萬有引力定律應(yīng)用

1、 萬有引力定律的應(yīng)用一、萬有引力定律： 適用于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)或均勻球體；r為兩質(zhì)點(diǎn)或球心間的距離；G為萬有引力恒量（1798年由英國物理學(xué)家卡文迪許利用扭秤裝置測出）二、萬有引力定律的應(yīng)用1、應(yīng)用萬有引力定律解決問題的知識(shí)常集中于兩點(diǎn)：一是天體運(yùn)動(dòng)的向心力來源于天體之間的萬有引力，即；二是地球?qū)ξ矬w的萬有引力近似等于物體的重力，即G mg從而得出GMRg。2、圓周運(yùn)動(dòng)的有關(guān)公式：，v=r。討論：由可得： r越大，v越小。由可得： r越大，越小。由可得： r越大，T越大。由可得： r越大，a向越小。點(diǎn)評：需要說明的是，萬有引力定律中兩個(gè)物體的距離，對于相距很遠(yuǎn)因而可以看作質(zhì)點(diǎn)的物體就是指兩質(zhì)點(diǎn)的距離；

2、對于未特別說明的天體，都可認(rèn)為是均勻球體，則指的是兩個(gè)球心的距離。人造衛(wèi)星及天體的運(yùn)動(dòng)都近似為勻速圓周運(yùn)動(dòng)。3、常見題型（1）測天體的質(zhì)量及密度： a.有行星或衛(wèi)星繞行的中心天體的質(zhì)量和密度 由開普勒第三定律可知，所有繞中心天體運(yùn)行的衛(wèi)星或行星的運(yùn)行周期的平方與其繞行橢圓軌道半長軸的三次方的比值是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，反過來，如果我們要計(jì)算一個(gè)天體的質(zhì)量，只需找到圍繞該天體運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星或行星的運(yùn)行周期和軌道半徑就可以了。把繞中心天體運(yùn)行的衛(wèi)星或行星近似視為做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力，建立方程求解。可分以下幾種情況：（1）周期T和軌道半徑r 設(shè)中心天體的質(zhì)量為M，繞中

3、心天體運(yùn)動(dòng)的行星或衛(wèi)星的質(zhì)量為m，據(jù)萬有引力提供向心力，則有，可得中心天體的質(zhì)量為。（2）運(yùn)行速度v和軌道半徑r 設(shè)中心天體的質(zhì)量為M，繞中心天體運(yùn)動(dòng)的行星或衛(wèi)星的質(zhì)量為m，速度為v，據(jù)萬有引力提供向心力，則有，得。（3）運(yùn)行速度v和運(yùn)行周期T 設(shè)中心天體的質(zhì)量為M，繞中心天體運(yùn)動(dòng)的行星或衛(wèi)星的質(zhì)量為m，速度為v，運(yùn)行周期為T，則有，由以上兩式消去r，解得。注意：以上三種情況本質(zhì)上是一樣的，因?yàn)橐阎獀、T和三個(gè)物理量中的任意兩個(gè)都可以求出第三個(gè)，如已知v和以利用求出；已知v和T，可以利用求出。求出天體質(zhì)量后，再求出天體的體積V=，則。 當(dāng)衛(wèi)星環(huán)繞天體表面做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，r=R，。例1

4、為了研究太陽演化的進(jìn)程需知太陽的質(zhì)量，已知地球的半徑為R，地球的質(zhì)量為m，日地中心的距離為r，地球表面的重力加速度為g，地球繞太陽公轉(zhuǎn)的周期為T，則太陽的質(zhì)量為（ ）A B C D解析：根據(jù)，可得，選項(xiàng)A正確。本題答案為A。例2 地球半徑為R，在距球心r處（rR）有一同步衛(wèi)星，另有一半徑為2R的星球A，在距球心3r處也有一同步衛(wèi)星，它的周期是48h，那么A星球平均密度與地球平均密度的比值為（ ）A932 B38 C2732 D2716解析：根據(jù)萬有引力提供向心力有可得，計(jì)算中心天體質(zhì)量的公式為；根據(jù)題意，A星球的同步衛(wèi)星的軌道半徑是地球同步衛(wèi)星軌道半徑的3倍，而周期是地球同步衛(wèi)星運(yùn)行周期的2倍

5、，故A星球的質(zhì)量是地球的倍，即M星=M地；已知A星球的半徑是地球半徑的2倍，那么其體積是地球體積的8倍，即V星=8V地，所以，選項(xiàng)C正確。本題答案為C。例3 天宮一號于2011年9月29日成功發(fā)射，它將和隨后發(fā)射的神州飛船在空間完成交會(huì)對接，實(shí)現(xiàn)中國載人航天工程的一個(gè)新的跨越。天宮一號進(jìn)入運(yùn)行軌道后，其運(yùn)行周期為T，距地面的高度為h，已知地球半徑為R，萬有引力常量為G。若將天宮一號的運(yùn)行軌道看做圓軌道，求：（1）地球質(zhì)量M；（2）地球的平均密度。解析：（1）因?yàn)閷⑻鞂m一號的運(yùn)行軌道看做圓軌道，萬有引力充當(dāng)向心力，即，解得。（2）地球的平均密度：。b.沒有行星或衛(wèi)星繞行的天體質(zhì)量 對于沒有行星或

