第02章 平面問題的基本理論_2015-part5

1、q 2.1 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題q 2.2 平面問題中的一點應(yīng)力狀態(tài)分析平面問題中的一點應(yīng)力狀態(tài)分析q 2.3 平面問題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程q 2.4 平面問題的幾何方程與剛體位移平面問題的幾何方程與剛體位移q 2.5 平面問題的物理方程平面問題的物理方程q 2.6 平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件 q 2.7 圣維南原理及應(yīng)用圣維南原理及應(yīng)用q 2.8 按位移求解平面問題按位移求解平面問題q 2.9 按應(yīng)力求解平面問題及相容方程按應(yīng)力求解平面問題及相容方程q 2.10 常體力情況下的簡化與應(yīng)力函數(shù)常體力情況下的簡化與應(yīng)力函數(shù)主要內(nèi)容主要內(nèi)容

2、2.10 常體力情況下的簡化及應(yīng)力函數(shù)常體力情況下的簡化及應(yīng)力函數(shù)當實際工程問題中體力為常量，即體力分量當實際工程問題中體力為常量，即體力分量fx，fy 不隨不隨x和和y座標改座標改變時變時（如重力和常加速度平移時的慣性力）（如重力和常加速度平移時的慣性力），此時，兩類平面問題的，此時，兩類平面問題的都能得到簡化。將上述條件代入式都能得到簡化。將上述條件代入式（2-212-21）或或（2-222-22），得常體力時，得常體力時的相容方程：的相容方程：此外，還滿足平衡微分方程：此外，還滿足平衡微分方程：00yxyyxyxxfxyfyx和應(yīng)力邊界條件：和應(yīng)力邊界條件：)()()()(sfmlsfm

3、lysyxyxsxyx0)(2222yxyx(2-23)2.10 常體力情況下的簡化及應(yīng)力函數(shù)常體力情況下的簡化及應(yīng)力函數(shù)體力為常量時體力為常量時，按應(yīng)力法求解平面問題時，應(yīng)力分量按應(yīng)力法求解平面問題時，應(yīng)力分量 x、 y、 xy滿足的方程為：滿足的方程為：（1 1）平衡微分方程）平衡微分方程(2-2)；（2 2）簡化后的相容方程）簡化后的相容方程(2-23) ；（3 3）同時在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件）同時在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件(2-15)；（4 4）對于多連體，還須考慮位移的單值條件。）對于多連體，還須考慮位移的單值條件。在（在（1 1）常體力、（）常體力、（2 2）單連體、（）單連體、（

4、3 3）全部為應(yīng)力邊）全部為應(yīng)力邊界條件時，平面問題的應(yīng)力解具有如下特征：界條件時，平面問題的應(yīng)力解具有如下特征：在在 - - 條件下求解應(yīng)力分量的全部條件中均不包條件下求解應(yīng)力分量的全部條件中均不包含彈性常數(shù)，故應(yīng)力分量解與彈性常數(shù)無關(guān)。含彈性常數(shù)，故應(yīng)力分量解與彈性常數(shù)無關(guān)。 2.10 常體力情況下的簡化及應(yīng)力函數(shù)常體力情況下的簡化及應(yīng)力函數(shù)由于應(yīng)力解與彈性常數(shù)無關(guān)，故對于兩類平面問題都由于應(yīng)力解與彈性常數(shù)無關(guān)，故對于兩類平面問題都相同。因此，相同。因此，當體力為常量，當體力為常量，只要彈性體受外力和邊界只要彈性體受外力和邊界形狀相同形狀相同，則，則: : （1 1）不同材料的應(yīng)力解理論上

5、是相同的，因此用試）不同材料的應(yīng)力解理論上是相同的，因此用試驗方法求應(yīng)力時可用不同材料來代替；驗方法求應(yīng)力時可用不同材料來代替； （2 2）兩類平面問題的應(yīng)力解）兩類平面問題的應(yīng)力解 x、 y、 xy是相同的。是相同的。試驗時可用平面應(yīng)力模型代替平面應(yīng)變模型。試驗時可用平面應(yīng)力模型代替平面應(yīng)變模型。 （3 3）兩類平面問題應(yīng)力解）兩類平面問題應(yīng)力解 x、 y、 xy相同，但是相同，但是 z 和應(yīng)變、位移分量的分布不一定相同。和應(yīng)變、位移分量的分布不一定相同。2.10 常體力情況下的簡化及應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)常體力情況下的簡化及應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)1 1、首先考察平衡微分方程，它是一個非齊次微分方程組，

