北交大激光原理第4章高斯光束部分

1、第四章 高斯光束理論一、 學(xué) 習(xí)要求與重點(diǎn)難點(diǎn)學(xué)習(xí)要求1 掌握高斯光束的描述參數(shù)以及傳輸特性；2 理解 q 參數(shù)的引入，掌握 q 參數(shù)的 ABCD 定律；3 掌握薄透鏡對(duì)高斯光束的變換；4 了解高斯光束的自再現(xiàn)變換，及其對(duì)球面腔穩(wěn)定條件的推導(dǎo)；5 理解高斯光束的聚焦和準(zhǔn)直條件；6 了解諧振腔的模式匹配方法。重點(diǎn)1. 高斯光束的傳輸特性；2. q 參數(shù)的引入；3. q 參數(shù)的 ABCD 定律；4. 薄透鏡對(duì)高斯光束的變換；5. 高斯光束的聚焦和準(zhǔn)直條件；6. 諧振腔的模式匹配方法。難點(diǎn)1. q 參數(shù)，及其 ABCD 定律；2. 薄透鏡對(duì)高斯光束的變換；3. 諧振腔的模式匹配。、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)振幅分布

2、：按高斯函數(shù)從中心向外平滑降落。光斑半徑 w(z)二w0.:咼斯光束基本性質(zhì)1等相位面：以R為半徑的球面，R(z) =z 莘遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角：基模高斯光束強(qiáng)度的-2點(diǎn)的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角， m = lim 2w(z) _2 =ezY： z二 WoWo(或f)及束腰位置高斯光束特征參數(shù)光斑半徑w(z)和等相位面曲率半徑:/% =w(z) 1 +(z)丿 R(z)、-'I :( z = R(z) 1十卜j匚遼w (z)丿.二 W2(z) 211. 九iq 參數(shù)，q(z) R(z)兀 w(z)2 q (z )=if +z =q0 +z =i 孚1高斯光束通過光學(xué)系統(tǒng)的傳輸規(guī)律；將兩個(gè)參數(shù)W(z)和R(Z)

3、統(tǒng)一在一個(gè)表達(dá)式中，便于研究z傍軸光線L的變換規(guī)律器士C； D傍軸球面波的曲率半徑R的變換規(guī)律r ARB .遵從相同的變換規(guī)律CR +D高斯光束q參數(shù)的變換規(guī)律qAqBCqi +Dabcd公式高斯光束q參數(shù)的變換規(guī)律高斯光束的聚焦：只討論單透鏡高斯光束的準(zhǔn)直：一般為雙透鏡abcd公式云誓T 高斯光束的模式匹配：實(shí)質(zhì)是透鏡變換，分兩種情況已知w0，w0，確定透鏡焦距F及透鏡距離I，I' 已知兩腔相對(duì)位置固定l I I '及Wo，Wo確定，F(xiàn)如何選擇高斯光束的自再現(xiàn)變換 )Wo =WoorI'=I高斯光束的自再現(xiàn)變換和穩(wěn)定球面腔q(I')=q(O)T 2透鏡fJu

4、1+徳J-丿I 球面鏡R(I)=I 1+曲 .4丿二 w0即FER(I)=穩(wěn)定球面腔、典型問題的分析思路w(z) =w0等相位面曲率半徑R二z22高斯光束的q參數(shù)在自由空間中的傳輸規(guī)律q(z) = i 些亠z = q0亠z1q(z)L-iR(z)二 W2(z)丄q(z)基模高斯光束強(qiáng)度的i2W(Z)1/e2點(diǎn)的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角r丄丸 lq(z)j厲二lim 2w二21.128 ：'此類問題的z-產(chǎn)：z二 w0' f實(shí)質(zhì)是，通過任意光學(xué)系統(tǒng)追蹤高斯光束的q參數(shù)值。首先要計(jì)算傍軸光線通過該系統(tǒng)的變換矩陣AB|teD求出某位置處的q(z)、光束的曲率半徑R(z)和光斑大小 w(z)。1)高

