拋物型方程的差分方法ppt課件

1、第第2 2章拋物型方程的差分方法章拋物型方程的差分方法 2.1 差分格式建立的基礎(chǔ)差分格式建立的基礎(chǔ) 2.2 顯式差分格式顯式差分格式 2.3 隱式差分格式隱式差分格式 2.4 解三對(duì)角形方程的追趕法解三對(duì)角形方程的追趕法 2.5 差分格式的穩(wěn)定性和收斂性差分格式的穩(wěn)定性和收斂性 2.6 非線性拋物型方程的差分解法舉例非線性拋物型方程的差分解法舉例 2.7 二維拋物型方程的差分格式二維拋物型方程的差分格式 2.8 交替方向的隱式差分格式交替方向的隱式差分格式( ADI 格式格式) 本章，我們研究線性拋物型方程的差分解法，主要討論差分方程的構(gòu)造方法和有關(guān)的理論問(wèn)題以及研究方法等，重點(diǎn)在于一維線性

2、拋物型方程的差分方法，對(duì)于非線性以及多維拋物型方程的差分解法也進(jìn)行了研究。 其中, 為 平面上某一區(qū)域。,),( , 0),(, 0),(),(txtxctxatxxtutxcxutxbxutxaxtutx),(),(),(),(2.1)眾所周知，一維線性拋物型方程的一般形式為 (2) 初邊值問(wèn)題(或稱混合問(wèn)題) 通?？紤]的定解問(wèn)題有：(1) 初值問(wèn)題(或稱Cauchy問(wèn)題) 在區(qū)域 上求函 數(shù)，使?jié)M足Ttxtx0 ,| ),(xxxutx)()0 ,(),() 1 . 2(方程(2.2) 為給定的初始函數(shù)。)(xTtttuttuxxxutx0)(), 1 (),(), 0(10)()0 ,(

3、),() 1 . 2(21方程(2.3)(2.4) 在區(qū)域上 求函數(shù) ，使?jié)M足Ttxtx0 , 10| ),(),(txu邊值條件初值條件 為了構(gòu)造微分方程(2.1)的有限差分逼近，首先將求解區(qū)域 用二組平行于 軸和 軸的直線構(gòu)成的網(wǎng)格覆蓋，網(wǎng)格邊長(zhǎng)在方向 為 ，在 方向?yàn)?(如圖2.1所示)。 分別稱為空間方向和時(shí)間方向的步長(zhǎng)，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為網(wǎng)格的結(jié)點(diǎn)。對(duì)初值問(wèn)題來(lái)說(shuō)，網(wǎng)格是xtxhx tkt kh,kTNNnnktn;, 2 , 1 , 0, 2, 1, 0mmhxm2.1 2.1 差分格式建立的基礎(chǔ)差分格式建立的基礎(chǔ)在 上的結(jié)點(diǎn)稱為邊界結(jié)點(diǎn)，屬于 內(nèi)的結(jié)點(diǎn) 0t稱為內(nèi)部結(jié)點(diǎn)。對(duì)于初邊值

4、問(wèn)題，設(shè) ，則網(wǎng)格是Ttxtx0 , 10| ),(kTNNnnktn;, 2 , 1 , 01;, 2 , 1 , 0MhMmmhxm 研究導(dǎo)數(shù)的差商近似表達(dá)式。為此對(duì)二元函數(shù) 定義 ，且假定 具有我們需要的有界偏導(dǎo)數(shù)。),(txuu ),(nmnmtxuu),(txuu 在 上的結(jié)點(diǎn)稱為邊界結(jié)點(diǎn)，屬于 內(nèi)的結(jié)點(diǎn)稱為內(nèi)部結(jié)點(diǎn)。1, 0, 0 xxt 差分方程就是在網(wǎng)格點(diǎn)上求出微分方程解的近似值的一種方法，因此又稱為網(wǎng)格法。 構(gòu)造逼近微分方程的差分方程的方法。構(gòu)造逼近微分方程的差分方程的方法。由Taylor展開(kāi)，有 nmnmnmnmnmxuhxuhxuhtxutxu)(! 3)(! 2)(!

