數(shù)字信號處理無限沖激響應(yīng)(IIR)濾波器設(shè)計(jì)

1、第6章 無限沖激響應(yīng)(IIR） 濾波器設(shè)計(jì)6.1 濾波器的基本概念；6.2 模擬低通濾波器設(shè)計(jì)；6.3 模擬高通、帶通及帶阻濾波器設(shè)計(jì)；6.4 沖激響應(yīng)不變法；6.5 雙線性Z變換法；6.6 數(shù)字高通、帶通及帶阻濾波器設(shè)計(jì)；| )(| )(|;)(| )(|;)(| )(jjjeYceHbeXa( )( )( )|,|ccx nh ny n通過系統(tǒng)后使輸出中不再含有的頻率成分 而使的成分不失真的通過.1. 濾波原理6.1 濾波器的基本概念若 中的有用成分 和希望去除的成分 各自占有不同的頻帶, 通過一個線性系統(tǒng)可將 有效去除. 分類: 低通(LP), 高通(HP),帶通(BP), 帶阻(BS)

2、 2. 濾波器的分類( )x n( )( )( )x ns nu n加法性噪聲( )u n( )s n( )u n每一種又有模擬(AF)、數(shù)字(DF)兩種濾波器.對數(shù)字濾波器, 從實(shí)現(xiàn)方法上, 有IIR濾波器和FIR濾波器之分, 轉(zhuǎn)移函數(shù)分別為:NkkkMrrrzazbzH101)(10)()(NnnznhzHFIR DF:IIR DF:種類：維納濾波器、卡爾曼濾波器、線性預(yù) 測、自適應(yīng)濾波器( )( ) ( )x ns n u n乘法性噪聲( )( )* ( )x ns nu n卷積性噪聲信號的頻譜和噪聲道頻譜混迭在一起，靠經(jīng)典的濾波方法難以去除噪聲。目標(biāo)：從含有噪聲的數(shù)據(jù)記錄(又稱時間序列

3、)中估計(jì)出信號的某些特征或信號本身。阻帶下限截止頻率又稱通帶上限頻率通帶截止頻率:)(:sp3. 濾波器的技術(shù)要求低通：p：通帶允許的最大衰減；s：阻帶內(nèi)應(yīng)達(dá)到的最小衰減| )(|lg20| )(| )(|lg20| )(|lg20| )(| )(|lg2000ssppjjjsjjjpeHeHeHeHeHeH單位 (dB)若幅度下降到 0.707, 則幅平方下降 0.5 （半功率點(diǎn)）：0|()|120lg20lg3dB0.707|()|pjpjH eH e若幅度下降到 0.01：0|()|120lg20lg40dB0.01|()|pjsjH eH e高通：p：通帶允許的最大衰減；s：阻帶內(nèi)應(yīng)達(dá)

4、到的最小衰減帶通：p：通帶允許的最大衰減；s ： 阻帶內(nèi)應(yīng)達(dá)到的最小衰減帶阻：p：通帶允許的最大衰減；s：阻帶內(nèi)應(yīng)達(dá)到的最小衰減1. 給定所設(shè)計(jì)的濾波器的技術(shù)指標(biāo)：,pspssfLP, HP13,slshpssfBP, BS 2. 設(shè)計(jì)出一個 ，使( )H z()jH e滿足給定的技術(shù)要求沒有考慮相位給定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo) （更多）,psps 得到數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻濾波器( )H z得到模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器( )H s轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo),psps 設(shè)計(jì)模擬低通濾波器( )G p轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo) （更多）,psps,( ):ppssG s給定模擬低通濾

5、波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)低通濾波器NNNNNNNNscscsccsdsdsddsG 11101110)(210lg|()|,.pspsG j使其對數(shù)幅頻響應(yīng)在處分別達(dá)到的要求6.2 模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)一、概述10/ )(210| )(|jG22()1( )10lg10lg()|()|X jY jG j )(定義衰減函數(shù)22()10lg|()|()10lg|()|pppsssG jG j 上面兩式將要求的衰減和模擬濾波器的幅平方特性聯(lián)系了起來。注意，由于衰減指標(biāo)只有兩個，因此也只能和幅平方特性的兩個特殊頻率相聯(lián)系。 我們的目的是由幅平方特性 求出模擬濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù) ，如何將二者聯(lián)系起來( )G s

