第四章數(shù)字特征PPT課件

1、第四章第四章 數(shù)字特征數(shù)字特征第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望與方差數(shù)學(xué)期望與方差第三節(jié)第三節(jié) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 常用分布的期望與方差常用分布的期望與方差 數(shù)字特征是由隨機(jī)變量的分布決定的一些常數(shù)，數(shù)字特征是由隨機(jī)變量的分布決定的一些常數(shù)， 它們只能刻劃隨機(jī)變量的部分隨機(jī)特性。它們只能刻劃隨機(jī)變量的部分隨機(jī)特性。數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 (Expectation)， 隨機(jī)變量的平均取值；又被稱為是：均值隨機(jī)變量的平均取值；又被稱為是：均值方差方差(Variance) ， 隨機(jī)變量在它的平均值附近取值的分散程度。隨機(jī)變量在它的平均值附近取值的分散程度。相關(guān)系數(shù)與協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)與協(xié)方差

2、， 隨機(jī)向量分量之間的關(guān)系，隨機(jī)向量分量之間的關(guān)系， 或者是：兩個隨機(jī)變量相依的程度?；蛘呤牵簝蓚€隨機(jī)變量相依的程度。一一. 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望(均值均值) 的定義的定義第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望與方差數(shù)學(xué)期望與方差 直觀理解，數(shù)學(xué)期望就是一個隨機(jī)變量所有可能直觀理解，數(shù)學(xué)期望就是一個隨機(jī)變量所有可能取值的加權(quán)平均值，權(quán)就是這些可能值相應(yīng)的概率。取值的加權(quán)平均值，權(quán)就是這些可能值相應(yīng)的概率。例如，例如，1. 假定發(fā)生意外的概率是假定發(fā)生意外的概率是 0.001，則在購買保險的，則在購買保險的 15,000 人中，平均起來有多少個人需要賠償？人中，平均起來有多少個人需要賠償？2. 統(tǒng)計資料表明強(qiáng)烈地震

3、的間隔服從參數(shù)統(tǒng)計資料表明強(qiáng)烈地震的間隔服從參數(shù) 430 (天天)的指數(shù)分布，則平均多長時間發(fā)生一次強(qiáng)震？的指數(shù)分布，則平均多長時間發(fā)生一次強(qiáng)震？1. 離散隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 如果如果 X 的分布律的分布律 P X = xk = pk , ,k 1 滿足：滿足： k 1 | xk pk | + 則定義離散隨機(jī)變量則定義離散隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望是的數(shù)學(xué)期望是 E X = k 1 xk pk 2. 連續(xù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望如果如果 X 的密度函數(shù)的密度函數(shù) p (x) 滿足：滿足：xp xdx|( )| 則定義連續(xù)隨機(jī)變量則定義連續(xù)隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)

4、期望是的數(shù)學(xué)期望是E Xxp x dx( ) 例例4.1.1 一位著名的射擊教練將從兩個候選人中挑選一位著名的射擊教練將從兩個候選人中挑選 一人作為他的隊員，甲還是乙的成績更好？一人作為他的隊員，甲還是乙的成績更好？成績成績(環(huán)數(shù)環(huán)數(shù)) 8 9 10甲的概率甲的概率 0.1 0.3 0.6乙的概率乙的概率 0.2 0.5 0.3解解. 以以 X、Y 分別表示甲、乙射擊一次的結(jié)果，分別表示甲、乙射擊一次的結(jié)果， 顯然顯然 X 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望(甲射擊一次的平均成績甲射擊一次的平均成績)是是 E X = 80.1 + 90.3 + 100.6 = 9.5 (環(huán)環(huán))， 同理，乙射擊一次的平均成績

5、是同理，乙射擊一次的平均成績是 E Y = 80.2 + 90.5 + 100.3 = 9.1 (環(huán)環(huán))。解解. 以以 X 記這個項目記這個項目 的投資利潤。的投資利潤。平均利潤為：平均利潤為： E X = 50.3 + 00.6 + ( 10)0.1 = 0.5，而同期銀行的利息是而同期銀行的利息是 100.02 = 0.2 ，因此從期望收益的角度應(yīng)該投資這個項目。因此從期望收益的角度應(yīng)該投資這個項目。利潤利潤 5 0 10概率概率 0.3 0.6 0.1例例4.1.2 假設(shè)某人有假設(shè)某人有 10 萬元，如果投資于一項目將有萬元，如果投資于一項目將有 30%的可能獲利的可能獲利 5 萬，萬，