5、1),(),(3332221nmnmnmnmnmxuhxuhxuhtxutxu)(! 3)(! 2)(! 1),(),(3332221那么 在 處對(duì) 的一階偏導(dǎo)數(shù)有三個(gè)可能的近似:u),(nmtxxhuuhtxutxuxunmnmnmnmnm11),(),()(huuhtxutxuxunmnmnmnmnm11),(),()(huuhtxutxuxunmnmnmnmnm22),(),()(1111(2.5)(2.6)(2.7)向前差商向后差商中心差商 顯然，用差商近似導(dǎo)數(shù)存在誤差，令huuxuEnmnmnmnm1)(2.8)那么1,22)(2mmtxnmxxxxuhEn 關(guān)于導(dǎo)數(shù)的近似差商表達(dá)式

6、，也可以通過(guò)線性算子作為推導(dǎo)工具得到，定義： 截?cái)嗾`差,階為)(hO)(hO用向后差商近似導(dǎo)數(shù)的截?cái)嗾`差階也為)(2hO而中心差商近似導(dǎo)數(shù)的截?cái)嗾`差階為xDx為 方向偏導(dǎo)數(shù)算子xxTnmnmxnmnmxuuTuuT111,為為 方向位移算子，方向位移算子，xx)(212121nmnmnmxuuu為為 方向平均算子，方向平均算子，x),2(21nmnmthxuu其中: 方向的差分算子:xnmnmnmxuuu1(2.9)前差算子前差算子:,xxnmnmnmxuuu1(2. 10)后差算子后差算子:,中心差算子中心差算子: :(2.11)nmnmnmxuuu2121x,nmnmxuuT2121,nm

7、nmxuuT2121 建立差分算子和導(dǎo)數(shù)算子之間的關(guān)系，由Talyor 展開(kāi)，有nmnmnmnmnmxuhxuhxuhuu)(! 3)(! 2)(! 13332221nmxxuDhDhI22! 2! 1為恒等算子IuhDnmx)exp(由nmxnmuTu1得)exp(xxhDT (2.12)或者xxThDln(2.13)同理有)exp(1xxhDT1lnxxThD由于ITITxxxx,故323121)ln(xxxxxIhD(2.14)同理323121)ln(xxxxxIhD(2.15)由于 2121xxxTT)21exp()21exp(xxxhDhD)21sinh(2xxhD(2.16)那么5

8、4232! 523! 321)21sinh(2xxxxxarhD(2.17) 式(2.14)，(2.15)，(2.17)分別給出了偏導(dǎo)數(shù)算子關(guān)于前差、后差、中心差的級(jí)數(shù)表達(dá)式雙曲正弦3246nmxxxxxxnmxxxnmxxxnmuuuxuh533232)(403)(6131213121)(2.18.1)(2.18.2)(2.18.3) 利用這些關(guān)系式就可給出偏導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式前往又由222)ln(xxIDh222)ln(xxIDh222)21sinh(2xxarDh可得二階偏導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式nmxxxnmxxxnmxxxnmuuuxuh64233243222290112112111211)(

9、2.19.1)(2.19.2)(2.19.3)前往前往4235nmxxxxxxnmxxxnmxxxnmuuuxuh753543543333)(12037)(21)(47234723)(2.20.1)(2.20.2)(2.20.3)nmxxxnmxxxnmxxxnmuuuxuh86465465444424076161726172)(2.21.1)(2.21.2)(2.21.3)對(duì)于三階、四階偏導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式為 從以上這些偏導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式，我們可以得到偏導(dǎo)數(shù)的各種精度的近似表達(dá)式。nmnmnmxnmuuuxuh1)(且nmxnmxnmnmnmuuuuxuh3213121)()( 又由二階導(dǎo)數(shù)的

10、前差表達(dá)式(2.19.1)，得nmxnmuxuh2222)(因此)()(1)(1hOuuhxuEnmnmnmnm 在 的前差表達(dá)式中取第一項(xiàng)，則有nmxuh)(即截?cái)嗾`差階 為。)(hO 現(xiàn)在研究構(gòu)造微分方程(2.1)的差分方程的方法，為此記微分方程(2.1)為uDDtxLtuxx),(2(2.22) L 是關(guān)于 的線性算子， 。包括二個(gè)相鄰時(shí)間層的網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)的差分方程可以從Talor 展開(kāi)式推出2,xxDDxDx),()! 3! 2! 11 (),(333222txutktktkktxu),()exp(txutk前往設(shè) ，于是) 1( ,(,1knmhuunktmhxnmnmnmutku)ex

