向量知識點題型歸納

1、1. 向向量的相關概念、2. 向量的線性運算二.向量的表示方法：1 .幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，女口AB，注意起點在前，終點在后；2 符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如a，b，c等；3 坐標表示法：在平面內建立直角坐標系，以與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i , j為基底，則平面內的r r r一一一任一向量a可表示為a xi yj x, y，稱 x, y為向量a的坐標，a = x, y叫做向量a的坐標表示。如果 向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同。三.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對該平面內的任一向量a，有且只有一對實

2、數(shù)1、2，使a= 1 e1 + 2e2。如rrrr1 r 3 r(1 )若 a (1,1)b(1, 1),c( 1,2)，則 c (答：一a -b )；2 2(2)下列向量組中，能作為平面內所有向量基底的是ir a. eu(0,0), e一(1, 2)itb. ©uu(1,2)®(5,7)ITuuITiu13C.©(3,5), e一(6,10)D.e(2, 3),eb(1,-)(答:B)；2 4uht Iuuuuiurr uuu r uuu(3) 已知AD,BE分別是 ABC的邊BC, AC上的中線，且AD a,BE b ,則BC可用向量a,b表示為2 r 4r

3、(答：一a -b )；3 3(4) 已知 ABC中，點D在BC邊上，且CD 2DB，CD r AB sAC，則r s的值是(答: 0)四.實數(shù)與向量的積：實數(shù) 與向量a的積是一個向量，記作 a，它的長度和方向規(guī)定如下：1,_,_r r當 >0時， a的方向與a的方向相同，當<0時， a的方向與a的方向相反，當=0時， a 0，注意：a工0。五.平面向量的數(shù)量積 ： uuu r uuu r1.兩個向量的夾角：對于非零向量 a，b，作OA a,OB b， AOBfrrr0稱為向量a，b的夾角，當 =0時，a，b同向，當 =時，a，b反向，當 二一時，a，b垂2直。積(或內積或點積)，記

4、作： a ? b，積是一個實數(shù)，不再是一個向量。如(1)(2)(3)(4)rrcbcos 。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量 ABC 中，I AB | 3，| AC |已知 a 2,b 5,ag)3，已知a,b是兩個非零向量，且3. b在a上的投影為| b | cos已知 | a | 3，| b |4. a ? b的幾何意義5.向量數(shù)量積的性質r b9. r a5，且a:數(shù)量積4，| BC | 5，kb,d a b，等于則 AB BC(答:- 9);r uc與d的夾角為一，則4k等于(答：1 )；(答:23)；則a與a b的夾角為(答: 30o)它是一個實數(shù)，但不一定大于0。如12

5、，則向量a在向量b上的投影為?b等于a的模|a |與b在a上的投影的積。:設兩個非零向量 a，b，其夾角為，則:(答:工)5r-rr rrr 2 r r r 2 r十 -r r 當a , b同向時，a ? b = a b，特別地，a a?a a , a V a ;當a與b反向時，a ? b =- a b ；當 為銳角時，a ? b > o,且a、b不同向，a b 0是 為銳角的必要非充分條件 ；當 為鈍角時，a ? b < 0， 且；、b不反向，a b 0是 為鈍角的必要非充分條件 ；r r-a ? b rrrr 非零向量a， b夾角 的計算公式：cos：|a?b| |a|b|。女

6、口(1已知a ( ,2 )，b (3 ,2)，如果a與b的夾角為銳角，貝9的取值范圍是 41(答：或 0且)；331(2)已知 OFQ的面積為S，且OF FQ 1，若一 S ，則OF , FQ夾角 的取值范圍是 2 2(答:(, );4 3六.向量的運算：1.幾何運算：向量加法：利用“平行四邊形法則”進行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設uuu r murAB a,BCruuu r rrb，那么向量 AC叫做a與b的和，即alurACuur r uuur向量的減法：用“三角形法則”：設 AB a, ACr r r uuu b,那么a b A