6、60% 的可能不賠不賺，但有的可能不賠不賺，但有 10%的可能損失全部的可能損失全部 10 萬元；同期銀行的利率為萬元；同期銀行的利率為 2% ，問他應(yīng)該如何決策？，問他應(yīng)該如何決策？例例4.1.3 在古典概率模型中設(shè)計了如下一個賭局：在古典概率模型中設(shè)計了如下一個賭局： 每個人從有每個人從有 3 張假幣的張假幣的 10 張張 100 元紙幣中隨機(jī)地元紙幣中隨機(jī)地抽出抽出 4 張張 。如果全是真的，則贏得這。如果全是真的，則贏得這 400元；如果這元；如果這4 張中至少有一張假幣，只輸張中至少有一張假幣，只輸 100 元。元。 問這種規(guī)則是否公平，或者說你是否愿意參加？問這種規(guī)則是否公平，或者

7、說你是否愿意參加？解解. 分析，分析， 公平合理的規(guī)則必須是雙方的平均獲利都等于公平合理的規(guī)則必須是雙方的平均獲利都等于 0 以以 X 記每局賭博中莊家的獲利記每局賭博中莊家的獲利 (可以為負(fù)可以為負(fù)) ，則，則 X 所有可能的取值是所有可能的取值是 400 與與 100 。顯然顯然 X 的分布律為：的分布律為： xk 400 100 pk 因此，因此，X 的數(shù)學(xué)期望，即莊家在每局賭博中的數(shù)學(xué)期望，即莊家在每局賭博中 的平均獲利為：的平均獲利為： E X = ( ) + ( ) = 。 這種賭博對莊家有利，平均一局他將凈賺這種賭博對莊家有利，平均一局他將凈賺 16.67 元元 1 5 6 6

8、400 500 50 6 6 3思考思考2 如果一天有如果一天有 12 個人參加這種賭博，莊家的平均個人參加這種賭博，莊家的平均獲利又是多少？獲利又是多少？例例4.1.4 在例題在例題2.4.4 中假定乘客在公交車站等車的中假定乘客在公交車站等車的 時間時間 X ( 分鐘分鐘) 服從參數(shù)服從參數(shù) 5 的指數(shù)分布，的指數(shù)分布， p (x) = 0.2 e 0.2 x ， x 0 問這個人的平均等車時間是幾分鐘？問這個人的平均等車時間是幾分鐘？解解. 平均等車時間即是數(shù)學(xué)期望平均等車時間即是數(shù)學(xué)期望 E X ，因此因此yyedy055 xE Xxp x dxxedx0.20( )0.2 即平均需要

9、等待即平均需要等待 5 分鐘。分鐘。二二. 數(shù)學(xué)期望的基本性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的基本性質(zhì)即，設(shè)即，設(shè) a、b 是兩個常數(shù)，則有：是兩個常數(shù)，則有： E ( a + bX ) = a + b E (X) ；1. 隨機(jī)變量線性變換的期望等于期望的線性變換隨機(jī)變量線性變換的期望等于期望的線性變換2. 隨機(jī)變量和的期望等于期望的和隨機(jī)變量和的期望等于期望的和對任意的對任意的 n 個隨機(jī)變量個隨機(jī)變量 X1、X2、Xn，都有：都有： E (X1 + X2 + + Xn ) = E X1 + E X2 + + E Xn 4. 隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式3. 獨立獨立隨機(jī)變量乘積的期望等于期望的乘