6、衛(wèi)星繞行的天體，若已知該天體的半徑和它表面的重力加速度，可應(yīng)用萬有引力近似等于重力這一關(guān)系，建立方程求解，計(jì)算出它的質(zhì)量。設(shè)待計(jì)算天體的質(zhì)量為M，半徑為R，它表面的重力加速度為，設(shè)該天體表面有一物體質(zhì)量為m，根據(jù)萬有引力近似等于重力，則有，得此天體的質(zhì)量為。附帶說明一點(diǎn)，由得出，此式在解析天體運(yùn)動(dòng)問題時(shí)很有用，被稱為黃金代換式。例4 1798年英國物理學(xué)家卡文迪許測出萬有引力常量G，因此卡文迪許被人們稱為能稱出地球質(zhì)量的人，若已知萬有引力常量G，地球表面處的重力加速度g，地球半徑為R，地球上一個(gè)晝夜的時(shí)間為T1（地球自轉(zhuǎn)周期），一年的時(shí)間T2（地球公轉(zhuǎn)的周期），地球中心到月球中心的距離L1，地

7、球中心到太陽中心的距離為L2你能計(jì)算出 ( ) A地球的質(zhì)量B太陽的質(zhì)量C月球的質(zhì)量 D可求月球、地球及太陽的密度解析：在地球表面，物體的重力近似等于其萬有引力，所以有，可求得：，所以選項(xiàng)A正確；太陽對地球的萬有引力提供其繞太陽公轉(zhuǎn)時(shí)的向心力，所以有，可求得：，選項(xiàng)B正確；已知地球半徑，還可以求出地球的密度，但根據(jù)題中條件，無法求出月球的質(zhì)量及其密度和太陽的密度，所以選項(xiàng)CD錯(cuò)誤。本題答案為AB。例5 假設(shè)我國某宇航員踏上一半徑為R的球狀星體，該宇航員在該星體上能否用常規(guī)方法測量出此星體的質(zhì)量？如果能測出，需用何器材，簡述測量方法。解析：待測星體沒有行星或衛(wèi)星繞行，可應(yīng)用在星體表面星體與宇航員

8、間的萬有引力近似等于宇航員的重力這一關(guān)系，測出該星體的質(zhì)量。據(jù)，得此星體的質(zhì)量為，由于半徑R已知，只要再測出該星體表面的重力加速度，就能測出此星體的質(zhì)量。方法1：在星體表面用天平稱量出某物體A的質(zhì)量，再用彈簧秤懸吊物體A處于平衡狀態(tài)，讀出彈簧秤的示數(shù)F，則=F/m，所以該星體的質(zhì)量為。方法2：使一物體由靜止開始自由下落，用米尺測量下落的高度h，用秒表測量下落的時(shí)間t，則有，所以該星體的質(zhì)量為。計(jì)算天體的質(zhì)量有多種方法，要審清題設(shè)條件，根據(jù)題設(shè)條件采用合適的方法。c行星表面重力加速度、軌道重力加速度問題：（重力近似等于萬有引力）表面重力加速度：軌道重力加速度：例6 一衛(wèi)星繞某行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，

9、已知行星表面的重力加速度為g0，行星的質(zhì)量M與衛(wèi)星的質(zhì)量m之比M/m=81，行星的半徑R0與衛(wèi)星的半徑R之比R0/R3.6，行星與衛(wèi)星之間的距離r與行星的半徑R0之比r/R060。設(shè)衛(wèi)星表面的重力加速度為g，則在衛(wèi)星表面有 經(jīng)過計(jì)算得出：衛(wèi)星表面的重力加速度為行星表面的重力加速度的1/3600。上述結(jié)果是否正確？若正確，列式證明；若有錯(cuò)誤，求出正確結(jié)果。解析：題中所列關(guān)于g的表達(dá)式并不是衛(wèi)星表面的重力加速度，而是衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度。正確的解法是衛(wèi)星表面g 行星表面=g0 即=即g =0.16g0。課后作業(yè)1 、2011年8月26日消息，英國曼徹斯特大學(xué)的天文學(xué)家認(rèn)為，他們已經(jīng)

