最短路問(wèn)題及最速下降問(wèn)題

1、§1 變分法簡(jiǎn)介作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，變分法的誕生，是現(xiàn)實(shí)世界許多現(xiàn)象不斷探索的結(jié)果，人們可以追尋到這樣一個(gè)軌跡：約翰·伯努利（Johann Bernoulli，16671748）1696年向全歐洲數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)，提出一個(gè)難題：“設(shè)在垂直平面內(nèi)有任意兩點(diǎn)，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)受地心引力的作用，自較高點(diǎn)下滑至較低點(diǎn)，不計(jì)摩擦，問(wèn)沿著什么曲線下滑，時(shí)間最短？”這就是著名的“最速降線”問(wèn)題（The Brachistochrone Problem）。它的難處在于和普通的極大極小值求法不同，它是要求出一個(gè)未知函數(shù)（曲線），來(lái)滿足所給的條件。這問(wèn)題的新穎和別出心裁引起了很大興趣，羅比塔（Guillaum

2、e Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛頓（Isaac Newton16421727）都得到了解答。約翰的解法比較漂亮，而雅可布的解法雖然麻煩與費(fèi)勁，卻更為一般化。后來(lái)歐拉（Euler Lonhard，17071783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis，1736-1813)發(fā)明了這一類(lèi)問(wèn)題的普遍解法，從而確立了數(shù)學(xué)的一個(gè)新分支變分學(xué)。有趣的是，在169

3、0年約翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的懸鏈線問(wèn)題(The Hanging Chain Problem)向數(shù)學(xué)界征求答案，即，固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力場(chǎng)中讓它自然垂下，問(wèn)項(xiàng)鏈的曲線方程是什么。在大自然中，除了懸垂的項(xiàng)鏈外，我們還可以觀察到吊橋上方的懸垂鋼索，掛著水珠的蜘蛛網(wǎng)，以及兩根電線桿之間所架設(shè)的電線，這些都是懸鏈線（catenary）。 伽利略（Galileo, 15641643）比貝努利更早注意到懸鏈線，他猜測(cè)懸鏈線是拋物線，從外表看的確象，但實(shí)際上不是。惠更斯（Huygens, 16291695）在1646年（當(dāng)時(shí)17歲），經(jīng)由物理的論證，得知伽利略的猜測(cè)不

4、對(duì)，但那時(shí)，他也求不出答案。到1691年，也就是雅可比·伯努利提出懸鏈線問(wèn)題的第二年，萊布尼茲、惠更斯（以62歲）與約翰·伯努利各自得到了正確答案，所用方法是誕生不久的微積分，具體說(shuō)是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)二階常微分方程解此方程并適當(dāng)選取參數(shù)，得 （1）即為懸鏈線。懸鏈線問(wèn)題本身和變分法并沒(méi)有關(guān)系，然而這和最速降線問(wèn)題一樣都是貝努利兄弟間的相互爭(zhēng)強(qiáng)好勝、不斷爭(zhēng)吵的導(dǎo)火索，雖然雅可比·貝努利在解決懸鏈線問(wèn)題時(shí)略占下風(fēng)，但他隨后所證明的“懸掛于兩個(gè)固定點(diǎn)之間的同一條項(xiàng)鏈，在所有可能的形狀中，以懸鏈線的重心最低，具有最小勢(shì)能”，算是扳回了一局，倆兄弟扯平了！之所以提到懸鏈