10、積隨機(jī)變量乘積的期望等于期望的乘積如果如果 X1、X2、Xn 相互獨立，則有：相互獨立，則有： E (X1X2Xn) = E (X1)E (X2) E (Xn) (1) 如果離散隨機(jī)變量如果離散隨機(jī)變量 X 具有分布律：具有分布律： P X = xk = pk , ,k 1 ， 則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量 Y = g(X) 的數(shù)學(xué)期望是：的數(shù)學(xué)期望是： E Y = E g(X) = k 1 g(xk) pk (2) 如果連續(xù)隨機(jī)變量如果連續(xù)隨機(jī)變量 X 具有密度函數(shù)具有密度函數(shù) p(x) ， 則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量 Y = g(X) 的數(shù)學(xué)期望是：的數(shù)學(xué)期望是： E Y = E g(X) = (3)

11、如果連續(xù)隨機(jī)向量如果連續(xù)隨機(jī)向量 (X1，X2，Xn) 具有具有 聯(lián)合密度函數(shù)聯(lián)合密度函數(shù) p(x1, ,x2, , ,xn) ，則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量 Y = g(X1, ,X2, , ,Xn) 的數(shù)學(xué)期望是的數(shù)學(xué)期望是 E Y = E g(X1, ,X2, , ,Xn) g x p x dx( ) ( ) nnng xxp xxdxdx111.(,.,) (,.,). E Xxp x y dxdy( , ) 例例4.1.5 在前面的例題在前面的例題4.1.3的賭局里，如果一天有的賭局里，如果一天有 12 個人參加賭博，則莊家總的獲利是隨機(jī)變量個人參加賭博，則莊家總的獲利是隨機(jī)變量 Y = X

12、1 + X2 + X12，每個每個 Xi 獨立同分布。獨立同分布。解解. 如果要用數(shù)學(xué)期望的定義計算莊家的平均獲利，如果要用數(shù)學(xué)期望的定義計算莊家的平均獲利， 需要求出需要求出 Y 的分布律。的分布律。 利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，因為利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，因為 E Xi = 50/3 ， 所以莊家總的利潤平均來說有所以莊家總的利潤平均來說有 200 元元 。補(bǔ)充補(bǔ)充 更精確的模型應(yīng)該假定每天參賭的人數(shù)服從更精確的模型應(yīng)該假定每天參賭的人數(shù)服從參數(shù)參數(shù) 的泊松分布，此時莊家的平均利潤是的泊松分布，此時莊家的平均利潤是 E X 練習(xí)練習(xí)4.1.6 在例題在例題2.2.1 中討論了汽車過十字路口的問題。通過

13、中討論了汽車過十字路口的問題。通過每個路口的概率是每個路口的概率是 q ，X 是首次停止時通過的路口數(shù)。是首次停止時通過的路口數(shù)。 X 0 1 2 3 4 pk p pq pq2 pq3 q4 假定一個游戲規(guī)定，通過假定一個游戲規(guī)定，通過 k 道關(guān)口將獲得價值道關(guān)口將獲得價值10k (0k 4) 元的獎品。問一個參與者獲得的獎勵元的獎品。問一個參與者獲得的獎勵平均來說價值多少？平均來說價值多少？三三. 方差的定義方差的定義 方差是一個隨機(jī)變量在它的數(shù)學(xué)期望附近取值方差是一個隨機(jī)變量在它的數(shù)學(xué)期望附近取值的分散程度，方差越小說明取值越集中于期望。的分散程度，方差越小說明取值越集中于期望。1. 對

14、隨機(jī)變量對隨機(jī)變量 X，如果如果 (X E X )2 的數(shù)學(xué)期望存在，的數(shù)學(xué)期望存在， 即即 E (X E X )2 + ， 則稱它是則稱它是 X 的方差，記為的方差，記為 D X 或者或者 Var (X) 。 方差的平方根方差的平方根 (D X )1/2 稱為稱為 X 的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差思考思考E | X E X | 能不能描述能不能描述 X 在期望附近取值的分散程度？在期望附近取值的分散程度？2. 方差的計算公式方差的計算公式 按照定義，按照定義， D X = E (X E X )2 ； 常用公式常用公式， D X = E (X2 ) (E X )2 ； 按照隨機(jī)變量的類型：

