壓桿穩(wěn)定性計算

1、第 16 章壓桿穩(wěn)定16.1 壓桿穩(wěn)定性的概念在第二章中，曾討論過受壓桿件的強度問題， 并且認(rèn)為只要壓桿滿足了強度條件，就能保證其正常工作。但是，實踐與理論證明，這個結(jié)論僅對短粗的壓桿才是正確的，對細(xì)長壓桿不能應(yīng)用上述結(jié)論， 因為細(xì)長壓桿喪失工作能力的原因，不是因為強度不夠， 而是由于出現(xiàn)了與強度問題截然不同的另一種破壞形式， 這就是本章將要討論的壓桿穩(wěn)定性問題。當(dāng)短粗桿受壓時 ( 圖 16-1a) ，在壓力 F 由小逐漸增大的過程中，桿件始終保持原有的直線平衡形式， 直到壓力 F 達(dá)到屈服強度載荷 Fs ( 或抗壓強度載荷 Fb ) ，桿件發(fā)生強度破壞時為止。 但是，如果用相同的材料， 做一

2、根與圖 16-1a 所示的同樣粗細(xì)而比較長的桿件 ( 圖 16-1b) ，當(dāng)壓力 F 比較小時，這一較長的桿件尚能保持直線的平衡形式， 而當(dāng)壓力 F 逐漸增大至某數(shù)值 F1 時，桿件將突然變彎，不再保持原有的直線平衡形式， 因而喪失了承載能力。 我們把受壓直桿突然變彎的現(xiàn)象，稱為 喪失穩(wěn)定 或失穩(wěn) 。此時， F1 可能遠(yuǎn)小于 Fs ( 或 Fb ) 。可見，細(xì)長桿在尚未產(chǎn)生強度破壞時，就因失穩(wěn)而破壞。圖 161失穩(wěn)現(xiàn)象并不限于壓桿，例如狹長的矩形截面梁，在橫向載荷作用下，會出現(xiàn)側(cè)向彎曲和繞軸線的扭轉(zhuǎn) ( 圖 16-2) ；受外壓作用的圓柱形薄殼，當(dāng)外壓過大時，其形狀可能突然變成橢圓 ( 圖 1

3、6-3) ；圓環(huán)形拱受徑向均布壓力時，也可能產(chǎn)生失穩(wěn) ( 圖 16-4) 。本章中，我們只研究受壓桿件的穩(wěn)定性。圖 16-3所謂的穩(wěn)定性是指桿件保持原有直線平衡形式的能力。 實際上它是指平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。我們借助于剛性小球處于三種平衡狀態(tài)的情況來形象地加以說明。第一種狀態(tài)， 小球在凹面內(nèi)的 O點處于平衡狀態(tài)， 如圖 16-5a 所示。先用外加干擾力使其偏離原有的平衡位置， 然后再把干擾力去掉， 小球能回到原來的平衡位置。因此，小球原有的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定平衡。第二種狀態(tài)， 小球在凸面上的 O點處于平衡狀態(tài)， 如圖 16-5c 所示。當(dāng)用外加干擾力使其偏離原有的平衡位置后， 小球?qū)⒗^續(xù)下滾， 不再回

4、到原來的平衡位置。因此，小球原有的干衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡。第三種狀態(tài)， 小球在平面上的O點處于平衡狀態(tài)， 如圖 16-5b 所示，當(dāng)用外加干擾力使其偏離原有的平衡位置后，把干擾力去掉后，小球?qū)⒃谛碌奈恢?O1 再次處于平衡，既沒有恢復(fù)原位的趨勢，也沒有繼續(xù)偏離的趨勢。因此。我們稱小球原有的平衡狀態(tài)為隨遇平衡。圖 16-5圖 16-6通過上述分析可以認(rèn)識到， 為了判別原有平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性， 必須使研究對象偏離其原有的平衡位置。 因此。在研究壓桿穩(wěn)定時， 我們也用一微小橫向干擾力使處于直線平衡狀態(tài)的壓桿偏離原有的位置，如圖 16-6a 所示。當(dāng)軸向壓力 F 由小變大的過程中，可以觀察到：1) 當(dāng)壓力

