離散數(shù)學(xué)1212離散概率ppt課件

1、第第1212章章 離散概率離散概率 第第1212章章 離散概率離散概率 12.1 隨機(jī)事件與概率、事件的運(yùn)算隨機(jī)事件與概率、事件的運(yùn)算 12.2 條件概率與獨(dú)立性條件概率與獨(dú)立性 12.3 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量 12.4 概率母函數(shù)概率母函數(shù) 12.1 隨機(jī)事件與概率、事件的運(yùn)算隨機(jī)事件與概率、事件的運(yùn)算 12.1.1 隨機(jī)事件與概率隨機(jī)事件與概率 樣本空間與樣本點(diǎn)樣本空間與樣本點(diǎn), 離散樣本空間離散樣本空間 根身手件根身手件, 必然事件必然事件, 不能夠事件不能夠事件 12.1.2 事件的運(yùn)算事件的運(yùn)算 和事件和事件, 積事件積事件, 差事件差事件, 逆事件逆事件, 互不相互不相容容

2、 加法公式與假設(shè)當(dāng)公式加法公式與假設(shè)當(dāng)公式隨機(jī)實驗與隨機(jī)事件隨機(jī)實驗與隨機(jī)事件 例例1 擲硬幣實驗擲硬幣實驗 例例2 摸小球?qū)嶒灻∏驅(qū)嶒? 設(shè)袋中有設(shè)袋中有10個一樣的小球個一樣的小球, 分別編號分別編號 0,1,9, 從中任取一個從中任取一個. 隨機(jī)實驗隨機(jī)實驗:可以在一樣條件下反復(fù)進(jìn)展的實驗可以在一樣條件下反復(fù)進(jìn)展的實驗樣本點(diǎn)樣本點(diǎn):隨機(jī)實驗的能夠結(jié)果隨機(jī)實驗的能夠結(jié)果樣本空間樣本空間:樣本點(diǎn)的全體樣本點(diǎn)的全體, 通常記作通常記作 .離散樣本空間離散樣本空間:只需有窮個或可數(shù)無窮個樣本點(diǎn)的樣本空間只需有窮個或可數(shù)無窮個樣本點(diǎn)的樣本空間隨機(jī)事件隨機(jī)事件(事件事件):樣本空間的子集樣本空間的

3、子集事件事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)實驗的結(jié)果發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)實驗的結(jié)果A 隨機(jī)事件的概率隨機(jī)事件的概率, 1)(p ApAP )()(根身手件根身手件:只含一個樣本點(diǎn)的事件只含一個樣本點(diǎn)的事件必然事件必然事件:必然發(fā)生的事件必然發(fā)生的事件, 即即 本身本身不能夠事件不能夠事件:不能夠發(fā)生的事件不能夠發(fā)生的事件, 即空集即空集定義定義12.1 設(shè)設(shè) 是離散樣本空間是離散樣本空間, 實函數(shù)實函數(shù)p: R滿足條件滿足條件:(1) , 0p( )1,(2) 稱稱p是是 上的概率上的概率, p( )是樣本點(diǎn)是樣本點(diǎn) 的概率的概率.事件事件A的概率規(guī)定為的概率規(guī)定為實例實例例例1(續(xù)續(xù)) 擲硬幣擲硬幣. 樣本

4、點(diǎn)樣本點(diǎn): 0(正面向上正面向上), 1(反面向上反面向上). = 0, 1, p( 0)= p( 1)=0.5 .例例2(續(xù)續(xù)) 摸小球摸小球. 樣本點(diǎn)樣本點(diǎn): i (摸到編號摸到編號i的小球的小球), i=0,1,9, = i | i=0,1,9, p( i)=0.1, i=0,1,9.記記A:摸到編號不超越摸到編號不超越5的小球的小球, B:摸到編號為偶數(shù)的小球摸到編號為偶數(shù)的小球, C:摸到編號小于摸到編號小于10的小球的小球, D:摸到編號大于摸到編號大于10的小球的小球, A= i| i=0,1,5, P(A)=0.6. B= i| i=0,2,4,6,8, P(B)=0.5. C

5、= , 必然事件必然事件, P(C)=1. D=, 不能夠事件不能夠事件, P(D)=0.實例實例001!iiiieeieei , 1 , 0,!)(ieiipi 例例3 思索某網(wǎng)站主頁在一天內(nèi)被訪問的次數(shù)思索某網(wǎng)站主頁在一天內(nèi)被訪問的次數(shù), =N.設(shè)設(shè) 上的概率上的概率其中其中 0是一常數(shù)是一常數(shù).不難驗證不難驗證p(i)滿足條件滿足條件:(1) i, 0p(i)1,(2)事件的運(yùn)算事件的運(yùn)算 AAAA和事件和事件AB: AB發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生或發(fā)生或B發(fā)生發(fā)生積事件積事件AB(AB):AB發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A與與B同時發(fā)生同時發(fā)生差事件差事件AB: AB發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)發(fā)生當(dāng)

