2015年高中數(shù)學(xué)3.4.2函數(shù)模型及其應(yīng)用(3)(精)

1、www.cs- www.cs- 情境問題: 某學(xué)生離家去學(xué)校，為了鍛煉身體，一開始跑步前進，跑累了再走余 下的路程下圖中，縱軸表示離學(xué)校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時間，則 下列四個圖形中較符合該學(xué)生的走法的是 ( (D 在解決實際問題中，靈活選擇數(shù)學(xué)模型是解決問題的關(guān)鍵. 情境問題: 某工廠第一季度某產(chǎn)品月產(chǎn)量分別為1萬件.12萬件.13萬件.為了 估測以后每個月的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)量為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬該產(chǎn) 品的月產(chǎn)量y與月份兀的關(guān)系.模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù)y= “&+c( 其中宀b b9 9 c為常數(shù)).已知4月份的產(chǎn)量為136萬件，問：用以上哪個函數(shù) 作為模擬函數(shù)好？為

2、什么？ www.cs- 數(shù)學(xué)建構(gòu): 1.1. 數(shù)據(jù)的擬合. 數(shù)據(jù)擬合就是研究變量之間這種關(guān)系， 并給出近似的數(shù)學(xué)表達式的 一種方法.根據(jù)擬合模型，我們還可以對某變量進行預(yù)測或控制.解決 數(shù)據(jù)擬合問題應(yīng)首先作出散點圖，然后通過觀察散點趨勢選用相應(yīng)的模 型進行擬合.為使散點圖更為清晰，可將數(shù)據(jù)適當(dāng)簡化. 2.2. 函數(shù)模型的選擇. (1) 直線型函數(shù)一次函數(shù) k k 反比例幕型函數(shù) y= (兀0) www.cs- X X I CICI (2) 對稱型函數(shù)y=hay=hax x+b+b 或 仃* www.cs- 數(shù)學(xué)應(yīng)用暑 例1.現(xiàn)有一杯用88 C熱水沖的速溶咖啡，放在24C的房間中，如果咖啡 降溫

3、到409需要20min,那么降溫到329時， 需要多長時間； 降溫到369 時， 需要多長時間(結(jié)果精確到0.1)? 物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述：設(shè)物體禺 初始 溫度是幾，經(jīng)過一定時間詬的溫度是八則7-幾=(幾-7；) ) 其中町表示環(huán)境溫度，稱為半衰期. www.cs- 例2在經(jīng)濟學(xué)中，函數(shù)/仗)的邊際函數(shù)M/U) )的定義= - /(x),某公司每月最多生長100臺報警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)x臺(xeN*)W收入 為/?(x)=3000 x-20 x2(單位：元)，其成本函數(shù)為C(x) = 500 x+4000(單位: 元)，利潤是收入與成本之差 求利潤函數(shù)仗)及邊際利潤函數(shù)M

4、P(x)； (2)利潤函數(shù)P(x)與邊際利潤函數(shù)MP(x)是否有相同的最大值？ 邊際函數(shù)是經(jīng)濟學(xué)中的一個基本概念，也是通過大量的數(shù)據(jù)擬 合，從中篩選出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，從而使得經(jīng)濟學(xué)研究更加準(zhǔn)確， 決策更加科學(xué) 情境問題: 1. 一流的職業(yè)高爾夫選手約70桿即可打完十八洞，而初學(xué)者約160桿.初 學(xué)者打高爾夫球，通常是開始時進步較快，但進步到某個程度后就不易再 出現(xiàn)大幅進步某球員從入門學(xué)起，他練習(xí)打髙爾夫球的成績記錄如下圖 所示：根據(jù)圖中各點，請你從下列函數(shù)中：(l)y=ax(l)y=ax2 2bxcbxci i (2)y=ha(2)y=hax x+ b+ b； (兀0)； 判斷哪一種函數(shù)模型最