7、BuiurACuur CA ,由減向量的終點指向被減(1)化簡：uuu iuur AB BCuuir CDiuu:ABulutADuiur DCuuu:(ABuuuCD)UULT(ACUUTBD)ULTuur(答:AD ；CB ；0);uuur uuiur uuurrrr r242.)(2)若正方形ABCD的邊長為1,ABa, BCb, ACc ,則|ab c1=(答：uuuUULTuuuuuuruuu(3)若O是VABC所在平面內一點，且滿足OBOCOBOC2OA5則VABC的形狀為如(答：直角三角形)；向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。3 .分配律:下列命題中：2|a| |

8、b|2(a b)r2 aa, a b a?c a?c b?c。(bc)b a c : a (bc) (a b)c :(a b)2 | a |2(4)若D為 ABC的邊BC的中點，ABC所在平面內有一點uuP，滿足PAmuBPuuu劉0，設閹PD|則的值為(答：2);|b|20 ；若ab c b,則 a c ；2 a2 :需auuu iuur uuiu(5)若點O是厶ABC的外心，且 OA OB CO0,則 ABC的內角C為(答:120°)；2.坐標運算：設 a (xi,yi),b (x2, y2)，則:向量的加減法運算：a b(xiX2，yiY2)已知作用在點 A(1,1)的三個力u

9、ruuF1(3,4), F2(2,uu5)乓uruuuuuu(3,1)，則合力FF1F2F3的終點坐標是(答：( 9,1)實數(shù)與向量的積：標減去起點坐標。如為，y1n, y1UUT則ABX2X1, y2【1 uuuABuuuuuu,ad3 AB ,3%x2y2。r or|a|22 2 y ,a2 2x y則C、D的坐標分別是平面向量數(shù)量積：a ?b如那么若 A(x1,y1), Bg y2),向量的模：| a |Xuuu設 A(2,3), B( 1,5)，且 ACy1，即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐11(答:(1,-),( 7,9)；已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60&

10、#176;，uu r|a 3b |(答: -“13 )；兩點間的距離：若A2 2 為， ,B X2,y2 ，則 |AB|、X2 X1討2 y1 。七.向量的運算律1 交換律：abba , a?b b?a ；2結合律：a b ca b c, a b c a b c ，a ?br2b ；9(a b)r2 r r r2a2a b b。其中正確的是(答：)向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以提醒：(1)一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量,向量不能相除(相約)；(2)向量的“乘法”不滿足結合律

11、，即a(b ? c)(a ?b)c，為什么r rrrr r r r八向量平行(共線)的充要條件：a/bab(a b)2(|a | b|)x1 y2y1x2= 0。如rrr r(1)若向量a (x,1),b(4,x)，當x =時a與b共線且方向相同(答:2)；rrr rr r r rr r(2)已知 a (1,1)b(4,x), u a2b , v 2a b，且 u/v，貝U x=(答:4)；(3)uuuuuuuur設 PA (k,12), PB (4,5), PC(10,k)，貝U k=時，A,B,C共線(答:2 或 11)九向量垂直的充要條件 ：a b a b 0 |a b| |a b|x1

12、x2 y1y2 0 .特別地UULTuuurUUUuuur/ ABAC、ABAC、 土(pUULj|-UtUr)(-uuui-uutr-)。女口|ab|ac|AB|ac|uuuuuuuuu uuu3(1)已知OA (1,2), OB(3, m),若 OA OB，則 m(答：-)；2(2)以原點O和A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形OAB, B 90，則點B的坐標是(答: (1,3)或(3 , - 1)；(3)已知n (a,b),向量n(答：(b, a)或(b,a)切記兩irrm，且nur則m的坐標是十線段的定比分點：iuuruur1 定比分點的概念：設點P是直線P1 p2上異于P1、P2的

