非線(xiàn)性電阻電路的分析方法

1、第第5章章 非線(xiàn)性電阻電路非線(xiàn)性電阻電路5.1 非線(xiàn)性電阻的伏安特性非線(xiàn)性電阻的伏安特性5.2 非線(xiàn)性電阻的串聯(lián)、并聯(lián)電路非線(xiàn)性電阻的串聯(lián)、并聯(lián)電路5.3 非線(xiàn)性電阻電路的方程非線(xiàn)性電阻電路的方程5.4 小信號(hào)分析方法小信號(hào)分析方法5.5 非線(xiàn)性電阻電路解答的存在與唯一性非線(xiàn)性電阻電路解答的存在與唯一性5.7 用友網(wǎng)絡(luò)模型求解非線(xiàn)性電阻電路用友網(wǎng)絡(luò)模型求解非線(xiàn)性電阻電路5.6 非線(xiàn)性電阻電路方程的數(shù)值求解方法非線(xiàn)性電阻電路方程的數(shù)值求解方法 牛頓牛頓拉夫遜法拉夫遜法5.1 非線(xiàn)性電阻的伏安特性非線(xiàn)性電阻的伏安特性一、線(xiàn)性電阻元件一、線(xiàn)性電阻元件電阻值大小與電阻值大小與u、i 無(wú)關(guān)（無(wú)關(guān)（R為常

2、數(shù)），其伏安特性為常數(shù)），其伏安特性為一過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)。線(xiàn)性電阻的為一過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)。線(xiàn)性電阻的u、i 關(guān)系與方向關(guān)系與方向無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。u、i 關(guān)系符合歐姆定律。關(guān)系符合歐姆定律。consttg iuRiuPui uiR二、非線(xiàn)性電阻元件二、非線(xiàn)性電阻元件非線(xiàn)性電阻元件的伏安特性不滿(mǎn)足歐姆定律，而非線(xiàn)性電阻元件的伏安特性不滿(mǎn)足歐姆定律，而遵循某種特定的非線(xiàn)性函數(shù)關(guān)系。其阻值大小與遵循某種特定的非線(xiàn)性函數(shù)關(guān)系。其阻值大小與u、i 有關(guān)，伏安特性不是過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)。有關(guān)，伏安特性不是過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)。 u = f ( i ) i = g ( u )非線(xiàn)性電阻元件的圖形符號(hào)與伏安函數(shù)關(guān)系非線(xiàn)性電阻元件的圖形符

3、號(hào)與伏安函數(shù)關(guān)系:流控電阻流控電阻壓控電阻壓控電阻單調(diào)型電阻單調(diào)型電阻+ui非線(xiàn)性電阻元件分類(lèi)非線(xiàn)性電阻元件分類(lèi)1 流控電阻流控電阻：電阻兩端電壓是其電流的單值函數(shù)。：電阻兩端電壓是其電流的單值函數(shù)。ui0對(duì)每一電流值有唯一的電壓與對(duì)每一電流值有唯一的電壓與 之對(duì)應(yīng)，對(duì)任一電壓值則可能之對(duì)應(yīng)，對(duì)任一電壓值則可能有多個(gè)電流與之對(duì)應(yīng)有多個(gè)電流與之對(duì)應(yīng)(不唯一不唯一)。某些充氣二極管具有類(lèi)似伏安特某些充氣二極管具有類(lèi)似伏安特性。性。流控電阻的伏安特性呈流控電阻的伏安特性呈“S”型。型。2 壓控電阻壓控電阻：電阻兩端電流是其電壓的單值函數(shù)。：電阻兩端電流是其電壓的單值函數(shù)。對(duì)每一電壓值有唯一的電流與對(duì)

4、每一電壓值有唯一的電流與 之對(duì)應(yīng)，對(duì)任一電流值則可能之對(duì)應(yīng)，對(duì)任一電流值則可能有多個(gè)電壓與之對(duì)應(yīng)有多個(gè)電壓與之對(duì)應(yīng)(不唯一不唯一)。隧道二極管隧道二極管( 單極晶體管單極晶體管 )具有具有此伏安特性。此伏安特性。壓控電阻的伏安特性呈壓控電阻的伏安特性呈“N”型。型。ui0“S”型和型和“N”型電阻的伏安特性均有一段下傾段，型電阻的伏安特性均有一段下傾段，在此段內(nèi)電流隨電壓增大而減小。在此段內(nèi)電流隨電壓增大而減小。ui0ui03 單調(diào)型電阻單調(diào)型電阻：伏安特性單調(diào)增長(zhǎng)或單調(diào)下降。：伏安特性單調(diào)增長(zhǎng)或單調(diào)下降。u、i 一一對(duì)應(yīng)，既一一對(duì)應(yīng)，既是壓控又是流控。是壓控又是流控。P N結(jié)二極管具有結(jié)二極