6、2|()|G j*2( )( )( ) ()|()|sjG s G sG s GsG j 因?yàn)?|()|( )G jG s就很容易得到所需要的所以，由 注意，由于由于衰減指標(biāo)只有兩個，只能和幅平方特性的兩個特殊頻率相聯(lián)系，因此，幅平方特性的表達(dá)式必須簡化。2| )(|jG將 按不同的原則簡化，可得到不同形式的濾波器，即不同的 表達(dá)式：( )G s.,)(11| )(|222為待定的濾波器階次為待定常數(shù) NCCjGN1. 巴特沃思(Butterworth)濾波器221()cos ( cos)nCn 定義)(11| )(|222nCjG2. 切比雪夫I型(Chebyshev-I)濾波器222221

7、|()|()1(/)nsnsG jCC3. 切比雪夫II型濾波器)(11| )(|222nUjG2( )nU：Jacobian 函數(shù)本課程只討論 Butterworth 和 Chebyshev-I 濾波器的設(shè)計(jì)4. 橢圓濾波器1. 將實(shí)際頻率歸一化，得歸一化幅平方特性2221|()|,1NpG jC2. 求 和 CN2221( )10lg10lg1|()|NCG j 由：22( )/10101NC 有：/1022/ 0221101101psNpNsCC/102101pC求出C二式相比二、Butterworth濾波器的設(shè)計(jì)/10/10101lg/lg101spsN對Butterworth濾波器，

8、通常 ，所以3dBp/1020.31011011pC /10lg 101 lgssN22211|()|11(/)NNpG j 如何由上述的幅平方特性得到 系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)( )G p3. 確定( )G p/psjpj /pppjjs 221|()|1NG j/pj2211( ) ()1 (/ )1 ( 1)NNNG p Gppjp 21 ( 1)0NNp 21exp2kkNpjNNk2 , 2 , 1 即 個極點(diǎn)均勻分布在 平面半徑為 1的圓上，應(yīng)取左半平面的 個予 ，右半平面的 個賦予 2N( )s pN( )G pN()Gp( ) ()G p GpNk, 2 , 1 則：則：)()(1)(2

9、1NpppppppG 1,.kNkNpp 若為偶數(shù)及這對共軛極點(diǎn) 構(gòu)成一個二階系統(tǒng)121( )()()1212 cos() 12kkNkGpppppkNppN 2/1)()(NkkpGpG為偶數(shù)N21exp2kkNpjN,( )(1)/2.NG pN 若 為奇數(shù)由一個一階系統(tǒng)和 個二階系統(tǒng)相級聯(lián)2/ )1(1)(11)(NkkpGppG為奇數(shù)N又因?yàn)楹蟮玫?)(pGppsjjp/,( ).pspG s用代替即得實(shí)際需要的/( )( )pp sG sG p 反映了實(shí)際頻率p20,0, |()|1,(0)0,0G j (1) 當(dāng)時即在處無衰減;4.巴特沃思濾波器幅頻響應(yīng)的特點(diǎn):2,1, |()|0

10、.5, |()| 0.707,3dB;pppppG jG j (2) 當(dāng)即時2221, |()|,(), |()|,|()|G jNG jG j(3) 當(dāng) 由零增加到 時單調(diào)減小單調(diào)增加越大減小的越慢 即在通帶內(nèi)越平；2,1, |()|,1,ppG jN (4) 當(dāng)即時也是隨著的增加而單調(diào)減少 但因所以這時比通帶內(nèi)衰減速度加快越大 衰減速度越大;22(5) |()|0, 1G jN 在處對的一階 二階 直至階導(dǎo)數(shù)皆為零.例：給定 如下技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)模擬低通 Butterworth濾波器5000Hz,10000Hz,3dB,30dB,pspsffStep1. 1,2,3dB,30dB,pspsS