5、斯光束通過單個(gè)透鏡的變換。已知入射高斯光束的腰斑半徑和位置,求出射高斯光束的腰斑半徑和位置。求解這類問題的方法是根據(jù)傍軸光線通過該系統(tǒng)(透鏡)的變換矩陣C Hf ；，在透鏡左端入射高斯光束的q參數(shù)qA = if l，求出經(jīng)過此光學(xué)系統(tǒng)變換后的q參數(shù)，然后得到出射高斯光束的腰斑半徑和位置。高斯光束通過雙透鏡的變換。高斯光束通過第一個(gè)透鏡后，出射高斯光束的腰斑半徑和位置，然后將第一個(gè)透鏡的出射光束看成是第二個(gè)透鏡的入射光束，再重復(fù)利用公式3)高斯光束的聚焦Wo2 2WoF.2Ff2(I _F )F2l -F22(I -F ) +廠2f二W0IF < f透鏡焦距足夠小無論I為何值，均可使w0：

6、w0若F > f 要使w0：w0要求F2 v(F I )2 + f2 即 I >F +jF2_f2 或 | cF _jF2_f2 才能聚焦如果F F2 f2 :：: I, F2 一 f2 不能聚焦.F 定時(shí) I = F = w0 =，F(xiàn) .；二 w0I' = F| . F =1 r w0 0 I - ： = Wo r 0 I r F良好的聚焦效果：使用短焦距透鏡；光腰遠(yuǎn)離透鏡；雙透鏡聚焦4)高斯光束的準(zhǔn)直a.單透鏡對(duì)高斯光束發(fā)散角的影響物高斯光束的發(fā)散角為入=2 兀w0像高斯光束的發(fā)散角為v'o =2兀W'o2Wo2 2WoF2 2(F -1 ) + f、2

7、| +F二F時(shí)，wo達(dá)到極大值w'oF二 Wob.利用望遠(yuǎn)鏡將高斯光束準(zhǔn)在I =F時(shí)，F(xiàn)越大， wo越小，像高斯光束的方向性越好。直方法：先用一個(gè)短焦距的透鏡將高斯光束聚焦，獲得極小的腰斑，然后用一個(gè)長(zhǎng)焦距的透鏡來改善其方向性，可得到很好的準(zhǔn)直效果。W "ow(l)W'o散角X 可以看出w0宀:，所以要使w0增大: Wo當(dāng)界2時(shí),W°F2廠 W0最大。所以第二個(gè)透鏡的焦距F2要盡可能的大，而且W0要盡可能的小，這就要求I . . Fi，這時(shí)光腰幾乎落在焦平面上,S Fi F2組成一倒裝望遠(yuǎn)準(zhǔn)直倍率（發(fā)散角壓縮比）M巳.匕F1w0鏡。5）高斯光束的模式匹配模式

8、匹配是使一個(gè)諧振腔的振蕩模式經(jīng)透鏡變換后能在另一個(gè)諧振腔激發(fā)出相同的模式。問題實(shí)質(zhì)是透鏡變換。分兩種情況：一種是已知 Wo，w'o，確定透鏡焦距（F）及透鏡的距離I, I '（即兩腔的相 對(duì)位置）。根據(jù)物方高斯光束和像方高斯光束腰斑尺寸和束腰到透鏡的距離所滿足的公式當(dāng)F f0并確定時(shí),可求得I, I '第二種情況是兩腔相對(duì)位置固定（即兩光腰之間的距離）二丨'及w0, W0確定，為了實(shí)現(xiàn)模匹配，F(xiàn)如何選擇。I F示FWoI FWo將上面兩式相加，根據(jù)II I'，得到Io -2一±7包+曲<Wo Wo 丿其中fo =也，設(shè)A J妝+應(yīng)1上面方

9、程變?yōu)榫臝 Wc Wc.22j 2224-A F -4IoF Io A fo =0根據(jù)此式可求的焦距F。四、思考題1. 高斯光束最多需要幾個(gè)獨(dú)立參數(shù)來描寫？2. 認(rèn)為描述激光束最重要的一個(gè)參數(shù)是什么，為什么？3. 何使單透鏡對(duì)激光束的聚焦效果最好？4. 對(duì)激光束聚焦的單透鏡應(yīng)如何選取？5如何才能使激光束準(zhǔn)直效果最好？6. 聚焦、打孔及準(zhǔn)直是高斯光束常見的應(yīng)用問題，如何取得最佳工作條件?7如何加入第二束共線共焦 UV激光？（30分）8試說明發(fā)散角和球面光波束張角的區(qū)別。五、練習(xí)題1波長(zhǎng)為的高斯光束入射到位于 z=1 （圖3.1）處的透鏡上，為了使出射高斯光束的光腰 剛好落在樣品的表面上（樣品表面