5、線問(wèn)題，有兩方面考慮，其一，這是有關(guān)數(shù)學(xué)史上著名的貝努利家族內(nèi)的一個(gè)趣聞，而這是一個(gè)在變分法乃至整個(gè)數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域有著巨大貢獻(xiàn)的家族，其二，有關(guān)懸鏈線的得幾個(gè)結(jié)論，可以用變分法來(lái)證明！ 現(xiàn)實(shí)中很多現(xiàn)象可以表達(dá)為泛函極小問(wèn)題，我們稱(chēng)之為變分問(wèn)題。求解方法通常有兩種：古典變分法和最優(yōu)控制論。我們這兒要介紹的基本屬于古典變分法的范疇。1.1 變分法的基本概念1.1.1 泛函的概念設(shè)為一函數(shù)集合，若對(duì)于每一個(gè)函數(shù)有一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)是定義在上的泛函，記作。稱(chēng)為的容許函數(shù)集。例如，在上光滑曲線y(x)的長(zhǎng)度可定義為 （2）考慮幾個(gè)具體曲線，取，若，則若y(x)為懸鏈線，則對(duì)應(yīng)中不同的函數(shù)y(x)，有不

6、同曲線長(zhǎng)度值J，即J依賴于y(x)，是定義在函數(shù)集合上的一個(gè)泛函，此時(shí)我們可以寫(xiě)成我們稱(chēng)如下形式的泛函為最簡(jiǎn)泛函 （3）被積函數(shù)包含自變量，未知函數(shù)(t)及導(dǎo)數(shù)(t)。上述曲線長(zhǎng)度泛函即為一最簡(jiǎn)泛函。1.1.2 泛函極值問(wèn)題考慮上述曲線長(zhǎng)度泛函，我們可以提出下面問(wèn)題：在所有連接定點(diǎn)的平面曲線中，試求長(zhǎng)度最小的曲線。即，求，使 取最小值。此即為泛函極值問(wèn)題的一個(gè)例子。以極小值為例，一般的泛函極值問(wèn)題可表述為，稱(chēng)泛函在取得極小值，如果對(duì)于任意一個(gè)與接近的，都有。所謂接近，可以用距離來(lái)度量，而距離可以定義為泛函的極大值可以類(lèi)似地定義。其中稱(chēng)為泛函的極值函數(shù)或極值曲線。1.1.3 泛函的變分如同函數(shù)的

7、微分是增量的線性主部一樣，泛函的變分是泛函增量的線性主部。作為泛函的自變量，函數(shù)在的增量記為也稱(chēng)函數(shù)的變分。由它引起的泛函的增量記作如果可以表為其中為的線性項(xiàng)，而是的高階項(xiàng)，則稱(chēng)為泛函在的變分，記作。用變動(dòng)的代替，就有。泛函變分的一個(gè)重要形式是它可以表為對(duì)參數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （4）這是因?yàn)楫?dāng)變分存在時(shí)，增量 根據(jù)和的性質(zhì)有 所以1.2 泛函極值的相關(guān)結(jié)論1.2.1 泛函極值的變分表示利用變分的表達(dá)式（4），可以得到有關(guān)泛函極值的重要結(jié)論。泛函極值的變分表示：若在達(dá)到極值（極大或極?。?，則 （5）證明：對(duì)任意給定的，是變量的函數(shù)，該函數(shù)在處達(dá)到極值。根據(jù)函數(shù)極值的必要條件知再由（4）式，便可得到（5）

8、式。變分法的基本引理：，有，則。證明略。1.2.2 泛函極值的必要條件考慮最簡(jiǎn)泛函（3），其中F具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，容許函數(shù)類(lèi)S取為滿足端點(diǎn)條件為固定端點(diǎn)（6）的二階可微函數(shù)。 ， （6）泛函極值的必要條件：設(shè)泛函（3）在x(t)S取得極值，則x(t)滿足歐拉方程 （7）歐拉方程推導(dǎo)：首先計(jì)算（3）式的變分： 對(duì)上式右端第二項(xiàng)做分布積分，并利用，有，所以利用泛函極值的變分表示，得 因?yàn)榈娜我庑?，及，由基本引理，即得?）。（7）式也可寫(xiě)成 （8）通常這是關(guān)于x(t)的二階微分方程，通解中的任意常數(shù)由端點(diǎn)條件（6）確定。1.2.3 幾種特殊形式最簡(jiǎn)泛函的歐拉方程(i) 不依賴于，即 這時(shí)，歐拉方