11、p(1(2.23)如果算子L不依賴于t，即 ，那么),(2xxDDxLL nmxxnmuarharhmkkLu)21sinh(2(),21sinh(2,(exp(21(2.25)21sinh(2xxarhD將式(2.17)， ,代入算子L中，即在L中用中心差分算子 代替了微分算子 ，于是有 xxD(2.24)nmnmukLu)exp(1前往3835 目前通常用于解方程(2.1)的各種差分方程，都是方程(2.25)的近似表達(dá)式。下面各節(jié)，我們將以式(2.25)為基礎(chǔ)，對(duì)簡(jiǎn)單的拋物型方程，推導(dǎo)一些常用差分格式。 對(duì)于用差分方法求偏導(dǎo)數(shù)方程的數(shù)值解來(lái)說(shuō)，設(shè)計(jì)差分方程，用之作為微分方程的近似，僅僅是第

12、一步。本章除致力于這一研究外，特別著重討論了諸如差分格式的穩(wěn)定性、收斂性等基本問(wèn)題，它們也是本書(shū)研究的主要內(nèi)容之一。2.2 2.2 顯式差分格式顯式差分格式 如今，對(duì)拋物型方程(2.1)的幾種特殊情況，從方程(2.25)出發(fā)，構(gòu)造微分方程的有限差分近似。2.2.1 2.2.1 一維常系數(shù)熱傳導(dǎo)方程的古典顯示格式一維常系數(shù)熱傳導(dǎo)方程的古典顯示格式 首先考慮一維熱傳導(dǎo)方程22xutu(2.26)的差分近似。差分方程的構(gòu)造由 ，方程(2.24)為2xDL nmxnmukDu)exp(21nmxxuDkkD2222)(211代入式(2.19.3)，得 )901121(164222xxxxhD算子之間的

13、關(guān)系那么nmxxxnmurrrrrru62421)15121(61)61(211(2.27)其中 為步長(zhǎng)比。2hkr 前往在上式中，如果僅僅保留二階中心差分，且設(shè) 為相應(yīng)差分方程解在結(jié)點(diǎn)(mh,nk) 上的值，那么nmUnmxnmUrU)1 (21(2.28)代入 的表達(dá)式，則得差分方程2xnmnmnmnmrUUrrUU111)21 (2.29)xxxuTtxxutu)()0 ,(0 ,022將格式(2.29)應(yīng)用于解初值問(wèn)題(初邊值問(wèn)題)古典顯式差分格式圖2.2差分格式(2.29)也可簡(jiǎn)單地由導(dǎo)數(shù)的差商近似表達(dá)式得到)(1)(1nmnmnmuuktu)2(1)(11222nmnmnmnmuu

14、uhxu代入微分方程(2.26)，并令差分方程解為 即可。雖然在邊界結(jié)點(diǎn)上，差分方程和微分方程具有相同的初值或者初邊值條件，但是，一般而言，結(jié)點(diǎn) 上微分方程的精確解 和古典顯式差分格式(2.29)的精確解 不相等。nmU) 1,(nm1nmu1nmU111nmnmnmUuz(2.30)記 假定 具有下面推導(dǎo)中所需要的有界偏導(dǎo)數(shù)，則由 展開(kāi)，有 ),(txuTaylornmnmnmnmnmtuktuktukuu)(6)(2)(3332221nmnmnmnmnmxuhxuhxuhuu)(6)(2)(3332221nmnmxuhxuh)(120)(24555444nmnmnmnmnmxuhxuhxu

15、huu)(6)(2)(3332221nmnmxuhxuh)(120)(24555444截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差42nmnmnmnmnmxutukuururu)()()21 (22111nmxurtuk)61(244222(2.31)那么由式(2.26)，(2.29)，(2.30)，(2.31)得nmnmnmnmnmxurtukzzrzrz)61(2)()21 (44222111(2.32)從式(2.31)有nmnmnmnmnmxutukuururu)()()21 (22111nmxurtuk)61(214422或nmnmnmnmnmnmxutuhuuukuu)(222211nmxurtuk)61(21