5、管具有此特性。此特性。u、i 關(guān)系具有方向性。關(guān)系具有方向性。u+i0uiuiP 其伏安特性可用下式表示：其伏安特性可用下式表示：)1e(s kTquIi其中：其中： Is 反向飽和電流反向飽和電流 ( 常數(shù)常數(shù) ) q 電子電荷，電子電荷，1.6 10 19C k 玻爾茲曼常數(shù)，玻爾茲曼常數(shù)，1.38 10 23 J/K T 熱力學(xué)溫度（絕對(duì)溫度）熱力學(xué)溫度（絕對(duì)溫度）（）（則則（時(shí)，即攝氏時(shí)，即攝氏室溫下室溫下當(dāng)當(dāng)1ln 1 ) J ( V40)C/J40 C27 )K(300S40S11 IiqkTueIiVItkTqTuu 可以用可以用 i 表示表示i 可以用可以用 u 表示表示一一一

6、一對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)三、非線(xiàn)性電阻的靜態(tài)電阻三、非線(xiàn)性電阻的靜態(tài)電阻 Rs 和動(dòng)態(tài)電阻和動(dòng)態(tài)電阻 Rd靜態(tài)電阻靜態(tài)電阻動(dòng)態(tài)電阻動(dòng)態(tài)電阻s , tgGiuRs iuPdd , tgddGiuR 說(shuō)明說(shuō)明：(1)靜態(tài)電阻與動(dòng)態(tài)電阻不同，它們都與工作點(diǎn)靜態(tài)電阻與動(dòng)態(tài)電阻不同，它們都與工作點(diǎn)有關(guān)。當(dāng)有關(guān)。當(dāng)P點(diǎn)位置不同時(shí)，點(diǎn)位置不同時(shí)，Rs 與與 Rd 均變化。均變化。(2) Rs反映了某一點(diǎn)時(shí)反映了某一點(diǎn)時(shí) u 與與 i 的關(guān)系，而的關(guān)系，而 Rd 反映了在反映了在 某一點(diǎn)某一點(diǎn) u 的變化與的變化與 i 的變化的關(guān)系，即的變化的關(guān)系，即 u 對(duì)對(duì)i 的變的變 化率。化率。(3) 對(duì)對(duì)“S”型、型、“N”型非

7、線(xiàn)性電阻，下傾段型非線(xiàn)性電阻，下傾段 Rd 為負(fù)，為負(fù)， 因此，動(dòng)態(tài)電阻具有因此，動(dòng)態(tài)電阻具有“負(fù)電阻負(fù)電阻”性質(zhì)。性質(zhì)。例例：一非線(xiàn)性電阻：一非線(xiàn)性電阻3100ii)i (fu (1) 分別求分別求 i1 = 2A， i2 = 2Sin314t A， i3 = 10A時(shí)時(shí) 對(duì)應(yīng)電壓對(duì)應(yīng)電壓 u1，u2，u3；(2) 設(shè)設(shè) u12 = f (i1 + i2 )，問(wèn)是否有問(wèn)是否有u12= u1 + u2？(3) 若忽略高次項(xiàng)，當(dāng)若忽略高次項(xiàng)，當(dāng) i = 10mA時(shí)，由此產(chǎn)生多大時(shí)，由此產(chǎn)生多大誤差？誤差？例例：一非線(xiàn)性電阻：一非線(xiàn)性電阻3100ii)i (fu (1) 分別求分別求 i1 = 2