10、距透鏡L），透鏡的焦距f應(yīng)為多少？畫出解的簡(jiǎn)圖。2.生的高斯光束的光腰大小和位置，共焦參數(shù)zR及發(fā)散角V3. 某高斯光束光腰大小為-'0 = 1.14mm，波長(zhǎng)。求與腰相距 30cm，10m，1 km處光斑的大小及波前曲率半徑。4. 求出上題所給出的個(gè)高斯光束的發(fā)散角厲卅。用計(jì)算來回答下述問題：在什么條件下可以將高斯光束近似地看作曲率中心在光腰處的球面波？即在什么條件下可以用公式R（z）=z和公式W（z）-二譏2 R（z）來計(jì)算高斯光束的光斑大小的波前曲率半徑？5. 某高斯光束的-0 =1.2mm, =10.6"m。另用f = 2cm的凸透鏡來聚焦。當(dāng)光腰與透 鏡距離分別為1

11、0m、1m、0時(shí)，出射高斯光束的光腰大小和位置各為多少？分析所得的結(jié) 果。6. 已知高斯光束的-0.3mm， =0.6328m。試求：（1 ）光腰處；（2）與光腰相距30 cm處；（3）無窮遠(yuǎn)處的復(fù)參數(shù) q值。7. 兩支氦氖激光器的結(jié)構(gòu)及相對(duì)位置如圖3.3所示，求在什么位置插入一焦距為多大的透鏡才能實(shí)現(xiàn)兩個(gè)腔之間的模匹配？R-i =1mL = 25cmR =50cmR2 =°°8. 從腔長(zhǎng)為1 m，反射鏡曲率半徑為 2 m的對(duì)稱腔中輸出的高斯光束入射到腔長(zhǎng)為5cm ,曲率半徑為10cm的干涉儀中去，兩腔長(zhǎng)相距50cm，為得到模匹配，應(yīng)把焦距為多大的透 鏡放置在何處？9.某高

12、斯光束的 w0 =1.2mm, -10.6m，今用一望遠(yuǎn)鏡將其準(zhǔn)直，如圖3.4所示，主鏡用鍍金全反射鏡：R =1m，口徑為10cm ；副鏡為一鍺透鏡：£ = 2.5cm，口徑為1.5cm，高斯光束的束腰與副鏡相距 丨=1m，求以下兩種情況望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)對(duì)高斯光束的準(zhǔn)直倍率：（1）兩鏡的焦點(diǎn)重合；（2）從副鏡出射的光腰剛好落在主鏡的焦平面。光束發(fā)散角為1.0 10“rad ；（2）光束發(fā)散角為1.0 10rad時(shí)，月球表面被照亮的面積 為多少？?jī)煞N情況下，光腰半徑各為多少？11. 一高斯光束的光腰半徑 w 2cm，波長(zhǎng)=1m，從距離透鏡為d的地方垂直入射到焦距為F = 4cm的透鏡上。求：

13、（1） d = 0, （2） d = 1m時(shí)，出射光束的光腰位置和光束 發(fā)散角。12 一染料激光器輸出激光器的波長(zhǎng) =0.63m，光腰半徑為60m。使用焦距為5cm的凸透鏡對(duì)其聚焦，入射光腰到透鏡的距離為0.50m。問：離透鏡4.8cm處的出射光斑為多大？13. 一高斯光束的光腰半徑為0，腰斑與焦距為f的薄透鏡相距為丨，經(jīng)透鏡變換后傳輸距離I。，又經(jīng)一折射率為，長(zhǎng)為L(zhǎng)的透明介質(zhì)后輸出，如 圖3.5所示。求：（1 ）高斯光束在介質(zhì)出射面處的 q參數(shù)和光斑半徑。（2）若介質(zhì)移到薄透鏡處，即L0=O （不考慮可能存在的間隙），求輸出高斯光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角反射鏡a = 0.44m處放置長(zhǎng)為b =0.1m