16、4422(2.33)從而，上式右邊量描寫(xiě)了古典顯式差分格式(2.29)在 點(diǎn)對(duì)微分方程的近似程度，將其定義為差分格式在點(diǎn) 的截?cái)嗾`差，記為 ，即),(nm),(nmnmRnmnmxurtukR)61(24422(2.34) 假定假定 在所考慮的區(qū)域保持有界，則古在所考慮的區(qū)域保持有界，則古典顯式差分格式的截?cái)嗾`差階為典顯式差分格式的截?cái)嗾`差階為 。4422,xutu)(2hkO442222,xutuxutu61r從式(2.33)又可見(jiàn)到，如令 ，由于故截?cái)嗾`差 的階可以提高，這時(shí) 。 )(42hkORnmnmRnmxxnmUrrrU421)61(211(2.35.1)或者)(32(32)652

17、(211121nmnmnmnmUUrrUrrU)(61 (12122nmnmUUrr(2.35.2)相應(yīng)的截?cái)嗾`差階為 。通常，格式可用圖2.3表示。 )(42hkO 為了提高截?cái)嗾`差的階，我們也可用在式(2.27)中保留四階中心差分項(xiàng)的辦法達(dá)到，這時(shí)有差分格式(2.27)m,n+1m-2,nm-1,nm,nm+1,nm+2,n圖圖2.32.3m,n+1m-1,nm,nm+1,n圖圖2.22.2前往2.2.2 2.2.2 系數(shù)依賴于系數(shù)依賴于 的一維熱傳導(dǎo)方程的顯式格式的一維熱傳導(dǎo)方程的顯式格式x0)()(22xaxuxatu(2.36)這時(shí)， 。2)(xDxaL L保留右邊前二項(xiàng)，由 ，則有

18、差分方程2221xxhD)()(21 (111nmnmmnmmnmUUxraUxaU(2.37)nmxnmuDxkau)(exp(21nmxxxuaDaDkkaD)(2112222nmxxxxuaDDaDaakkaD )2(21143222那么 這一差分格式可用圖2.4表示，其中 ，這是一個(gè)顯式差分格式，其截?cái)嗾`差階為 。)(mhaa )(2hkOm,n+1m-1,nm,nm+1,n圖圖2.42.4 由方程右邊22)()()(xuxaxuxaxuxaxuDxaDxaxx)()(2xxDxaDxaL)()(2nmxxnmuDaaDku)(exp(21nmxxuDaaDk)(12 進(jìn)一步，考慮熱傳

19、導(dǎo)方程0)()(xaxuxaxtu(2.38)的差分近似。12 在上式中保留前二項(xiàng)，并且 和 分別用 和 替代，則得差分方程)(2111nmnmuuh)2(1112nmnmnmuuuhnmnmnmnmUaharUaharUraU111)21()21()21 (2.39)nmxuDnmxuD2 也可通過(guò)直接用中心差分算子 代替微分算子 的辦法獲得方程(2.38)的差分近似 xh1xDx)()(1)(121nmxmxnmnmUxahUUknmmmnmUxaxarU)()(121211hxxUxaUxarmmnmmnmm21,)()(21121121(2.40)這也是一個(gè)顯式差分格式。 格式(2.3

20、9)和(2.40)的截?cái)嗾`差階都是 。易見(jiàn)，由)(2hkOaa,mhx 注：注： 均在均在 處計(jì)算。處計(jì)算。Deltaahxaxamm21)()(21ahxaxamm21)()(21 顯然，微分方程(2.36)，(2.38)中的 如果為 ，即其自變量包括空間變量和時(shí)間變量，這時(shí)差分格式(2.37)，(2.39)，(2.40)同樣是微分方程的具有截?cái)嗾`差階 的差分近似，這時(shí)格式(2.37)，(2.39)中 和 ,格式(2.40)中 和 分別換成 , 。)(xa),(txa)(2hkO),(nmtxaa ),(nmxtxaa)(21mxa)(21mxa),(21nmtxa),(21nmtxa,2x

21、xDD代入格式(2.40)即為格式(2.39)，差分格式(2.40)的推導(dǎo)方法,即在微分方程中直接用差分算子代替 正如前面已經(jīng)指出的是推導(dǎo)差分格式的一個(gè)常用方法。2.3 2.3 隱式差分格式隱式差分格式 隱式差分格式特點(diǎn)： 1. 具有二個(gè)或二個(gè)以上結(jié)點(diǎn)處的值未知； 2. 計(jì)算工作量較大； 3. 穩(wěn)定性較好。nmxnmukDu)exp(21得 nmnmxuukD12)exp(nmnmxxuuDkkD1422)211 (由22xutu推導(dǎo)其最簡(jiǎn)單的隱式差分逼近古典隱式格式。 現(xiàn)在對(duì)熱傳導(dǎo)方程2.3.1 古典隱式格式古典隱式格式1715格式用圖2.5表示，其截?cái)嗾`差階為 ，與古典顯式差分格式相同。

