常見分布的數(shù)學(xué)期望和方差實用教案

1、1一、常見離散型分布的數(shù)學(xué)一、常見離散型分布的數(shù)學(xué)(shxu)(shxu)期期望和方差望和方差XP01p 1p.1)1(0)(EpppX 1. 0-1分布(fnb)，pppX 2221)1(0)(E22)(E)(E)(DXXX . )1(2pppp 第1頁/共23頁第一頁，共24頁。2)1(pq 2. 2. 二項分布二項分布 nkknkknqpkX0C)(E nkknkqpknknk1)!( ! nkknkqpknknnp1)1(11)!()!1()!1(1 ki令令 101)!1( !)!1(niiniqpininnp1)( nqpnp.np 第2頁/共23頁第二頁，共24頁。3 nkknk

2、knqpkX022C)(E nkknkqpknknknp11)!()!1()!1( nkknknkknkqpknknqpknknknp1111)!()!1()!1()!()!1()!1() 1(， 1)1( pnnp所以(suy). )1()()1()(D2pnpnppnpnpX )1(pq 2. 2. 二項分布二項分布第3頁/共23頁第三頁，共24頁。4 下面利用期望和方差的性質(zhì)(xngzh)重新求二項分布的數(shù)學(xué)期望和方差.設(shè) X B ( n, p )，X表示n重伯努利試驗(shyn)中的成功次數(shù).iXP10pp 1設(shè)而 X= X1+X2+Xn ，i=1,2,n則,)(EpXi 所以(suy

3、)(E)(E1 niiXX niiX1)(E.np , )1()(DppXi Xi 相互獨立，)(D)(D1 niiXX niiX1)(D. )1(pnp 第4頁/共23頁第四頁，共24頁。5)0( 0e!)(EkkkkX 1e)!1(kkk 0!eiii . ee 由無窮(wqing)級數(shù)知識知， ,!0e kkxkx),( x3. 3. 泊松分布泊松分布(fnb)(fnb)第5頁/共23頁第五頁，共24頁。6)0( 3. 3. 泊松分布泊松分布(fnb)(fnb) 022e!)(kkkkXE 1e)!1(kkkk 12e)!1(e)!1()1(kkkkkkk ， 2所以(suy).)(22

4、 XD第6頁/共23頁第六頁，共24頁。7由無窮級數(shù)(j sh)知識知， ，xxkk 1101 x逐項求導(dǎo)， ，211)1(1xkxkk 1 x，令令pqx 1)10( q，有有22111)1(1pqkqkk 所以(suy) 11)(EkkpkqX 11kkkqp21pp .1p 4. 4. 幾何幾何(j h)(j h)分布分布第7頁/共23頁第七頁，共24頁。84. 4. 幾何幾何(j h)(j h)分布分布 1122)(EkkpqkX 1121)1(kkkkpkqpqkkppqq1)1(23 22ppq ，21pq 所以(suy)2pq .12pp 2211)(DppqX 第8頁/共23頁

5、第八頁，共24頁。9，xxkk 1101 x逐項求導(dǎo)， ，211)1(1xkxkk 1 x再逐項求導(dǎo)， ，322)1(2)1(xxkkkk .)1(2)1(322qqkkkk ，令令qx 1 x第9頁/共23頁第九頁，共24頁。10例1A A. . npX2)12(E B B. . 14)12(E npX C C. . 1)1(4)12(D pnpX D D. . )1(4)12(DpnpX 解選(D).設(shè)X服從(fcng)二項分布B(n,p),則有 ( ).設(shè)設(shè)隨隨機機變變量量YX,相相互互獨獨立立且且分分布布相相同同，則則YX 與與X2的的關(guān)關(guān)系系是是則則( ( ) ). . 解選(B).