5、值 F1 較小時，給其一橫向干擾力，桿件偏離原來的平衡位置。若去掉橫向干擾力后， 壓桿將在直線平衡位置左右擺動， 最終將恢復(fù)到原來的直線平衡位置，如圖 16-6b 所示。所以，該桿原有直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定平衡。2) 當(dāng)壓力值 F2 超過其一限度 Fcr 時，平衡狀態(tài)的性質(zhì)發(fā)生了質(zhì)變。這時，只要有一輕微的橫向干擾，壓桿就會繼續(xù)彎曲，不再恢復(fù)原狀，如圖16-6d 所示。因此，該桿原有直線平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡。F 時，一旦3) 界于前二者之間，存在著一種臨界狀態(tài)。當(dāng)壓力值正好等于cr去掉橫向干擾力， 壓桿將在微彎狀態(tài)下達(dá)到新的平衡， 既不恢復(fù)原狀， 也不再繼續(xù)彎曲，如圖 16-6c 所示。因此，該桿原

6、有直線平衡狀態(tài)是隨遇平衡，該狀態(tài)又稱為臨界狀態(tài)。臨界狀態(tài)是桿件從穩(wěn)定平衡向不穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)化的極限狀態(tài)。 壓桿處于臨界狀態(tài)時的軸向壓力稱為 臨界力或臨界載荷 ，用 Fcr 表示。由上述可知，壓桿的原有直線平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定， 與所受軸向壓力大小有關(guān)。當(dāng)軸向壓力達(dá)到臨界力時，壓桿即向失穩(wěn)過渡。所以，對于壓桿穩(wěn)定性的研究，關(guān)鍵在于確定壓桿的臨界力。16.2兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界力圖 16-7a 為一兩端為球形鉸支的細(xì)長壓桿，現(xiàn)推導(dǎo)其臨界力公式。圖 16-7根據(jù)前節(jié)的討論， 軸向壓力到達(dá)臨界力時， 壓桿的直線平衡狀態(tài)將由穩(wěn)定轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定。在微小橫向干擾力解除后，它將在微彎狀態(tài)下保持平衡。因此，可以認(rèn)為能夠

7、保持壓桿在微彎狀態(tài)下平衡的最小軸向壓力，即為臨界力。選取坐標(biāo)系如圖l6-7a所示，假想沿任意截面將壓桿截開，保留部分如圖16-7b 所示。由保留部分的平衡得M xFcr v(a)在式 (a) 中，軸向壓力 Fcr 取絕對值。這樣，在圖示的坐標(biāo)系中彎矩M 與撓度v 的符號總相反，故式 (a) 中加了一個負(fù)號。當(dāng)桿內(nèi)應(yīng)力不超過材料比例極限時，根據(jù)撓曲線近似微分方程有d 2vM xFcrv(b)dx2EIEI由于兩端是球鉸支座， 它對端截面在任何方向的轉(zhuǎn)角都沒有限制。 因而，桿件的微小彎曲變形一定發(fā)生于抗彎能力最弱的縱向平面內(nèi)， 所以上式中的 I 應(yīng)該是橫截面的最小慣性矩。令k 2F cr(c)EI

8、式（ b）可改寫為d 2vk 2v 0(d)dx2此微分方程的通解為vC1sinkx C2coskx(e)式中 C1 、 C2 為積分常數(shù)。由壓桿兩端鉸支這一邊界條件x0 ， v0(f)xl ， v0(g)將式 (f) 代入式 (e) ，得 C20 ，于是vC1sinkx(h)式 (g) 代入式 (h) ，有C1sinkl0(i)在式 (i) 中，積分常數(shù) C1 不能等于零，否則將使有v0 ，這意味著壓桿處于直線平衡狀態(tài)，與事先假設(shè)壓桿處于微彎狀態(tài)相矛盾，所以只能有sinkl0(j)由式 (j)解得 kln n 0，1，2， n(k)kl則k2n 22 F crl 2EI或Fcrn 22 EI