9、程為，這個(gè)方程以隱函數(shù)形式給出，但它一般不滿足邊界條件，因此，變分問(wèn)題無(wú)解。 (ii) 不依賴，即歐拉方程為 將上式積分一次，便得首次積分，由此可求出，積分后得到可能的極值曲線族(iii) 只依賴于，即這時(shí)，歐拉方程為由此可設(shè)或，如果，則得到含有兩個(gè)參數(shù)的直線族。另外若有一個(gè)或幾個(gè)實(shí)根時(shí)，則除了上面的直線族外，又得到含有一個(gè)參數(shù)的直線族，它包含于上面含有兩個(gè)參數(shù)的直線族 中，于是，在情況下，極值曲線必然是直線族。（iv）只依賴于和，即這時(shí)有，故歐拉方程為此方程具有首次積分為事實(shí)上，注意到不依賴于，于是有。1. 3 幾個(gè)經(jīng)典的例子1.3.1 最速降線問(wèn)題 最速降線問(wèn)題 設(shè)和是鉛直平面上不在同一鉛

10、直線上的兩點(diǎn)，在所有連結(jié)和的平面曲線中，求一曲線，使質(zhì)點(diǎn)僅受重力作用，初速度為零時(shí)，沿此曲線從滑行至的時(shí)間最短。解 將A點(diǎn)取為坐標(biāo)原點(diǎn)，B點(diǎn)取為B(x1,y1)，如圖1。根據(jù)能量守恒定律，質(zhì)點(diǎn)在曲線上任一點(diǎn)處的速度滿足（為弧長(zhǎng)）A(0, 0) x 將代入上式得 B(x1,y1) y 圖1最速降線問(wèn)題于是質(zhì)點(diǎn)滑行時(shí)間應(yīng)表為的泛函端點(diǎn)條件為 最速降線滿足歐拉方程，因?yàn)?不含自變量，所以方程（8）可寫(xiě)作等價(jià)于作一次積分得 令 則方程化為又因 積分之，得由邊界條件，可知，故得這是擺線（園滾線）的參數(shù)方程，其中常數(shù)可利用另一邊界條件來(lái)確定。1.3.2 最小旋轉(zhuǎn)面問(wèn)題最小旋轉(zhuǎn)面問(wèn)題 對(duì)于平面上過(guò)定點(diǎn)和的每

11、一條光滑曲線，繞軸旋轉(zhuǎn)得一旋轉(zhuǎn)體。旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積是曲線的泛函，易得容許函數(shù)集可表示為解 因不包含，故有首次積分化簡(jiǎn)得 令，代入上式， 由于 積分之，得 消去，就得到 。這是懸鏈線方程，適當(dāng)選擇條件（令該懸鏈線過(guò)（0，1/a）點(diǎn)，且該點(diǎn)處的切線是水平的）就可得到（1）。本例說(shuō)明，對(duì)于平面上過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)的所有光滑曲線，其中繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積最小的是懸鏈線！1.3.3 懸鏈線勢(shì)能最小1691年，雅可比·伯努利證明：懸掛于兩個(gè)固定點(diǎn)之間的同一條項(xiàng)鏈，在所有可能的形狀中，以懸鏈線的重心最低，具有最小勢(shì)能。下面我們用變分法證明之?？紤]通過(guò)A、B兩點(diǎn)的各種等長(zhǎng)曲線。令曲線yf(x)的長(zhǎng)度為L(zhǎng)