14、的釹玻璃棒，其折射率為=1.7。棒的一端直接鍍上半反射膜作為腔的輸出端。（1）進(jìn)行腔的穩(wěn)定性判別；（2）求輸出光斑的大??；（3）若輸出端剛好位于f -0.1m的透鏡的焦平面上，求透鏡聚焦后的光腰大小和位置。圖3.613、某二氧化碳激光器，采用平 -凹腔，凹面鏡的 R=2m腔長(zhǎng)L=1m試給出它所產(chǎn)生 的高斯光束的束腰斑半徑 0的大小和位置、該高斯光束的f及二0的大小。14、某高斯光束束腰斑大小為 ©0=1.14mm扎=10.6Am。求與束腰相距30cm 10m 1000m遠(yuǎn)處的光斑半徑及波前曲率半徑 R。15、 若已知某高斯光束之 o0 =0.3mm九=632.8nm。求束腰處的q參數(shù)

15、值，與束腰 相距30cm處的q參數(shù)值，以及在與束腰相距無窮遠(yuǎn)處q的值。16、 某高斯光束«0=1.2mm入=10.6m。今用F=2cm的鍺透鏡聚焦，當(dāng)束腰與透 鏡的距離為丨=10m、1m、10cm、0時(shí)，求焦斑大小和位置，并分析所得結(jié)果。17、 二氧化碳激光器輸出光 =10.6m，0=3mm，用一 F = 2cm的凸透鏡來聚焦，求欲得到 .0二20m及2.5m時(shí)透鏡應(yīng)放在什么位置。18、 如圖2.2光學(xué)系統(tǒng)，入射光黑=10.65，求及l(fā)3。圖2.219、某高斯光束©0=1.2mm九=10.6»m。今用一望遠(yuǎn)鏡將其準(zhǔn)直。主鏡用鍍金反射鏡R=1cm 口徑為20cm；副

16、鏡為一鍺透鏡，h=2.5cm， 口徑為1.5cm；高斯光束束腰與透鏡相距l(xiāng) =1m，如圖2.3所示。求該望遠(yuǎn)系統(tǒng)對(duì)高斯光束的準(zhǔn)直倍率。20、 激光器的諧振腔由兩個(gè)相同的凹面鏡組成， 它出射波長(zhǎng)為的基模高斯光束，今給 定功率計(jì)，卷尺以及半徑為a的小孔光闌，試敘述測(cè)量該高斯光束共焦參數(shù) f的實(shí)驗(yàn)原理及 步驟。21、 已知一二氧化碳激光諧振腔由兩個(gè)凹面鏡組成，R1m，R2 =2m，L = 0.5m。如何選擇高斯束腰斑 '0的大小和位置才能使它成為該諧振腔中的自在現(xiàn)光束?22、 （1 ）用焦距為F的薄透鏡對(duì)波長(zhǎng)為、束腰半徑為0的高斯光束進(jìn)行變換，并使變換后的高斯光束的束腰半徑（此稱為高斯光束的

17、聚焦），在Ff和Fcf f =恥0 兩I k ）種情況下，如何選擇薄透鏡到該高斯光束束腰的距離丨？（ 2）在聚焦過程中，如果薄透鏡到高斯光束束腰的距離丨不能改變，如何選擇透鏡的焦距F？23、 試由自在現(xiàn)變換的定義式（2.12.2 ）用q參數(shù)法來推導(dǎo)出自在現(xiàn)變換條件式（2.12.3 ）。24、 試證明在一般穩(wěn)定腔（R!，R2，L ）中，其高斯模在腔鏡面處的兩個(gè)等相位面的曲率半徑必分別等于各該鏡面的曲率半徑。25、試從式（2.14.12 ）導(dǎo)出式（2.14.13 ），并證明對(duì)雙凸腔 B2 4C>0。26、 試計(jì)算R1 =1m，L = 0.25m，a 2.5cm，a2 =1cm的虛共焦腔的單程

