列一元二次方程解應用題經(jīng)典題型詳解

1、列一元二次方程解應用題經(jīng)典題型剖析學習了一元二次方程的解法以后，就會經(jīng)常遇到解決與一元二次方程有關(guān)的生活中的應用問題，即列一元二次方程解應用題，不少同學遇到這類問題總是左右為難，難以下筆，事實上，同學們只要能認真地閱讀題目，分析題意，并能學會分解題目，各個擊破，從而找到已知的條件和未知問題，必要時可以通過畫圖、列表等方法來幫助我們理順已知與未知之間的關(guān)系，找到一個或幾個相等的式子，從而列出方程求解，同時還要及時地檢驗答案的正確性并作答.現(xiàn)就列一元二次方程解應用題中遇到的常見的十大典型題目，舉例說明.一、增長率問題例1恒利商廈九月份的銷售額為200萬元，十月份的銷售額下降了20%，商廈從十一月份

2、起加強管理，改善經(jīng)營，使銷售額穩(wěn)步上升，十二月份的銷售額達到了193.6萬元，求這兩個月的平均增長率.解設這兩個月的平均增長率是x.，則根據(jù)題意，得200(120%)(1+x)2193.6，即(1+x)21.21，解這個方程，得x10.1，x22.1（舍去）.答這兩個月的平均增長率是10%.說明這是一道正增長率問題，對于正的增長率問題，在弄清楚增長的次數(shù)和問題中每一個數(shù)據(jù)的意義，即可利用公式m(1+x)2n求解，其中mn.對于負的增長率問題，若經(jīng)過兩次相等下降后，則有公式m(1x)2n即可求解，其中mn.二、商品定價例2益群精品店以每件21元的價格購進一批商品，該商品可以自行定價，若每件商品售

3、價a元，則可賣出（35010a）件，但物價局限定每件商品的利潤不得超過20%，商店計劃要盈利400元，需要進貨多少件？每件商品應定價多少？解根據(jù)題意，得(a21)(35010a)400，整理，得a256a+7750，解這個方程，得a125，a231.因為21×(1+20%)25.2，所以a2=31不合題意，舍去.所以35010a35010×25100（件）.答需要進貨100件，每件商品應定價25元.說明商品的定價問題是商品交易中的重要問題，也是各種考試的熱點.三、儲蓄問題例3王紅梅同學將1000元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并將其中的

4、500元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時存款的年利率已下調(diào)到第一次存款時年利率的90%，這樣到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款時的年利率.（假設不計利息稅）解設第一次存款時的年利率為x.則根據(jù)題意，得1000(1+x)500(1+0.9x)530.整理，得90x2+145x30.解這個方程，得x10.02042.04%，x21.63.由于存款利率不能為負數(shù)，所以將x21.63舍去.答第一次存款的年利率約是2.04%.說明這里是按教育儲蓄求解的，應注意不計利息稅.四、趣味問題例4一個醉漢拿著一根竹竿進城，橫著怎么也拿不進去，量竹竿長比城門寬4米，旁邊一個醉漢嘲笑他，

5、你沒看城門高嗎，豎著拿就可以進去啦，結(jié)果豎著比城門高2米，二人沒辦法，只好請教聰明人，聰明人教他們二人沿著門的對角斜著拿，二人一試，不多不少剛好進城，你知道竹竿有多長嗎？解設渠道的深度為xm，那么渠底寬為(x+0.1)m，上口寬為(x+0.1+1.4)m.則根據(jù)題意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x1.8，整理，得x2+0.8x1.80.解這個方程，得x11.8（舍去），x21.所以x+1.4+0.11+1.4+0.12.5.答渠道的上口寬2.5m，渠深1m.說明求解本題開始時好象無從下筆，但只要能仔細地閱讀和口味，就能從中找到等量關(guān)系，列出方程求解.五、古詩問題例5讀詩詞解

6、題：（通過列方程式，算出周瑜去世時的年齡）.大江東去浪淘盡，千古風流數(shù)人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)；十位恰小個位三，個位平方與壽符；哪位學子算得快，多少年華屬周瑜？解設周瑜逝世時的年齡的個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x3.則根據(jù)題意，得x210(x3)+x，即x2-11x+300，解這個方程，得x5或x6.當x5時，周瑜的年齡25歲，非而立之年，不合題意，舍去；當x6時，周瑜年齡為36歲，完全符合題意.答周瑜去世的年齡為36歲.說明本題雖然是一道古詩問題，但它涉及到數(shù)字和年齡問題，通過求解同學們應從中認真口味.六、象棋比賽例6象棋比賽中，每個選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記2分，輸