10、在銀河系里發(fā)現(xiàn)一顆由曾經(jīng)的龐大恒星轉(zhuǎn)變而成的體積較小的行星，這顆行星完全由鉆石構(gòu)成。若已知萬有引力常量，還需知道哪些信息可以計(jì)算該行星的質(zhì)量（ ）A該行星表面的重力加速度及繞行星運(yùn)行的衛(wèi)星的軌道半徑B該行星的自轉(zhuǎn)周期與星體的半徑C圍繞該行星做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的公轉(zhuǎn)周期及運(yùn)行半徑D圍繞該行星做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的公轉(zhuǎn)周期及公轉(zhuǎn)線速度2 、美國宇航局2011年12月5日宣布，他們發(fā)現(xiàn)了太陽系外第一顆類似地球的、可適合居住的行星“開普勒-22b”，它每290天環(huán)繞著一顆類似于太陽的恒星運(yùn)轉(zhuǎn)一周，距離地球約600光年，體積是地球的2.4倍。已知萬有引力常量和地球表面的重力加速度。根據(jù)以上信息，下列推理中正確

11、的是（ ）A若能觀測到該行星的軌道半徑，可求出該行星所受的萬有引力B若已知該行星的密度和半徑，可求出該行星的軌道半徑C根據(jù)地球的公轉(zhuǎn)周期與軌道半徑，可求出該行星的軌道半徑D若該行星的密度與地球的密度相等，可求出該行星表面的重力加速度【參考答案：1.CD 解析：由萬有引力定律和牛頓第二定律衛(wèi)星繞中心天體運(yùn)動(dòng)的向心力由中心天體對衛(wèi)星的萬有引力提供，利用牛頓第二定律得；若已知衛(wèi)星的軌道半徑r和衛(wèi)星的運(yùn)行周期T、角速度或線速度v，可求得中心天體的質(zhì)量為，所以選項(xiàng)CD正確。 2.D 提示：根據(jù)萬有引力公式可知，要想求出該行星所受的萬有引力，除了知道公轉(zhuǎn)周期T和軌道半徑r外，還要知道該行星的質(zhì)量m，所以選

12、項(xiàng)A錯(cuò)誤；若已知該行星的密度和半徑，可求出該行星的質(zhì)量，但求不出該行星的軌道半徑，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)樵撔行菄@的類似于太陽的中心天體不同于太陽，所以不能根據(jù)地球的公轉(zhuǎn)周期與軌道半徑以及該行星的公轉(zhuǎn)周期，利用開普勒第三定律求出該行星的軌道半徑，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；在星球表面，物體的萬有引力近似等于重力，所以有可得，可見，若該行星的密度與地球的密度相等，就可求出該行星的質(zhì)量和半徑，就可求出該行星表面的重力加速度，選項(xiàng)D正確?！?、 “嫦娥一號”衛(wèi)星發(fā)射過程先在近地圓軌道繞行3周，再長途跋涉進(jìn)人近月圓軌道繞月飛行若月球表面的重力加速度為地球表面重力加速度的16，月球半徑為地球半徑的14，據(jù)以上信息得（ ）A繞

13、月與繞地飛行周期之比為 B繞月與繞地飛行周期之比為C繞月與繞地飛行向心加速度之比為1：6 D月球與地球質(zhì)量之比為1：96 4、在地質(zhì)、地震、勘探、氣象和地球物理等領(lǐng)域的研究中，需要精確的重力加速度g值，g值可由實(shí)驗(yàn)精確測定近年來測g值的一種方法叫“對稱自由下落法”，它是將測g歸于測長度和時(shí)間，以穩(wěn)定的氦氖激光為長度標(biāo)準(zhǔn)，用光學(xué)干涉的方法測距離，以銣原子鐘或其他手段測時(shí)間，能將g值測得很準(zhǔn)，具體做法是：將真空長直管沿豎直方向放置，自其中O點(diǎn)向上拋小球又落到原處的時(shí)間為T2，在小球運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過比O點(diǎn)高H的P點(diǎn)，小球離開P點(diǎn)到又回到P點(diǎn)所用的時(shí)間為T1，測得T1、T2和H，可求得g等于（ ）A.B. C. D.【參考答案：1.ACD. 提示：mg=m（）2R，T2,選項(xiàng)A正確B錯(cuò)誤；“嫦娥一號”繞近地圓軌道與繞近月圓軌道飛行時(shí)，萬有引力提供向心力，而萬有引力近似等于衛(wèi)星重力，故其重力提供向心力，重力加速度近似等于向心加速度，故選項(xiàng)C正確；根據(jù)G=mg，得M=,可知選項(xiàng)D正確. 2.A 解析：根據(jù)題意，小球從O點(diǎn)自由下落到P點(diǎn)的時(shí)間為T1/2，自由下落到原處的時(shí)間為T2/2，所以有，化簡可求得，g=，選項(xiàng)A正確。本題答案為A?！?、中子星是恒星演化過程的一種可能結(jié)果，它的密度很大?，F(xiàn)有一中子星，觀測到它的自轉(zhuǎn)周期為T=s。問該中子星的最小密度應(yīng)是多少才能維持該星的穩(wěn)定，不致因自轉(zhuǎn)而瓦解