22、)(2hkO或者nmnmnmnmUrUUrrU11111)21 (2.41)nmnmxUUhk122)1 (保留二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，且以 替代 ，則得差分格式221xh2xD 我們也可通過(guò)直接用差分算子代替 的方法，即2,xxDDkuutunmnmnm11)(2111111222)(huuuxunmnmnmnm代入微分方程，得到格式(2.41)。古典隱式差分格式m,n+1m-1,n+1m+1,n+1m,n圖圖2.5 隱式差分格式是解熱傳導(dǎo)方程(2.26)的常用的差分格式，由式(2.24)，有 NicolsonCranknmnmukLukL)21exp()21exp(1NicolsonCrank2.3.

23、2 隱式格式隱式格式由2xDL 得1222)21(21211nmxxukDkDnmxxukDkD222)21(21211(2.42)42兩邊僅保留二項(xiàng)，用 替代 ，則得差分格式221xh2xDnmxnmxUrUr)211 ()211 (212(2.43)這是一個(gè)隱式差分格式，稱為 差分格式，截?cái)嗾`差階為 。NicolsonCrank)(22hkO)(21)1 (11111nmnmnmUUrUr)(21)1 (11nmnmnmUUrUr(2.44) 由于格式(2.44)中包括六個(gè)結(jié)點(diǎn)，故也稱為六點(diǎn)格式(如圖2.6所示)。m,n+1m-1,n+1m+1,n+1m,n圖圖2.6m-1,nm+1,n4

24、4也可將kuutunmnmnm121)(21121111121222221)(huuuhuuuxunmnmnmnmnmnmnm代入微分方程(2.26)，得到 格式。NicolsonCrank nmxnmxukDukD)211 ()211 (212由式(2.19.3)，可令 nmxxnmxuhuD)1211 (12222則可得12222)1211 (1xxxhD 另一精度較高的六點(diǎn)差分格式，如前在式(2.42)中僅保留直到 的項(xiàng)，即有2xD13代入上式，則有如下差分格式：nmxnmxUrUr212)61(211)61(211(2.45) 稱為 差分格式。Douglas38)(42hkO截?cái)嗾`差階

25、 2323)()(121)()(2124214422122122khOxuhxuuuhnmnmnmnmx由于 )()()(1242144212khOxuhuuknmnmnmx48 前面，我們已經(jīng)推導(dǎo)了熱傳導(dǎo)方程(2.26)的古典顯式格式。古典隱式格式及 格式等。實(shí)際上，它們都可以作為本節(jié)推導(dǎo)的加權(quán)六點(diǎn)隱式格式的特殊情形。NicolsonCrank 2.3.3 加權(quán)六點(diǎn)隱式格式加權(quán)六點(diǎn)隱式格式由nmxnmukDu)exp(2110)1exp()exp(212nmxnmxukDukD得到14222211nmxxuDkkDnmxxuDkkD4222)1 (21)1 (1即用 替代 ，則得差分格式22

26、1xh2xDnmxnmxUrUr212)1 (1)1 (或者)()(1 ()21 (1111111nmnmnmnmnmUUrUUrUr10)1 (21nmUr(2.46) 這是一個(gè)六點(diǎn)差分格式(如圖2.7所示)，稱為加權(quán)六點(diǎn)差分格式。400時(shí), 為古典顯式格式；1時(shí), 為古典隱式格式；21時(shí), 為 格式；NicolsonCranknmxnmxnmnmUhUhkUU2212211)1 (1加權(quán)六點(diǎn)格式亦可直接由差商代替導(dǎo)數(shù)得到 2.3.4 2.3.4 系數(shù)依賴于系數(shù)依賴于 的一維熱傳導(dǎo)方程的一個(gè)的一維熱傳導(dǎo)方程的一個(gè)隱式格式的推導(dǎo)隱式格式的推導(dǎo) 由其 展開(kāi)式可得Taylor)(12644222h