6、其解包含首先考察平衡微分方程，它是一個非齊次微分方程組，其解包含兩部分，即其兩部分，即其全解等于非齊次微分方程的特解與齊次微分方程的通解全解等于非齊次微分方程的特解與齊次微分方程的通解的疊加的疊加。00yxyyxyxxfxyfyx（1 1）非齊次微分方程的特解：）非齊次微分方程的特解：0,或,0或0,xyyxyxyxxyyxxyyyxxyfxfyfxfyfxf下面詳細討論常體力情況下按應(yīng)力求解的基本方程和條件下面詳細討論常體力情況下按應(yīng)力求解的基本方程和條件2.10 常體力情況下的簡化及應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)常體力情況下的簡化及應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)00 xyyxxyyyxx（2 2）齊次微分方程的通解：

7、）齊次微分方程的通解：艾里艾里已經(jīng)求出該方程的通解為：已經(jīng)求出該方程的通解為：yxyxxyxyyxxyyx),(,),(,),(222222.10 常體力情況下的簡化及應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)常體力情況下的簡化及應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)（3 3）所以滿足平衡微分方程的全解為：任一組特解與通）所以滿足平衡微分方程的全解為：任一組特解與通解的疊加：解的疊加：yxyxyfxyxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(22222式中式中 稱為平面問題的稱為平面問題的應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)，又稱為，又稱為艾里應(yīng)力函數(shù)艾里應(yīng)力函數(shù)。它。它是一個待定的未知函數(shù)，必然滿足平衡微分方程，導(dǎo)出應(yīng)力函是一個待定的未知函數(shù)，必然滿足平

8、衡微分方程，導(dǎo)出應(yīng)力函數(shù)的過程已證明了其存在性。它使得按應(yīng)力求解平面問題的未數(shù)的過程已證明了其存在性。它使得按應(yīng)力求解平面問題的未知數(shù)由知數(shù)由3 3個減少為個減少為1 1個，由求解應(yīng)力分量個，由求解應(yīng)力分量 x、 y、 xy轉(zhuǎn)化為求解轉(zhuǎn)化為求解應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù) 。2.10 常體力情況下的簡化及應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)常體力情況下的簡化及應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)2 2、為了求解平面問題的應(yīng)力函數(shù)，下面來分析應(yīng)力函數(shù)所、為了求解平面問題的應(yīng)力函數(shù)，下面來分析應(yīng)力函數(shù)所滿足的條件。滿足的條件。024422444yyxx0)(2222yxyx很顯然，用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力分量很顯然，用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力分量（2 2-2

9、4-24）必須滿足常體必須滿足常體力情況下用應(yīng)力分量表示的相容方程力情況下用應(yīng)力分量表示的相容方程（2 2-23-23），為此將式，為此將式（2 2-24-24）代入代入（2 2-23-23）yxyxyfxyxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(22222用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程2.10 常體力情況下的簡化及應(yīng)力函數(shù)總結(jié)常體力情況下的簡化及應(yīng)力函數(shù)總結(jié)總之，體力為常量時總之，體力為常量時，按應(yīng)力法求解平面問題，可轉(zhuǎn)化為求按應(yīng)力法求解平面問題，可轉(zhuǎn)化為求解一個應(yīng)力函數(shù)解一個應(yīng)力函數(shù) ，它應(yīng)當滿足條件為：，它應(yīng)當滿足條件為：1 1、在區(qū)域內(nèi)滿足應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程

10、在區(qū)域內(nèi)滿足應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程(2-25) 2 2、在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件(2-15)，其中假設(shè)只求解全部其中假設(shè)只求解全部為應(yīng)力邊界條件的問題。為應(yīng)力邊界條件的問題。3 3、對于多連體，還須考慮位移的單值條件。對于多連體，還須考慮位移的單值條件。024422444yyxx相容方程：相容方程：應(yīng)力邊界條件：應(yīng)力邊界條件：)()()()(sfmlsfmlysyxyxsxyx2.10 常體力情況下的簡化及應(yīng)力函數(shù)總結(jié)常體力情況下的簡化及應(yīng)力函數(shù)總結(jié)根據(jù)上述條件求得應(yīng)力函數(shù)根據(jù)上述條件求得應(yīng)力函數(shù) 后，代入公式（后，代入公式（2 22424）即可求出應(yīng)力分量。即可求出應(yīng)