5、能反映這位球員練習(xí)的進 展情況？ *十。 打完18洞的桿數(shù) 160 140 120 100 80 -J 20 40 60 80 m.cOcn m.hlW.cn200 練習(xí)總次數(shù) 數(shù)學(xué)探究: 過(40, 120), (80, 100), (120, 90)三點的 打完關(guān)的桿數(shù)二次函數(shù)的解析式為尸碁一”5。 y=axy=ax2 2- - - -bx+cbx+c 160 140 120 100 8D -f -j -T a 100 80 數(shù)學(xué)探究: k k 過(40, 120), (80, 100), (120, 90)三點的幕 歹=二+ (兀0) 4800 A十。 型函數(shù)的解析式為.V=和莎+60

6、(兀0) 打完18洞的桿數(shù) 160 140 120 I 數(shù)學(xué)探究: y=ky=kax+bax+b 尸80 X閒盍+80 （兀 0） 160 140 120 100 8D 打完18洞的桿數(shù) -f -j -T TO5b_sb_WW/.C 心 cn 練習(xí)總次數(shù) 100 80 練習(xí)總次數(shù) 7UTO50So100 120 140 160 180 200www.cs- 數(shù)學(xué)應(yīng)用: 綜上所述，該問題選指數(shù)型函數(shù)進行擬合較好 按照這種趨勢，如果他不退步，至第200次練習(xí)時，打完十八洞估測 約多少桿？ 由) )=80X 驢+80 當(dāng)x=200時，尸83桿. www.cs- 數(shù)學(xué)應(yīng)用： 在處理數(shù)據(jù)擬合(預(yù)測或控制

7、)問題時，通常需要以下幾個步驟: (1) 根據(jù)原始數(shù)據(jù)，在屏幕直角坐標(biāo)系中繪出散點圖； (2) 通過觀察散點圖，畫出“最貼近”的曲線，即擬合曲線； (3) 根據(jù)所學(xué)知識，設(shè)出擬合曲線的函數(shù)解析式. (4) 利用此函數(shù)解析式，根據(jù)條件對所給的問題進行預(yù)測和控制. 因此至第20U次練習(xí)時, 打完www.cs- 數(shù)學(xué)應(yīng)用: 例3.某工廠第一季度某產(chǎn)品月產(chǎn)量分別為1萬件、1.2萬件 1.3萬件.為了 估測以后每個月的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)量為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬該產(chǎn) 品的月產(chǎn)量y與月份兀的關(guān)系.模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù)y= d+c（ 其中宀b b9 9 c為常數(shù)）.已知4月份的產(chǎn)量為136萬件，問

8、：用以上哪個函數(shù) 作為模擬函數(shù)好？為什么？ www.cs- 數(shù)學(xué)應(yīng)用: 2. 一家人（父親.母親.孩子）去某地旅游，有兩空旅行社同時發(fā)岀邀 請，且有各自的優(yōu)惠政策甲旅行社承諾，只要父親一人買全票，其 他家庭成員均享受半價；乙旅行社承諾，家庭旅行算團體旅行，按全 價的三分之二計算.己知這兩家的原價是一樣的，若家庭中的孩子數(shù) 是不同的，試分別列出兩家旅行社優(yōu)惠政策實施后的孩子個數(shù)為變量 的收費表達式，并比較選擇哪家更優(yōu)惠？ 數(shù)學(xué)應(yīng)用 3.某化工廠生產(chǎn)的一種溶液，按市場要求，雜質(zhì)含量不能超過0. 1%,若 初時含雜質(zhì)2%,每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少丄，問：至少應(yīng)過濾幾次才 能使產(chǎn)品達到市www.cs- 場要求？ 彳 4.己知鐳經(jīng)過100年剩留原來質(zhì)量的95.76%,試計算鐳的半衰期？ www.cs- 數(shù)學(xué)應(yīng)用: 5.某工廠的一種產(chǎn)品的年產(chǎn)量第二年比第一年增加21%,第三年比第二年 增加44%,則這兩年的平均增長率為 _ 6.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)在人均一年占有糧食360千克，如果該鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口平均每年增 長