9、n 0，1，2，(l)l2因為 n 可取 0， 1， 2， 中任一個整數(shù)，所以式 (1) 表明，使壓桿保持曲線形態(tài)平衡的壓力， 在理論上是多值的。 而這些壓力中， 使壓桿保持微小彎曲的最小壓力，才是臨界力。取 n=0，沒有意義，只能取 n=1。于是得兩端鉸支細(xì)長壓桿臨界力公式2 EI(16-1)Fcr2l式 (16-1) 又稱為歐拉公式 。在此臨界力作用下，kl，則式 (h) 可寫成v C1 sinx(m)l可見，兩端鉸支細(xì)長壓桿在臨界力作用下處于微彎狀態(tài)時的撓曲線是條半波正弦曲線。將 x l 代入式 (m) ，可得壓桿跨長中點處撓度，即壓桿的最大撓度2vx lC1 sinx lC1vmaxl

10、 22C1 是任意微小位移值。C1 之所以沒有一個確定值，是因為式(b) 中采用了撓曲線的近似微分方程式。如果采用撓曲線的精確微分方程式，那么C1 值便可以確定。這時可得到最大撓度vmax 與壓力 F 之間的理論關(guān)系，如圖16-8 的 OAB曲線。此曲線表明，當(dāng)壓力小于臨界力Fcr 時, F 與 vmax 之間的關(guān)系是直線OA，說明壓桿一直保持直線平衡狀態(tài)。當(dāng)壓力超過臨界力Fcr 時，壓桿撓度急劇增加。C1vmax圖 16-8在以上討論中，假設(shè)壓桿軸線是理想直線，壓力 F 是軸向壓力，壓桿材料均勻連續(xù)。這是一種理想情況，稱為理想壓桿。但工程實際中的壓桿并非如此。壓桿的軸線難以避免有一些初彎曲，

11、 壓力也無法保證沒有偏心， 材料也經(jīng)常有不均勻或存在缺陷的情況。 實際壓桿的這些與理想壓桿不符的因素， 就相當(dāng)于作用在桿件上的壓力有一個微小的偏心距 e。試驗結(jié)果表明，實際壓桿的 F 與 vmax 的關(guān)系如圖 16-8 中的曲線 OD表示，偏心距愈小，曲線 OD愈靠近 OAB。16.3 不同桿端約束細(xì)長壓桿的臨界力0.7l壓桿臨界力公式 (16-1) 是在兩端鉸支的情況下推導(dǎo)出來的。 由推導(dǎo)過程可知，臨界力與約束有關(guān)。 約束條件不同， 壓桿的臨界力也不相同， 即桿端的約束對臨界力有影響。 但是，不論桿端具有怎樣的約束條件， 都可以仿照兩端鉸支臨界力的推導(dǎo)方法求得其相應(yīng)的臨界力計算公式， 這里不

12、詳細(xì)討論， 僅用類比的方法導(dǎo)出幾種常見約束條件下壓桿的臨界力計算公式。16.3.1一端固定另一端自由細(xì)長壓桿的臨界力圖 16-9 為端固定另一端自由的壓桿。當(dāng)壓桿處于臨界狀態(tài)時，它在曲線形式下保持平衡。將撓曲線 AB對稱于固定端 A 向下延長，如圖中假想線所示。延長后撓曲線是一條半波正弦曲線， 與本章第二節(jié)中兩端鉸支細(xì)長壓桿的撓曲線一樣。所以，對于端固定另一端自由且長為 l 的壓桿，其臨界力等于兩端鉸支長為 2l 的壓桿的臨界力，即F cr2 EI22l圖 16-9圖 16-10圖 16-1116.3.2 兩端固定細(xì)長壓桿的臨界力在這種桿端約束條件下，撓曲線如圖16-10 所示。該曲線的兩個拐

13、點C 和 D分別在距上、下端為 l 處。居于中間的 l 長度內(nèi)，撓曲續(xù)是半波正弦曲線。 所以，42對于兩端固定且長為l 的壓桿，其臨界力等于兩端鉸支長為l 的壓桿的臨界力，2即2 EIF cr2l216.3.3一端固定另一端鉸支細(xì)長壓桿的臨界力在這種桿端約束條件下，撓曲線形狀如圖 16-11 所示。在距鉸支端 B為 0.7l 處，該曲線有一個拐點C。因此，在長度內(nèi)，撓曲線是一條半波正弦曲線。所以，對于一端固定另一端鉸支且長為l 的壓桿，其臨界力等于兩端鉸支長為0.7l 的壓桿的臨界力，即2 EIFcr20.7l綜上所述，只要引入相當(dāng)長度的概念，將壓桿的實際長度轉(zhuǎn)化為相當(dāng)長度，便可將任何桿端約束

