求數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和常見方法6頁

1、 數(shù)列求通項(xiàng)及前n項(xiàng)和常見方法求一、定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目例1等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式注意：利用定義法求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)要注意不用錯定義，設(shè)法求出首項(xiàng)與公差（公比）后再寫出通項(xiàng)。二、累加法求形如an-an-1=f(n)（f(n)為等差或等比數(shù)列或其它可求和的數(shù)列）的數(shù)列通項(xiàng)，可用累加法，即令n=2，3，n1得到n1個式子累加求得通項(xiàng)。例2已知數(shù)列an中，a1=1，對任意自然數(shù)n都有，求注意：累加法是反復(fù)利用遞推關(guān)系得到n1個式子累加求出通項(xiàng)，這種方法最終轉(zhuǎn)化為求f(n)的前n1項(xiàng)的和，要注意求

2、和的技巧三、迭代法求形如(其中為常數(shù)) 的數(shù)列通項(xiàng)，可反復(fù)利用遞推關(guān)系迭代求出。例3已知數(shù)列an滿足a1=1，且an+1 =+1，求注意：因?yàn)檫\(yùn)用迭代法解題時(shí)，一般數(shù)據(jù)繁多，迭代時(shí)要小心計(jì)算，應(yīng)避免計(jì)算錯誤，導(dǎo)致走進(jìn)死胡同四、公式法若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式求解。例4已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；注意：利用公式求解時(shí)，要注意對n分類討論，但若能合寫時(shí)一定要合并五、累乘法對形如的數(shù)列的通項(xiàng)，可用累乘法，即令n=2，3，n1得到n1個式子累乘求得通項(xiàng)。例5已知數(shù)列中，前項(xiàng)和與的關(guān)系是，求通項(xiàng)公式注意：累乘法是反復(fù)利用遞推關(guān)系得到n1個式子累乘求出通項(xiàng)，這種方法最終轉(zhuǎn)化

3、為求f(n)的前n1項(xiàng)的積，要注意求積的技巧六、分n奇偶討論法在有些數(shù)列問題中，有時(shí)要對n的奇偶性進(jìn)行分類討論以方便問題的處理。例6已知數(shù)列an中，a1=1且anan+1=2，求通項(xiàng)公式對n的奇偶性進(jìn)行分類討論的另一種情形是題目中含有時(shí)，分n為奇偶即可自然引出討論分類討論相當(dāng)于增加條件,變不定為確定注意最后能合寫時(shí)一定要合并七、化歸法想方設(shè)法將非常規(guī)問題化為我們熟悉的數(shù)列問題來求通項(xiàng)公式的方法即為化歸法同時(shí)，這也是我們在解決任何數(shù)學(xué)問題所必須具備的一種思想。例7已知數(shù)列滿足求an注意：本題借助為等差數(shù)列得到了的通項(xiàng)公式，是典型的化歸法常用的化歸還有取對數(shù)化歸，待定系數(shù)化歸等，一般化歸為等比數(shù)列

4、或等差數(shù)列的問題，是高考中的常見方法八、待定系數(shù)法（構(gòu)造法）求遞推式如（p、q為常數(shù)）的數(shù)列通項(xiàng)，可用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)列求解，相當(dāng)如換元法。例9已知數(shù)列an滿足a1=1，且an+1 =+2，求注意：求遞推式形如（p、q為常數(shù)）的數(shù)列通項(xiàng)，可用迭代法或待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列an+1+=p(an+)來求得,求（一）錯位相減法求數(shù)列前n項(xiàng)和其實(shí)，教材中的求和問題只是一類數(shù)列的求和問題的特例，我們可以推廣到更為一般性的求和問題，一個非零等差數(shù)列與一個公比不是1的等比數(shù)列的對應(yīng)之積構(gòu)成的新數(shù)列的求和。我們稱這類數(shù)列為差比數(shù)列，下面我們先來推廣這類問題的求和。已知：數(shù)列分別為等差和等比數(shù)列，其首項(xiàng)分別為a,b，公差為d，公比為q，則數(shù)列即為差比數(shù)列，記前n項(xiàng)和為，則 ····【例】求和：【練習(xí)】1、 已知數(shù)列，求前n項(xiàng)和2、 求和（二）裂項(xiàng)相消法求和所謂裂項(xiàng)，就是把數(shù)列的各項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)之差，相鄰的項(xiàng)彼此相消，就可以化簡求和。一些常用的裂項(xiàng)公式：【例】求數(shù)列的前n項(xiàng)和【練習(xí)】1、 求數(shù)列2、 求和：