15、按照隨機(jī)變量的類型： (1) 對于離散隨機(jī)變量對于離散隨機(jī)變量 D X = k 1 pk ( xk E X )2 ， (2) 對于連續(xù)隨機(jī)變量對于連續(xù)隨機(jī)變量 D X = p xxE Xdx2( )() 方差總是非負(fù)的常數(shù)，而期望可以是任意的實數(shù)方差總是非負(fù)的常數(shù)，而期望可以是任意的實數(shù)3. 數(shù)學(xué)期望與方差的概率意義數(shù)學(xué)期望與方差的概率意義 方差越小，說明隨機(jī)變量取值越集中在期望附近，方差越小，說明隨機(jī)變量取值越集中在期望附近， 或者也可以理解成，這個隨機(jī)變量就越穩(wěn)定。或者也可以理解成，這個隨機(jī)變量就越穩(wěn)定。 數(shù)學(xué)期望是一個隨機(jī)變量取值的平均，數(shù)學(xué)期望是一個隨機(jī)變量取值的平均，方差是隨機(jī)變量在

16、這個平均值附近取值的分散程度。方差是隨機(jī)變量在這個平均值附近取值的分散程度。理論上可以證明，理論上可以證明， 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 的方差為的方差為 0 的充分必要條件是，的充分必要條件是，這個隨機(jī)變量取值為一個常數(shù)的概率是這個隨機(jī)變量取值為一個常數(shù)的概率是 1 。 即，即， D X = 0 P ( X = E X ) = 1 例例4.1.7 射擊教練將從他的如下兩名隊員中選擇射擊教練將從他的如下兩名隊員中選擇 一人去參加比賽，應(yīng)該是甲還是丙更合適？一人去參加比賽，應(yīng)該是甲還是丙更合適？成績成績(環(huán)數(shù)環(huán)數(shù)) 8 9 10甲的概率甲的概率 0.1 0.3 0.6丙的概率丙的概率 0.2 0.1

17、0.7解解. 這里甲、丙兩人的平均成績都是這里甲、丙兩人的平均成績都是 E X = E Y = 9.5 需要比較方差，簡單計算后可以得到：需要比較方差，簡單計算后可以得到： D X = 0.45 ，D Y = 0.65 因此應(yīng)該選擇甲隊員去參加比賽。因此應(yīng)該選擇甲隊員去參加比賽。練習(xí)練習(xí)4.1.8 續(xù)例續(xù)例4.1.1 ，甲乙射擊技術(shù)如下：，甲乙射擊技術(shù)如下：需要利用分布律計算兩個概率：需要利用分布律計算兩個概率： P ( X Y ) ，以及以及 P ( Y X ) 。 X概率概率89100.30.10.6 Y概率概率89100.20.50.3 已經(jīng)知道平均來說，甲的成績比乙好。已經(jīng)知道平均來說

18、，甲的成績比乙好。 如果只射擊一次，誰的成績可能更好一些如果只射擊一次，誰的成績可能更好一些 ？四四. 方差的基本性質(zhì)方差的基本性質(zhì)與數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)比較：與數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)比較： E ( a + bX ) = a + b E (X)平移改變隨機(jī)變量的期望，但不會改變方差平移改變隨機(jī)變量的期望，但不會改變方差1. 隨機(jī)變量線性變換的方差公式隨機(jī)變量線性變換的方差公式即，設(shè)即，設(shè) a、b 是兩個常數(shù)，則有：是兩個常數(shù)，則有： D ( a + bX ) = b2 D X ；隨機(jī)變量的中心標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量的中心標(biāo)準(zhǔn)化思考思考 正態(tài)分布有一個形式上相近的性質(zhì)，如果正態(tài)分布有一個形式上相近的性質(zhì)，如果 X N

19、 ( , , 2 ) ，則，則 (X )/ N (0, ,1) 假設(shè)假設(shè) X 的期望的期望 ，方差，方差 2 都存在，則都存在，則 Y = 稱為是稱為是 X 的中心標(biāo)準(zhǔn)化。的中心標(biāo)準(zhǔn)化。 “中心標(biāo)準(zhǔn)化中心標(biāo)準(zhǔn)化” 即是通過線性變換把一即是通過線性變換把一個個隨機(jī)變量的期望轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量的期望轉(zhuǎn)化為 0 ，方差轉(zhuǎn)化為，方差轉(zhuǎn)化為 1 。 X 2. 獨立隨機(jī)變量和的方差等于方差的和獨立隨機(jī)變量和的方差等于方差的和如果如果 X1、X2、Xn 相互獨立相互獨立 ，則有：，則有： D (X1 + X2 + + Xn ) = D X1 + D X2 + + D Xn與數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)比較：與數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)比

