談?wù)勅绾螌W(xué)好高等數(shù)學(xué)實用教案

1、1.基本概念含有一元未知函數(shù))(xy(即待求函數(shù))的導(dǎo)數(shù)或微分(wi fn)的方程,稱為常微分(wi fn)方程; 其中出現(xiàn)的)(xy的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為(chn wi)此微分方程的階;使方程(fngchng)在區(qū)間 上成為恒等式的函數(shù)I( )yx稱為此微分方程在 上的解;I顯顯然然, ,若若一一個個微微分分方方程程有有解解, ,則則必必有有無無窮窮多多解解; ;nn若若 階階微微分分方方程程的的解解中中含含有有 個個相相互互獨獨立立( (即即不不可可合合并并) )的的任任意意常常數(shù)數(shù), ,則則稱稱它它為為通通解解；第1頁/共25頁第一頁，共25頁。()n利利用用 個個獨獨立立的的附附加加條

2、條件件 稱稱為為定定解解條條件件 定定出出所所有有任任意意常常數(shù)數(shù)的的解解, ,稱稱為為特特解解; ; 微微分分方方程程連連同同定定解解條條件件,一一起起 合合稱稱為為一一個個定定解解問問題題; ;當(dāng)當(dāng)定定解解條條件件是是初初始始條條(1)0,ny y yyx 件件( (給給出出在在同同一一點點 處處的的值值) )時時, ,稱稱為為.初初值值問問題題第2頁/共25頁第二頁，共25頁。. .一一階階微微分分方方程程的的解解法法2d1( ) ( )dyxyx（ ）可可分分離離變變量量方方程程d( )d( )yxxy先先分分離離變變量量：，d( )d.( )yxxCy再再兩兩邊邊積積分分：第3頁/共

3、25頁第三頁，共25頁。11(P209(A)2(1),2.xxyyy 例例1(10)12d2d ,1 ln(1)2ln.2,0, ln(1)2ln 1.xyxyxyxCyCyxyx 分分離離變變量量得得 兩兩邊邊積積分分得得 由由得得于于是是，故故所所求求特特解解 解解為為 第4頁/共25頁第四頁，共25頁。d2dyyfxx（ ）齊齊次次方方程程dd,ddyuyuxuxxxyxu先先作作變變量量代代換換即即,代代入入原原方方程程 將將其其化化為為可可分分離離變變量量方方程程dd( ),( ).dduuuxf uxf uuxx即即再再按按可可分分離離變變量量方方程程求求解解. .代代回回原原變變

4、量量后后即即得得原原方方程程的的解解. .第5頁/共25頁第五頁，共25頁。222 10.dd,dddd(1)0,(1).ddd1 1d. lnln,lnln (ln).yyyyyyyxxxxyyuuyxuuxxxxuuuuuxuuxxxxuuxyyuuxCxCxxyxyC原原方方程程化化為為， 令令即即于于是是方方程程化化為為 即即 分分離離變變量量得得積積分分得得即即，化化簡簡得得解解222(P209(A)2 2 ) .yx yxyy例例 ( )第6頁/共25頁第六頁，共25頁。(3)( )yp x yQ x（ ）一一階階線線性性微微分分方方程程( )d( )d( )de+e( )ed .

5、p xxp xxp xxyCQ xxYy可可寫寫為為 ( )d( )de( )ed.p xxp xxyQ xxC通通解解公公式式 第7頁/共25頁第七頁，共25頁。3(P209(B) ( )y x例例設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù) 函函數(shù)數(shù)滿滿足足方方程程60( )( )de ,xxy xy tt = =( ).y x求求 這這是是積積分分方方程程, ,通通過過兩兩邊邊求求導(dǎo)導(dǎo)化化為為微微 解解分分方方程程：( )( )e ,( )( )e .xxy xy xy xy x= =即即0( )( )de(0)1,xxy xy tty且且由由= =得得于于是是有有初初值值問問題題( )( )e ,(0)1. xy x