27、ODhDhxxx22),(xutxatu(2.47)的差分逼近。 考慮方程)21sinh(2xxhD知x,t11令)()(111)1(22121222122khOuukahtuaxnmnmnmxnm代入式(2.48)，那么)(1)(21121122nmnmnmnmnmxuukauuh)()(111212412122khOuuahrnmnmnmx)()(121)()(2124214422122122khOxuhxuuuhnmnmnmnmx)()1(12)1(242122221khOtuaxhtuanmnm(2.48)因此 43格式(2.49.1)具有截?cái)嗾`差階 。)(24khO這是一個(gè)隱式差分格

28、式(如圖2.8所示)。1212121)611 (21)(1nmnmxnmnmnmUraUUranmnmxUra)611 (21212(2.49.1)因此得差分方程122112122121)(1211nmxnmnmxnmUraaanmxnmnmxnmUraaa22112122121)(1211(2.49.2)可寫(xiě)成形式m,n+1m-1,n+1m+1,n+1m,n圖圖2.8m-1,nm+1,n 前節(jié)引進(jìn)的隱式差分方程，在要求解未知函數(shù)值的時(shí)間層 上包括三個(gè)未知函數(shù)值 。因此，這些隱式差分格式僅僅適合于解如圖 中所示的邊值問(wèn)題。在每一時(shí)間層，需要求解的隱式差分方程形成了一個(gè)線性代數(shù)方程組，它的系數(shù)矩

29、陣是三對(duì)角形矩陣，即僅在主對(duì)角線及其相鄰二條對(duì)角線上有非零元素。方程組寫(xiě)成一般形式是kntn) 1(111111,nmnmnmUUU)( 1 . 2b2.4 解三對(duì)角形方程的追趕法解三對(duì)角形方程的追趕法m,n+1m-1,n+1m+1,n+1m,nm,n+1m-1,n+1m+1,n+1m,nm-1,nm+1,n111213433323232221212111MMMMMdUUdUUUdUUUdUU(2.50)這一類(lèi)方程可用追趕法求解。由方程組(2.50)中的第一個(gè)方程解出 ，得1U112111dUU將此式代入方程組(2.50)的第二個(gè)方程，得到232221212)(dUUgU即2322gUU令 ，

30、則上式可寫(xiě)為111111,dg1211gUU其中122122212222,gdg完全類(lèi)似地，可以推出下面的公式22111MmgUUmmmm(2.51)其中21,111Mmgdgmmmmmmmmmmmm注意當(dāng) 時(shí), 。1m111111,dg即2112111MMMMMMMgdU1112121)(MMMMMMMdUgU 將關(guān)系式 代入式(2.50)中最后一個(gè)方程，得到2122MMMMgUU若令2112111MMMMMMMgdg則有 。11MMgU 假設(shè) 已經(jīng)算出，那么解向量 的最后一個(gè)分量 就已求得，為了求得 的所有分量，只有利用方程(2.51)即可逐步求出 ,因此，整個(gè)求解過(guò)程分為兩大步： 1Mg

31、U1MUU1232,UUUUMM1222211,MMMgggg,第一步 依次確定12,11111Mmgdgdgmmmmmmm22,1111Mmmmmmm21,111MmUgUgUmmmmMM計(jì)算公式可歸結(jié)為1221,UUUUMM第二步 依相反次序確定 通常，第1步稱為“追的過(guò)程，第2步稱為“趕的過(guò)程，整個(gè)求解過(guò)程稱為追趕法。(2)0; 1, 2 , 1011MmmmMm定義(3)0; 1, 2 , 111MmmmMm定義則上述追趕法過(guò)程是穩(wěn)定的。1, 3 , 20Mmm1, 2 , 10Mmm2, 2 , 10Mmm(1)可以論證，假設(shè)例例 2.2 2.2 說(shuō)明用說(shuō)明用 方法數(shù)值解如下定方法數(shù)

32、值解如下定解問(wèn)題的過(guò)程：解問(wèn)題的過(guò)程： NicolsonCrankTtttuttuxxuTtxxutut0)(), 1 (),(), 0(10)(|0 ; 1021022 由前已知 格式為NicolsonCrank)(21)1 ()(21)1 (1111111nmnmnmnmnmnmUUrUrUUrUr 如果選擇 ，那么 ，要解的方程組寫(xiě)成矩陣形式是81h8M171615141312111212112121121211212112121121211nnnnnnnUUUUUUUrrrrrrrrrrrrrrrrrrr18810076543212121000002121121211212112121