11、tep2. 30/101;lg 101 lg25CNStep3. exp (2)5,1,2,3,4,5kpj kkStep4. 12345( )1 ()()()()()G pppppppppppStep5. 20542500010( )( )(10)()()spG sG psss切比雪夫多項(xiàng)式的特點(diǎn)：221( )cos ( cos)nCn 1coscos( )cos()nCn )(11| )(|222nCjG三、切比雪夫I型模擬低通濾波器設(shè)計(jì)1112( )2( )( )( )2( )( )nnnnnnCCCCCC 的多項(xiàng)式11( )cos(1)cos()cos( )sin()sin( )( )

12、cos(1)cos()cos( )sin()sin( )nnCnnnCnnn 012210332142432( )cos(0)1( )cos( )( )2( )( )21( )2( )( )43( )2( )( )881CCCCCCCCCCC 的確是 的多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)是12n(1)1nC,1. 將頻率歸一化 得歸一化的幅平方特性 即)(11| )(|222nCjG1設(shè)計(jì)步驟：)(1lg10)(22nC110) 1 (10/22pnC2(1)1nC/102101p2. 求 和n為求濾波器的階次，還要利用另外的條件：注意：21( )10lg|()|G j /1022221()101cosh cos

13、h ()snssCn因此： 時，切比雪夫多項(xiàng)式要重新定義，采用雙曲函數(shù)：利用另外的條件：,:1sssNote 1( )cos( cos)nCn必須不大于11cosh/2sinh/2xxxxxeexee/10212/10101cosh cosh ()101spsna11cosh ( )cosh ()san3.( )G s確定221( ) ()1(/ )nG p GpCpj221(/ )0nCpj求根1coscosh()n arjpj 則22(21)sinsinh()2(21)coscosh()2kkpnkjn2,( ),(),( ),1,2,knpG pGpG pkn此式求出的個極點(diǎn)一半屬于一半

14、屬于把左半平面的極點(diǎn)賦于即nk2 , 2 , 1 最后導(dǎo)出：切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)分布實(shí)際轉(zhuǎn)移函數(shù)為111( )( )2()pnpnpnkpkG sG psp 反映了實(shí)際頻率nkknpppG11)(21)(最后：p模擬高通, 帶通, 帶阻濾波器設(shè)計(jì)流程6.3 模擬高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器G(p)給定高通、帶通或帶阻的技術(shù)指標(biāo),psps 頻率轉(zhuǎn)換頻率轉(zhuǎn)換低通濾波器技術(shù)指標(biāo),psps 得到高通、帶通或帶阻濾波器H(s)頻率轉(zhuǎn)換頻率轉(zhuǎn)換pqspqj 想辦法實(shí)現(xiàn)高通到低通的轉(zhuǎn)換： 低通幅頻低通幅頻高通幅頻高通幅頻給定高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：,psps先作頻率歸一化：,1,1pps 一

15、、模擬高通濾波器的設(shè)計(jì)10sp 01sp11或1 由：,1p 如何：( )G p( )H s（HP）實(shí)現(xiàn)：設(shè)計(jì)出( )G p（LP）111qjjpp :p:q歸一化高通濾波器的復(fù)變量歸一化低通濾波器的復(fù)變量11( )( )( )pqH qG pGqppsqjj/( )( )|ppsH sG p得：于是可得到模擬高通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù) 后面帶通、帶阻濾波器和低通濾 波器的轉(zhuǎn)換過程大體相同。對帶通濾波器，如何實(shí)現(xiàn)頻率的歸一化定義：有 ：31BWBW 用帶寬歸一化二、模擬帶通濾波器的設(shè)計(jì)然后要實(shí)現(xiàn)帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)到低通的轉(zhuǎn)換。關(guān)鍵問題是找到 對應(yīng)關(guān)系： 定義 中心頻率：2213 221312300s