18、和往返。 若想保持a1不變并從凹面鏡 M1端單端輸出，應(yīng)如何選擇 a2 ?反之，若想保持 a2不變并從 凸面鏡M?端單端輸出，應(yīng)如何選擇 &1 ?在這兩種單端輸出的條件下，單程和往返各為多 大？題中印為鏡M1的橫截面半徑，R1為其曲率半徑，a2、R2的意義類似。六、部分答案1. 高斯光束最多需要幾個(gè)獨(dú)立參數(shù)來描寫？解答：兩個(gè)。2. 認(rèn)為描述激光束最重要的一個(gè)參數(shù)是什么，為什么？解答：激光束最重要的一個(gè)參數(shù)是q參數(shù)，因?yàn)樗饕獩Q定了高斯光束的場(chǎng)分布和傳輸特點(diǎn)。3. 何使單透鏡對(duì)激光束的聚焦效果最好？解答： F < f 透鏡焦距足夠小 無論I為何值,均可使w0 ：W0（2）.若F &

19、gt; f 要使 w0 : w0 要求 F2 ： FIf 2即I F 、F2- f2或I :：: F -F2- f2才能聚焦如果F _Jf2二f2 ：:| F F 2二f2 不能聚焦F 一定時(shí) I = F = w0 =，F(xiàn) ："幕 w0 I' = FI . F =1 一； w0 山 I - ： 一 w0 r 0 VF4. 對(duì)激光束聚焦的單透鏡應(yīng)如何選??？ 解答：使用短焦距透鏡；光腰遠(yuǎn)離透鏡。5. 如何才能使激光束準(zhǔn)直效果最好?解答：先用一個(gè)短焦距的透鏡將高斯光束聚焦， 獲得極小的腰斑，然后用一個(gè)長(zhǎng)焦距的透鏡 來改善其方向性，經(jīng)過短透鏡的出射光束聚在長(zhǎng)焦距透鏡的焦點(diǎn)上。 這樣可

20、獲得很好的準(zhǔn)直 效果。6. 聚焦、打孔及準(zhǔn)直是高斯光束常見的應(yīng)用問題，如何取得最佳工作條件？ 解答：7.如何加入第解答:8. 試說明發(fā)散角和球面光波束張角的區(qū)別。9. 波長(zhǎng)為的高斯光束入射到位于 z=1 （圖3.1）處的透鏡上，為了使出射高斯光束的光 腰剛好落在樣品的表面上（樣品表面距透鏡 L），透鏡的焦距f應(yīng)為多少？畫出解的簡(jiǎn)圖。解答: 如圖qf由1qfqfq'=2pw(z z(1-i?_qqf1. lR' i pw'2得:q =qf - 乙 q' =qf '-z'（1-z）7 '0-代入上式得:z ' z' zz(1-

21、f)q。=(1-f)qo (z z-f)讓實(shí)部和虛部對(duì)應(yīng)相等得到:=, q°q。 =-(z z'-千)f qo f - zf進(jìn)而得到:40 2(1-（1-7）Z)2242“ Z、2 H 灼 f) Tkt將z=l,z = L,代入上式可求出f2.二氧化碳激光器，采用平凹腔，凹面鏡的曲率半徑R = 2m，腔長(zhǎng)L=1m。求出它所產(chǎn)生的高斯光束的光腰大小和位置，共焦參數(shù)zR及發(fā)散角v解：由 R( z) z 二i = -以1 2)z=i =2，可得 f =1m z由，可得0 =1.8mmA 扎10.6“ “1.87mrad 二 o 3.14 1.83.某高斯光束光腰大小為'&#

22、39;o =1.14mm，波長(zhǎng)=10.6"m。求與腰相距 30cm，10m， 1 km處光斑的大小及波前曲率半徑。 解答：當(dāng) z=30 cm 時(shí)，(z zmo = 2.09mm, FRz) z0= 0.79m當(dāng) z=10 m 時(shí)，(Z zo=2.97cm, (z) z二0 = 10.015m當(dāng) z=1000 m 時(shí)，(Z) Z4000 = 2.96m, R(Z) zooo= 1000m4.求出上題所給出的個(gè)高斯光束的發(fā)散角片甬。用計(jì)算來回答下述問題：在什么條件下可以將高斯光束近似地看作曲率中心在光腰處的球面波？即在什么條件下可以用公式R(z)=z和公式w(z)二“1/e2 R(z)來