11、力分量。求得應(yīng)力分量求得應(yīng)力分量 x、 y、 xy后，代入物理方程后，代入物理方程(2-12)求應(yīng)求應(yīng)變分量，將應(yīng)變分量代入幾何方程變分量，將應(yīng)變分量代入幾何方程(2-8)，通過積分求位移通過積分求位移分量，其中的積分待定項由邊界約束條件來確定。分量，其中的積分待定項由邊界約束條件來確定。yxyxyfxyxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(22222總結(jié)總結(jié)p 平面問題求解方法平面問題求解方法1 1、按位移、按位移2 2、按應(yīng)力、按應(yīng)力3 3、按應(yīng)力函數(shù)、按應(yīng)力函數(shù)p 各求解方法推導(dǎo)過程及對比各求解方法推導(dǎo)過程及對比1、在常體力，單連體和全部為應(yīng)力邊界在常體力，單連體和全部為應(yīng)力邊界

12、條件條件下，對于不同材料和兩類平面條件條件下，對于不同材料和兩類平面問題的問題的 x， y和和 xy 均相同。試問其余的均相同。試問其余的應(yīng)力分量，應(yīng)變和位移是否相同？應(yīng)力分量，應(yīng)變和位移是否相同？2、對于按位移對于按位移(u, v)求解求解、按應(yīng)力按應(yīng)力( ( x, y, xy ) )求解和按應(yīng)力函數(shù)求解和按應(yīng)力函數(shù)求解的方法，試比較其求解的方法，試比較其未知函數(shù)未知函數(shù)、應(yīng)滿足的方程和條件應(yīng)滿足的方程和條件、求解的難求解的難易程度及局限性。易程度及局限性。 q 2.1 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題q 2.2 平面問題中的一點應(yīng)力狀態(tài)分析平面問題中的一點應(yīng)力狀態(tài)分析q

13、 2.3 平面問題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程q 2.4 平面問題的幾何方程與剛體位移平面問題的幾何方程與剛體位移q 2.5 平面問題的物理方程平面問題的物理方程q 2.6 平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件 q 2.7 圣維南原理及應(yīng)用圣維南原理及應(yīng)用q 2.8 按位移求解平面問題按位移求解平面問題q 2.9 按應(yīng)力求解平面問題及相容方程按應(yīng)力求解平面問題及相容方程q 2.10 常體力情況下的簡化與應(yīng)力函數(shù)常體力情況下的簡化與應(yīng)力函數(shù)主要內(nèi)容主要內(nèi)容 習題課習題課第二章第二章平面問題的基本理論平面問題的基本理論習題課習題課1、如圖所示，試寫出應(yīng)力邊界條件（固定邊不寫）。、如圖所示，

14、試寫出應(yīng)力邊界條件（固定邊不寫）。x=0邊界：邊界：y=h/2邊界：邊界：12/2/)( , 0)(qhyxyhyyy=-h/2邊界：邊界：0)( ,)()(2/22/hyxyhyylxq)()()()(sfmlsfmlysyxyxsxyxShhxxyhhxxNhhxxFydMydyFdy220220220)()()(習題課習題課2、如圖所示，試寫出各平面物體的位移邊界條件（用直、如圖所示，試寫出各平面物體的位移邊界條件（用直角坐標表示），其中圖（角坐標表示），其中圖（b）中中O點不動，過點不動，過O點的水平點的水平線段無轉(zhuǎn)動。線段無轉(zhuǎn)動。(u) x=0,y=-h/2 = 0(u) x=0,y

15、=h/2 = 0(v) x=0,y=h/2 = 0(u) x=0,y=0 =0 (v) x=0,y=0 = 00)(0, 0yxx(u) x=0,y=0 = 0(v) x=0,y=0 = 0(u) x=l,y=0 = 0(v) x=l,y=0 = 0(v) x=l,y=h/2 = 0(u) x=0,y=0 =0 ,(v) x=0,y=0 = 0(ucosa a+vsina a) x=l,y=0 = 0習題課習題課3、如圖所示的梁，受到荷載如圖，試應(yīng)用下列應(yīng)力表達、如圖所示的梁，受到荷載如圖，試應(yīng)用下列應(yīng)力表達式求其應(yīng)力并校核。式求其應(yīng)力并校核。（體力不計）（體力不計）xCxyhqCyCyhqy