13、任意一點，若存在一個實數(shù)，使RPPP,，則uuuuuuuu叫做點P分有向線段 PP2所成的比，P點叫做有向線段 PP2的以定比為的定比分點;2 .的符號與分點 P的位置之間的關系：當P點在線段 P1 P 2上時>0；當P點在線段P1 P2的延長線上時(2) |a|b| |a b| |a|b|，特別地，當a b同向或有0|ab|a|b|< 1；當P點在線段P2 P的延長線上時0 ；若點P分有向線段uuurPP2所成的比為則點P分有向|a| |b | |a b | ;當 ab反向或有 0 |ab| |a|b|a|b|ab| ；b不共線UULU1線段F2R所成的比為一。如|a|b| |

14、a b| |a|b|（這些和實數(shù)比較類似).uuu3uuu若點P分AB所成的比為3，貝U A分BP所成的比為43 .線段的定比分點公式UULU:設R（x1,y1）、B（x2,y2）, P（x, y）分有向線段PP2所成的比為則X2*y21在ABC中,若 A ,yi ,B X2,y2 ,CX3,y3，則其重心的坐標為X3yiy32 4x X1 = y y1 X2 Xy2y線段P1 P2的中點公式y(tǒng)y1 y2。在使用定比分點的坐標公式時，應明確2(X, y),UUUPG UUU (PA 3UUUPBUUU PC)G為ABC的重心，特別地ULU UUU PA PBUUU PCr0P為ABC的重心;U

15、JU PAUUU UUU PB PBUUUPCUJU PCUUTPAP為ABC的垂心；向量UUU(-AUTk| AB|UULT-4)( |AC|0）所在直線過 ABC的內心（是BAC的角平分線所在直線）；ULU UUU UUUUUUlUUUU若/ ABC的三邊的中點分別為則/ ABC的重心的坐標為(2, 1)、(-3, 4)、(-1, -1)PC且(4)向量 PA、PB（答：（暑）；PC中三終點 A B、C共線存在實數(shù)使得PAPB1 .如（X1,yJ、（X2,y2）的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標。在具體計算時應根據(jù)題設條件,靈活地確定起點,平面直角坐標系中,O為坐標原點，已知兩點A（3

16、,1）, B（ 1,3）,若點C滿足OCOA2 OB,其中分點和終點，并根據(jù)這些點確定對應的定比(1)若 M (-3, -2), N(6 , -1)，且MP如13 MN,則點P的坐標為321,則點C的軌跡是(答:(& 7)；(2)已知 A(a,0), B(3,2a），直線y1ax2UlULTUUIT與線段AB交于M，且AM 2MB ,a等于(答:2或一4）（答：直線AB）12、向量與三角形外心.三角形外接圓的圓心重心三角形三條中線的交點,簡稱外心.是三角形三邊中垂線的交點（下左圖）卜一平移公式：如果點P(x, y)按向量 a h,k 平移至P(x , y )，則a = pp ,x h

17、；曲線 f (x, y) y k按向量a h,k平移得曲線f（xh, y k） 0 .注意：（1）函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯(lián)系(2)向量平移具有坐標不變性，可別忘了啊!(1)按向量a把（2, 3）平移到（1,2），則按向量a把點（7,2）平移到點(答:(8,3);(2)函數(shù)y sin 2x的圖象按向量a平移后，所得函數(shù)的解析式是y cos2x 1，則a(答:（-,1）412、向量中一些常用的結論 ：（1） 一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用;，叫做三角形的重心.2倍.（上右圖）掌握重心到頂點的距離是它到對邊中點距離的三、垂心三角形三條高的交點，稱為三角形的垂心.（

18、下左圖）四、內心三角形內切圓的圓心，簡稱為內心.是三角形三內角平分線的交點 .三角形內角平分線性質定理：三角形內角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例 題型一：共線定理應用例一：平面向量a, b共線的充要條件是（R, b a D存在不全為零的實數(shù))A.（上右圖）a, b方向相 同b.a, b兩向量中至少有一個為零向量C.存在變式一：對于非零向量a,b，“ a bA.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件0 ”是“a b "的（）A.若 a b a _ b 則 a bB.c.若abb，則存在實數(shù)，使得ba d若存在實數(shù)，使得ba，則