12、，重心坐標(biāo)為，則 由重心公式有 ， 由于只需探討曲線重心的高低，所以只對(duì)縱坐標(biāo)的公式進(jìn)行分析，注意到問(wèn)題的表述，說(shuō)明L是常數(shù)，不難看出重心的縱坐標(biāo)是y(x)的最簡(jiǎn)泛函，記作此時(shí)對(duì)應(yīng)的歐拉方程（8）可化為令解得 ，進(jìn)而得。此即為懸鏈線，它使重心最低，勢(shì)能最小！大自然中的許多結(jié)構(gòu)是符合最小勢(shì)能的，人們稱(chēng)之為最小勢(shì)能原理。1.4 泛函極值問(wèn)題的補(bǔ)充1.4.1 泛函極值的幾個(gè)簡(jiǎn)單推廣（）含多個(gè)函數(shù)的泛函使泛函取極值且滿足固定邊界條件的極值曲線必滿足歐拉方程組（ii）含高階導(dǎo)數(shù)的泛函使泛函 取極值且滿足固定邊界條件 , 的極值曲線必滿足微分方程 （iii） 含多元函數(shù)的泛函設(shè)，使泛函 取極值且在區(qū)域的邊

13、界線上取已知值的極值函數(shù)必滿足方程 上式稱(chēng)為奧式方程。1.4.2端點(diǎn)變動(dòng)的情況（橫截條件）設(shè)容許曲線在固定，在另一端點(diǎn)時(shí)不固定，是沿著給定的曲線上變動(dòng)。于是端點(diǎn)條件表示為 這里是變動(dòng)的，不妨用參數(shù)形式表示為 尋找端點(diǎn)變動(dòng)情況的泛函極值必要條件，可仿照前面端點(diǎn)固定情況進(jìn)行推導(dǎo)，即有 （9）再對(duì)（9）式做如下分析：（i）對(duì)每一個(gè)固定的，都滿足歐拉方程，即（9）式右端的第一項(xiàng)積分為零；（ii）為考察（9）式的第二、第三項(xiàng)，建立與之間的關(guān)系，因?yàn)?對(duì)求導(dǎo)并令得 即 （10）把（10）代入（9）并利用的任意性，得 （11）（11）式就是確定歐拉方程通解中另一常數(shù)的定解條件，稱(chēng)為橫截條件。橫截條件有兩種常

14、見(jiàn)的特殊情況：（i）當(dāng)是垂直橫軸的直線時(shí)，固定，自由，并稱(chēng)為自由端點(diǎn)。此時(shí)（9）式中及的任意性，便得自由端點(diǎn)的橫截條件 （12）（ii）當(dāng)是平行橫軸的直線時(shí)，自由，固定，并稱(chēng)為平動(dòng)端點(diǎn)。此時(shí)，（11）式的橫截條件變?yōu)?* （13）注意，橫截條件與歐拉方程聯(lián)立才能構(gòu)成泛函極值的必要條件。1.4.3 有約束條件的泛函極值在最優(yōu)控制系統(tǒng)中，常常要涉及到有約束條件泛函的極值問(wèn)題，其典型形式是對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng) * （14）尋求最優(yōu)性能指標(biāo)（目標(biāo)函數(shù)） * （15）其中是控制策略，是軌線，固定，及自由，（不受限，充滿空間），連續(xù)可微。下面推導(dǎo)取得目標(biāo)函數(shù)極值的最優(yōu)控制策略和最優(yōu)軌線的必要條件。采用拉格朗日乘子法，化條件極值為無(wú)條件極值，即考慮 （16）的無(wú)條件極值，首先定義（14）式和（15）式的哈密頓（Hamilton）函數(shù)為 （19）（17）將其代入（16）式，得到泛函 （20）(18)下面先對(duì)其求變分 注意到，因而 再令，由的任意性，便得（i）必滿足正則方程： 狀態(tài)方程 協(xié)態(tài)方程 。（ii）哈密頓函數(shù)作為的函數(shù)，也必滿足 并由此方程求得。（iii）求時(shí)，必利用邊界條件 ， （用于確定） ， （用于確定） ， （確定）1.4.4 最大（?。┲翟砣绻芸叵到y(tǒng) ，其控制