16、yxhqxyyx123213332362)46(202qh)202(22qhqlxy) 1,(hlloqqlh/2h/2202qh)202(22qhqlxy) 1,(hlloqqlh/2h/2習題課習題課解：按應(yīng)力法求解。其滿足條件為解：按應(yīng)力法求解。其滿足條件為:(1)平衡微分方程平衡微分方程(2)相容方程相容方程(3)邊界條件邊界條件一、校核一、校核平衡微分方程平衡微分方程 經(jīng)校核是滿足的。經(jīng)校核是滿足的。xCxyhqCyCyhqyyxhqxyyx123213332362)46(202qh)202(22qhqlxy) 1,(hlloqqlh/2h/2202qh)202(22qhqlxy)

17、1,(hlloqqlh/2h/2二、校核二、校核相容方程相容方程 經(jīng)校核是滿足的。經(jīng)校核是滿足的。習題課習題課xCxyhqCyCyhqyyxhqxyyx123213332362)46(三、校核邊界條件：三、校核邊界條件：先校核主要邊界上邊界條件先校核主要邊界上邊界條件: : 得到應(yīng)力分量解答如下：得到應(yīng)力分量解答如下： xhqxyhqqyhqyhqyyxhqxyyx2362232)46(2333323202qh)202(22qhqlxy) 1,(hlloqqlh/2h/2202qh)202(22qhqlxy) 1,(hlloqqlh/2h/2222()0,()()0yy hyyhxyyhq 由

18、此解得：由此解得：C1= -3q/(2h) C2 = -q/2習題課習題課再校核次要邊界再校核次要邊界x=0上邊界條件上邊界條件:將所求應(yīng)力代入，經(jīng)校核，三個等將所求應(yīng)力代入，經(jīng)校核，三個等式均成立，故所求應(yīng)力滿足該小邊式均成立，故所求應(yīng)力滿足該小邊界上的積分邊界條件。界上的積分邊界條件。 xhqxyhqqyhqyhqyyxhqxyyx2362232)46(2333323邊界上應(yīng)滿足的積分邊界條件為邊界上應(yīng)滿足的積分邊界條件為:20)(0)(0)(2220220220qhydydydyhhxxhhxxhhxxy202qh)202(22qhqlxy) 1,(hlloqqlh/2h/2202qh)

19、202(22qhqlxy) 1,(hlloqqlh/2h/2習題課習題課校核次要邊界校核次要邊界 x=l 上邊界條件上邊界條件:xhqxyhqqyhqyhqyyxhqxyyx2362232)46(2333323202qh)202(22qhqlxy) 1,(hlloqqlh/2h/2202qh)202(22qhqlxy) 1,(hlloqqlh/2h/2)202()(0)()(22222222qhqlydydyqldyhhlxxhhlxxhhlxxy邊界上應(yīng)滿足的積分邊界條件為邊界上應(yīng)滿足的積分邊界條件為:將所求應(yīng)力代入，經(jīng)校核，三個等式將所求應(yīng)力代入，經(jīng)校核，三個等式均成立，故所求應(yīng)力滿足該小

20、邊界上均成立，故所求應(yīng)力滿足該小邊界上的積分邊界條件。的積分邊界條件。 習題課習題課綜上，所求的應(yīng)力分量滿足所有的條件，綜上，所求的應(yīng)力分量滿足所有的條件，因此是如圖所示問題的解。因此是如圖所示問題的解。xhqxyhqqyhqyhqyyxhqxyyx2362232)46(2333323202qh)202(22qhqlxy) 1,(hlloqqlh/2h/2202qh)202(22qhqlxy) 1,(hlloqqlh/2h/2習題課習題課4、習題、習題217)4(60122233yhhFbIQSxyhFyIMxyyx解：根據(jù)材料力學(xué)相關(guān)知識，其解：根據(jù)材料力學(xué)相關(guān)知識，其應(yīng)力分量解如下：應(yīng)力分

21、量解如下：h/2h/2AxylFO) 1,(hlh/2h/2AxylFO) 1,(hl習題課習題課)4(60122233yhhFbIQSxyhFyIMxyyx該應(yīng)力分量解應(yīng)滿足的條件為：該應(yīng)力分量解應(yīng)滿足的條件為：(1)平衡微分方程平衡微分方程(2)相容方程相容方程(3)邊界條件邊界條件一、校核一、校核平衡微分方程平衡微分方程 經(jīng)校核是滿足的。經(jīng)校核是滿足的。二、校核二、校核相容方程相容方程 經(jīng)校核是滿足的。經(jīng)校核是滿足的。h/2h/2AxylFO) 1,(hlh/2h/2AxylFO) 1,(hl習題課習題課)4(60122233yhhFbIQSxyhFyIMxyyx三、校核邊界條件：三、校