20、較： 任意隨機(jī)變量和的期望等于期望的和任意隨機(jī)變量和的期望等于期望的和 ； 獨立隨機(jī)變量乘積的期望等于期望的乘積獨立隨機(jī)變量乘積的期望等于期望的乘積3. 任意兩個隨機(jī)變量和的方差公式任意兩個隨機(jī)變量和的方差公式 D (X + Y ) = D X + D Y + 2E (X E X)(Y E Y) 例例4.1.9 計算二項分布計算二項分布 B (n, ,p) 的期望與方差的期望與方差 解解. 如果按照定義，則需要計算如果按照定義，則需要計算 E X = kn=0 kCnk pk qn k D X = kn=0 (k E X )2Cnk pk qn k注意到二項分布可以分解成兩點分布的和：注意到二

21、項分布可以分解成兩點分布的和： 如果如果 X B (n, ,p) ，則則 X = X1 + X2 + Xn ，這里這里 每個每個 Xi 獨立同分布于參數(shù)獨立同分布于參數(shù) p 的兩點分布。的兩點分布。 顯然有顯然有 E X1 = p ，D X1 = pq ( q = 1 p ) 因此二項分布的期望與方差是因此二項分布的期望與方差是 E X = np ，D X1 = npq 。五五. 切比雪夫切比雪夫 (Chebyshev) 不等式不等式切比雪夫不等式說明，對任意的隨機(jī)變量切比雪夫不等式說明，對任意的隨機(jī)變量 X ， 它在期望附近取值的概率有一個下界。它在期望附近取值的概率有一個下界。 如果如果

22、X 的期望的期望 ，方差，方差 2 都存在，則都存在，則 對于任意的一個實數(shù)對于任意的一個實數(shù) 0 ，有：，有： P | X | ； 或者等價地，或者等價地， P | X | 1 。 2 2 2 21. 切比雪夫不等式的精確度切比雪夫不等式的精確度 在不等式中分別取在不等式中分別取 = ，2 ，3 P | X | 0 P | X | 2 0.75 P | X | 3 0.8889如果如果 X N (0, ,1)， = 0.6826 ； = 0.9544 ； = 0.9974 。2. 切比雪夫不等式的意義切比雪夫不等式的意義(1) 它對所有的隨機(jī)變量都成立，不需要知道它對所有的隨機(jī)變量都成立，不

23、需要知道 X 的的具體分布?？梢越乒烙嬍录母怕剩痪唧w分布。可以近似估計事件的概率；(2) 可以說明方差的概率含義；可以說明方差的概率含義；(3) 可以證明隨機(jī)事件頻率的極限是概率?？梢宰C明隨機(jī)事件頻率的極限是概率。例例4.1.10 假定發(fā)生意外概率是假定發(fā)生意外概率是 0.001，則在購買保險的，則在購買保險的 15,000 人中需要賠償?shù)娜藬?shù)人中需要賠償?shù)娜藬?shù) X B(15,000, ,0.001)。 近似計算近似計算 X 介于介于 10 20 之間的概率。之間的概率。 解解. 根據(jù)例題根據(jù)例題4.1.10 的結(jié)果，有：的結(jié)果，有： E X = 15，D X = 150.999 15 。

24、 根據(jù)切比雪夫不等式根據(jù)切比雪夫不等式 ， P ( 15 X 20 ) = P ( | X 15 | 5 ) 1 = 0.4 。 15 25練習(xí)練習(xí)4.1.11 拋擲均勻硬幣拋擲均勻硬幣100次，問正面次數(shù)在次，問正面次數(shù)在 40 60 的概率？的概率？1. 證明：設(shè)一個連續(xù)隨機(jī)變量的期望存在，證明：設(shè)一個連續(xù)隨機(jī)變量的期望存在， 如果它的密度函數(shù)是偶函數(shù)，則期望為如果它的密度函數(shù)是偶函數(shù)，則期望為 0 ；2. 教材教材 138 頁頁 第第 1 題題 ；3. 教材教材 138 頁頁 第第 2 題題 ； 4. 教材教材 139 頁頁 第第 6 題題 ； 5. 教材教材 140 頁頁 第第 10