33、1212112121121211nnnnnnnnnnnrUrUrUrUUUUUUUUrrrrrrrrrrrrrrrrrrrkTNNn; 1, 2 , 1 , 0(2.52)相應(yīng)于上述定解問(wèn)題的差分方程組為011, 1 , 0UNneUBUAnnnnn其中， 為七階方陣， 為列向量，它們的表達(dá)式從式(2.52)可知。因?yàn)樵谇蟮?層 時(shí)， 已計(jì)算得， (它們?cè)?中出現(xiàn))由邊值條件已知，故方程組右邊已知，且nnBA ,nnneUU,1) 1( n1nmUnnnUUU721,181080,nnnnUUUUne7 , 3 , 2021mrm7 , 2 , 101mrm021rm又111mmmr7 , 1

34、1mrmmm,1g因此可用追趕法求解方程組(2.52)，由方程組右邊值及 可求出 ，然后順次，可求出 。mmm,717,g111617,nnnUUU我們先看一個(gè)數(shù)值例子，考慮初邊值問(wèn)題TtuuxxuTtxxutuxxt00|0)(|0 ;00022(2.53)其中xxxxx220)(2.5 差分格式的穩(wěn)定性和收斂性差分格式的穩(wěn)定性和收斂性2.5.1 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出利用顯式差分格式(2.29)，即)()21 (111nmnmnmnmUUrUrU式中 。連同初值條件1, 2 , 1; 1, 1 , 0MmkTNNn1, 2 , 1)(0MmmhUm邊值條件NnUUnMn, 2 , 1 , 0

35、00逐層解出結(jié)點(diǎn)處的 值。 現(xiàn)在對(duì) ，取二種 ，使 與 。圖2.9和圖2.10中的曲線表示不同時(shí)刻微分方程的精確解，圖中“”表示差分方程的解。 圖2.9所示 時(shí)的計(jì)算結(jié)果是曲線自上而下依次為 微分方程U20hk1152hkr951152hkr)88,44,33,22,11, 0( nnktn的精確解。黑點(diǎn)是用差分格式在 時(shí)算出的相應(yīng)各層上的近似值。二者符合得很好，由于對(duì)稱性我們只給出一半圖形。 圖2.10是當(dāng) 時(shí)差分方程解和微分方程精確解的圖示，黑點(diǎn)仍表示差分方程解，其中 分別為在 時(shí)的計(jì)算結(jié)果。從圖中看出，隨著 的增大，差分方程的解越來(lái)越遠(yuǎn)離微分方程的解。 由此可見(jiàn)， 值的不同，得出的結(jié)果有

36、很大的差別，如 的結(jié)果是可用的，但是 時(shí)的結(jié)果就完全沒(méi)有用。 當(dāng)然上面各種情況所得的差分方程解是由計(jì)算機(jī)得到的，不可能是差分方程理論上的準(zhǔn)確解 115r95r)(),(),(cba27,18, 8,nnktnnr115r95r ，而是差分方程的近似解，我們用 表示。顯然 與 之間存在著差別，差分方程的準(zhǔn)確解 與微分方程的解 之間，如前所述,也是有差別的。因而從計(jì)算機(jī)上解得的差分方程近似解 與微分方程解 之間的差別實(shí)質(zhì)上包括兩方面的差別，即nmUnmUnmUnmUnmUnmunmUnmu)()(nmnmnmnmnmnmUUUuUu(2.54) 下面我們先研究上式右邊第二項(xiàng)，即差分方程的理論解與計(jì)

37、算機(jī)上解得的近似解之間的差別是隨著的增大而無(wú)限增加還是有所控制。如果這種差別是無(wú)限增加，則稱差分格式不穩(wěn)定，顯然不穩(wěn)定的格式是不能使用的,因?yàn)檎`差的無(wú)限增加淹沒(méi)了真解。上例中 時(shí)就是差分方程不穩(wěn)定的情況。從差分方程比如格式(2.29)可知，在求 95r第一層的差分方程解 時(shí)，用到第0層上的 值，也就是初始值。由于計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)數(shù)據(jù)為二進(jìn)制數(shù)位的限制, 不可能完全精確地存儲(chǔ)在機(jī)器中，也就是計(jì)算 用到的是帶有誤差的初始值 。一般來(lái)說(shuō)，在計(jì)算 時(shí)又出現(xiàn)了誤差，因此 中包括了由于 參加運(yùn)算而出現(xiàn)的誤差，即初始誤差的傳遞，以及本身計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)的誤差。這樣，在第 時(shí)間層計(jì)算 時(shí)得到的 是由于前面的誤差傳遞和

