高等數(shù)學(xué)之三重積分及其計(jì)算

1、三重積分及其計(jì)算三重積分及其計(jì)算一、三重積分的概念一、三重積分的概念 將二重積分定義中的積分區(qū)域?qū)⒍胤e分定義中的積分區(qū)域推廣到空間區(qū)域，被積函數(shù)推廣到推廣到空間區(qū)域，被積函數(shù)推廣到三元函數(shù)，就得到三重積分的定義三元函數(shù)，就得到三重積分的定義設(shè)設(shè)),(zyxf是空間有界閉區(qū)域是空間有界閉區(qū)域上的有界上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域函數(shù)，將閉區(qū)域任意分成任意分成n個(gè)小閉區(qū)域個(gè)小閉區(qū)域1v ，2v , ,nv ，其中，其中iv 表示第表示第i個(gè)小閉區(qū)域，也個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的體積表示它的體積, , 在每個(gè)在每個(gè)iv上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)),(iii 作乘積作乘積iiiivf ),( ，), 2 , 1(ni

2、 ，并作和，并作和, ,如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于零趨近于零時(shí)，這和式的極限存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)時(shí)，這和式的極限存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)),(zyxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域上的上的三重積分三重積分，記為，記為 dvzyxf),(, ,其中其中 dv 稱(chēng)為體積元，其它術(shù)語(yǔ)與二重積分相同稱(chēng)為體積元，其它術(shù)語(yǔ)與二重積分相同若極限存在，則稱(chēng)函數(shù)可積若極限存在，則稱(chēng)函數(shù)可積若函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，若函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)， 則一定可積則一定可積由定義可知由定義可知三重積分與二重積分有著完全相同的性質(zhì)三重積分與二重積分有著完全相同的性質(zhì)三重積分的物理背景三重積分的物理背景以

3、以 f ( x, y, z ) 為體密度的空間物體的質(zhì)量為體密度的空間物體的質(zhì)量下面我們就借助于三重積分的物理背景來(lái)討論下面我們就借助于三重積分的物理背景來(lái)討論其計(jì)算方法。其計(jì)算方法。二、在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算法二、在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算法 如果我們用三族平面如果我們用三族平面 x =常數(shù)，常數(shù)，y =常數(shù)常數(shù), z =常數(shù)常數(shù)對(duì)空間區(qū)域進(jìn)行分割那末每個(gè)規(guī)則小區(qū)域都是長(zhǎng)方對(duì)空間區(qū)域進(jìn)行分割那末每個(gè)規(guī)則小區(qū)域都是長(zhǎng)方體體其體積為其體積為zyxV 故在直角坐標(biāo)系下的面積元為故在直角坐標(biāo)系下的面積元為dxdydzdV 三重積分可寫(xiě)成三重積分可寫(xiě)成 dxdydzzyxfdVzyxf),(),(和二重積分類(lèi)

4、似，三重積分可化成三次積分進(jìn)行計(jì)算和二重積分類(lèi)似，三重積分可化成三次積分進(jìn)行計(jì)算具體可分為先單后重和先重后單具體可分為先單后重和先重后單xyzo Dab)(2xyy )(1xyy ),(1yxzz ),(2yxzz ),(yx先單后重先單后重,Dxoy面面上上的的投投影影為為閉閉區(qū)區(qū)域域在在閉閉區(qū)區(qū)域域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直線(xiàn)作直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)Dyx 穿穿出出穿穿入入，從從從從21zz函函數(shù)數(shù)，則則的的只只看看作作看看作作定定值值，將將先先將將zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上上的的二二重重積積分分在在閉閉區(qū)區(qū)

5、間間計(jì)計(jì)算算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx也稱(chēng)為先一后二，切條法（也稱(chēng)為先一后二，切條法（ 先先z次次y后后x ）注意注意于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)情情形形相相交交不不多多的的邊邊界界曲曲面面直直線(xiàn)線(xiàn)與與閉閉區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)部部的的軸軸且且穿穿過(guò)過(guò)閉閉區(qū)區(qū)域域這這是是平平行行于于Sz 用完全類(lèi)似的方法可把三重積分化成其它次序下用完全類(lèi)似的方法可把三重積分化成其它次序下的三次積分。的三次積分。化三次積分的步驟化三次積分的步