7、者記0分.如果平局，兩個選手各記1分，領(lǐng)司有四個同學統(tǒng)計了中全部選 手的得分總數(shù)，分別是1979，1980，1984，1985.經(jīng)核實，有一位同學統(tǒng)計無誤.試計算這次比賽共有多少個選手參加.解設共有n個選手參加比賽，每個選手都要與(n1)個選手比賽一局，共計n(n1)局，但兩個選手的對局從每個選手的角度各自統(tǒng)計了一次，因此實際比賽總局數(shù)應為n(n1)局.由于每局共計2分，所以全部選手得分總共為n(n1)分.顯然(n1)與n為相鄰的自然數(shù)，容易驗證，相鄰兩自然數(shù)乘積的末位數(shù)字只能是0，2，6，故總分不可能是1979，1984，1985，因此總分只能是1980，于是由n(n1)1980，得n2n1

8、9800，解得n145，n244（舍去）.答參加比賽的選手共有45人.說明類似于本題中的象棋比賽的其它體育比賽或互贈賀年片等問題，都可以仿照些方法求解.七、情景對話例7春秋旅行社為吸引市民組團去天水灣風景區(qū)旅游，推出了如圖1對話中收費標準.某單位組織員工去天水灣風景區(qū)旅游，共支付給春秋旅行社旅游費用27000元.請問該單位這次共有多少員工去天水灣風景區(qū)旅游？解設該單位這次共有x名員工去天水灣風景區(qū)旅游.因為1000×252500027000，所以員工人數(shù)一定超過25人.則根據(jù)題意，得100020(x25)x27000.整理，得x275x+13500，解這個方程，得x145，x230.

9、當x45時，100020(x25)600700，故舍去x1；當x230時，100020(x25)900700，符合題意.答：該單位這次共有30名員工去天水灣風景區(qū)旅游.圖1如果人數(shù)超過25人，每增加1人，人均旅游費用降低20元，但人均旅游費用不得低于700元.如果人數(shù)不超過25人，人均旅游費用為1000元.說明求解本題要時刻注意對話框中的數(shù)量關(guān)系，求得的解還要注意分類討論，從中找出符合題意的結(jié)論.八、等積變形例8將一塊長18米，寬15米的矩形荒地修建成一個花園（陰影部分）所占的面積為原來荒地面積的三分之二.（精確到0.1m）（1）設計方案1（如圖2）花園中修兩條互相垂直且寬度相等的小路.（2）

10、設計方案2（如圖3）花園中每個角的扇形都相同.以上兩種方案是否都能符合條件?若能，請計算出圖2中的小路的寬和圖3中扇形的半徑；若不能符合條件，請說明理由.解都能.（1）設小路寬為x，則18x+16xx2×18×15，即x234x+1800，解這個方程，得x，即x6.6.（2）設扇形半徑為r，則3.14r2×18×15，即r257.32，所以r7.6.圖2圖4圖3說明等積變形一般都是涉及的是常見圖形的體積，面積公式；其原則是形變積不變；或形變積也變，但重量不變，等等.九、動態(tài)幾何問題例9如圖4所示，在ABC中，C90°，AC6cm，BC8cm，點

11、P從點A出發(fā)沿邊AC向點C以1cm/s的速度移動，點Q從C點出發(fā)沿CB邊向點B以2cm/s的速度移動.（1）如果P、Q同時出發(fā)，幾秒鐘后，可使PCQ的面積為8平方厘米？（2）點P、Q在移動過程中，是否存在某一時刻，使得PCQ的面積等于ABC的面積的一半.若存在，求出運動的時間；若不存在，說明理由.解因為C90°，所以AB10（cm）.（1）設xs后，可使PCQ的面積為8cm2，所以 APxcm，PC(6x)cm，CQ2xcm.則根據(jù)題意，得·(6x)·2x8.整理，得x26x+80，解這個方程，得x12，x24.所以P、Q同時出發(fā)，2s或4s后可使PCQ的面積為8