6、y xy1d1d( )ee ede.xxxxy xxCxC 通通解解為為(0)1,1,( )(1)e .xyCy xx由由得得故故 第8頁/共25頁第八頁，共25頁。4(0,1()( )nyp x ynQ x y（ ）貝貝努努利利方方程程1,nzy作作變變換換即即可可將將其其化化為為線線性性方方程程d(1)( )(1)( ).dzn p x zn Q xx(1)( )d(1)( )de(1) ( )ed.n p xxn p xxzn Q xxC其其通通解解為為 .代代回回原原變變量量，即即得得BernoulliBernoulli方方程程的的通通解解第9頁/共25頁第九頁，共25頁。448 .y

7、yxyx 例例 ( (P P2 20 08 8例例 ) ) 求求微微分分 方方程程 的的通通解解 12 n 這這是是時時的的BernoullBernoull 解解i i方方程程. .11122Zyy 令令, , 則則根根據(jù)據(jù)( (1 15 5) ), , 方方程程化化為為14122ZZxx, ,即即212ZZxx. .線線性性方方程程22ddeed2xxxxxyZxC 2ln21ed2xxxCx 21ln.2xxC241ln.2yxxC從從而而原原方方程程通通解解為為 第10頁/共25頁第十頁，共25頁。3. . 可可降降階階的的高高階階微微分分方方程程的的解解法法( )1( )nyf x（）

8、111( )dd.nnnnyf xxxC xCxC次次(1),( ).nuyuf x令令則則可可化化為為一一階階方方程程,n在在實實際際求求解解時時 對對方方程程連連續(xù)續(xù)積積分分 次次即即得得通通解解第11頁/共25頁第十一頁，共25頁。2( ,)yf x yy（ ）不不顯顯含含d,dpypypy令令則則原原方方程程化化為為( , ).pf x p一一階階方方程程( )(1)( ,).nnyf x y對對可可作作類類似似處處理理3( ,)yf y yx（ ）不不顯顯含含,ypyp令令則則原原方方程程化化為為d( , ).dppf y py一一階階方方程程第12頁/共25頁第十二頁，共25頁。2

9、5(P2145)1.yy 例例例例22111212,1. d d , arctan,1 tan(). tan()d ln cos().yyPyPPPPxPxCPyPCxyCxxCCxC 此此方方程程不不顯顯含含設(shè)設(shè)則則, , 原原方方程程化化為為 于于是是解解, ddPPxPyyy 此此方方程程也也不不, ,顯顯含含但但若若設(shè)設(shè)則則注注比比較較麻麻煩煩！第13頁/共25頁第十三頁，共25頁。2006(P215(B)(2)2 (),1,2.xxyyyyyy例例2221110022220d, d2ddd 2(),d1ln(1)lnln,1, 2,1 =1d1,d .1 arctan. 1xxxPx

10、yPyPyyPPyPPPyPyPyCPC yyyCyyPyxyyxCyC 此此方方程程不不顯顯含含 可可設(shè)設(shè)則則，原原方方程程化化為為分分離離變變量量得得積積分分得得 即即由由得得，故故 即即積積分分得得由由得得解解,tan.44yx故故特特解解為為第14頁/共25頁第十四頁，共25頁。4. . 線線性性微微分分方方程程解解的的結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)1（ ）線線性性非非齊齊次次微微分分方方程程( )( )( ) yp x yq x yf xy的的通通解解 等等于于對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程( )( )0 yp x yq x yYy的的通通解解 與與自自身身的的一一個個特特解解 之之和和.yYy第15頁/共

11、25頁第十五頁，共25頁。2（ ）線線性性齊齊次次微微分分方方程程解解的的結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)12,( )( )0y yyp x yq x y若若是是的的任任意意兩兩個個( )( )0yp x yq x y, ,則則線線性性無無關(guān)關(guān)的的解解的的通通解解1122.yC yC y3（ ）線線性性非非齊齊次次方方程程與與齊齊次次方方程程的的解解的的關(guān)關(guān)系系12,( )( )( )y yyp x yq x yf x若若是是的的任任意意兩兩個個12( )(0)yyp x yqyx y解解, ,則則必必為為的的解解. .4.n（ ）以以上上結(jié)結(jié)論論對對 階階線線性性微微分分方方程程成成立立第16頁/共25頁第十六頁，

