù)理邏輯的劉路的報告給這一懸而未決的公開問題一個否定式的回答，徹底解決了西塔潘的猜想。你認為平面幾何中的哪一類圖形可

14、以作為四面體的類比對象？從構(gòu)成幾何體的元素數(shù)目看，四面體由4個平面圍成，它是空間中由數(shù)目最少的基本元素（平面）圍成的封閉幾何體；從構(gòu)成幾何體的元素數(shù)目看，三角形由3條直線圍成，它是平面內(nèi)由數(shù)目最少的基本元素（直線）圍成的封閉圖形。從這個角度看，我們可以把三角形作為四面體的類比對象。例3 類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想。BCAacbPFEDS1S2S3解：考慮到直角三角形的兩條邊互相垂直，我們可以選取有3個面兩兩互相垂直的四面體，作為直角三角形的類比對象。如圖，RtABC中有勾股定理：a2+b2=c2。類似地,在四面體P-DEF中，PDF= PDE= EDF=900

15、。設(shè)S1，S2，S3和S分別表示PDF， PDE， EDF和PEF的面積。直角三角形有2條直角邊a，b和1條斜邊c，類似于四面體P-DEF有3個“直角面” S1，S2，S3和1個“斜面”S.于是,類比勾股定理的結(jié)構(gòu)，我們猜想 S2=S12+S22+S32。平面圖形與空間圖形常見類比對象平面圖形空間圖形直線三角形正方形圓圖形面積切線垂線線線角平面坐標系平面四面體正方體球幾何體體積切面垂面面面角空間坐標系 11221212112212121212,OM NOM NMNSOMONSOMONOP OQORPPQQRR三角形三角形如圖，若射線OM，ON上分別存在點M與點N，則三角形面積之比若不在同一平面

16、內(nèi)的射線和上分別存在點 ， ，點 ，和點 ，類比的結(jié)論是什么？請對以上結(jié)論進行探究。R2POP1O1QP2R1Q2Q1O2O3運用類比思想，提升推理能力R同樣地，類比推理所得的結(jié)論也不一定可靠。例如，“平面內(nèi)，同時垂直于一條直線的兩條直線互相平行”得到猜想：“空間中，同時垂直于一個平面的兩個平面互相平行”顯然，這個猜想是錯誤的。 合情推理 歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理。 通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理。 合情推理在數(shù)學(xué)中的作用 數(shù)學(xué)研究中，得到一個新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測

17、和發(fā)現(xiàn)結(jié)論。 證明一個數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向1.復(fù)習復(fù)習: 前面學(xué)習了前面學(xué)習了歸納推理歸納推理和和類比推理類比推理這兩種這兩種合情推理合情推理,歸納推理是由特殊到一般的推理歸納推理是由特殊到一般的推理; 類比推理是由特殊到特殊的推理類比推理是由特殊到特殊的推理1.1.所有的金屬都能導(dǎo)電所有的金屬都能導(dǎo)電, , 2.2.一切奇數(shù)都不能被一切奇數(shù)都不能被2 2整除整除, , 所以銅能夠?qū)щ娝糟~能夠?qū)щ? .因為銅是金屬因為銅是金屬, , 所以所以(2(2100100+1)+1)不能被不能被2 2整除整除. .因為因為(2(2100100+1)+1)是奇數(shù)是奇數(shù),

18、 ,3.3.三角函數(shù)都是周期函數(shù)三角函數(shù)都是周期函數(shù), , 所以所以tan tan 是周期函數(shù)是周期函數(shù) 因為因為tan tan 是三角函數(shù)是三角函數(shù), ,判斷下列推理是否是合情推理判斷下列推理是否是合情推理我們常以某些一般的判斷為前提，得出一些個別的、具體的判斷。2.2.三角函數(shù)都是周期函數(shù)三角函數(shù)都是周期函數(shù), , 所以所以tan tan 是周期函數(shù)是周期函數(shù) 因為因為tan tan 是三角函數(shù)是三角函數(shù), ,從一般性的命題推演出特殊性命題的推理從一般性的命題推演出特殊性命題的推理方法，稱為方法，稱為演繹推理演繹推理注：注：演繹推理是由演繹推理是由一般一般到到特殊特殊的推理；的推理；“三段