23、計(jì)算高斯光束的光斑大小的波前曲率半徑？解答：八九10.6x10B = = 2.96城 10 rad二 0 二 1.14 102窪0z . = 0.38m2p( i)二 z 互二 z1 +( z)2ke(力-z0一z( z) = 05.某高斯光束的0=1.2mm, -10.6m。另用f =2cm的凸透鏡來聚焦。當(dāng)光腰與透鏡距離分別為10m、1m、0時(shí)，出射高斯光束的光腰大小和位置各為多少？分析所得的結(jié) 果。解答：根據(jù)(1-z)(1-7)當(dāng) z=10 m 時(shí)， 0 = 2.4lm, z' = 2cm當(dāng) z=1 m 時(shí)，0 =2.12m, z' = 2.03cm當(dāng) z=0 m 時(shí)，0

24、 =2.64m, z = 202cm6.已知高斯光束的0.3mm，兔=0.6328m。試求：(1 )光腰處；(2)與光腰相距30 cm處；(3)無窮遠(yuǎn)處的復(fù)參數(shù) q值。解答：由公式q(z)二z if，代入數(shù)值得(1 z = 0時(shí)(2) z 二 30cm時(shí) z -：:時(shí)q =44.66iq = 30 44.66iq = 44.66i + oO7.兩支氦氖激光器的結(jié)構(gòu)及相對(duì)位置如圖3.3所示，求在什么位置插入鏡才能實(shí)現(xiàn)兩個(gè)腔之間的模匹配？焦距為多大的透圖3.3解答：根據(jù)等相位面曲率半徑為f2Rzi p)z當(dāng)z=-0.3m時(shí)，等相位面曲率半徑 R=1 ，由上式得f2z=-0.3m“2 I »

25、;«»利用 f，人=0.6328»m得到 w3.24<1m同理，w03.17 10，m根據(jù)高斯光束得模匹配公式有z=F -W0 戸W0z =F_W0 汗2 -f。2W0z +z =0.75, f二 w°w。:0.51解得F = 0.87m , z = 0.31m , z = 0.44m8.從腔長(zhǎng)為1 m，反射鏡曲率半徑為 2 m的對(duì)稱腔中輸出的高斯光束入射到腔長(zhǎng)為5cm ,曲率半徑為10cm的干涉儀中去，兩腔長(zhǎng)相距50cm，為得到模匹配，應(yīng)把焦距為多大的透 鏡放置在何處？解答：ziL 二 0.5m24二21(2RL 小Z12R-2LZ2A - &#

26、39;0- '0A二一0 -4 =4.69I。=0. 50. 50. &51. 05=f =0. 2m , - 0. m9.某高斯光束的 w0 =1.2mm, =10.6"m，今用一望遠(yuǎn)鏡將其準(zhǔn)直，如圖3.4所示，主 鏡用鍍金全反射鏡： R =1m，口徑為10cm ；副鏡為一鍺透鏡：£ = 2.5cm, 口徑為1.5cm，高斯光束的束腰與副鏡相距l(xiāng) -1m，求以下兩種情況望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)對(duì)高斯光束的準(zhǔn)直倍率：（1）兩鏡的焦點(diǎn)重合；（2）從副鏡出射的光腰剛好落在主鏡的焦平面。（1）fi = 2.5cmM = M W（Zl） = M 1 （_. Zl）2 woi?:

27、oiMfiM叫說Z。（L-f）f2=2.506cm22 JICOo 2（L_f）2）2f2 =50cm，主鏡上的光斑尺寸超過鏡面尺寸，考慮衍射，M = 22510.月球距地球表面3.8 10 km，使用波長(zhǎng)=0.5145m的激光束照射月球表面。當(dāng)（1） 光束發(fā)散角為1.0 10“rad ；（2）光束發(fā)散角為1.0 10rad時(shí)，月球表面被照亮的面積 為多少？?jī)煞N情況下，光腰半徑各為多少？ 解答：根據(jù)光斑尺寸為w2（z）=w： |1+（二）2- 叫 一光束發(fā)散角為4丄Jiw0得到W0二，將其代入光斑尺寸公式得22/二 2w2（z）= 卩+（二）26 H九于是有（1 ）當(dāng)二-1 10"r