12、cm2.（2）設點P出發(fā)x秒后，PCQ的面積等于ABC面積的一半.則根據(jù)題意，得(6x)·2x××6×8.整理，得x26x+120.由于此方程沒有實數(shù)根，所以不存在使PCQ的面積等于ABC面積一半的時刻.說明本題雖然是一道動態(tài)型應用題，但它又要運用到行程的知識，求解時必須依據(jù)路程速度×時間.十、梯子問題例10一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端距墻角6m.（1）若梯子的頂端下滑1m，求梯子的底端水平滑動多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑動1m，梯子的頂端滑動多少米？（3）如果梯子頂端向下滑動的距離等于底端向外滑動的距離，那么滑動的距離是

13、多少米？解依題意，梯子的頂端距墻角8（m）.（1）若梯子頂端下滑1m，則頂端距地面7m.設梯子底端滑動xm.則根據(jù)勾股定理，列方程72+(6+x)2102，整理，得x2+12x150，解這個方程，得x11.14，x213.14（舍去），所以梯子頂端下滑1m，底端水平滑動約1.14m.（2）當梯子底端水平向外滑動1m時，設梯子頂端向下滑動xm.則根據(jù)勾股定理，列方程(8x)2+(6+1)2100.整理，得x216x+130.解這個方程，得x10.86，x215.14（舍去）.所以若梯子底端水平向外滑動1m，則頂端下滑約0.86m.（3）設梯子頂端向下滑動xm時，底端向外也滑動xm.則根據(jù)勾股定理

14、，列方程 (8x)2+(6+x)2102，整理，得2x24x0，解這個方程，得x10（舍去），x22.所以梯子頂端向下滑動2m時，底端向外也滑動2m.說明求解時應注意無論梯子沿墻如何上下滑動，梯子始終與墻上、地面構(gòu)成直角三角形.十一、航海問題圖5例11如圖5所示，我海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目標B，在B的正東方向200海里處有一重要目標C，小島D恰好位于AC的中點，島上有一補給碼頭；小島F位于BC上且恰好處于小島D的正南方向，一艘軍艦從A出發(fā)，經(jīng)B到C勻速巡航一艘補給船同時從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送往軍艦.（1）小島D和小島F相距多少海里？（2）

15、已知軍艦的速度是補給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補給船相遇于E處，那么相遇時補給船航行了多少海里？（精確到0.1海里）解（1）F位于D的正南方向，則DFBC.因為ABBC，D為AC的中點，所以DFAB100海里，所以，小島D與小島F相距100海里.（2）設相遇時補給船航行了x海里，那么DEx海里，AB+BE2x海里，EFAB+BC(AB+BE)CF(3002x)海里.在RtDEF中，根據(jù)勾股定理可得方程x21002+(3002x)2，整理，得3x21200x+1000000.解這個方程，得x1200118.4，x2200+（不合題意，舍去）.所以，相遇時補給船大約航行了118.4海里.說明

16、求解本題時，一定要認真地分析題意，及時發(fā)現(xiàn)題目中的等量關(guān)系，并能從圖形中尋找直角三角形，以便正確運用勾股定理布列一元二次方程.十二、圖表信息例12如圖6所示，正方形ABCD的邊長為12，劃分成12×12個小正方形格，將邊長為n（n為整數(shù)，且2n11）的黑白兩色正方形紙片按圖中的方式，黑白相間地擺放，第一張n×n的紙片正好蓋住正方形ABCD左上角的n×n個小正方形格，第二張紙片蓋住第一張紙片的部分恰好為(n1)×(n1)個小正方形.如此擺放下去，直到紙片蓋住正方形ABCD的右下角為止.請你認真觀察思考后回答下列問題：（1）由于正方形紙片邊長n的取值不同，完

17、成擺放時所使用正方形紙片的張數(shù)也不同，請?zhí)顚懴卤恚杭埰倪呴Ln23456使用的紙片張數(shù)（2）設正方形ABCD被紙片蓋住的面積（重合部分只計一次）為S1，未被蓋住的面積為S2.當n2時，求S1S2的值；是否存在使得S1S2的n值？若存在，請求出來；若不存在，請說明理由.圖6解（1）依題意可依次填表為：11、10、9、8、7.（2）S1n2+(12n)n2(n1)2n2+25n12.當n2時，S122+25×21234，S212×1234110.所以S1S2341101755.若S1S2，則有n2+25n12×122，即n225n+840，解這個方程，得n14，n22