14、條件的臨界力統(tǒng)一寫2 EI(16-2)Fcr2l稱為歐拉公式的一般形式。 由式 (16-2) 可見，桿端約束對臨界力的影響表現(xiàn)在系數(shù) 上。稱 為長度系數(shù) ， l 為壓桿的 相當(dāng)長度 ，表示把長為 l 的壓桿折算成兩端鉸支壓桿后的長度。幾種常見約束情況下的長度系數(shù)列入表 16-1 中。表 16-1壓桿的長度系數(shù)壓桿的約束條件長度系數(shù)兩端鉸支=1一端固定，另一端自由兩端固定=2一端固定，另一端鉸支=1/20.7表 16-1 中所列的只是幾種典型情況，實際問題中壓桿的約束情況可能更復(fù)雜，對于這些復(fù)雜約束的長度系數(shù)可以從有關(guān)設(shè)計手冊中查得。16.4 歐拉公式的適用范圍經(jīng)驗公式16.4.1臨界應(yīng)力和柔度

15、將式 (16-2) 的兩端同時除以壓桿橫截面面積A，得到的應(yīng)力稱為壓桿的臨界應(yīng)力cr ，F(xiàn)cr2 EI(a)crl 2AA引入截面的慣性半徑 ii 2I(16-3)A將上式代入式 (a) ，得2 Ecr2li若令li則有2 Ecr2(16-4)(16-5)式 (16-5) 就是計算壓桿臨界應(yīng)力的公式，是歐拉公式的另一表達(dá)形式。式中，l 稱為壓桿的 柔度或長細(xì)比 ，它集中反映了壓桿的長度、約束條件、截面尺i寸和形狀等因素對臨界應(yīng)力的影響。 從式 (16-5) 可以看出，壓桿的臨界應(yīng)力與柔度的平方成反比，柔度越大，則壓桿的臨界應(yīng)力越低，壓桿越容易失穩(wěn)。因此，在壓桿穩(wěn)定問題中，柔度 是一個很重要的參

16、數(shù)。16.4.2 歐拉公式的適用范圍在推導(dǎo)歐拉公式時，曾使用了彎曲時撓曲線近似微分方程式d 2 vM x ，而dx2EI這個方程是建立在材料服從虎克定律基礎(chǔ)上的。試驗已證實，當(dāng)臨界應(yīng)力不超過材樹比例極限p 時，由歐拉公式得到的理論曲線與試驗曲線十分相符，而當(dāng)臨界應(yīng)力超過p 時，兩條曲線隨著柔度減小相差得越來越大( 如圖 16-12 所示 ) 。這說明歐拉公式只有在臨界應(yīng)力不超過材料比例極限時才適用，即圖 16-122 EIp或E(b)cr2P若用 p 表示對應(yīng)于臨界應(yīng)力等于比例極限p 時的柔度值，則E（ 16-6 ）pPp 僅與壓桿材料的彈性模量E 和比例極限p 有關(guān)。例如，對于常用的Q235

17、鋼，E200GPa，p 200MPa，代入式 (16-6) ，得20010 999.320010 6從以上分析可以看出： 當(dāng)p 時， crp ，這時才能應(yīng)用歐拉公式來計算壓桿的臨界力或臨界應(yīng)力。滿足p 的壓桿稱為 細(xì)長桿或大柔度桿 。16.4.3中柔度壓桿的臨界應(yīng)力公式在工程中常用的壓桿，其柔度往往小于p 。實驗結(jié)果表明，這種壓桿喪失承載能力的原因仍然是失穩(wěn)。但此時臨界應(yīng)力cr 已大于材料的比例極限p ，歐拉公式已不適用，這是超過材料比例極限壓桿的穩(wěn)定問題。對于這類失穩(wěn)問題，曾進(jìn)行過許多理論和實驗研究工作， 得出理論分析的結(jié)果。 但工程中對這類壓桿的技算，一般使用以試驗結(jié)果為依據(jù)的經(jīng)驗公式。