8、A， i2 = 2Sin314t A， i3 = 10A時(shí)時(shí) 對(duì)應(yīng)電壓對(duì)應(yīng)電壓 u1，u2，u3；V208100 3111 iiu倍倍頻頻中中出出現(xiàn)現(xiàn)了了3 V 942sin2314sin206 942sin2314sin6314sin200 )sin4sin33sin( 314sin8314sin200 100 2333222utttttttiiu V2000100 3333 iiu)(3100100 )()(100 (2)21213231213212112iiiiiiiiiiiiu （線(xiàn)線(xiàn)性性化化）誤誤差差此此時(shí)時(shí)，僅僅引引起起忽忽略略高高次次項(xiàng)項(xiàng)， V10 V101. 0100 V101

9、01. 001. 0100100 (3)6633 uiiu例例：一非線(xiàn)性電阻：一非線(xiàn)性電阻3100ii)i (fu (2) 設(shè)設(shè) u12 = f (i1 + i2 )，問(wèn)是否有問(wèn)是否有u12= u1 + u2？(3) 若忽略高次項(xiàng)，當(dāng)若忽略高次項(xiàng)，當(dāng) i = 10mA時(shí)，由此產(chǎn)生多大時(shí)，由此產(chǎn)生多大誤差？誤差？32231121100100 iiiiuu 性性非非線(xiàn)線(xiàn)性性電電路路不不滿(mǎn)滿(mǎn)足足疊疊加加 2112uuu 5.2 非線(xiàn)性電阻的串聯(lián)、并聯(lián)電路非線(xiàn)性電阻的串聯(lián)、并聯(lián)電路一、非線(xiàn)性電阻的串聯(lián)一、非線(xiàn)性電阻的串聯(lián)2121uuuiii )(iuu1u在每一個(gè)在每一個(gè) i 下，圖解法求下，圖解法求

10、 u ，將一系列將一系列 u、i 值連成值連成曲線(xiàn)即得串聯(lián)等效電阻曲線(xiàn)即得串聯(lián)等效電阻 (仍為非線(xiàn)性仍為非線(xiàn)性)。i+ + + u)(2iu)(1iuiuo)(1iu)(2iu1uu2i二、非線(xiàn)性電阻的并聯(lián)二、非線(xiàn)性電阻的并聯(lián)同一電壓下將電流同一電壓下將電流相加。相加。iuo)(ui1i2iii1u)(1ui)(2ui2121uuuiii i+ + + ui1i2u1u2三、含有一個(gè)非線(xiàn)性電阻元件電路的求解三、含有一個(gè)非線(xiàn)性電阻元件電路的求解ab 以左部分為線(xiàn)性電路，化為戴維以左部分為線(xiàn)性電路，化為戴維南等效電路，其南等效電路，其u、i關(guān)系為關(guān)系為 RiUus ab 右邊為非線(xiàn)性電阻，其伏安特

11、右邊為非線(xiàn)性電阻，其伏安特性為性為 i = f (u)，i(u)曲線(xiàn)如圖。曲線(xiàn)如圖。兩曲線(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo)兩曲線(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo) 即即為所求解答。為所求解答。)i ,u(00線(xiàn)性線(xiàn)性含源含源電阻電阻網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)i+ uabuiUs0u0iisRU) , (00iuQi (u)o其特性為一直線(xiàn)。其特性為一直線(xiàn)。ai+ ubRi+Us 5.3 非線(xiàn)性電阻電路的方程非線(xiàn)性電阻電路的方程列寫(xiě)方程的依據(jù)：列寫(xiě)方程的依據(jù)：KCL、KVL、元件伏安特性。元件伏安特性。一、節(jié)點(diǎn)電壓方程的列寫(xiě)一、節(jié)點(diǎn)電壓方程的列寫(xiě) (非線(xiàn)性電阻為壓控電阻非線(xiàn)性電阻為壓控電阻)G1、G2為線(xiàn)性電導(dǎo)，為線(xiàn)性電導(dǎo)，非線(xiàn)性電阻為壓控電非線(xiàn)性電阻為壓控電阻

12、阻5155314433315105uiuiui +2i3i4i1i5i2G3u4usU1G5usI1nU2nU3nU00024543321 sIiiiiiiii5125313243213312211115105nnnnnnnsnUi)UU(i)UU(i)UU(Gi)UU(Gi 則節(jié)點(diǎn)方程為則節(jié)點(diǎn)方程為010015105053123132512313232132131211 snnnnnnnnnnnnnsnI)UU(G)UU(U)UU()UU()UU()UU(G)UU(G+2i3i4i1i5i2G3u4usU1G5usI1nU2nU3nU5155314433315105uiuiui 二、回路電流