18、1（舍去）.所以當n4時，S1S2.所以這樣的n值是存在的.說明求解本題時要通過閱讀題設條件及提供的圖表，及時挖掘其中的隱含條件，對于求解第（3）小題，可以先假定問題的存在，進而構(gòu)造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有實數(shù)根來加以判斷.十三、探索在在問題例13將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形.（1）要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少?（2）兩個正方形的面積之和可能等于12cm2嗎? 若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由.解（1）設剪成兩段后其中一段為xcm，則另一段為（20x）cm.則根據(jù)題意，

19、得+17，解得x116，x24，當x16時，20x4，當x4時，20x16，答這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是4cm和16cm.（2）不能.理由是：不妨設剪成兩段后其中一段為ycm，則另一段為（20y）cm.則由題意得+12，整理，得y220y+1040，移項并配方，得(y10)240，所以此方程無解，即不能剪成兩段使得面積和為12cm2.說明本題的第（2）小問也可以運用求根公式中的b24ac來判定.若b24ac0，方程有兩個實數(shù)根，若b24ac0，方程沒有實數(shù)根，本題中的b24ac160即無解.十四、平分幾何圖形的周長與面積問題例14如圖7，在等腰梯形ABCD中，ABDC5，AD4，BC10.

20、點E在下底邊BC上，點F在腰AB上.（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長，設BE長為x，試用含x的代數(shù)式表示BEF的面積；（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由；圖7KG（3）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成12的兩部分？若存在，求此時BE的長；若不存在，請說明理由.解（1）由已知條件得，梯形周長為12，高4，面積為28.過點F作FGBC于G，過點A作AKBC于K.則可得，F(xiàn)G×4，所以SBEFBE·FGx2+x（7x10）.（2）存在.由（1）得x2+x14，解這個方程，得x17

21、，x25（不合題意，舍去），所以存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長與面積同時平分，此時BE7.（3）不存在.假設存在，顯然有SBEFS多邊形AFECD 12，即(BE+BF)(AF+AD+DC)12.則有x2+x，整理，得3x224x+700，此時的求根公式中的b24ac5768400，所以不存在這樣的實數(shù)x.即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成12的兩部分.說明求解本題時應注意：一是要能正確確定x的取值范圍；二是在求得x25時，并不屬于7x10，應及時地舍去；三是處理第（3）個問題時的實質(zhì)是利用一元二次方程來探索問題的存在性.十五、利用圖形探索規(guī)律例15在如圖8中，每個正

22、方形有邊長為1 的小正方形組成：圖8（1）觀察圖形，請?zhí)顚懴铝斜砀瘢赫叫芜呴L1357n（奇數(shù)）黑色小正方形個數(shù)正方形邊長2468n（偶數(shù)）黑色小正方形個數(shù)（2）在邊長為n（n1）的正方形中，設黑色小正方形的個數(shù)為P1，白色小正方形的個數(shù)為P2，問是否存在偶數(shù)n，使P25P1？若存在，請寫出n的值；若不存在，請說明理由.解（1）觀察分析圖案可知正方形的邊長為1、3、5、7、n 時，黑色正方形的個數(shù)為1、5、9、13、2n1（奇數(shù)）；正方形的邊長為2、4、6、8、n 時，黑色正方形的個數(shù)為4、8、12、16、2n（偶數(shù)）.（2）由（1）可知n為偶數(shù)時P12n，所以P2n22n.根據(jù)題意，得n22

23、n5×2n，即n212n0，解得n112，n20（不合題意，舍去）.所以存在偶數(shù)n12，使得P25P1.說明本題的第（2）小問是屬于存在性問題，求解時，可以先假設結(jié)論存在，進而從中找到數(shù)量關(guān)系，使問題獲解.綜上所言，列一元二次方程解應用題是列一元一次方程、二元一次方程組解應用題的延續(xù)和發(fā)展，列方程解應用題就是先把實際問題抽象為方程模型，然后通過解方程獲得對實際問題的解決.列一元二次方程解應用題的關(guān)鍵是：找出未知量與已知量之間的聯(lián)系，從而將實際問題轉(zhuǎn)化為方程模型，要善于將普通語言轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，在審題時，要特別注意關(guān)鍵詞語，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超過、剩余、增加、減少”等等，