18、在這里我們介紹兩種經(jīng)常使用的經(jīng)驗公式：直線公式和拋物線公式。1. 直線公式把臨界應(yīng)力與壓桿的柔度表示成如下的線性關(guān)系。cra b(16-7)式中 a、b 是與材料性質(zhì)有關(guān)的系數(shù) , 可以查相關(guān)手冊得到。 由式 (16-7) 可見，臨界應(yīng)力 cr 隨著柔度 的減小而增大。必須指出，直線公式雖然是以p 的壓桿建立的，但絕不能認(rèn)為凡是p的壓桿都可以應(yīng)用直線公式。因為當(dāng) 值很小時，按直線公式求得的臨界應(yīng)力較高，可能早已超過了材料的 屈服強度 s 或抗壓強度 b ，這是桿件強度條件所不允許的。因此，只有在臨界應(yīng)力cr 不超過屈服 強度s( 或抗壓強度b ) 時，直線公式才能適用。若以塑性材料為例，它的應(yīng)

19、用條件可表示為cra bs 或asb若用 s 表示對應(yīng)于s 時的柔度值，則as(16-8)sb這里，柔度值s 是直線公式成立時壓桿柔度的最小值，它僅與材料有關(guān)。對Q235鋼來說，s 235 MPa， a =304MPa，b 1.12MPa 。將這些數(shù)值代入式 (16-8) ，得s30423561.61.12當(dāng)壓桿的柔度值滿足sp 條件時，臨界應(yīng)力用直線公式計算，這樣的壓桿被稱為中柔度桿或中長桿。2. 拋物線公式把臨界應(yīng)力cr 與柔度的關(guān)系表示為如下形式2crs 1 ac(16-9)c式中s 是材料的屈服強度， a 是與材料性質(zhì)有關(guān)的系數(shù)，c 是歐拉公式與拋物線公式適用范圍的分界柔度，對低碳鋼和

20、低錳鋼E(16-10)c0.57s16.4.4小柔度壓桿當(dāng)壓桿的柔度滿足s 條件時，這樣的壓桿稱為小柔度桿或短粗桿。實驗證明，小柔度桿主要是由于應(yīng)力達(dá)到材料的屈服強度s ( 或抗壓強度b ) 而發(fā)生破壞，破壞時很難觀察到失穩(wěn)現(xiàn)象。 這說明小柔度桿是由于強度不足而引起破壞的，應(yīng)當(dāng)以材料的屈服強度或抗壓強度作為極限應(yīng)力， 這屬于第二章所研究的受壓直桿的強度計算問題。 若形式上也作為穩(wěn)定問題來考慮， 則可將材料的屈服強度s ( 或抗壓強度b ) 看作臨界應(yīng)力 cr ，即crs （或 b ）16.4.5臨界應(yīng)力總圖綜上所述，壓桿的臨界應(yīng)力隨著壓桿柔度變化情況可用圖 16-13 的曲線表示，該曲線是采用

21、直線公式的臨界應(yīng)力總圖，總圖說明如下：圖 16-131) 當(dāng)p 時，是細(xì)長桿，存在材料比例極限內(nèi)的穩(wěn)定性問題，臨界應(yīng)力用歐拉公式計算。2) 當(dāng) s （或 b ）< p 時，是中長桿，存在超過比例極限的穩(wěn)定問題，臨界應(yīng)力用直線公式計算。3) 當(dāng)s （或 b ）時，是短粗桿，不存在穩(wěn)定性問題，只有強度問題，臨界應(yīng)力就是屈服強度s 或抗壓強度b 。由圖 16-13 還可以看到，隨著柔度的增大，壓桿的破壞性質(zhì)由強度破壞逐漸向失穩(wěn)破壞轉(zhuǎn)化。由式 (16-5) 和式 (16-9) ，可以繪出采用拋物線公式時的臨界應(yīng)力總圖，如圖16-14 所示。圖 16-1416.5 壓桿穩(wěn)定性計算從上節(jié)可知，對于不