13、方程的列寫(xiě)二、回路電流方程的列寫(xiě) (非線(xiàn)性電阻為流控電阻非線(xiàn)性電阻為流控電阻 )非線(xiàn)性電阻特性非線(xiàn)性電阻特性:313320iu 03221 uuUuus3123212211120)(lllliuiiRuiRu 020)()(31221221211 lllsllliiiRUiiRiR即為所求回路電流方程即為所求回路電流方程+ 3usUR1u1i1R2u2 i2i3il1il25.4 小信號(hào)分析方法小信號(hào)分析方法小信號(hào)分析方法是工程上分析非線(xiàn)性電路的一個(gè)小信號(hào)分析方法是工程上分析非線(xiàn)性電路的一個(gè)極其重要的方法，即極其重要的方法，即“工作點(diǎn)處線(xiàn)性化工作點(diǎn)處線(xiàn)性化”sU為直流電源為直流電源(建立靜建立

14、靜態(tài)工作點(diǎn)態(tài)工作點(diǎn))(tus為交流小信號(hào)電源為交流小信號(hào)電源)t (uUsssR為線(xiàn)性電阻為線(xiàn)性電阻非線(xiàn)性電阻非線(xiàn)性電阻 i = g(u) +iuRSuS(t)US 列列 KVL 方程：方程： )(uiRtuUsss uiUs0U0IisRUi(u)Po我們所關(guān)心的是我們所關(guān)心的是 作用作用下引起的電壓、電流的交變下引起的電壓、電流的交變分量分量 。由于電路中有非線(xiàn)性。由于電路中有非線(xiàn)性元件，不能使用疊加定理，元件，不能使用疊加定理，因此采用工作點(diǎn)處線(xiàn)性化的因此采用工作點(diǎn)處線(xiàn)性化的近似計(jì)算近似計(jì)算小信號(hào)分析。小信號(hào)分析。)t (us KVL 方程：方程： (1) )(uiRtuUsss 首先考

15、慮直流電源單獨(dú)作用，令首先考慮直流電源單獨(dú)作用，令 = 0)(tus此時(shí)，此時(shí)，KVL方程為：方程為：uiRUss 其中，其中，u、i 為為 US 作用產(chǎn)生作用產(chǎn)生.非線(xiàn)性電阻的伏安特性非線(xiàn)性電阻的伏安特性 i = g(u) 如上圖。作圖法可求如上圖。作圖法可求出其解答：出其解答：(U0, I0)+iuRSUSP點(diǎn)點(diǎn) 稱(chēng)為上述電路的稱(chēng)為上述電路的靜態(tài)工作點(diǎn)靜態(tài)工作點(diǎn)。)I ,U(00即：即： (3) (2) 0000)U(gIUIRUss 當(dāng)考慮信號(hào)電源當(dāng)考慮信號(hào)電源 存在時(shí)存在時(shí)( 仍作用仍作用)，此時(shí)，此時(shí)解答可視為在工作點(diǎn)解答可視為在工作點(diǎn) P 處產(chǎn)生了電壓、處產(chǎn)生了電壓、電流的擾動(dòng)電流

16、的擾動(dòng)(或稱(chēng)變化量或稱(chēng)變化量) ，此時(shí)電路，此時(shí)電路解答可表示為：解答可表示為：)t (ussU)I ,U(00)t (i),t (u11(5) (4) 1010)t (iIi)t (uUu 注意：注意： 是由于是由于 作用產(chǎn)生的，但并作用產(chǎn)生的，但并不是由其不是由其單獨(dú)單獨(dú)作用產(chǎn)生的。作用產(chǎn)生的。)t (i),t (u11)t (us0101 I)t (iU)t (uU)t (uss因此，因此， 作用使得作用使得u、i 在工在工作點(diǎn)作點(diǎn) 處產(chǎn)生小擾動(dòng)。處產(chǎn)生小擾動(dòng)。)t (us)I ,U(00此時(shí)，非線(xiàn)性電阻特性此時(shí)，非線(xiàn)性電阻特性 i = g(u) 可寫(xiě)為可寫(xiě)為 )()(1010tuUgt