6、且僅當(dāng)A發(fā)生且發(fā)生且B不發(fā)生不發(fā)生逆事件逆事件 : = A, 發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A不發(fā)生不發(fā)生A與與B互不相容互不相容: AB=A與與 互不相容互不相容, 但反之不真但反之不真事件運(yùn)算的計算公式事件運(yùn)算的計算公式)()1()()()()(21111nnkjikjijijiniiniiAAAPAAAPAAPAPAPniiniiAPAP11)()(A1 加法公式加法公式 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB).當(dāng)當(dāng)A與與B互不相容時互不相容時, P(AB)=P(A)+P(B).2 假設(shè)當(dāng)公式假設(shè)當(dāng)公式當(dāng)當(dāng)A1,A2,An兩兩互不相容時兩兩互不相容時,3 P( )=1P(A) ,實例實例例例

7、4 從從1100中任取一個整數(shù)中任取一個整數(shù)n, 求求n能被能被6或或8整除整除的概率的概率.25610024/1001008/1001006/100解解 記記A:n能被能被6整除整除, B:n能被能被8整除整除. 所求概率為所求概率為P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)例例3(續(xù)續(xù)) 求該網(wǎng)站主頁在一天內(nèi)至少被訪問一次的概率求該網(wǎng)站主頁在一天內(nèi)至少被訪問一次的概率.解解 記記A:至少被訪問一次至少被訪問一次,AP(A)=1P( )=1e .12.2 條件概率與獨(dú)立性條件概率與獨(dú)立性 12.2.1 條件概率條件概率 乘法公式乘法公式 全概率公式全概率公式 12.2.2 獨(dú)立性獨(dú)立性 12.

8、2.3 伯努利概型與二項概率公式伯努利概型與二項概率公式 條件概率的引入條件概率的引入 某班有某班有30名學(xué)生名學(xué)生, 其中其中20名男生名男生, 10名女生名女生, 身高身高1.70米以米以上的有上的有15名名,其中其中12名男生名男生,3名女生名女生.任選一名學(xué)生任選一名學(xué)生,問問:(1)該學(xué)生身高該學(xué)生身高1.70米以上的概率是多少米以上的概率是多少?(2)發(fā)現(xiàn)該生是男生發(fā)現(xiàn)該生是男生, 他的身高他的身高1.70米以上的概率是多少米以上的概率是多少?答案答案 (1) 15/30=0.5. (2) 12/20=0.6. 分析分析 記記A:男生男生, B:1.7米以上米以上(1)求求P(A)

9、; (2)知知A發(fā)生發(fā)生, 求求B發(fā)生的概率發(fā)生的概率.稱作在稱作在A發(fā)發(fā)生的條件下生的條件下,B 的條件概率的條件概率,記作記作P(B|A). )()(30/2030/122012)|(APABPABP條件概率與乘法公式條件概率與乘法公式 定義定義12.2 設(shè)設(shè)A, B是兩個隨機(jī)事件且是兩個隨機(jī)事件且P(A)0, 稱稱 P(B|A)= P(AB)/P(A)為在事件為在事件A發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件B的條件概率的條件概率.4 乘法公式乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A), 其中其中P(A)0.更普通地更普通地, 設(shè)設(shè)P(A1A2An1)0, n2, 那么那么 P(A1A2An)=

10、P(A1A2An1)P(An|A1A2An1) =P(A1A2An2)P(An1|A1A2An2)P(An|A1A2An1) = =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An1).全概率公式全概率公式niiiBAPBPAP1)|()()(niiniiABBAA11niiiniiniiBAPBPABPABPAP111)|()()()()(niiB1設(shè)樣本空間設(shè)樣本空間 , 假設(shè)事件假設(shè)事件B1,B2,Bn兩兩互不相容且兩兩互不相容且 = ,那么稱那么稱B1,B2,Bn是樣本空間是樣本空間 的一個劃分的一個劃分.定理定理12.1(全概率公式全概率公式) 設(shè)設(shè)B1,B2,B

11、n是樣本空間的一個是樣本空間的一個劃分且劃分且P(Bi)0, i=1,2,n, A是任一隨機(jī)事件是任一隨機(jī)事件, 那么那么證證 且且(ABi)(ABj)= (ij), 故故實例實例例例1 1 某系統(tǒng)有某系統(tǒng)有5 5條通訊線路條通訊線路. . 據(jù)統(tǒng)計資料系統(tǒng)接納的報文據(jù)統(tǒng)計資料系統(tǒng)接納的報文來自這來自這5 5條線路的百分比分別為條線路的百分比分別為20%, 30%, 10%, 15%20%, 30%, 10%, 15%和和25%, 25%, 報文超越報文超越100100個字母的概率分別為個字母的概率分別為0.4, 0.6, 0.2, 0.4, 0.6, 0.2, 0.80.8和和0.9. 0.9