24、此外，還要掌握一些常用的公式或特殊的等量關(guān)系，如特殊圖形的面積公式、行程問題、工程問題、增長率問題中的一些特殊關(guān)系等等.列一元二次方程解應用題練習一、選擇題1、足球比賽的計分規(guī)則為：勝一場得3分，負一場得0分，平一場得1分，一個隊踢了14場比賽，負5場共得19分，那么這個隊勝了（ ）3場； 4場； 5場； 6場。2、原價元的某商品經(jīng)過兩次降價后，現(xiàn)售價元，如果每次降價的百分比都為，那么下列各式中正確的是（ ） ； ； ； 。3、某廠去年3月份的產(chǎn)值為50萬元，5月份上升到72萬元，這兩個月平均每月增長的百分率是多少？若設平均每月增長的百分率是，則列出的方程是（）（A）（B）（C）（D）4、用一

25、塊長80、寬60的矩形薄鋼片，在四個角上截去四個相同的邊長為的小正方形，然后做成底面積為15002的沒有蓋的長方體盒子，為求出，根據(jù)題意列方程并整理后得（）（A） （B）（C） （D）二、填空題1、兩個連續(xù)自然數(shù)的積是56，那么這兩個自然數(shù)的和是_。2、直角三角形兩條直角邊長分別為，斜邊長為，那么=_。3、2003年10月15日，上證指數(shù)為1608點，到2003年10月17日上升為1622點，若平均每日指數(shù)增長率為，則可列出方程為_。4、某廠計劃在兩年內(nèi)把產(chǎn)量提高44%，如果每年與上一年的增長率相同，那么這增長率是_。5、 梯形的下底比上底長3，高比上底短1，面積為26，如果設上底為，那么可列

26、出的方程_。6、某小組每人給他人送一張照片，全組共送了90張，那么這小組共有_人。7、把棱長為30mm的正方體鋼材鍛壓成半徑為mm，高為100mm的圓柱形零件毛坯，那么可列出的方程是_。8、一個兩位數(shù)，它的數(shù)值等于它的個位上的數(shù)字的平方的3倍，它的十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大2，若設個位數(shù)字為，列出求這個兩位數(shù)的方程_。三、簡答題1、有一個兩位數(shù)，它十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字的和是8。如把十位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字調(diào)換后，所得的兩位數(shù)乘以原來的兩位數(shù)，就得到1855。求原來的兩位數(shù)。2、益群精品店以每件21元的價格購進一批商品，該商品可以自行定價，若每件商品售價a元，則可賣出（35010a）件

27、，但物價局限定每件商品的利潤不得超過20%，商店計劃要盈利400元，需要進貨多少件？每件商品應定價多少？3、王紅梅同學將1000元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并將其中的500元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時存款的年利率已下調(diào)到第一次存款時年利率的90%，這樣到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款時的年利率.（假設不計利息稅）4、某商廈九月份的銷售額為200萬元，十月份的銷售額下降了20%，商廈從十一月份起加強管理，改善經(jīng)營，使銷售額穩(wěn)步上升，十二月份的銷售額達到了193.6萬元，求這兩個月的平均增長率.5、將一塊長18米，寬15米的矩形荒地修建成一個花園（陰影部分）所占的面積為原來荒地面積的三分之二.（精確到0.1m）（1）設計方案1（如圖1）花園中修兩條互相垂直且寬度相等的小路.（2）設計方案2（如圖2）花園中每個角的扇形都相同.以上兩種方案是否都能符合條件?若能，請計算出圖2中的小路的寬和圖3中扇形的半徑；若不能符合條件，請說明理由.圖1圖2能力提升如圖3所示，在ABC中，C90°，AC6cm，BC8cm，點P從點A出發(fā)沿邊AC向點C以1cm/s的速度移動，點Q從C點出發(fā)沿CB邊向點B以2cm/s的速度移動.（1）如果P、Q同時出發(fā)，幾秒鐘后