17、iI )t(ududg)U(g)t(iIU)t(uU1010010 將上式右邊按臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)將上式右邊按臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi) ( 取線(xiàn)性部取線(xiàn)性部分，忽略高次項(xiàng)分，忽略高次項(xiàng) )(6) )(dd)(110tuugtiU 由前面由前面(3)式式 ，上式可簡(jiǎn)化為，上式可簡(jiǎn)化為)U(gI00 dUGdudg 0為非線(xiàn)性電阻在為非線(xiàn)性電阻在 處的動(dòng)態(tài)電導(dǎo)處的動(dòng)態(tài)電導(dǎo)0U則上式可寫(xiě)為：則上式可寫(xiě)為：ddddGR)t(iR)t(u)t(uG)t(i1 1111 或或： (3) )(2) 0000UgIUIRUss 則在工作點(diǎn)則在工作點(diǎn)(U0, I0)處，處，u1(t)與與i1(t) 近似為線(xiàn)性關(guān)系，非近似為線(xiàn)性關(guān)

18、系，非線(xiàn)性電阻近似為線(xiàn)性電阻。上述近似的條件是線(xiàn)性電阻近似為線(xiàn)性電阻。上述近似的條件是u1(t)與與i1(t) 均很小，即擾動(dòng)不能偏離工作點(diǎn)太遠(yuǎn)。均很小，即擾動(dòng)不能偏離工作點(diǎn)太遠(yuǎn)。 )t (iR)t (u)t (i )RR()t (u)t (iR)t (u)t (u)t (iR)t (uUIRU)t (u)t (iRUIR)t (uU)t (iIR)t (uUuiR)t (uUddssdssssssssssss11111110011001010 (2) (1) 而而式式得得由方程由方程上式即為上式即為 uS(t)作用產(chǎn)生的擾動(dòng)電壓、電流作用產(chǎn)生的擾動(dòng)電壓、電流 u1(t), i1(t) 的計(jì)算

19、公式，由此可得其等效電路：的計(jì)算公式，由此可得其等效電路： 此電路稱(chēng)為非線(xiàn)性電此電路稱(chēng)為非線(xiàn)性電阻在工作點(diǎn)阻在工作點(diǎn)P(U0, I0) 處的小信號(hào)等效電路。處的小信號(hào)等效電路。 上述分析方法上述分析方法 稱(chēng)為小稱(chēng)為小信號(hào)分析方法。信號(hào)分析方法。+i1(t)u1(t)RdRSuS(t)0U0IPi(u)uiUsisRUo解解:)V 5( A4V 2 310 0)( 00020000舍去舍去即即則則令令 UIUUUIRUItisss(2) 求出工作點(diǎn)處的小信號(hào)等效電路求出工作點(diǎn)處的小信號(hào)等效電路工作點(diǎn)處動(dòng)態(tài)電導(dǎo)工作點(diǎn)處動(dòng)態(tài)電導(dǎo)S 42dd00 UuiGUd411 dd GR則則小信號(hào)等效電路如下圖

20、：小信號(hào)等效電路如下圖：(1) 求靜態(tài)工作點(diǎn)求靜態(tài)工作點(diǎn) P (U0, I0)ui+ISiS(t)RSi=g(u)例：例：已知：已知： 0 00 )(, Asin5 . 0)(,31 ,A102SSSuuuugittiRI計(jì)算小信號(hào)電壓、電流。計(jì)算小信號(hào)電壓、電流。V sin0714. 0sin75 . 0)()(dss1ttGGtitu 或：或： Asin286. 0)(74)()(SdSS1ttiRRRtitiS 1iiS(t)RS+u1(t)Rd Asin286. 04sin0714. 0)()(d11ttGtuti V sin0715. 0sin286. 041)()(1d1tttiR

21、tu 5.5 非線(xiàn)性電阻電路解答的存在與唯一性非線(xiàn)性電阻電路解答的存在與唯一性非線(xiàn)性電阻電路有唯一解的非線(xiàn)性電阻電路有唯一解的一個(gè)定理一個(gè)定理：任何一個(gè)由二端電阻和獨(dú)立電源構(gòu)成的非線(xiàn)性電任何一個(gè)由二端電阻和獨(dú)立電源構(gòu)成的非線(xiàn)性電阻電路有唯一解，當(dāng)電路滿(mǎn)足如下條件：阻電路有唯一解，當(dāng)電路滿(mǎn)足如下條件：(1) 此電路中的每一電阻的伏安特性都是嚴(yán)格遞增的；此電路中的每一電阻的伏安特性都是嚴(yán)格遞增的；(2) 此電路中不存在僅由獨(dú)立電壓源構(gòu)成的回路和僅此電路中不存在僅由獨(dú)立電壓源構(gòu)成的回路和僅 由獨(dú)立電流源構(gòu)成的割集。由獨(dú)立電流源構(gòu)成的割集。5.6 非線(xiàn)性電阻電路方程的數(shù)值求解方法非線(xiàn)性電阻電路方程的數(shù)