28、ad, =0.5145m,z =3.8 105km時(shí)光腰半徑為Wo = =3.3 10鼻m8兀月球表面被照亮的面積為S = ：w2 （z） =1.13 105 km265（2 ）當(dāng)）-1 10 rad,，=0.5145m,z =3.8 10 km 時(shí)光腰半徑為w0二=0.33m0 On月球表面被照亮的面積為S -二w2（z） = 0.113km211. 一高斯光束的光腰半徑 w。=2cm，波長(zhǎng)二Wm，從距離透鏡為d的地方垂直入射到焦距為F = 4cm的透鏡上。求：（1） d = 0， （2） d = 1m時(shí)，出射光束的光腰位置和光束 發(fā)散角。解答：出射高斯光束束腰處光斑半徑為'2w2w

29、°F2(F -z)2F (z F)F2 4(z-F)2 =d 二 0,w0r 0,z r 4cmV - 2 二 w'°IId =1 m, w0 t 0, z t 4cm12 一染料激光器輸出激光器的波長(zhǎng)0 T =0.63m，光腰半徑為60m。使用焦距為5cm的凸透鏡對(duì)其聚焦，入射光腰到透鏡的距離為0.50m。問：離透鏡4.8cm處的出射光斑為多大？解答：出射高斯光束束腰處光斑半徑和光腰距透鏡的距離為2 2'2Wo FW02 4(F -z)2 與2z、F SF)F2 4 (z-F)2 與出射高斯光束距束腰距離為z處的光斑尺寸為w；Xz )2 )兀W0計(jì)算得到2

30、匸2'2WoW0 Fj.1 202 4 =4.44 10 m2: Wo(F -z)2-'2-'0'2(z)二 o1 （二L 汕三0)2 192= 1.546 10 mz'彳.5 10 3'2-'02-0(1 一 f)(z)2 1z =7.5 10”'20九Z 2 + (t)2尹=4.44 10 m2Z 2 二02'2經(jīng)透鏡變換后傳輸求：（1 ）高斯光束=0 (z) =1.546 10m2，(z) =39.32m13. 一高斯光束的光腰半徑為0，腰斑與焦距為f的薄透鏡相距為丨，距離丨0，又經(jīng)一折射率為，長(zhǎng)為L(zhǎng)的透明介質(zhì)后輸出

31、，如 圖3.5所示在介質(zhì)出射面處的 q參數(shù)和光斑半徑。（2）若介質(zhì)移到薄透鏡處，即 L0=O （不考慮可能 存在的間隙），求輸出高斯光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角二。(1)高斯光束束腰所經(jīng)歷的光器件矩陣:101+(1 -f )(lo +呂)'l2 qo_由ABCD定律得高斯光束在介質(zhì)出射面處的q參數(shù):Aq。BCq° D1- f(lo L)山 1+(1 -f)(lo -)f口 人fn一1血阮+1_1光斑半徑:1-Im 丄九Iq'J(2)高斯光束束腰所經(jīng)歷的光器件矩陣:1 ” 0101-_1 n1-L fHl+(1 切 1Io # 111一°1 f1一丄fJ,1+（1丄）丄f

32、 ,f72 q0 1丨二0彳l-1新束腰處q參數(shù):qo'lmlq'； =-（1 -fxi- Lf）亠+（1-f）f2（1-丄）竺十q'_ Aqo B qCqo * D輸出高斯光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角:新束腰：（f -1（1- ；）-1+（1 - f Li f 014如圖3.6所示，波長(zhǎng)k =1.06 Am的釹玻璃激光器的全反射鏡的曲率半徑R = 1m，距全反射鏡a = 0.44m處放置長(zhǎng)為b =0.1m的釹玻璃棒，其折射率為=1.7。棒的一端直接鍍上半反射膜作為腔的輸出端。（1）進(jìn)行腔的穩(wěn)定性判別；（2）求輸出光斑的大??；（3）若輸出端剛好位于f =0.1m的透鏡的焦平面上，求

33、透鏡聚焦后的光腰大小和位置。解:圖3.6I R 1=1m, a=0.44mR = L=50cm2灼。s =041mm)l = a b f -I = 0.14mf=0.1m=60 J m'2 兀灼0f (L-f)2 DL九I =f+2 = 10.08cm(l-f) ( 0)13、某二氧化碳激光器，采用平 -凹腔，凹面鏡的 R=2m腔長(zhǎng)L=1m試給出它所產(chǎn)生的高斯光束的束腰斑半徑 °的大小和位置、該高斯光束的f及二0的大小。解：卄 二廠，L 2二10.6 10 2 3.14m = 1.30mmR1 = 2m， R2：，則 g1=1_L=0.5， g2=1 = 1R,R2L(L)(