12、. 任取一個報文任取一個報文, , 求其長度超越求其長度超越100100個字母的概率個字母的概率. .解解 記記A:超越超越100個字母個字母, Bi:來自第來自第i條線路條線路, i=1,2,5.P(B1)=0.2, P(B2)=0.3, P(B3)=0.1, P(B4)=0.15, P(B5)=0.25,P(A|B1)=0.4, P(A|B2)=0.6, P(A|B3)=0.2, P(A|B4)=0.8, P(A|B5)=0.9,由全概率公式由全概率公式 P(A)=0.20.4+0.30.6+0.10.2+0.150.8+0.250.9 =0.625.實例實例例例2 袋中有袋中有6個紅球和

13、個紅球和4個綠球個綠球, 從袋中取兩次從袋中取兩次, 每次任取每次任取一個球一個球. 有兩種取法有兩種取法: a.放回抽樣放回抽樣, b.不放回抽樣不放回抽樣. (1) 求第一次取到紅球的概率求第一次取到紅球的概率.(2) 求第二次取到紅球的概率求第二次取到紅球的概率.(3) 知第一次取到紅球知第一次取到紅球, 求第二次取到紅球的概率求第二次取到紅球的概率.1069610495106)(BP解解 設(shè)設(shè)A:第一次取到紅球第一次取到紅球, B:第二次取到紅球第二次取到紅球. (1) 求求 (2) 求求 (3) 求求P(A)P(B)P(B|A)a. 放回抽樣放回抽樣. P(A)=P(B)=P(B|A

14、)=6/10.b. 不放回抽樣不放回抽樣.P(A)=6/10, P(B|A)=5/9,獨(dú)立性獨(dú)立性放回抽樣中放回抽樣中P(B)=P(B|A), P(B)=P(B|A), 不放回抽樣中不放回抽樣中 P(B)P(B|A). P(B)P(B|A).當(dāng)當(dāng)P(A)0P(A)0時時, P(B)=P(B|A), P(B)=P(B|A)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)P(AB)=P(A)P(B). P(AB)=P(A)P(B). 定義定義12.3 12.3 假設(shè)假設(shè)P(AB)=P(A)P(B), P(AB)=P(A)P(B), 那么稱事件那么稱事件A A和和B B相互獨(dú)相互獨(dú)立立. .例例3 3 兩戰(zhàn)士打靶兩戰(zhàn)士打靶, ,

15、知甲的命中率為知甲的命中率為0.9, 0.9, 乙的命中率為乙的命中率為0.7.0.7.兩人射擊同一個目的兩人射擊同一個目的, , 各打一槍各打一槍. . 求目的被擊中的概率求目的被擊中的概率. .解解 設(shè)設(shè)A:A:甲擊中目的甲擊中目的, B:, B:乙擊中目的乙擊中目的. . 可以假設(shè)可以假設(shè)A A與與B B相互獨(dú)相互獨(dú)立立. . 于是于是, , P(AB)= P(A)+P(B) P(AB)= P(A)+P(B)P(A)P(B)P(A)P(B) =0.9+0.7 =0.9+0.70.90.90.7=0.97. 0.7=0.97. 獨(dú)立性獨(dú)立性(續(xù)續(xù))()()()(2121kkiiiiiiAP

16、APAPAAAPAABB定義定義12.4 設(shè)設(shè)n個事件個事件A1, A2,An, n3. 假設(shè)對恣意的正整假設(shè)對恣意的正整數(shù)數(shù)kn和和1i1i2ikn,那么稱這那么稱這n個事件相互獨(dú)立個事件相互獨(dú)立.(1)假設(shè)假設(shè)A與與B相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 那么那么A與與 , 與與B, 與與 都相互獨(dú)都相互獨(dú)立立.(2)設(shè)設(shè)A1, A2,An相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 那么將其中的恣意假設(shè)干個事那么將其中的恣意假設(shè)干個事件件換成它們的逆事件后也相互獨(dú)立換成它們的逆事件后也相互獨(dú)立.伯努利概型與二項概率公式伯努利概型與二項概率公式 伯努利概型伯努利概型:在一樣的條件下反復(fù)進(jìn)展實驗在一樣的條件下反復(fù)進(jìn)展實驗, 每次實驗的每次實驗的結(jié)果只需兩個結(jié)果只需兩個: 事件事件A發(fā)生或不發(fā)生發(fā)生或不發(fā)生, 且各次實驗是相互且各次實驗是相互獨(dú)立的獨(dú)立的. 定理定理12.2(二項概率公式二項概率公式) 設(shè)在伯努利概型中設(shè)在伯努利概型中, 每次實驗事每次實驗事件件A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為p(0p1), 那么在那么在n次實驗中次實驗中A恰好發(fā)生恰好發(fā)生k