22、值求解方法 牛頓牛頓拉夫遜法拉夫遜法一、具有一個(gè)未知量的非線(xiàn)性代數(shù)方程求解一、具有一個(gè)未知量的非線(xiàn)性代數(shù)方程求解oxf(x) x設(shè)方程設(shè)方程 f(x) = 0 解為解為x*，x*為為 f(x) 與與 x 軸軸交點(diǎn)。交點(diǎn)。利用牛頓利用牛頓拉夫遜法求拉夫遜法求x* 步驟如下：步驟如下： (1) 選取一個(gè)合理值選取一個(gè)合理值x0，稱(chēng)為稱(chēng)為 f(x) = 0 的初估值。此時(shí)的初估值。此時(shí)x0 一般與一般與 x* 不等不等.0 0 )x(f(2) 取取x1 =x0+ x0 作為第一次修正值，作為第一次修正值， x0 充分小。將充分小。將 f(x0+ x0)在在 x0 附近展開(kāi)成臺(tái)勞級(jí)數(shù)：附近展開(kāi)成臺(tái)勞級(jí)

23、數(shù)：.xdxfd!xdxdf)x(f)xx(fxx 202200000021取線(xiàn)性部分，將取線(xiàn)性部分，將 f(x) 在在 x0 處線(xiàn)性化，并使之為零，得：處線(xiàn)性化，并使之為零，得：)x(f)x(f)x(fdxdfxxdxdf)x(fxx0000000010 由上式即可確定由上式即可確定 x0 的取值，由此可得第一次修正值的取值，由此可得第一次修正值001xxx )x(f)x(fxxxx111112 如此迭代下去，直至如此迭代下去，直至 為止。為止。(一般應(yīng)給定一誤一般應(yīng)給定一誤差要求差要求) xxk其一般迭代式推導(dǎo)如下：其一般迭代式推導(dǎo)如下：若第若第 k 次修正值為次修正值為 xk ，則第則第

24、 k+1 次修正值為次修正值為)x(f)x(fxxxxkkkkkk 1利用上述公式，一次次迭代下去，直至利用上述公式，一次次迭代下去，直至 為為止。通常滿(mǎn)足止。通常滿(mǎn)足 即可，即可， 為所給的誤差指為所給的誤差指標(biāo)，如標(biāo)，如 等。等。 xxk xxk 410 則進(jìn)行第二次修正。則進(jìn)行第二次修正。若若 , 0)(1 xf；，則，則若若110)(xxxf , 0)( 1 xfx 代入方程代入方程將將1x2x)x(f1)x(f0oxf(x) x)x(f20 x001xxx )()(000 xfxfx )()( 111112xfxfxxxx 二、具有多個(gè)未知量的非線(xiàn)性方程組的求解二、具有多個(gè)未知量的非

25、線(xiàn)性方程組的求解設(shè)設(shè) n 個(gè)未知量個(gè)未知量nxx,x . . 210 . . . . 0 . . 0 . . 21212211 )xx,x(f)xx,x(f)xx,x(fnnnn一般表示為一般表示為n,j)xx,x(fnj . . 21 0 . . 21 對(duì)對(duì)x1, x2, , xn先選一組初估值先選一組初估值 進(jìn)進(jìn)行第一次計(jì)算，然后不斷修正，進(jìn)行迭代運(yùn)算。行第一次計(jì)算，然后不斷修正，進(jìn)行迭代運(yùn)算。) . . ,(0n0201xxx設(shè)第設(shè)第 k 次迭代時(shí)，次迭代時(shí)，n,j)xx,x(ffknkkjkj . . 21 . . 21 若若 ，則則 即為所求的一組解答；即為所求的一組解答；0 kjf