22、同柔度的壓桿總可以計算出它的臨界應(yīng)力，將臨界應(yīng)力乘以壓桿橫截面面積， 就得到臨界力。 值得注意的是， 因為臨界力是由壓桿整體變形決定的， 局部削弱 ( 如開孔、槽等 ) 對桿件整體變形影響很小， 所以計算臨界應(yīng)力或臨界力時可采用未削弱前的橫截面面積A和慣性矩 I 。壓桿的臨界力Fcr 與壓桿實際承受的軸向壓力F 之比值，為壓桿的工作安全系數(shù) n，它應(yīng)該不小于規(guī)定的 穩(wěn)定安全系數(shù) nst 。因此壓桿的穩(wěn)定性條件為Fcrnnst(16-11)F由穩(wěn)定性條件便可對壓桿穩(wěn)定性進(jìn)行計算，在工程中主要是穩(wěn)定性校核。 通常 , nst 規(guī)定得比強度安全系數(shù)高，原因是一些難以避免的因素 ( 例如壓桿的初彎曲、

23、材料不均勻、壓力偏心以及支座缺陷等 ) 對壓桿穩(wěn)定性影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過對強度的影響。式(16-11) 是用安全系數(shù)形式表示的穩(wěn)定性條件，在工程中還可以用應(yīng)力形式表示穩(wěn)定性條件FA其中st(a)stcr(b)nst式中st 為穩(wěn)定許用應(yīng)力 。由于臨界應(yīng)力cr 隨壓桿的柔度而變，而且對不同柔度的壓桿又規(guī)定不同的穩(wěn)定安全系數(shù)nst，所以，st 是柔度 的函數(shù)。在某些結(jié)構(gòu)設(shè)計中，常常把材料的強度許用應(yīng)力乘以一個小于 1 的系數(shù) 作為穩(wěn)定許用應(yīng)力st ，即st(c)式中稱為折減系數(shù) 。因為 st 是柔度的函數(shù)，所以也是 的函數(shù)，且總有1 。幾種常用材料壓桿的折減系數(shù)列于表FA16-3 中，引入折減系數(shù)后，式(

24、a) 可寫為(16-12)例 16-1 圖 16-15 為用 20a 工字鋼制成的壓桿，材料為 Q235鋼，E=200Mpa，p =200MPa，壓桿長度 l =5m，F(xiàn)=200kN 。若 nst =2，試校核壓桿的穩(wěn)定性。圖 16-15解(1) 計算由附錄中的型鋼表查得i y2.12cm ， i z8.51cm ，A=35.5cm2。壓桿在 i 最小的縱向平面內(nèi)抗彎剛度最小，柔度最大，臨界應(yīng)力將最小。因而壓桿失穩(wěn)一定發(fā)生在壓桿max 的縱向平面內(nèi)l0.55117.9max2.12102i y(2) 計算臨界應(yīng)力，校核穩(wěn)定性E20010 999.3p20010 6P因為 maxp ，此壓桿屬細(xì)

25、長桿，要用歐拉公式來計算臨界應(yīng)力2 E2200 103cr117 .9 2MPa 142MPamax 2F cr A cr35.510 4142106 N504.1103 N504.1kNFcr504.1nstn2.57F200所以此壓桿穩(wěn)定。例 16-2 如圖 16-16 所示連桿，材料為 Q235鋼，其 E=200MPa， p =200MPa，s235MPa ，承受軸向壓力F=110kN。若 nst =3，試校核連桿的穩(wěn)定性。圖 16-16解根據(jù)圖 16-16 中連桿端部約束情況，在 xy 縱向平面內(nèi)可視為兩端鉸支；在 xz 平面內(nèi)可視為兩端固定約束。又因壓桿為矩形截面，所以I yI z

26、。根據(jù)上面的分析，首先應(yīng)分別算出桿件在兩個平面內(nèi)的柔度，以判斷此桿將在哪個平面內(nèi)失穩(wěn)，然后再根據(jù)柔度值選用相應(yīng)的公式來計算臨界力。(1) 計算在 xy 縱向平面內(nèi)，1， z 軸為中性軸I zh6i z2 3cm 1.732cmA2 3l1 94zi z54.31.732在 xz 縱向平面內(nèi)，0.5 ，y 軸為中性軸I yb2.5i y2 32cm 0.722cmA3l0.590yi y62.30.722yz ， maxy62.3 。連桿若失穩(wěn)必發(fā)生在xz 縱向平面內(nèi)。(2) 計算臨界力，校核穩(wěn)定性E20010 999.3p20010 6Pmaxp , 該連桿不屬細(xì)長桿，不能用歐拉公式計算其臨界