16、ppsslsh2231/22p311,1p22221331()sps 由 于2222222213222( / )( / )()()( /)BWBWBWqjpjjjqjsqqs 所以有21 3()31( )( )spsH sG p 可得N階低通濾波器轉(zhuǎn)換到帶通后, 階次變?yōu)?N.帶阻濾波器頻率歸一化方法同帶通濾波器定義：有 ：31BWBW 三、模擬帶阻濾波器的設(shè)計(jì)2132000slshspps22/1322p312221,1,p31213)(ssp31213)(| )()(ssppGsH得到：及帶阻濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)： 以上討論的是模擬低通、高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計(jì)，然而這并不是我們的目的。我

17、們的目的是設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。首要的問題是如何將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，最后再實(shí)現(xiàn)模擬濾波器到數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換。6.4 6.4 用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì) IIR DFIIR DF給定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo) （更多）,psps 轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo) （更多）,psps轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo),psps 設(shè)計(jì)模擬低通濾波器( )G p得到模擬高通、帶通、帶阻濾波器( )H s得到數(shù)字高通、帶通、帶阻濾波器( )H zsz,psps ,.ps.,不變ps利用上一節(jié)的方法，可設(shè)計(jì)出模擬濾波器( ),( )G pG s( )H z最直接到方法，將：sT 利用

18、：1,lnssTszeszT1ln( )( )sszTH zG s但這樣做， 將不再是 的有理多項(xiàng)式，給極零分析帶來困難。( )H zz)(1)()()(0kssjnnsjkjGTeHznThzH0)()(| )()(nsnTtsnTttgtgnThs令：沖激響應(yīng)不變法模擬濾波器的沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)1( )( )1( )()ssTnTtsAAG sH zsezg tAeh nTAe基本轉(zhuǎn)換單元：22( )( )sin() ( )()tG sg tet u tssssTsTsTeTezzTzezH22)cos(2)sin()(1111zessT( ),( )( ),G sG sH

19、z總可由一階和二階系統(tǒng)并聯(lián)或級聯(lián)而成故由上面兩式可實(shí)現(xiàn)由到的轉(zhuǎn)換 該轉(zhuǎn)換所遵循的基本關(guān)系仍是ssTez (1),.spspsT 利用將轉(zhuǎn)換為.,不變ps).()2(sG設(shè)計(jì)低通模擬濾波器).()() 3(zHsG轉(zhuǎn)換為將|()|()|,jH eG j相對于有較大失真 這是因?yàn)槌闃宇l率過小時，易產(chǎn)生混迭。此外，該方法對高通、帶阻濾波器不適用。線性轉(zhuǎn)換關(guān)系6.5 用雙線性Z變換法設(shè)計(jì) IIR DF放棄上一節(jié)的線性轉(zhuǎn)換關(guān)系，找新的關(guān)系：sz 211jjsejT e sTsTzss)2/(1)2/(1則112zzTss令：雙線性z變換/2/2/2/2/2/22()()2 sin(/2)cos(/2)j

20、jjjjjsseeejT eeejT 2tan(/2)2arctan(/2)ssTT 非線性關(guān)系，但是一對一的轉(zhuǎn)換2tan(/2)sT 非線性關(guān)系DF:100Hz,300Hz,1000Hz0.2 ,0.6 ,2AF:tan(/2)685.82109(Hz)2tan(/2)2452.762438(Hz)psspsppssssffFTT 設(shè)計(jì)的 AF 并不是按給定的技術(shù)指標(biāo)，但再由 變回 后，保證了 DF的技術(shù)要求。sz又稱為頻率的預(yù)變形（Freq. Warping) 。例如 ： 2tan(/2)sT ,psps給定 DF 技術(shù)指標(biāo)Step1.),2/tan(2),2/tan(2ssspspTTS