6、A.有相同的分布B.數(shù)學(xué)期望(qwng)相等 C.方差相等D.以上均不成立 例2第10頁/共23頁第十頁，共24頁。11解例3 設(shè)事件A在每次試驗中出現(xiàn)(chxin)的概率為0.5，試?yán)们斜妊┓虿坏仁焦烙?000次獨立試驗中，事件A出現(xiàn)(chxin)450到550之間的概率 設(shè)X表示(biosh)事件表示(biosh)在1000次獨立試驗中出現(xiàn)的次數(shù)，則, )5 . 0,1000( BX，500501000E .X25050501000D .X由切比雪夫不等式， 550450P X50|500|P X250D1X .90. 025002501 第11頁/共23頁第十一頁，共24頁。12二、常

7、見二、常見(chn jin)(chn jin)連續(xù)型分布的數(shù)連續(xù)型分布的數(shù)學(xué)期望和方差學(xué)期望和方差1. 均勻分布 其其它它 , 0 , 1)(bxaabxf xxxfXd)()(E baxabxd12122abab .2ba 第12頁/共23頁第十二頁，共24頁。13二、常見連續(xù)型分布二、常見連續(xù)型分布(fnb)(fnb)的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望和方差和方差1. 均勻分布xxfxXd)()(E22 3133abab ，322aabb 22)(E)(E)(DXXX .12)(2ab xabxbad12 第13頁/共23頁第十三頁，共24頁。142. 2. 指數(shù)分指數(shù)分布布 xxxfXd)()(E 0

8、 ,00,e)(xxxfx 0dexxx 0dexx 0e1x 00deexxxx .1 第14頁/共23頁第十四頁，共24頁。152. 2. 指數(shù)分指數(shù)分布布 xxfxXd)()(E22 02dexxx 02dexx 002de2exxxxx .22 22)(E)(E)(DXXX .12 第15頁/共23頁第十五頁，共24頁。163. 3. 正態(tài)分正態(tài)分布布 xxxfXd)()(E xxfx e21)(222)(， xxxde21222)( tttde) (2122 tttttde21de22222 . tx 令令)0( 奇函數(shù)第16頁/共23頁第十六頁，共24頁。173. 3. 正態(tài)分布正

9、態(tài)分布2)(EE)(DXXX xxxde)(21222)(2 tx 令令 tttde22222 222de2tt ttttde2e2222222 .2 第17頁/共23頁第十七頁，共24頁。分布概率分布或概率密度 數(shù)學(xué)期望 方差 0-1分布，kkqpkXP 11 , 0 k)1, 10(pqp ppq二項分布knkknqpCkXP nk, 2 , 1 , 0 )1, 10(pqp npnpq均勻分布 else , 0 ,1)(bxaabxf2ba 12)(2ab 指數(shù)分布 else , 0 0 ,e)(xxfx )0( 121 正態(tài)分布，222)(e21)( xxf x)0( 2 泊松分布，

10、e!kkXPk, 2 , 1 , 0 k)0( 幾幾種種(j (j zhzhn)n)常常見見分分布布的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望與與方方差差第18頁/共23頁第十八頁，共24頁。19設(shè)設(shè)),(211 NX，),(222 NY，且且YX,相相互互獨獨立立，則則 )(E XY ， )(D XY . . 例1解,)(E21 XY22)(E)(E)(DXYXYXY .)(222122222121 22122)()E()(D)E()(D YYXX第19頁/共23頁第十九頁，共24頁。20設(shè)設(shè)隨隨機機變變量量 X在在區(qū)區(qū)間間,ba上上均均勻勻分分布布，1E X，4E2 X，試試求求 a 和和 b（ba ） 例2解

11、；3)E(ED22 XXX ；， 3D12)(1E22XabXba ；，62 abba .42 ba，因因此此 X 在在區(qū)區(qū)間間4 , 2 上上均均勻勻分分布布 第20頁/共23頁第二十頁，共24頁。21假設(shè)隨機變量假設(shè)隨機變量 X和和 Y 相互獨立， 且都在區(qū)間相互獨立， 且都在區(qū)間)1 , 0(上上均勻分布，試求隨機變量均勻分布，試求隨機變量YXZ 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 例3解易見X和Y的聯(lián)合(linh)概率密度為 其其它它， 01010 , 1),(yxyxf11xyO yxyxfyxgYXgZdd),(),(),(E)(E|EYX yxxyxyyyxx010010d)(dd)(d31 1010dd|yxyx第21頁/共23頁第二十一頁，共24頁。22練習(xí)(linx)：P131 習(xí)題(xt)四第22頁/共23頁第二十二頁，共24頁。23感謝您的觀看(gunkn)！第23頁/共23頁第二十三頁，共24頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)1。1. 0-1分布。第1頁/共23頁。下面利用期望和方差的性質(zhì)重