26、knkkxx,x . . 21下面分析每次修正值下面分析每次修正值 xj ( j=1,2,n)的計(jì)算的計(jì)算:若若 ，則進(jìn)行修正，則進(jìn)行修正，尋找尋找0 kjf11211 . . knkkxx,x)xxxx,xx(ffxxxxxx,xxxknknkkkkjkjknknknkkkkkk . . . . 22111122121111展開(kāi)，取線(xiàn)性部分，并令其等于零，得展開(kāi)，取線(xiàn)性部分，并令其等于零，得kjnikikijnikikijkjknknjkkjkkjkjkjfxxfxxffxxfxxfxxfff 1122111 0 . . 寫(xiě)成矩陣形式為：寫(xiě)成矩陣形式為： knkkknkkknnnnnnfff

27、xxxxfxfxfxfxfxfxfxfxf . . 2121212221212111簡(jiǎn)記為：簡(jiǎn)記為： J 稱(chēng)為稱(chēng)為雅可比矩陣雅可比矩陣由第由第 k 次的值次的值 及各偏導(dǎo)數(shù)值及各偏導(dǎo)數(shù)值 即可求出第即可求出第 k+1 的修正值的修正值 ，進(jìn)而得到，進(jìn)而得到 的值。由此迭代下去，的值。由此迭代下去，直至直至 或小于某一誤差要求為止?；蛐∮谀骋徽`差要求為止。 kFkJkX 1 kX0 kX 1kkkkkkFJXFXJ 例例1. 2)( 3 ,A2 n3233321sUuuufiRi求求已知：已知： 解：列節(jié)點(diǎn)方程解：列節(jié)點(diǎn)方程nnsnUUiiiRU223132 02372 nnUU237 2 nn

28、nUU)U(f令令+iS1Uni3u3R2 3722372237 372221 knknknknknknknknknknknknknknknknUnnknUUUUUU)U(f)U(fUUUU)U(f)U(fUUdU)U(df)U(fkn取取 ，迭代結(jié)果如下表：，迭代結(jié)果如下表：00 nUknUk)U(fkn012340 20.857140.734690.675630.032950.666690.000090.666670.00001四次迭代后：四次迭代后：0000010000020 666670 .)U(f.U.Unnn注意：初估值選擇不好會(huì)產(chǎn)生振蕩注意：初估值選擇不好會(huì)產(chǎn)生振蕩 (迭代不收斂

29、迭代不收斂)237)( 2 nnnUUUf 372221 knknknUUU列節(jié)點(diǎn)方程：列節(jié)點(diǎn)方程：26102123331 bbaauuuuU解法一：以解法一：以u(píng)a, ub為變量為變量026102012333 bbaabauuuuuu0021 )u,u(f)u,u(fbaba牛頓牛頓拉夫遜法線(xiàn)性化為迭代方程為拉夫遜法線(xiàn)性化為迭代方程為( 第第 k 次次) kkkbkakffuuDCBA21 1 61121 kbakaufBuufA其中：其中：方程化為方程化為ai 1bu+1U1A+aubi26A2U例例2.43310 ;, 10 , 2 bbaabbbaaiuiuuuiui計(jì)算：計(jì)算：261

30、02 12 103 633213112222 kbkbkakkbkbkbkakbkakkakakabkbakauuufuuuuuufuuuuufDuufC BCADAfCfuBCADBfDfuuuuuuuffACBDBCADuukkkbkkkakbkakakakakakkkkbka21211121 1取初值取初值 ，根據(jù)上式進(jìn)行迭代計(jì)，根據(jù)上式進(jìn)行迭代計(jì)算，直至算，直至 為止。為止。2100 bau,u kbkau,u 解法二：以解法二：以 U1, U2 為變量，為變量，節(jié)點(diǎn)方程由前面得到為節(jié)點(diǎn)方程由前面得到為0261020122323213211 UU)UU()UU(U02610366201

31、26622322212213132221221311 UUUUUUUUUUUUUU00212211 )U,U(f)U,U(f迭代方程為迭代方程為 kkkkkffUUDCBA2121 109126612661266126122212122222121122221212122212111 UUUUUfDUUUUUfCUUUUUfBUUUUUfAkkkk 2610212232321232111 kkkkkkkkkUU)UU(f)UU(UfkkkkkkUUUUUU21221111 BCADAfCfUBCADBfDfUUUUUUUffACBDBCADUUkkkkkkkkkkkkkkkkk21221121