6、驟投影，得平面區(qū)域投影，得平面區(qū)域穿越法定限，穿入點(diǎn)穿越法定限，穿入點(diǎn)下限，穿出點(diǎn)下限，穿出點(diǎn)上限上限對(duì)于二重積分，我們已經(jīng)介紹過(guò)化為累次積分的方法對(duì)于二重積分，我們已經(jīng)介紹過(guò)化為累次積分的方法例例1 將將 dVzyxf),(化成三次積分化成三次積分其中其中 為長(zhǎng)方體，各邊界面平行于坐標(biāo)面為長(zhǎng)方體，各邊界面平行于坐標(biāo)面 解解將將 投影到投影到xoy面得面得D，它是一個(gè)矩形，它是一個(gè)矩形 在在D內(nèi)任意固定一點(diǎn)（內(nèi)任意固定一點(diǎn)（x ,y)作平行于作平行于 z 軸的直線(xiàn)軸的直線(xiàn)交邊界曲面于兩點(diǎn)，其豎坐標(biāo)為交邊界曲面于兩點(diǎn)，其豎坐標(biāo)為 l 和和 m （l m) oxyzmlabcdD。(x,y) dV

7、zyxf),( Dmlddzzyxf ),( badcmldzzyxfdydx),(例例2 計(jì)算計(jì)算 xdxdydz其中其中 是三個(gè)坐標(biāo)面與平面是三個(gè)坐標(biāo)面與平面 x + y + z =1 所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域 Dxyzo解解畫(huà)出區(qū)域畫(huà)出區(qū)域D1010 xxy xdxdydz 101010 xyxxdzdydx 1010)1 (xdyyxxdx 102241)1 (21dxxx例例3 化三重積分化三重積分 dxdydzzyxfI),(為三為三 次積分，其中次積分，其中 積分區(qū)域積分區(qū)域 為由曲面為由曲面 22yxz ,2xy ,1 y, 0 z 所圍所圍成的空間閉區(qū)域成的空間閉區(qū)域. .

8、11, 1,0:222 xyxyxz 1101222),(yxxdzzyxfdydxI.解解例例 4 4 將將 1010022),(yxdzzyxfdydx按按xzy, 的的次次序序積積分分. 1D： 1002yxzxyz1D2D2D： 11222yxzxzx 10100),(2dyzyxfdzdxx原原式式 1101222),(xzxxdyzyxfdzdx. 除了上面介紹的先單后重法外，利用先重后除了上面介紹的先單后重法外，利用先重后單法或切片法也可將三重積分化成三次積分單法或切片法也可將三重積分化成三次積分先重后單，就是先求關(guān)于某兩個(gè)變量的二重積分先重后單，就是先求關(guān)于某兩個(gè)變量的二重積分

9、再求關(guān)于另一個(gè)變量的定積分再求關(guān)于另一個(gè)變量的定積分若若 f(x,y,z) 在在 上連續(xù)上連續(xù) 介于兩平行平面介于兩平行平面 z = c1 , z = c2 (c1 c2 ) 之間之間用任一平行且介于此兩平面的平面去截用任一平行且介于此兩平面的平面去截 得區(qū)域得區(qū)域 )(),(21czczD 則則先重后單先重后單 21)(),(),(cczDdxdyzyxfdzdvzyxf 易見(jiàn)，若被積函數(shù)與易見(jiàn)，若被積函數(shù)與 x , y 無(wú)關(guān)，或二重積無(wú)關(guān)，或二重積分容易計(jì)算時(shí)，用截面法較為方便，分容易計(jì)算時(shí)，用截面法較為方便， )(zDdxdy 就是截面的面積，如截面為圓、橢圓、三就是截面的面積，如截面為

10、圓、橢圓、三角形、正方形等，面積較易計(jì)算角形、正方形等，面積較易計(jì)算 尤其當(dāng)尤其當(dāng) f ( x , y , z ) 與與 x , y 無(wú)關(guān)時(shí)無(wú)關(guān)時(shí)截截面面法法的的一一般般步步驟驟：(1) 把把積積分分區(qū)區(qū)域域 向向某某軸軸（例例如如z 軸軸）投投影影，得得投投影影區(qū)區(qū)間間,21cc；(2) 對(duì)對(duì),21ccz 用用過(guò)過(guò)z軸軸且且平平行行xoy平平面面的的平平面面去去截截 ，得得截截面面zD;(3) 計(jì)計(jì)算算二二重重積積分分 zDdxdyzyxf),( 其其結(jié)結(jié)果果為為z的的函函數(shù)數(shù))(zF；(4)最最后后計(jì)計(jì)算算單單積積分分 21)(ccdzzF即即得得三三重重積積分分值值.z例例5 計(jì)算計(jì)算1