25、題題 。習(xí)題習(xí)題 4.11. 兩點分布兩點分布EX = p ，DX = pq第二節(jié)第二節(jié) 常用分布期望與方差常用分布期望與方差都與這些分布的參數(shù)有關(guān)都與這些分布的參數(shù)有關(guān)X 只取只取 0，1 兩個可能值，分布律為：兩個可能值，分布律為： xk 0 1 p + q = 1 pk q p 0 p 12. 二項分布二項分布 在在 n 次獨立重復(fù)的試驗中，隨機(jī)事件次獨立重復(fù)的試驗中，隨機(jī)事件 A 平均來說平均來說將要發(fā)生將要發(fā)生 np 次；或者是在有放回的抽樣中，取出的次；或者是在有放回的抽樣中，取出的 n 件產(chǎn)品里，平均起來包含了件產(chǎn)品里，平均起來包含了 np 件次品。件次品。 X 全部可能的取值是

26、有限的整數(shù)全部可能的取值是有限的整數(shù) 0，1，n ；分布律為：分布律為： pk = Cnk pk qn k ，0 k n 這里參數(shù)這里參數(shù) 0 p 1 , , q = 1 p 。EX = np ，DX = npq補(bǔ)充補(bǔ)充 3. 超幾何分布超幾何分布EX = ， DX = ( 1 )( ) 無放回取出的無放回取出的 n 件產(chǎn)品里，件產(chǎn)品里，平均起來包含有平均起來包含有 n 件次品。件次品。 從包含從包含 M 件次品的件次品的 N 件產(chǎn)品中無放回隨機(jī)取出件產(chǎn)品中無放回隨機(jī)取出 n 件產(chǎn)品，其中的次品數(shù)件產(chǎn)品，其中的次品數(shù) X 的分布律為：的分布律為：kn kMNMknNCCpkn MC,0min(

27、 ,) nM nM M N n N N N N 1 MN補(bǔ)充補(bǔ)充 4. 幾何分布幾何分布 X 可能的取值是一切正整數(shù)：可能的取值是一切正整數(shù)：1 ，2 ， ；分布律為：分布律為： P X = k = pqk1 , , k 1 。 這里參數(shù)這里參數(shù) 0 p 1 , , q = 1 p 。EX = ， DX = 1 q p p2平均需要做平均需要做 p 分之一次隨機(jī)試驗，分之一次隨機(jī)試驗，A 才會發(fā)生才會發(fā)生 5. 泊松分布泊松分布EX = ， DX = 車站到來的乘客數(shù)量平均每一批有車站到來的乘客數(shù)量平均每一批有 人，以及人，以及單位時間里到來的電話呼叫數(shù)平均有單位時間里到來的電話呼叫數(shù)平均有

28、次等等。次等等。 X 可能取值是所有非負(fù)整數(shù)可能取值是所有非負(fù)整數(shù) 0，1，2，；分布律為：分布律為： P X = k = e ，k 0 這里泊松分布的參數(shù)這里泊松分布的參數(shù) 0 。 k k !6. 均勻分布均勻分布 X 服從區(qū)間服從區(qū)間 (a, ,b) 上的均勻分布，上的均勻分布，密度函數(shù)是：密度函數(shù)是： X 取值的平均就是區(qū)間取值的平均就是區(qū)間 (a, ,b) 的中點的中點 ， a x b p (x) = 0 ， 其它其它 1 b a EX = ， DX = a + b ( b a )2 2 127. 指數(shù)分布指數(shù)分布 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，密度函數(shù)是：的指數(shù)分布，密度函數(shù)