19、aba b例二：設兩個非零向量ei與e2，不共線,(1)如果 AB ei e?, BC3q 2e2,CD8q 2色,求證：A,C,D三點共線;(2)如果 ABe?, BC2q 3e2，CD2q ke2,且A,C,D三點共線，求實數(shù)k的值變式一：設e與e2兩個不共線向量，AB 2© ke2,CB e 3e2,CD 2e1 62,若三點a,b,d共線，求實數(shù)k的值。變式二：已知向量a,b，且AB a 2b,BC 5a 2b,CD 7a 2b,則一定共線的三點是（）,B,D ,B,C ,C,D ,C,D題型二：線段定比分點的向量形式在向量線性表示中的應用例一：設P是三角形ABC所在平面內的

20、一點，2BP BCBA,則（)A. 0PA PBB. 0 PC PAC.0 PBPC D.0PCPA PB變式一：已知O是三角形ABC所在平面內一點，D為BC邊的中點，且02OAOBOC ,那么()a. A0 OD一十一B. A02OD C. A0 3OD D. 2A0 OD變式二：在平行四邊形 ABCD中AB a , AD b , AN3NC ,M為BC的中點，則MN（用a,b表示）b,若點D滿足BD 2DC ,則AD ()例二：在三角形ABC中，AB c， ACA2 /1 -5 p2,p2 1 1 2A.bC, B.cb, C.bC, D.bc,33333333變式一：（高考題）在三角形A

21、BC中，點D在邊AB上, CD平分角ACB,CB a，CA1, b 2,則 CD()A1-2 /2 -1 ,'3 -A. ab, B.ab, C.a33335變式二:設D,E,F分別是三角形4 /4 ”3b, D.a-b,555ABC的邊BC,CA,AB上的點，且DC2BD, CE 2EA, AF2FB,則AD BE, CF 與 BC()A.反向平行 B. 同向平行 C.互相垂直D.既不平行也不垂直BDb,則 AF ( )A.1 a41b, B.22 a3題型三:三點共線定理及其應用例一：點P在AB上，求證：OPOAOB且變式四：在平行四邊形ABCD中, AC與BD交于點0,E變式：在

22、三角形 ABC中，點0是BC的中點,AC nAN,則 m+n=例二：在平行四邊形 ABCD中, E,F分別是A. 2a 上b, b. ?a555變式：在三角形 ABC中，點的值。題型四：向量與三角形四心、 內心-b, C.5是線段OD的中點，AE的延長線與cd交于點F,若AC a,1 1 -1 -1 2 b,C.ab, D.ab,32433=11 (,R,)過點0的直線分別交直線 AB、AC于不同的兩點 M和N,若ABBC,CD的中點，DE與AF交于點H,設 AB a, BC b,則 AHa b, d.5M是BC的中點，點N是邊AC上一點且AN=2NC,AM與 BN相交于點P,若 APmAM,

23、PM ,求例一：O是 ABC所在平面內一定點，動點P滿足0PP的軌跡一定通過ABC的（ ）A.外心 B.內心變式一：已知非零向量AB與ac滿足（ABABACACC.A.等邊三角形B. 直角三角形 C.等腰非等邊三角形變式二:二、重心OA重心BCD.AB PCBC PACA PB 0例一：O是變式一：在變式二：在三垂心:ABC 內一點，OC OAABC中，G為平面上任意一點,ABC中，G為平面上任意一點,OB證明:證明:0 ,則為GOGO（為D. 垂心°畢ABAC),AC），則點ACACABC 為（）三邊均不相等的三角形P為 ABC的內心ABC的(GA(AB例一：求證：在 abc中，O

24、A OB OB OC OC OA（）A.外心 B.內心C.重心D.垂心GBAC)GC )ABC的重心O為 ABC的重心O為 ABC的垂心變式一：0是平面上一定點， A, B, C是平面上不共線的三個點，動點P滿足OP 0AABAB COSBACAC COSC)，R,則點p的軌跡一定通過ABC 的()AE BF A 900 AB 1 點 P,Q 滿足 AP AB, AQ (1 )AC, R,若 BQ CP 2,則 =()AB:° 上 D:2333A.外心 B.內心 C. 重心D.垂心四外心例三：已知向量a, b,c滿足a b c 02 b1變式一:在厶ABC中，若例一：若0是 ABC的