19、論三段論”是演繹推理的一般模式；如是演繹推理的一般模式；如下：下：1.1.所有的金屬都能導(dǎo)電所有的金屬都能導(dǎo)電, , 所以銅能夠?qū)щ娝糟~能夠?qū)щ? .因為銅是金屬因為銅是金屬, , 大前提大前提小前提小前提結(jié)論結(jié)論大前提大前提小前提小前提結(jié)論結(jié)論三段論是演繹推理的一般模式三段論是演繹推理的一般模式,包括包括:(1)大前提大前提 已知的一般原理已知的一般原理;(2)小前提小前提 所研究的特殊情況所研究的特殊情況;(3)結(jié)論結(jié)論 根據(jù)一般原理根據(jù)一般原理,對對殊情況做出的判斷殊情況做出的判斷.特特M是是P，S是是M，所以，所以，S是是P。 用集合論的觀點看用集合論的觀點看,三段論三段論的依據(jù)是的

20、依據(jù)是:若集若集合合M的所有元素都具有性質(zhì)的所有元素都具有性質(zhì)P,S是是M的一個子的一個子集集,那么那么S中所有元素也都具有性質(zhì)中所有元素也都具有性質(zhì)P.M MS Sa a一條拋物線二次函數(shù)的圖象是一條拋物線21yxx函數(shù)是二次函數(shù);的圖象是一條拋物線所以，函數(shù)12xxy感受理解說明:為了方便,在運用三段論推理時,常常采用省略大前提或小前提的表述方式.21.yxx練習 把“函數(shù)的圖象是_“恢復(fù)成完全三段論。結(jié) 論:大前提:小前提:數(shù)學(xué)上的證明主要通過演繹推理來進行的，我們來看一個例子。（1）因為有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形，）因為有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形，在在ABD中，中，

21、ADBC，即，即ADB=900，所以所以ABD是直角三角形。是直角三角形。同理同理ABE是直角三角形。是直角三角形。（2）因為直角的三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，而而M是是Rt ABD斜邊斜邊AB的中點，的中點，DM是斜邊上的中線，是斜邊上的中線，所以所以DM= AB。12 同理同理EM= AB。 所以，所以，DM=EM。12例例1.如圖所示，在銳角三角形如圖所示，在銳角三角形ABC中，中，ADBC，BEAC，D，E是垂足。求證：是垂足。求證：AB的中點的中點M到到D，E的距離相等。的距離相等。AMBCDE證明：證明：“三段論三段論”可以表述為可以表述為大前提：大前提：M P。小前提：小前

22、提：S M。結(jié)結(jié) 論：論：S P。 由此可見，應(yīng)用三段論解決問題時，首先應(yīng)該明確什么是大前提和小前提。但為了簡潔，如果大前提是顯然的，則可以省略。例例2 證明函數(shù)證明函數(shù) 上是增函數(shù)。上是增函數(shù)。2( )2(,1f xxx 在分析：證明本例所依據(jù)的分析：證明本例所依據(jù)的大前提大前提是增函數(shù)的定義，即函數(shù)是增函數(shù)的定義，即函數(shù)y=f(x)滿足：在給定區(qū)間內(nèi)任取自變量的兩個值滿足：在給定區(qū)間內(nèi)任取自變量的兩個值x1,x2,若若x1x2，則有則有f(x1)f(x2).小前提小前提是是f(x)=-x2+2x,x 滿足增函數(shù)的定義，這是滿足增函數(shù)的定義，這是證明本例的關(guān)鍵。證明本例的關(guān)鍵。1 （ - ，證明：證明：12121x ,x,xx , 任取且221211222121222f ( x )f ( x )(xx )(xx )( xx )( xx) 12210 xx ,xx;因為所以121221120 x ,x,xx ,xx.因為所以12120f ( x )f ( x ),f ( x )f ( x ).因此，即221f ( x )xx,于是，根據(jù)“三段論”，可知在上是增函數(shù)。 還有其他方法嗎?想一想想一想? ?推理形式正確,但推理結(jié)論錯誤,因為大前提錯誤。