29、是： 元件的平均壽命、地震的平均間隔、機(jī)械元件的平均壽命、地震的平均間隔、機(jī)械故障的平均間隔故障的平均間隔(等待時間等待時間)為為 。 e x/ ， x 0 p (x) = 0 ， 其它其它 1 EX = ， DX = 28. 正態(tài)分布正態(tài)分布當(dāng)當(dāng) X N ( , , 2 ) 時，密度函數(shù)為時，密度函數(shù)為 X N ( , , 2 ) ( X )/ N (0, ,1) 實際上就是正態(tài)分布的中心標(biāo)準(zhǔn)化實際上就是正態(tài)分布的中心標(biāo)準(zhǔn)化xp xex22()21( ),2 EX = ， DX = 2 2. 教材教材 140 頁頁 第第 14 題題 ； 3. 教材教材 141 頁頁 第第 23 題題 。 1

30、. 教材教材 140 頁頁 第第 11 題題 ；習(xí)題習(xí)題 4.2第三節(jié)第三節(jié) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差是兩個隨機(jī)變量之間協(xié)方差是兩個隨機(jī)變量之間不獨立關(guān)系不獨立關(guān)系的一種度量，的一種度量， 相關(guān)系數(shù)是它們之間的相關(guān)系數(shù)是它們之間的線性關(guān)系線性關(guān)系的一種度量。的一種度量。如果如果 X 、Y 獨立，則有獨立，則有 E (X EX )(Y EY ) = 0 ；反之，如果反之，如果 E (X EX )(Y EY ) 0， 則則 X 、Y 肯定不獨立，說明它們存在某種關(guān)系?？隙ú华毩?，說明它們存在某種關(guān)系。一一. 協(xié)方差的引進(jìn)協(xié)方差的引進(jìn)1. 協(xié)方差的定義協(xié)方差的定義 兩個隨機(jī)變量的協(xié)方差

31、定義為數(shù)字特征：兩個隨機(jī)變量的協(xié)方差定義為數(shù)字特征： Cov (X, ,Y) = E (X EX )(Y EY ) ( Covariance ，簡寫成簡寫成Cov )2. Cov (X, ,Y)之所以被稱為之所以被稱為 X、Y 的協(xié)方差，的協(xié)方差， 是因為是因為 方差方差 DX = Cov (X, ,X) 。3. 協(xié)方差的計算公式：協(xié)方差的計算公式： Cov (X, ,Y) = E (XY) (EX )(EY )1. X、Y 的相關(guān)系數(shù)定義為數(shù)字特征的相關(guān)系數(shù)定義為數(shù)字特征 ：二二. 兩個隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)兩個隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)2. “不相關(guān)不相關(guān)” 的定義的定義 如果如果 X、Y 的相關(guān)系數(shù)

32、的相關(guān)系數(shù) XY = 0 ， 則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量 X、Y 是不相關(guān)的。是不相關(guān)的。顯然顯然 “不相關(guān)不相關(guān)” 等價于等價于 “協(xié)方差為協(xié)方差為 0”XYCov X YDXDY(,) 不相關(guān)與獨立的關(guān)系不相關(guān)與獨立的關(guān)系“獨立獨立”則肯定則肯定“不相關(guān)不相關(guān)”；反之，反之， “不相關(guān)不相關(guān)”則不一定則不一定“獨立獨立”。3. “不相關(guān)不相關(guān)” 的一些等價形的一些等價形式式 X Y = 0 Cov (X, ,Y) = 0 E (XY) = (EX )(EY ) D (X+Y ) = DX + DY 最后一個等價關(guān)系來自最后一個等價關(guān)系來自“隨機(jī)變量和的方差隨機(jī)變量和的方差”公式：公式： D (X+Y ) = DX + DY + 2Cov(X, ,Y) 例例4.3.1 第三章討論的隨機(jī)取數(shù)的問題第三章討論的隨機(jī)取數(shù)的問題 X Y 1 2 3 4 pi 1 1/4 0 0 0 1/4 2 1/8 1/8 0 0 1/4 3 1/12 1/12 1/12 0 1/4 4 1/16 1/16 1/16 1/16 1/4 p j 25/48 13/48 7/48 3/48 1計算計算 X、Y 的相關(guān)系數(shù)。的相關(guān)系數(shù)。解解. 計算計算 X、Y 的方差比較簡單，的方差