32、2112112121 1根據(jù)上式進(jìn)行迭代計(jì)算，直至根據(jù)上式進(jìn)行迭代計(jì)算，直至 為止。為止。 kkU,U21 由求得的由求得的 ，即可求得，即可求得21U,UbbbbaaauuiUuuiUUu10 2 32321 解畢！解畢！5.7 用友網(wǎng)絡(luò)模型求解非線(xiàn)性電阻電路用友網(wǎng)絡(luò)模型求解非線(xiàn)性電阻電路 非線(xiàn)性電路用牛頓非線(xiàn)性電路用牛頓拉夫遜法求解時(shí)，采用迭代法，主要拉夫遜法求解時(shí)，采用迭代法，主要思想是在思想是在 xk 處處將非線(xiàn)性方程線(xiàn)性化將非線(xiàn)性方程線(xiàn)性化。而友網(wǎng)絡(luò)模型則是在。而友網(wǎng)絡(luò)模型則是在 xk 處處對(duì)每一非線(xiàn)性電阻元件線(xiàn)性化對(duì)每一非線(xiàn)性電阻元件線(xiàn)性化，每次迭代時(shí)用一線(xiàn)性電阻等，每次迭代時(shí)用一

33、線(xiàn)性電阻等效非線(xiàn)性電阻，并不斷修改模型，直至計(jì)算出要求的結(jié)果。效非線(xiàn)性電阻，并不斷修改模型，直至計(jì)算出要求的結(jié)果。其其中心思想就是在中心思想就是在xk 處對(duì)每一非線(xiàn)性電阻元件線(xiàn)性化處對(duì)每一非線(xiàn)性電阻元件線(xiàn)性化。下面推導(dǎo)非線(xiàn)性電阻的友網(wǎng)絡(luò)模型：下面推導(dǎo)非線(xiàn)性電阻的友網(wǎng)絡(luò)模型：i = f ( u )令令 xk, xk+1 分別為第分別為第 k 次和第次和第 k+1 次的電壓估值，次的電壓估值，其對(duì)應(yīng)的電流分別為其對(duì)應(yīng)的電流分別為)( ),(11 kkkkufiufi+ui把把 在在 處展開(kāi)成臺(tái)勞級(jí)數(shù)處展開(kāi)成臺(tái)勞級(jí)數(shù)，得，得)u(fikk11 ku . .21 22211 kukukkkkkuduf

34、d!ududf)u(f)uu(f)u(fikk取線(xiàn)性部分，即將非線(xiàn)性電阻在取線(xiàn)性部分，即將非線(xiàn)性電阻在 處線(xiàn)性化處線(xiàn)性化，得，得kukkdkkdkuukdkkkdkkukkuGuGidudidudfG)uu(G)u(fududf)u(fikkk 111 為非線(xiàn)性電阻在為非線(xiàn)性電阻在 點(diǎn)的動(dòng)態(tài)電導(dǎo)。點(diǎn)的動(dòng)態(tài)電導(dǎo)。)i ,u(kk在進(jìn)行第在進(jìn)行第 k+1 次迭代時(shí)，次迭代時(shí)， 是已知的，是已知的，上述關(guān)系可用如下等效電路來(lái)描述上述關(guān)系可用如下等效電路來(lái)描述：kdkkkG,u),u(fi 1 kikkdkuGi kdG+1 ku此電路模型為非線(xiàn)性此電路模型為非線(xiàn)性電阻在第電阻在第 k+1 次迭代次迭代時(shí)的時(shí)的“線(xiàn)性化線(xiàn)性化”模型。模型。將電路中所有非線(xiàn)性電阻分別用各自的線(xiàn)性化模型代將電路中所有非線(xiàn)性電阻分別用各自的線(xiàn)性化模型代替，就可得到和原電路對(duì)應(yīng)的替，就可得到和原電路對(duì)應(yīng)的“友網(wǎng)絡(luò)模型友網(wǎng)絡(luò)模型”。逐次。逐次迭代計(jì)算，即可得到所要求的解。迭代計(jì)算，即可得到所要求的解。例例1. 畫(huà)出下圖電路的友網(wǎng)絡(luò)模型畫(huà)出下圖電路的友網(wǎng)絡(luò)模型+sUsR+ui）熱