25、外心，H是變式一：已知點0, N, P在ABC所在平面內，且 0A0A0C0B0B0C,0 NAABC的垂心，則 0H)|AB 3,|bc|4, AC6,則 AB BC BC CA CA AB變式二:已知向量 a, b, c滿足a0,且aPA PB PB PCPC PA，則0, N, P依次是 ABC的(NB NC，硝1,b 2,則變式三:已知向量 a, b, c滿足a題型八：平面向量的夾角0,且 G b)c,a b,若 a1,則| a b | cA.重心、外心、垂心C.外心、重心、垂心題型五：向量的坐標運算B.重心、外心、內心D.夕卜心、重心、內心例一：已知向量a (1,. 3),b(2,0

26、),則a與b的夾角是例一：已知 A(-2,4),B(3,-1) , C(-3 , -4)，且 CM3CA,CN2CB ,試求點m,n和MN的坐標例二：已知a, b是非零向量且滿足(a 2b)a,(b 2a) b,則a與b的夾角是變式一:已知向量a, b, c滿足變式一：已知平面向量a(2 1),b(1，¥),向量 x3)b, yka tb,其中t和k為不同時為零的實數(shù)，(1 )若X y，求此時k和t滿足的函數(shù)關系式 k=f(t);(2) 若x y，求此時k和t滿足的函數(shù)關系式 k=g(t).*to-4r變式二：平面內給定3個向量a (3,2), b ( 1,2), c (4,1) ,

27、回答下列問題。(1)求3a b 2c ；(2)求滿足a mbnc 的實數(shù) m,n;(3)若(a kc) /( 2ba)，求實數(shù)k；( 4)設d (x, y)滿足(d c) /( a b)且 d c 1，求 d。題型六：向量平行(共線)、垂直充要條件的坐標表示例一：已知兩個向量 a (1.2),b( 3,2),當實數(shù)k取何值時，向量 ka 2b與2a 4b平行設向量a,b滿足|a|= 2,5 , b=( 2,1 )，且a與b反向，則例二：已知向量0A (k,12),0B(4,5),0C(k,10)且A,B,C三點共線，則k=()3223A: B:C:D:2332變式一:3:已知 a ( sin2

28、),b(cos1口,),且 a p3(ac,b),q (b a,c a),2p q6 3 2 3ABACDE CB DE CB AP2 PMPA(PB PC)44 4 4 AAP AC 23A0 AC 2 ABAFif293 3 9變式一:a坐標為變式二:變式三:變式四:已知a, b是非零向量且滿足1,b 2,cia lbb,ac,則a與b的夾角是b,則a與 a b的夾角是若向量a與b不共線，a b(高)若向量與滿足夾角的取值范圍是例二：已知忡1, a與b的夾角為變式一：設兩個向量 e, e2，滿足ei鈍角，求實數(shù)t的范圍。變式二:P1 : aP4: a0,且c1,2, e2已知a與b均為單位

29、向量，其夾角為平面向量的模長例一：已知|a ib題型九:(aa)b,則a與c的夾角是a b1,且以向量 與為鄰邊的平行四邊形的面積為o45°，求使向量a b與1, e與e2的夾角為一，3，有下列4個命題:a b的夾角為銳角的若向量2te1Ir7e2 與 e15,則與的的取值范圍。te2的夾角為)；P2 : ab2T肓，;P3 : a%)；(2 ,;其中的真命題是(變式一：已知向量a與b滿足5，向量a與b的夾角為一，求32,|7 勺1,)A.P1, P4 B.P1, P3 C.P2, P3D.P2, P42，則 a =變式二：已知向量a與b滿足H1,2, a與b的夾角為一，則a3變式三：在厶ABC中，已知AB 3, BC 4, ABC 60°,求AC.例二：已知向量5與b的夾角為 ,a 3, a b J13,則冃=變式一：(高)已知向