27、力。這里采用直線公式，查表 16-2 ， Q235鋼的 a 304MPa , b1.12 MPaas304 235s61.6b1.12smaxp ，屬中等桿，因此crab max3041.1262.3 MPa234.2MPaFcrA cr6 2.510 4234.210 3 kN351.3kNFcr351.3n stnst3.2F110該連桿穩(wěn)定。例 16-3螺旋千斤頂如圖16-17 所示。起重絲杠內(nèi)徑 d5.2cm ，最大長度l 50cm 。材料為E，240MPa ，千斤頂起重量 F。若Q235鋼， =200GPas=100kNnst 3.5 ，試校核絲杠的穩(wěn)定性。圖 16-17解(1) 計

28、算絲杠可簡化為下端固定，上端自由的壓桿iId 464dAd 444l4 l4250id5.277(2) 計算 Fcr ，校核穩(wěn)定性E200 109120c0.57 24010 60.57sc ，采用拋物線公式計算臨界應(yīng)力22s 1a24010.4377crMPa 197.5MPac120FcrAcr5.2210 4197.5103 kN 419.5kN4nstFcr419.5F4.2 n st100千斤頂?shù)慕z杠穩(wěn)定。例 16-4 某液壓缸活塞桿承受軸向壓力作用。 已知活塞直徑 D 65mm ，油壓 p 1.2MPa ?；钊麠U長度 l 1250mm ，兩端視為鉸支，材料為碳鋼， p 220MPa

29、 ，E=210GPa。取解n st6 ，試設(shè)計活塞直徑d 。(1)計算 Fcr活塞桿承受的軸向壓力FD 2 p65 10321.2 106 N 3982N44活塞桿工作時不失穩(wěn)所應(yīng)具有的臨界力值為Fcrn st F63982N23892N(2) 設(shè)計活塞桿直徑因為直徑未知，無法求出活塞桿的柔度， 不能判定用怎樣的公式計算臨界力。為此，在計算時可先按歐拉公式計算活塞桿直徑， 然后再檢查是否滿足歐拉公式2 EI2Ed 4的條件 Fcr6423892Nl2l2464238921.252d321010 9m 0.0246m可取 d25mm ，然后檢查是否滿足歐拉公式的條件l4l4 1250200id2

30、5pE21010997p220106由于p ，所以用歐拉公式計算是正確的。例 16-5簡易吊車搖臂如圖16-18 所示，兩端鉸接的 AB桿由鋼管制成，材鋼，其強度許用應(yīng)力140MPa ，試校核 AB桿的穩(wěn)定性。料為 Q235圖 16-18解(1) 求 AB桿所受軸向壓力，由平衡方程M c0 ， F1500sin 302000 F Q0得F53.3KN(2) 計算iI1D 2d 21502402 mm 16mmA4411500lcos30108i16(3) 校核穩(wěn)定性據(jù)108 ，查表 16-3 得折減系數(shù)0.55 , 穩(wěn)定許用應(yīng)力st0.55 140MPa77MPaAB桿工作應(yīng)力F53.310

31、3MPa 75.4MPaA5024021064st , 所以 AB桿穩(wěn)定。例 166 由壓桿撓曲線的微分方程，導(dǎo)出一端固定，另一端鉸支壓桿的歐拉公式。解一端固定、另一端鉸支的壓桿失穩(wěn)后， 計算簡圖如圖 16-19 所示。為使桿件平衡，上端鉸支座應(yīng)有橫向反力 F 。于是撓曲線的微分方程為F crF圖 16 19d 2vM (x)Fcr vFdx 2EIEI(l x)EI設(shè) k 2F cr ，則上式可寫為EId 2vk2vFx)dx2(lEI以上微分方程的通解為vAsin kxB coskxF(l x)Fcr由此求出 v 的一階導(dǎo)數(shù)為dvFAk coskxBksin kxdxFcr壓桿的邊界條件為x0 時，vdv00,dxxl 時，v0把以上邊界條件代入 v 及 dv 中，可得dxBFl 0FcrAkF0FcrAsin klBcoskl 0這是關(guān)于 A, B和 F的齊次線性方程組。 因為 A , B 和 F不能都為零， 所以FcrFcr其系數(shù)行列式應(yīng)等于零