34、L -RJ (L-R2):-L，可見束腰的位置在平面鏡上。丄 0.5m，t -1 / 4G §2 2gg2 I：121 23.67 10 radg*2 g©14、某高斯光束束腰斑大小為0=1.14mn,扎=10.6#m。求與束腰相距 30cm 10m1000m遠(yuǎn)處的光斑半徑，及波前曲率半徑 R 。 2z解：旳（z戶叫寸1+ f把z=30cm 10m 1000m分別代入上面兩式中，得到 ，分別為 =1.455mm， 2.963cm， 0.296mR 分別為 R=0.8m，10.015m， 1000m15、右已知某咼斯光束之 ©0 =0.3mm扎=632.8nm。求束

35、腰處的q參數(shù)值，與束腰相距30cm處的q參數(shù)值，以及在與束腰相距無窮遠(yuǎn)處q的值。解:1 1 . | 2q(z) R(z) - .2(z)242代入上式中得到q z = z i 02束腰處 z=0，q(0) =i =0.45i無窮遠(yuǎn)處，q（：J二二2z =30cm 處，q 0.3 i=0.3 L - = 0.3 0.45i鏡的距離為丨-10m、1m、10cm、0時(shí)，求焦斑大小和位置，并分析所得結(jié)果。2 2 2 F «0丨廠十 F （丨一F）翊°解：高斯光束束腰變換關(guān)系 2(F -丨)2(F -丨)當(dāng)丨=10m、 1m、10cm、0時(shí)，可分別得到17、.氧化碳激光器輸出光 =1

36、0.6"m，-0 = 3mm，用一 F = 2cm 的凸透鏡來聚16、某高斯光束«0=1.2mm丸=10.6»m。今用F=2cm的鍺透鏡聚焦，當(dāng)束腰與透焦，求欲得到 0二20m及2.5m時(shí)透鏡應(yīng)放在什么位置。解：由公式 022 202(F -丨)，可得到當(dāng)0 = 20"m 及 2.5 "m 時(shí),透鏡與束腰之間的距離丨分別為1.96cm及-3.85mm。18、如圖2.2光學(xué)系統(tǒng)，入射光=10.6m，求0及l(fā)3。解：由-，022 2Fi ' '02巳以及 I； = f Fi (li -Fi)2(Fi -li)2(Fi-li)可分別得

37、到經(jīng)透鏡 R之后高斯光束的束腰半徑-'0及其到斤的距離h-o到透鏡F2的距離12 = 12 - h'2再由42F2 '02 '空，"F2F2(l2F2)(F2 -I2)2(F22)2叫2即可得到19、某高斯光束，o=1.2mm冬=10.6m。今用一望遠(yuǎn)鏡將其準(zhǔn)直。主鏡用鍍金反射鏡R=1cm 口徑為20cm副鏡為一鍺透鏡,Fj=2.5cm , 口徑為1.5cm；高斯光束束腰與透鏡相距I解：準(zhǔn)直倍率其中，M代回式中得到 M =50.9720、激光器的諧振腔由兩個(gè)相同的凹面鏡組成，它出射波長(zhǎng)為的基模高斯光束，今給定功率計(jì)，卷尺以及半徑為a的小孔光闌，試敘述測(cè)量該高斯光束共焦參數(shù)f的實(shí)驗(yàn)原理及步驟。21、已知一二氧化碳激光諧振腔由兩個(gè)凹面鏡組成,R 1m，R2 = 2m，L 二 0.5m。如何選擇高斯束腰斑-.0的大小和位置才能使它成為該諧振腔中的自在現(xiàn)光束?解：傍軸光束在腔內(nèi)往返矩陣的元素人=1_生=0.5， B = 2L 1-R2 一= 0.752L）1-R1i Ri ） _得到參考面上曲率半徑和光斑尺寸-2，L1-R1 A2L1 -R2丿-1R =2b(d _A) 1，F(xiàn)14蛍=(的貨2/1(與與=1.6mm最后得到高斯束腰斑大小和位置2 -J 2-=1.2mm， z = R 1+2E丿二0.36