38、本身計(jì)算中出現(xiàn)的誤差引起的。下面我們給出研究差分格式穩(wěn)定性的最直接的方法，就是在第0層的一個(gè)結(jié)點(diǎn)上給出一個(gè)誤差 ，然后研究這個(gè)誤差的發(fā)展情況，即 圖方法。 1mU0mU0mU1mU0mU1mU11mmUU 0mU) 1( n1nmU1nmU 假定在固定的某個(gè)結(jié)點(diǎn) 引入一個(gè)誤差 ，即把 改成了 ，而在這一層的其他結(jié)點(diǎn)上的初值還是 ，假定用帶有初始誤差的初值 按差分格式去計(jì)算以后各排結(jié)點(diǎn)上的 值，且假定計(jì)算時(shí)沒(méi)有引入其他誤差，我們把得到的值記做 ，這樣 滿足原來(lái)的差分格式。假如我們使用差分格式(2.29)，于是)0 ,(0m00mU0000mmUU0mU00mUnmUnmUnmUNnUUMmmmU

39、mmUUMmNnUUrUrUnMnmmmnmnmnmnm, 1 , 001, 2 , 11, 2 , 1; 1, 1 , 0)()21 (0000001112.5.2 2.5.2 圖方法圖方法顯然兩解之差 滿足111nmnmnmUUVNnVVMmmmVmmVVMmNnVVrVrVnMnmmmnmnmnmnm, 1 , 001, 2 , 11, 2 , 1; 1, 1 , 0)()21 (000000111(2.55)(2.56) 以下分析當(dāng) 和 時(shí)， 隨著 增加而變化的情況。先看 的情況，由式(2.55)得21r1rnmVn21r)(21111nmnmnmVVV由此利用條件(2.56)即可算出

40、 的值(見(jiàn)表2.3)。 1nmV表2.3 由表2.3可知，用顯式差分格式(2.29)( )計(jì)算時(shí)，由初始數(shù)據(jù)的誤差，在以后各層所引起的誤差是逐層減小的，這說(shuō)明差分格式(2.29)當(dāng) 時(shí)是穩(wěn)定的。21r21rnmnmnmnmVVVV111再看 的情形，由(2.55)得1r由此利用條件(2.56)即可得出的值(見(jiàn)表2.4)。表2.4 可見(jiàn)，用顯式差分格式(2.29)( )計(jì)算時(shí)，由初始數(shù)據(jù)的誤差所引起的誤差在以后各層的計(jì)算中逐層迅速增大，以致不能控制，因此差分格式(2.29)在 時(shí)是不穩(wěn)定的。 用 圖方法討論格式的穩(wěn)定性能直觀地看到差分格式是穩(wěn)定性，缺點(diǎn)是必先固定 。 1r1rr2.5.3 2.5

41、.3 穩(wěn)定性定義、穩(wěn)定性分析的矩陣方法穩(wěn)定性定義、穩(wěn)定性分析的矩陣方法 TtttuttuxxxuTtxxutu0)(), 1 (),(), 0(10)()0 ,(0 ; 102122以下討論求初邊值問(wèn)題差分方程寫(xiě)成矩陣形式為：01; 1, 1 , 0UkTNNneUBUAnnnnn(2.57)其中nMnnnnMnnnnMnnneeeeUUUUUUUU1211211112111,為 維列向量； ； 為已知向量； 為包括邊值條件的向量； 為 階方陣，可以隨而改變。) 1(M1MhnUnennBA ,) 1(MnIAnn,如果差分方程為顯式，則對(duì)所有的0111UBACeAUCUnnnnnnnn(2.58)0| ,nnAIA假設(shè)，則隱式格式可寫(xiě)成顯式形式 設(shè) 是初始值引進(jìn)的誤差向量，而在邊值以及其他各層計(jì)算中未引入其它任何誤差。由于的引入，差分方程的解為 。0VnU則我們說(shuō)差分格式是