12、共25頁。7(P202(A)2)例例二二、1231211223112212311221231122( ),( ),( )( )+ ( )( ) A. + B. () C. (1) D. y xyxy xyp x yq x yf xC CC yC yyC yC yCCyC yC yCCyC yC y 線線性性無無關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)都都 是是方方程程 的的解解,為為任任意意常常數(shù)數(shù), ,則則該該方方程程的的通通解解是是 .123(1)CCy1122123113223313231132231122123 (1) ()(),()() (1)C yC yCCyC yyCyyyyy yyC yyCyyC yC

13、yCCy 其其中中都都是是對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程的的解解， 且且可可驗驗證證它它們們線線性性無無關(guān)關(guān), ,而而是是齊齊次次方方程程的的通通解解，故故 是是該該方方解解程程的的通通解解. .D D第17頁/共25頁第十七頁，共25頁。5. . 常常系系數(shù)數(shù)線線性性微微分分方方程程的的解解法法1（ ）解解常常系系數(shù)數(shù)線線性性齊齊次次微微分分方方程程的的特特征征根根法法0 .ypyqy的的特特征征方方程程為為2210, .rrrqrp特特征征根根為為y常常系系數(shù)數(shù)線線性性齊齊次次微微分分方方程程的的通通解解 ：12rr 與與 是是不不相相等等的的實實根根時時1212;eer xr xCyC12

14、12)rrrrr 與與 是是相相等等的的實實根根( (時時12e ;rxCC xy1,2ir是是一一對對共共軛軛復(fù)復(fù)根根時時12eco.ssinxCxCxy第18頁/共25頁第十八頁，共25頁。8 20220; 3230.yyyyyyyyy例例 求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解: : 1) 1)； ) ) )212 202,1,rrrr 1)1)由由得得解解故故通通解解為為212ee .xxyCC21222101,rrrr ) )由由得得故故通通解解為為12e .xyCC x21,2323012i,rrr ) )由由得得故故通通解解為為12ecos2sin2.xyCxCx第19頁/共2

15、5頁第十九頁，共25頁。2（ ）求求常常系系數(shù)數(shù)線線性性非非齊齊次次微微分分方方程程特特解解的的待待定定系系數(shù)數(shù)法法( )e .xmypyqyP xy的的一一個個特特解解 可可設(shè)設(shè)為為( )e ,sxmyx Qx,( )( )mmQxmP x其其中中是是待待定定的的 次次 與與同同次次) )完完全全多多項項式式1011( ),mmmmmQxb xb xbxb0,122s不不是是特特征征根根，而而，是是單單特特征征根根，是是 重重特特征征根根. .第20頁/共25頁第二十頁，共25頁。29(P2216) 5 6e.xyyyx例例例例求求的的通通解解212 1 5 +602,3rrrr）由由得得特

16、特 征征根根 解解，2312ee .xxYCC故故齊齊次次方方程程通通解解222()e .xyx axb ）是是單單特特征征根根， 設(shè)設(shè) 2222()e ,2(22 )exxyaxbxyaxab xb224(84 )(24 )e .xyaxab xab代代入入原原方方程程，2(2).axabx并并化化簡簡得得 221,1.1 e .22xxaby 比比較較系系數(shù)數(shù)得得于于是是2232123ee1 e .2xxxxyYyCC ）故故通通解解第21頁/共25頁第二十一頁，共25頁。6. . 常常微微分分方方程程應(yīng)應(yīng)用用舉舉例例210.( )( )3 ( )6,( )1( ).f xxfxf xxyf xxxDxf x 例例設(shè)設(shè)滿滿足足且且由由曲曲線線與與直直線線及及 軸軸所所圍圍的的平平面面圖圖形形繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周得得到到的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積最最小小, ,求求33dd3322( )36 ,( )e6 ed1 6d6.xxxxf xyyxxyf xCxxxCxCxxx 解解滿滿足足的的方方程程可可寫寫為為 其其通