11、:,2222222 czbyaxdvz 解解之之間間介介于于易易見(jiàn)見(jiàn)czcz , 2222221: )(czbyaxzD 故故 ccZDdxdydzzdvz)(2230222154)1(2abcdzczzabc dzczzabcc)1 (222 例例6 1,:,22zyxzdxdydz解一解一之間之間介于介于1, 0 zz zyxzD 22: )( 10)(zDdxdydzdxdydz 102 zdz解二解二 先單后重先單后重將將 投影到投影到 xoy 面得面得D 122 yx Dyxdxdydzdxdydz1122先重后單先重后單 Drdrrddxdyyx20102222)1 (4)1 (

12、（用極坐標(biāo)，用對(duì)稱(chēng)性）（用極坐標(biāo)，用對(duì)稱(chēng)性） 此例介紹的是一種計(jì)算三重積分的方法，這此例介紹的是一種計(jì)算三重積分的方法，這種方法也具有一定的普遍性，這就是我們將要介種方法也具有一定的普遍性，這就是我們將要介紹的柱坐標(biāo)系下的計(jì)算法紹的柱坐標(biāo)系下的計(jì)算法三、小結(jié)三、小結(jié)三重積分的定義和計(jì)算三重積分的定義和計(jì)算（計(jì)算時(shí)將三重積分化為三次積分）（計(jì)算時(shí)將三重積分化為三次積分）在直角坐標(biāo)系下的體積元素在直角坐標(biāo)系下的體積元素dxdydzdv 思考題思考題選擇題選擇題: 為為六六個(gè)個(gè)平平面面0 x，2 x，1 y，42 yx，xz ，2 z圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域，),(zyxf在在 上上連連續(xù)續(xù)，則則累累次

13、次積積分分_ dvzyxf),(.;),()(201222 xxdzzyxfdydxA;),()(202212 xxdzzyxfdydxB;),()(201222 xxdzzyxfdydxC.),()(202212 xxdzzyxfdydxD練練 習(xí)習(xí) 題題一一、 填填空空題題: :1 1、 若若 由由曲曲面面22yxz 及及平平面面1 z所所圍圍成成, , 則則三三重重積積分分 dxdydzzyxf),(化化為為三三次次積積分分是是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 若若 是是由由曲曲面面0( cxycz) ), ,

14、12222 byax, ,0 z所所圍圍成成的的在在第第一一卦卦限限內(nèi)內(nèi)的的閉閉區(qū)區(qū)域域, ,則則三三重重積積分分 dxdydzzyxf),(可可化化為為三三次次積積分分為為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _ _ _. .3 3、 若若10 , 10 , 10: zyx, ,則則 dxdydzzyx)(可可化化為為三三次次積積分分_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _, ,其其值值為為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 4 4、若、若 : :是由是由),0(, 0, 0 hhzzx )0(2222 aayxayx及及所圍成所圍成, ,則三重積則三重積 分分 dvzyxf)

15、,(可化為：可化為：(1)(1) 次序?yàn)榇涡驗(yàn)閤yz的三次積分的三次積分_._.(2)(2)次序?yàn)榇涡驗(yàn)閦xy的三次積分的三次積分_._. (3) (3)次序?yàn)榇涡驗(yàn)閥zx的三次積分的三次積分_._.二、計(jì)算二、計(jì)算 dxdydzzxy32, ,其中其中 是由曲面是由曲面xyz , ,與平與平 面面01, zxxy和和所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域 . .三三、計(jì)計(jì)算算 xzdxdydz, ,其其中中 是是曲曲面面1, 0 yyzz, ,以以及及拋拋物物柱柱面面2xy 所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域. .四四、計(jì)計(jì)算算 dvyx221, ,其其中中 是是由由六六個(gè)個(gè)頂頂點(diǎn)點(diǎn) ),0 , 0 , 2(),2 . 1 . 1(),0 , 1 , 1(),0 , 0 , 1(DCBA )4 , 2 , 2(),0 , 2 , 2(FE組組成成的的三三棱棱錐錐臺(tái)臺(tái). .練習(xí)題答