21、tep2. 頻率轉(zhuǎn)換：)2/tan(/ )2/tan(, 1pssp( ),( )( )G pG pG s設(shè)計(jì)出 AF Step3.Step4.211( )( )|szsT zH zG s數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)步驟：因?yàn)?1tan(/2)1ppszpz212,tan(/2)1pppssszpsT zT 所以：這樣：系數(shù) 可以省略，因此，雙線性Z變換可定義為 ：2sT11zzsssz11)2tan()arctan(2這一組定義和前面的定義，對最后的 DF 而言，結(jié)果是一樣的，差別是中間設(shè)計(jì)的 AF， 由于缺少了頻率定標(biāo)，將無法給出符合要求的幅頻響應(yīng)。( )H zAF:2109(Hz),2438(H

22、z)ps 例： 設(shè)計(jì) IIR LP DF ，給定3dB,20dBpsDF:100Hz,300Hz,1000HpssffF及可求出：2N 121)(2pppG12120.067450.13490.06745( )1 1.1430.4128zzH zzz求出：幅頻響應(yīng)曲線見書 P28411tan(/2)1pzpz由： 給出給出數(shù)字高通數(shù)字高通的技術(shù)要求的技術(shù)要求)(zHdhpspsp, 得到得到模擬高通模擬高通的技術(shù)要求的技術(shù)要求)(sHahpspsp,)2tan(1step得到得到模擬低通模擬低通的技術(shù)要求的技術(shù)要求)(pGspsp,p12step設(shè)計(jì)出設(shè)計(jì)出)(pG3stepspp4step

23、得到得到模擬高通轉(zhuǎn)移模擬高通轉(zhuǎn)移函數(shù)函數(shù))(sHahp11zzs5step最后得到最后得到數(shù)字高通轉(zhuǎn)移數(shù)字高通轉(zhuǎn)移函數(shù)函數(shù))(zHdhp數(shù)字高通濾波器設(shè)計(jì)步驟6.6 數(shù)字高通, 帶通及帶阻濾波器的設(shè)計(jì)對 帶通（BP）、帶阻（BS）數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，只需改變圖中 Step2 和 Step4：22231BWBW 帶通22231BWBW 帶阻例： 設(shè)計(jì)一 IIR BP DF,要求：通帶頻率范圍： 300Hz 400Hz ;阻帶頻率范圍：200Hz、500Hz2N 121)(2pppG) 1() 1() 1(22222zzzpBW432142641. 0307. 1237. 2637. 11)21 (

24、0201. 0)(zzzzzzzHdbps3dB,18dB,F2000Hzps要求：按上述轉(zhuǎn)換辦法，可以求出：1buttord.m 確定 LP DF、或 LP AF的階次；（1） N, Wn = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs)；與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件對應(yīng) 數(shù)字濾波器。其中 Wp, Ws分別是通帶和阻帶的截止頻率，其值在 01 之間，1對應(yīng)抽樣頻率的一半(歸一化頻率)。對低通和高通，Wp, Ws都是標(biāo)量，對帶通和帶阻，Wp, Ws是12的向量。Rp, Rs 分別是通帶和阻帶的衰減(dB)。N是求出的相應(yīng)低通濾波器的階次，Wn是求出的3dB頻率，它和Wp稍有不同。（2）N

25、, Wn = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs,s)： 對應(yīng)模擬濾波器，式中各個變量的含意和格式（1）相同，但Wp, Ws及Wn的單位為弧度/秒，因此，它們實(shí)際上是頻率。2buttap.m 設(shè)計(jì)模擬低通(Butt)原型濾波器。 z, p, k=buttap(N): N是欲設(shè)計(jì)的低通原型濾波器的階次，z, p, k是設(shè)計(jì)出的極點(diǎn)、零點(diǎn)及增益。 B, A=lp2lp(b, a, Wo), B, A=lp2hp(b, a, Wo) B, A=lp2bp(b, a, Wo, Bw), B, A=lp2bs(b, a, Wo, Bw) b, a 是AF LP 的分子、分母的系數(shù)向量，B, A是轉(zhuǎn)換后的的分子、分母的系數(shù)向量；在（1）中，Wo是低通或高通濾波器的截止頻率；在（2）中，Wo是帶通或帶阻濾波器的中心頻率，