22、核邊界條件：主要邊界上邊界條件為主要邊界上邊界條件為: : h/2h/2AxylFO) 1,(hlh/2h/2AxylFO) 1,(hl22()0()0yyhxyyh將應(yīng)力代入，經(jīng)校核，兩個等式均成將應(yīng)力代入，經(jīng)校核，兩個等式均成立，故所求應(yīng)力滿足兩個主要邊界上立，故所求應(yīng)力滿足兩個主要邊界上的應(yīng)力邊界條件。的應(yīng)力邊界條件。 習題課習題課)4(60122233yhhFbIQSxyhFyIMxyyx再校核次要邊界再校核次要邊界x=0上邊界條件上邊界條件:h/2h/2AxylFO) 1,(hlh/2h/2AxylFO) 1,(hl0)(0)()(220220220hhxxhhxxhhxxyydyd

23、yFdy邊界上應(yīng)滿足的積分邊界條件為邊界上應(yīng)滿足的積分邊界條件為:將所求應(yīng)力代入，經(jīng)校核，三個將所求應(yīng)力代入，經(jīng)校核，三個等式均成立，故所求應(yīng)力滿足該等式均成立，故所求應(yīng)力滿足該小邊界上的積分邊界條件。小邊界上的積分邊界條件。 習題課習題課)4(60122233yhhFbIQSxyhFyIMxyyx再校核次要邊界再校核次要邊界x=l上邊界條件上邊界條件:h/2h/2AxylFO) 1,(hlh/2h/2AxylFO) 1,(hlFlydydyFdyhhlxxhhlxxhhlxxy222222)(0)()(邊界上應(yīng)滿足的積分邊界條件為邊界上應(yīng)滿足的積分邊界條件為:將所求應(yīng)力代入，經(jīng)校核，三個等將

24、所求應(yīng)力代入，經(jīng)校核，三個等式均成立，故所求應(yīng)力滿足該小邊式均成立，故所求應(yīng)力滿足該小邊界上的積分邊界條件。界上的積分邊界條件。 習題課習題課)4(60122233yhhFbIQSxyhFyIMxyyx綜上，所求的應(yīng)力分量滿足所有的條件，綜上，所求的應(yīng)力分量滿足所有的條件，因此是如圖所示問題的解。因此是如圖所示問題的解。h/2h/2AxylFO) 1,(hlh/2h/2AxylFO) 1,(hl習題課習題課5 5：如圖所示單位寬度薄板懸梁，跨度為如圖所示單位寬度薄板懸梁，跨度為l，其上表面其上表面承受三角形分布載荷作用，體力不計。試根據(jù)材料力承受三角形分布載荷作用，體力不計。試根據(jù)材料力學(xué)的應(yīng)

25、力表達式，由平衡微分方程及邊學(xué)的應(yīng)力表達式，由平衡微分方程及邊界條件求另兩個應(yīng)力分量，并校核是否為該問題解。界條件求另兩個應(yīng)力分量，并校核是否為該問題解。（固定端不考慮）（固定端不考慮）yxlhq330 x2習題課習題課0)(32230yxyyxyfxyxfyxlhq解解：（：（1 1）將將 x代入平衡微分方程第一式代入平衡微分方程第一式02330 xyxxxfyxyxlhq)()(2330 xgyxfxylhqy)(32230 xfyxlhqxy （2 2）將將 xy代入平衡微分方程第二式代入平衡微分方程第二式習題課習題課)(3)()(222230330330 xxfyxlhqxgyxfxylhqyxlhqxyy（3 3）校核邊界條件，并由此求表達）校核邊界條件，并由此求表達式中的待定函數(shù)式中的待定函數(shù)主要邊界主要邊界 y=h/2 上邊界條件上邊界條件: : xlqxgxhlqxf2)(43)(020解得：解得：22()0()0yy hxyy h習題課習題課)4(43433223222223020223000330330 xyhxlhqxhlqyxlhqxlqxyhlqxylhqyxlhqxyy（3 3）校核）校核 y=-h/2 上的邊界條件上的